精品解析：2026年湖南长沙市多校联考中考二模九年级数学 试题

数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答題卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 劳动是一个人生存的根本，劳动最光荣，九年级（一）班第一组7名同学一周内参加劳动的时间如下（单位：小时）：5，2，5，3，4，5，6，则下列统计正确的是（ ） A. 中位数是5，众数是5 B. 众数是5，平均数是5 C. 中位数是5，平均数是5 D. 众数是5，中位数是3 6. 如图，，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的弦，是的直径，与交于点E，点D是劣弧的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 10. 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（ ） A. 只有一个正实数根 B. 有一个正实数根，两个负实数根 C. 有两个正实数根，一个负实数根 D. 有三个正实数根 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为______． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 14. 如图，中，，，于点D，，则线段AD的长度为______． 15. 如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后的桌面是一个面积为的正方形，则可折叠部分的面积为______． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 20. “珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 21. 为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖．学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表．（A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”） 节目 频数 频率 A 10 0.2 B a 0.3 C 5 b D 20 c 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）表中______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率． 22. 近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． （1）求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ （2）经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 23. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 24. 如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． （1）求证：是的切线； （2）令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） （3）在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①若点，是一对“归一点”，则，． （ ） ②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为． （ ） ③一次函数一定是“归一函数”． （ ） （2）已知反比例函数是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； （3）若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示． 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 5．答題卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为1573782000000元，数据1573782000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意； C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意； 综上，故选B． 3. 中国是世界上最早使用正负数，并进行负数运算的国家．我国古代数学著作《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．若微信进账10元记为，那么微信支出6元应记为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数与负数的意义，解题关键是明确正负数用来表示意义相反的量，根据已知进账的记法即可推出支出的记法． 【详解】微信进账10元记为，进账与支出是意义相反的两个量， 微信支出6元应记为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方以及二次根式的减法运算法则，对选项逐个判断即可求解． 【详解】解：逐项分析如下： A.，该项计算正确，符合题意； B.，该项计算错误，不符合题意； C.，该项计算错误，不符合题意； D.，该项计算错误，不符合题意， 综上，选A． 5. 劳动是一个人生存的根本，劳动最光荣，九年级（一）班第一组7名同学一周内参加劳动的时间如下（单位：小时）：5，2，5，3，4，5，6，则下列统计正确的是（ ） A. 中位数是5，众数是5 B. 众数是5，平均数是5 C. 中位数是5，平均数是5 D. 众数是5，中位数是3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的定义、中位数的定义及众数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，出现次数最多的劳动时间为：5， ∴众数是：5； 平均数为：； 把7名同学的劳动时间从小到大的顺序排列：2、3、4、5、5、5、6， ∴中位数为：5， 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数的定义、中位数的定义及众数的定义，熟记相关定义是解决问题的关键． 6. 如图，，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作，根据平行线的性质得出，确定，再由平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而确定不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如选项A所示． 8. 如图，是的弦，是的直径，与交于点E，点D是劣弧的中点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据题意得出，确定，再由余弦函数求解即可． 【详解】解：连接， ∵点D是劣弧的中点，是的直径， ∴， ， ， 是的直径，， ， 在中，， ∴． 9. 如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和线段中点的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴的周长为． 10. 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（ ） A. 只有一个正实数根 B. 有一个正实数根，两个负实数根 C. 有两个正实数根，一个负实数根 D. 有三个正实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出，再化简方程，得到，在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象，由两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，得到方程有一个正实数根，两个负实数根，即可解答． 【详解】解：当时，原方程不成立， ∴， 将方程的常数项移到等式右边，得 ， 变形整理得， 在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图， ∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点， ∴方程有一个正实数根，两个负实数根． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 12. 某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为______． 【答案】200 【解析】 【详解】解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，（名）， ∴估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，中，，，于点D，，则线段AD的长度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由含30°角的直角三角形的性质可分别求得BC和AB的长，则可求得AD的长． 【详解】解：∵在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD=30°， ∴在Rt△BCD中， BC=2BD=2， ∴在Rt△ABC中，AB=2BC=4， ∴AD=AB-BD=4-1=3， 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键． 15. 如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后的桌面是一个面积为的正方形，则可折叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可；解法二：设圆形桌面的圆心为O，连接，根据进行解答即可． 【详解】解法一：如解图①，设圆形桌面的圆心为O，连接， ∵正方形的面积为， ∴， ∴为的直径，， ∴， ∴． 解法二：如解图②，设圆形桌面的圆心为O，连接， ∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 【答案】955 【解析】 【分析】要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为129分钟，可知平均每人维修的时间为43分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为280元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为300元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为375元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短． 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）； ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间． 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间． 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间． 综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，逐项化简，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则将原式化简，再将代入即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的步骤，可判断平分，结合等腰三角形的性质，可求出的度数． （2）根据可知是等腰直角三角形，由求出的长度，最后在中利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知平分，， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， 即是等腰直角三角形， ， ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得． 20. “珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） （1）求BC段的长度（结果保留整数）； （2）判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】（1）BC段的长度约为140米 （2） 解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 【解析】 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； 【小问2详解】 略 21. 为弘扬传统文化，传承国学经典，阳光中学举行了古诗文诵读大赛，其中，“木兰辞”，“满江红”，“少年中国说”，“沁园春·长沙”四个节目获得特等奖．学校打算在这四个节目中选择一个参加长沙市国学经典诵读大赛，校团委和学生会制定了调查问卷，并随机抽取了50份问卷，得到如下待完善的统计图表．（A代表“木兰辞”、B代表“满江红”、C代表“少年中国说”、D代表“沁园春·长沙”） 节目 频数 频率 A 10 0.2 B a 0.3 C 5 b D 20 c 根据图表中所给信息，解答下列问题： （1）表中______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）为方便节目的排练，陈老师打算从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为节目排练牵头人，请用列表法或画树状图法列举所有等可能的结果，并求甲、乙两位同学都被选中的概率． 【答案】（1）15，0.1，0.4 （2） 解：补全条形统计图如解图； （3） 【解析】 【分析】（1）根据总数乘以频率求频数，频数除以总数求出频率． （2）补全条形统计图即可． （3）列出表格求解即可． 【小问1详解】 解：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 乙，甲 丙，甲 丁，甲 乙 甲，乙 丙，乙 丁，乙 丙 甲，丙 乙，丙 丁，丙 丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都被选中的结果有2种， ∴P（甲、乙两位同学都被选中）． 22. 近年来，我国的农业正在由传统农业向现代化农业转变．在科技兴农合作社，种田大户张叔叔购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；种田大户李伯伯购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元． （1）求1架A型无人机和1架B型无人机的价格分别为多少元？ （2）经营农庄的小刘需要购买A，B两种型号的无人机共10架，计划投资不超过50000元，那么A型无人机最多能购买多少架？ 【答案】（1）1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元 （2）最多能购买2架A型无人机 【解析】 【分析】（1）根据“购买1架A型无人机和3架B型无人机共用了20000元；购买2架A型无人机和4架B型无人机共用了32000元”列方程组求解即可； （2）根据“投资不超过50000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设1架A型无人机的价格为x元，1架B型无人机的价格为y元， 由题意得 解得 答：1架A型无人机的价格为8000元，1架B型无人机的价格为4000元； 【小问2详解】 解：设购买A型无人机m架，则购买B型无人机架， 由题意得， 解得， ∵m为非负整数， ∴m最大可取2， 答：最多能购买2架A型无人机． 23. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，的平分线交延长线于点E，交于点F． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边即可得到结论； （2）依次求出，，最后利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知．， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，由勾股定理得． 24. 如图，是的直径，弦于点M，点P是延长线上一点，点E，F是上的两点，连接，，，连接并延长交于点N，交延长线于点G，已知是的切线且，． （1）求证：是的切线； （2）令，，求y关于x的函数解析式；（不考虑自变量x的取值范围） （3）在点P运动的过程中，是否为定值，若是定值，则求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如解图①，连接，， 在与中， 01 ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）； （3）为定值，定值为值 【解析】 【分析】（1）连接，，利用三角形全等，证明即可； （2）连接，，设的半径为r，得到，设，由勾股定理得，得到，代入求解即可；（3）在点P运动的过程中，为定值；连接，利用三角形相似的判定和性质，求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图②，连接，， ∵， ∴， 设的半径为r，∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， 故， ∴ ； 【小问3详解】 解：在点P运动的过程中，为定值，定值为值； 如解图②，连接， ∵， ∴易得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在点P运动的过程中，为定值． 25. 我们约定：在平面直角坐标系中，当，，，满足，且，则称点与点为一对“归一点”．若某函数图象上至少存在一对“归一点”，则称该函数为“归一函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①若点，是一对“归一点”，则，． （ ） ②若点M与点N是一对“归一点”，则的值一定为． （ ） ③一次函数一定是“归一函数”． （ ） （2）已知反比例函数是“归一函数”， ①求k的取值范围； ②当时，求该函数图象上所有对“归一点”的坐标； （3）若关于x的二次函数是“归一函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）①√，②×，③× （2）①且；②， （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义依次进行判断即可； （2）①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”，根据关于x的方程有实数根进行解答即可；②求出“归一点”的坐标为与即可． （3）设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”，得到方程．分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：①由题意，得， 解得，①正确； ②设点，，则，则，只有当时，的值才为，②错误； ③假设一次函数：是“归一函数”，点与是一次函数图象上的一对“归一点”，将与代入得 ①＋②，得，这与矛盾，③错误． 【小问2详解】 解：①设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 则，整理得：，则， ∴，整理得， ∵反比例函数是“归一函数”， ∴x一定存在，即关于x的方程有实数根， ∴，解得， 当时，原方程为，解得， 当时，，与题设矛盾， ∴， 综上所述，结合反比例函数特点可得且； ②设点与是反比例函数图象上的一对“归一点”， 由①可得，解得，， 当时，，则，， 此时这对“归一点”的坐标为与； 当时，，则，， 即此时这对“归一点”的坐标为与． 综上所述，当时，该函数图象上所有对“归一点”的坐标为与； 【小问3详解】 解：设点与是二次函数．图象上的一对“归一点”， 分别代入得，， 整理并消去y得． ①当方程有两个相等的解时，，解得， 此时原方程为，解得， 此时，与题设不符， ∴当时，不符合要求； ②当方程有两个不相等的解时，，解得． 综上所述，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $