6.2直观图课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第2节 直观图 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握斜二测画法的步骤． 2、会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图． 3、能根据直观图还原出原图形. 1、能根据直观图还原出原图形. 1、会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图． 2 新 知 引 入 图片、照片等都是空间图形在平面上的反映。 怎么把一个空间几何体画到一个平面中，而且立体感较强呢？ 学 习 新 知 把空间图形画在平面上，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。也就是用来表示空间图形的平面图形，叫作空间图形的直观图。 用什么方法画空间图形的直观图呢？ 斜二测画法 学 习 新 知 (1) 在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x'轴 和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. (2) 已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或 y'轴的线段. (3) 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变; 平行于y轴的线段,长度为原来的一半. (4) 连线并擦去辅助线 x'轴和y'轴,便获得水平放置的直观图. 斜二测画法(水平放置的平面图形直观图的画法): 注意：1、 2、 记忆口诀“横同，竖半 ,平行性不变”。 由于选择的坐标系不同，画出来的直观图也可能不同。 典 例 引 路 例1、画一个正方形的直观图。 （2）在O＇x＇轴上截取O＇B＇=AB, 在O＇y＇轴上截取O＇D＇=OD, 过B＇作B＇C＇∥y＇轴，过D＇作D＇C＇∥x＇轴交于C＇. 解：（1）以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示坐标系； 画对应的坐标系x＇O＇y＇,∠x＇O＇y＇=45°. O x y O＇ x＇ y＇ A B C D (3)四边形O＇B＇C＇D＇为正方形ABCD的直观图。 B＇ D＇ C＇ 同 步 练 习 练1、用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图。 A B C 画法： （1）以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线 AO所在直线为y轴建立直角坐标系；画对 应的坐标系x＇O＇y＇,∠x＇O＇y＇=45°. （2）在x＇轴上截取O＇B＇=O＇C＇=2cm,在y＇ 轴上截取O＇A＇= OA. (3) 连接A＇B＇,A＇C＇,则三角形A＇B＇C＇ 即为正三角形ABC的直观图。 O x y O＇ x＇ y＇ B＇ C＇ A＇ 典 例 引 路 例2、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 画法：（1）在已知图形（正六边形）所在平面上建立平面直角坐标系xOy.另选一平面画直观图，先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°. （2）将已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段，且已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半. （3）连线成图（擦去辅助线）. O x y O＇ x＇ y＇ A B C D E F A＇ D＇ E＇ F＇ B＇ C＇ M N M＇ N＇ 同 步 练 习 练2、如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图. 画法：(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为 原点,建立平面直角坐标系,画对应的 坐标系x'O'y',∠x'O'y'=45°. (2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y' 轴上取O'E'= OE,以E'为中点画C'D'∥x' 轴,并使C'D'=CD. (3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就 是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. (4) 擦去辅助线. O x y A B C D E O＇ x＇ y＇ A＇ B＇ E＇ C＇ D＇ 典 例 引 路 例3、已知等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积为 ,则等边三角形ABC的面积是　　　　　.  解：按照斜二测画法的规则,把如图①所示的等边 三角形ABC的直观图△A′B′C′还原为如图②所示 的等边三角形ABC, 设原等边三角形ABC的边长为x,则B′C′= x,等边三角形ABC的高为x, ∴△A′B′C′的高为 x×× = x, ∴△A′B′C′的面积为 ×x×x = x2 = 解得x=1,所以△ABC的面积为 1×1×× = 同 步 练 习 练3、如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为　　　　　.  解：由四边形的直观图可知,原四边形是直角梯形,其上、下底长分别为2,3,高为6,故其面积为 ×（2+3）×6 = 15. 学 习 新 知 斜二测画法(空间几何体的直观图的画法): (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy; 再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°. (2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45° (或135°),∠x'O'z'=90°.x'O'y'所确定的平面表示水平平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x'轴、y'轴或z'轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变; 平行于y轴的线段长度为原来的一半. (5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线. 学 习 新 知 在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都可以,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等. 注意：1、 2、 3、 画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图,连接相应顶点，最后得到整个几何体的直观图. 斜二测画法这个名称来源于其投影特性和测量规则，具体含义如下： “斜”指投影方向与投影面斜交（不垂直），区别于正投影； “二”指在三个坐标轴方向上，两个轴的线段长度保持原长或按比例缩放； “测”指测量，即各轴向有明确的长度测量比例规则. 典 例 引 路 例4、用斜二测画法画长、宽、高分别为2 cm、1.5 cm、1 cm的长方 体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O, 使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2) 画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使 MN=2cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=0.75 cm.分别 过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行 线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就 是长方体的底面ABCD. (3) 画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1cm 长的线段AA＇,BB＇,CC＇,DD＇. (4) 成图.顺次连接A＇,B＇,C＇,D＇,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分 改为虚线),就得到长方体的直观图. O x y Z M N P Q A B C D A＇ B＇ C＇ D＇ 同 步 练 习 例4、用斜二测画法画正六棱柱的直观图. O x y Z 画法：（1）画轴 （2）画下底面 （3）画上底面 （4）连线成图 A B C D E F A B C D E F 典 例 引 路 例5、画出底面边长为1.2 cm的正方形、侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥 的直观图. 画法：(1) 画轴.画x＇轴、y＇轴、z＇轴,使∠x＇O＇y＇=45°, ∠x＇O＇z＇=90°. (2)画底面.以O＇为中心在x＇轴上截取线段EF,使EF=1.2 cm,在y＇轴上截取线段GH,使GH=0.6 cm.分别过E,F作y＇轴的平行线,过G,H作x＇轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图. (3) 画高.在z＇轴上截取OP,使OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚 线,得四棱锥的直观图. O＇ x＇ y＇ Z＇ A B C D P G H E F 同 步 练 习 练5、用斜二测画法画正五棱锥的直观图. O x y Z 画法：（1）画轴 （2）画底面 （3）画顶点 （4）连线成图 A B C D E S 典 例 引 路 例6、用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长 分别为2,3,高为2. 画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取 线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和 点Q作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为 四棱台的下底面. (3)画上底面.在z轴上取一点O＇,使OO＇=2,以O＇为原点画直线a 和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO＇b内以O＇为 中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A＇B＇C＇D＇. (4)连线.并整理就得到四棱台的直观图. O x y Z M N P Q A B C D O＇ a b A＇ B＇ C＇ D＇ 同 步 练 习 练6、画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图。 画法：(1) 画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 ∠xOy=45°,∠xOz=90°. （2）画下底面。以O为线段中点，在x轴上取线段AB, 使AB=2,在y轴上取线段OC，使OC= .连接BC,CA， 则△ABC为正三棱台的下底面的直观图。 （3）画上底面。在z轴上取OO＇,使OO＇=2,过点O＇作 O＇x＇∥Ox,O＇y＇∥Oy,建立坐标系x＇O＇y＇. 在x＇O＇y＇中，类似步骤（2）的画法得上底面 的直观图△A＇B＇C＇. (4) 连线成图。连接AA＇,BB＇,CC＇,整理得三棱台 ABC-A＇B＇C＇即为要求画的正三棱台的直观图。 O x y Z A B C O＇ x＇ y＇ A＇ B＇ C＇ 同 步 练 习 全 课 总 结 一、斜二测画法 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 21 $