专题01 反比例函数中k 的几何意义4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题01 反比例函数中k 的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的面积 1 题型二、矩形的面积 2 题型三、平行四边形面积 3 题型四、两条双曲线与图形面积 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的面积 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，，是反比例函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，记的面积为，的面积为，则和y的大小关系是：______．（填“”或“”或“"）    4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______． 题型二、矩形的面积 5．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 7．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______．    8．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 题型三、平行四边形面积 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为20，点在轴上，点在反比函数的图像上，则的值为________．    10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 11．如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点． (1)若，则________． (2)当时，若点的横坐标是1，则线段________． (3)若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值． 题型四、两条双曲线与图形面积 12．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 13．如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）    A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 15.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，对于双曲线y= (m> 0)和双曲线y= (n>0)，如果m=2n，则称双曲线y= (m> 0)和双曲线y= (n>0)为“倍半双曲线”，双曲线y= (m> 0)是双曲线y=(n>0)的“倍双曲线”，双曲线y=(n>0)是双曲线y=(m> 0)的“半双曲线”．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限内的任意一点， 过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，那么△AOB的面积是______． 4．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于________． 5．如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 6．如图，已知双曲线经过矩形边的中点，交于点，且四边形的面积为2，则_______． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，的边在x轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点C、D，连接，已知，的面积为12，若，直线的函数解析式为 _____． 8．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是______. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是__________ 10．如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为______． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 12.如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 13．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 14.如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 15．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 16.如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点， (1)求k的值； (2)当时，求直线OQ的解析式； (3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标． 17．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 18．（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数中k 的几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的面积 1 题型二、矩形的面积 5 题型三、平行四边形面积 8 题型四、两条双曲线与图形面积 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的面积 1．（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 2．如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点， ∴， ∵， ∴，（故B正确、故A.C错误） ∵ ∴，即D错误. 故选B． 3．如图，，是反比例函数的图象上任意两点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，记的面积为，的面积为，则和y的大小关系是：______．（填“”或“”或“"）    【答案】= 【详解】解：根据反比例函数的系数的几何意义可得：S1=S2= 故答案是：=． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图像上有一点，使的面积为10，则点的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图像交于点， ∴设，反比例函数解析式为， ∵过点作轴，垂足为点， ∴， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为， ∴设， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得或， ∴或， 故答案为：或． 题型二、矩形的面积 5．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 6．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 【答案】4 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为：4 7．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______．    【答案】6． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 8．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 题型三、平行四边形面积 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为20，点在轴上，点在反比函数的图像上，则的值为________．    【答案】-10 【详解】连接AC交OB于点D，如图所示． ∵四边形OABC为菱形， ∴AC⊥OB， ∵菱形OABC的面积为20， ∴SOCD＝×20＝5． ∵点C在反比例函数的图象上，CD⊥y轴， ∴SOCD＝|k|＝5， 解得：k＝±10． ∵点C在第二象限， ∴k＝−10． 故答案为：-10．    10．（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点． (1)若，则________． (2)当时，若点的横坐标是1，则线段________． (3)若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)－6 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：如图：AB交y轴于M， ∵点是函数，点是函数， ∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：，, ∵, ∴, ∴； 故答案为：； （2）由题意得： 当时，， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）存在，点在点上方， 如图，作轴于点，于点， 设，则，则，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得． 题型四、两条双曲线与图形面积 12．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】把x=1代入得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入得：y=, ∴B(2, ), ∵AC//BD// y轴, ∴C(1,k),D(2,) ∴AC=k-1,BD=-， ∴S△OAC=（k-1）×1, S△ABD= (-)×1, 又∵△OAC与△ABD的面积之和为， ∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3; 故答案为B. 13．如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD−S△OBD−S△OAC， 由反比例函数y＝中k的几何意义，可知其面积为k1−k2． 故选B． 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 15.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 1．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向轴、轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，随着增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 根据甲同学的说法可得：， ∴， 根据乙同学的说法可知：， ∴， ∴根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，且点在第二象限， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，对于双曲线y= (m> 0)和双曲线y= (n>0)，如果m=2n，则称双曲线y= (m> 0)和双曲线y= (n>0)为“倍半双曲线”，双曲线y= (m> 0)是双曲线y=(n>0)的“倍双曲线”，双曲线y=(n>0)是双曲线y=(m> 0)的“半双曲线”．如图，已知点A是双曲线y=在第一象限内的任意一点， 过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，那么△AOB的面积是______． 【答案】1 【详解】解：设直线AB与x轴交于点C， 由题意可知： 的“半双曲线”为： ， ∵点A在双曲线上， ， ∵点B在双曲线上， ， ． 故答案为：1． 4．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于________． 【答案】1 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 5．如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 【答案】8 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 6．如图，已知双曲线经过矩形边的中点，交于点，且四边形的面积为2，则_______． 【答案】2 【详解】解：∵双曲线经过矩形边的中点 设F（x，y），E（a，b），那么B（x，2y）， ∵点E在反比例函数解析式上， ∴S△COE=ab=k， ∵点F在反比例函数解析式上， ∴S△AOF=xy=k，即xy=k ∵S四边形OEBF=S矩形ABCO-S△COE-S△AOF，且S四边形OEBF=2， ∴2xy-k-xy=2， ∴2k-k-k=2， ∴k=2． 故答案为：2． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，的边在x轴上，且，反比例函数的图象与边、分别相交于点C、D，连接，已知，的面积为12，若，直线的函数解析式为 _____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过C作于E， ， ， 的面积为12， ，即， 又， ， 反比例函数为， ， ， 又为的中点， 为的中点， ， 设，则点， ， ， ， ， ，即， 设直线的函数解析式为， 则，即， 直线的函数解析式为， 故答案为：． 8．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线平行于轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是______. 【答案】8 【详解】，则点A在上，点B在上， 又因直线平行于轴， 点A和点B的纵坐标相等，因此可设A和B坐标为， 则有，即，可化为， 根据图可得， 将代入即可得， 将代入得 即 可得. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与反比例函数的图像交于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，过点作轴的垂线交双曲线于点，联结，那么的值是__________ 【答案】1 【详解】解：设的解析式为， ， ， ， 联立， 解得， ，， 过点作交于点，交于点， ，， ，，，， ， ， ， 故答案为：1． 10．如图，A，B两点在双曲线上，C，D两点在双曲线上，若轴，且，则的面积为______． 【答案】 【详解】如图：过点A作AF⊥y轴于F点，过A作AM⊥x轴于点M，过B作BE⊥x轴于点E； ∵A，B，都在反比例函数 上， ∴设A(a，)，B(b，) 而C，D又在反比例函数 上，且AB∥CD， 则A，C点的纵坐标相等，则B，D点的纵坐标相等， ∴当时，∴x=am， 当 时，x=bm， 所以 ， 又BD=2AC ∴ ∵m＞1 ∴b=2a 又 =1+ 又 而AM= ，BE= ，ME=b-a ∴ 故 11．（24-25八年级上·上海·期中）如图，轴于点A，点B在y轴的正半轴上，，点D为线段与反比例函数图象的交点，若直线将面积分成的两部分，则k的值为_________． 【答案】或 【详解】解：连接， ∵直线将面积分成的两部分， ∴点D是线段的三等分点， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴； 故答案为：或． 12.如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，， ； （2）设点，则， ． 13．（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 14.如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 15．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：（1）∵轴，B（1，2）， ∴当x＝1时，y＝1， 即C（1，1）， ∵轴， ∴当y＝2时，x＝， 即； （2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时， 设， 由（1）同理得， ∴S△ABC＝AB×BC＝； （3）解：延长BC交x轴于D点， ∵轴，轴，则∠ABC＝90°， ∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴CD⊥x轴， ∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上， ∴∠CB'O＝∠ABC＝90°， ∴CB'⊥OA， ∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA， ∴CD＝CB'， 在Rt△OCD和Rt△OCB'中， ， ∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL）， ∴， 由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝， ∴四边形OABC的面积为． 16.如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点， (1)求k的值； (2)当时，求直线OQ的解析式； (3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】(1)-20 (2)y=﹣x (3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0） 【详解】（1）解：∵，S△POM=，S△QOM=， ∴+4=14，解得， ∵k＜0， ∴k=﹣20； （2）∵，轴， ∴， ∴MO=MQ， 设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx， 把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1， ∴直线OQ的解析式为y=﹣x； （3）∵点Q（a，﹣a）在上， ∴，解得（负值舍去）， ∴点Q的坐标为，则， 若为等腰三角形，可分三种情况： ①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）； ②若QO=QN，则NO=2OM=， ∴点N的坐标是（，0）； ③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得， ∴点N的坐标是（，0）； 综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）． 17．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)点或 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， ∵，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得，解得：， ∴点． 综上所述，点或 18．（24-25八年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：（1）①当时，， 如图，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， 的面积为； ②如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 直线的表达式为，直线的表达式为， 设，则， 点是线段的中点， （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 点在直线上，则直线的解析式为 点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点， ， 当点在线段上时，过点作于点，如图， 则 ，， 点是的中点， 的纵坐标为 化简得，， ， 又点不与点重合， 此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $