北京市丰台区2025-2026学年第二学期综合练习(二) 高三数学

北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 姓名： 准考证号： 本试卷共7页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1.已知集合A={0,1},AUB={-1,0,1,2,则 (A)-1∈B (B)-1庄B (C)2∈A∩B (D)2年B 2复数子，的虚部是 (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 3.下列函数中，定义域和值域相同的是 (A)f(x)= (B)f(x)=Inlxl (C)f(x）=tanx (D)= 4.已知单位向量a,b满足Ia-bl=1,则a与b的夹角为 (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 5已知圆+少-2x-3=0的圆心为C,斜率为号的直线1与该圆相切且与：轴交于点A, 则IAC1= (A)3 (B)2 (C)23 (D)4 高三数学第1页（共7页） 6.在(1+)(x-1)的展开式中，的系数为 (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 x2y2 7.已知双曲线E:若-若=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,5,M为双曲线E右支上 一点，线段MF,与y轴交于点P,若|OP|=|OFI(0为坐标原点)，|MP|=|MF2l,则双 曲线E的离心率为 (A号 (B)2 (C)w3 (D)2 8.已知函数f代x)=asin+co2x(a>0),xe[0,2m],若fx)的最大值为号，则 (A)a=3,fx)有2个零点 (B)a=分，代x)有3个零点 (C)a=2,f(x)有2个零点 (D)a=2,f(x)有3个零点 9.已知定义域为R的函数f(x)满足Hx∈R,f(-x川=f(x)儿.若f(x)在区间[0，+∞)上 单调递增，则“f(x)在R上单调递增”是“f(x)是奇函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.已知曲线E:x+y-2x2-2y+1=0.下列结论正确的是 (A)曲线E上的任意一点P在圆(x-1)2+(y-1)2=1的内部 (B)曲线E上的任意一点P在圆(x-1)2+(y-1)2=1的外部 (C)曲线E上存在点P,使1OP1≤号 (D)曲线E上存在点P,使IOPI≥2 高三数学第2页（共7页） 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1.不等式2<的解集是 12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S,S2,S4成等差数列，a1=1,则S,= 13.已知函数fx)=2sim(wx+p)(w>0,|p|<7)的部分图象如图所示，则w= 若将函数()的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，请写出y=8(x)的图 象的一条对称轴方程： 5π 12 12 -2 14.随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管 y个 理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直 角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能 向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的 格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单 01234x 位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单 位.该机器人从0(0,0)出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达 P(2,2),则它的总能耗为 个单位；再从P(2,2)出发运动到Q(100,100),那么 它从P到Q的所有路径中，总能耗的最小值为 个单位 15.已知P是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,表面及其内部的点，直线AP与直线CD所 成的角为45°，且BP=PC,给出下列四个结论： ①满足条件的点P有无数个； ②点P的轨迹是一段圆弧； ③线段BP长度的最大值为2； ④三楼锥P-BB,C体积的最大值为4-22 3 其中正确结论的序号是 高三数学第3页（共7页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2=√5aC. (I)求∠B; (Ⅱ)若a=4√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在，求AC边上的高 条件①：b=5; 条件②：sin(A-C)=1; 条件③：BA.B元=24. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 17.(本小题14分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,E为AB,的中点，直线 A,C,交平面BCE于点F (I)求证：F为A,C,的中点； (若M是校C,宁点，且直线M与平面BE所成角的正弦值为令，求的值， 高三数学第4页（共7页） 18.(本小题13分) 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通 过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表 综合得分 频数 频率 [0,30) e b [30,60) 60 0.6 [60,100] 30 (I)求n,b的值； (Ⅱ)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为[30,60)和[60,100]的员工中抽取6人 若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设X为选取的2名员工中综合得分不低于 60分的人数，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员 工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后综合得分在 [0,30)的员工人均综合得分提高5分，综合得分在[30,60)的员工人均综合得 分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？'（结论 不要求证明) 高三数学第5页（共7页） 19.（本小题15分) y2 知椭圆+1α>>0)的离心率为号，以椭圆的焦点和短轴顶点 四边形是边长为2的菱形. (I)求椭圆E的标准方程； (Ⅱ)已知A为椭圆E的左顶点，M,N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满 足直线AM与直线AW的斜率之积为子求证：直线MW过定点， 20.(本小题15分) 已知函数f(x)=(x-1)lnx+ax2,f'(x)是f(x)的导函数. (I)若f'(1)-f(1)=1,求a的值； (Ⅱ)若f'(x)存在最大值，求a的取值范围； (Ⅲ)设f'(x)在x=1处取得最大值.直线l是曲线y=f(x)在点P(t,t))(t>1)处的切 线，且与y轴交于点Q,0为坐标原点.是否存在点P,使△0PQ的面积为？若存在， 求t的值；若不存在，说明理由， 高三数学第6页（共7页） 21.(本小题15分) 已知无穷正整数数列{an},满足：①a,<an+1(n∈N·);②对于任意正整数n,都有 a=a1+a2+…+a。,则称数列{a}具有性质平. (I)判断下列无穷数列，是否具有性质业.， ①an=2n-1;②bn=2" (Ⅱ)对于任意具有性质业的数列{cn},记d:=c:-2i+1(ieN). 求证：(d,+d2+…+de,-1)2=d飞，（neN); (Ⅲ)若数列{an}具有性质业，证明：集合M={i∈N·|a:=2i-1}是无限集 高三数学第7页（共7页）北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案 、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A B A B D D B B c 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.(-0,-2) 12.3 13.2:x=0(答案不唯一). 14.9:441 15.①③④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 解：(I)根据余弦定理a2+c2-=2 accoB,可得cosB-a+c2-b 2ac 因为a2+c2-b2=3ac,所以cosB= 2 因为B∈(0，)， 所以8=若 (Ⅱ)选择条件②，因为sin(4-C)=l,-红<A-C< 6 6 所以A-C= 2 因为B=元，所以A+C=红，所以A=2年，C= 6 6 3 6 由正弦定理4。b c sinA sin B sinC 可得b=c=8×二=4， 2 设4C边上的高为h,又因为S=esin=45, 所以h=2=25. 选择条件③， 因为8-BC=24,所以aco6B=5×4c=24, 2 所以c=4, 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 可得b2=16,所以b=4 高三数学参考答案 第1页（共6页 设4C边上的商为h,又因为S=csmB=45, 所以h=25=25. 17.(本小题14分) (I)证明：在直三棱柱ABC-AB,C中， 因为平面ABC∥平面A,B,C,平面ABC∩平面EBC=BC, 平面AB,C∩平面EBC=EF, 所以EFIBC, 因为BCIlB C,所以EF∥BC, 又因为E为AB的中点， 所以F为AC的中点. (Ⅱ)解：在直三棱柱ABC-AB,C中， 因为AB⊥AC,所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(2,0,0)，C0,2,0),E1,0,2), 所以BC=(-2,2,0),BE=(-1,0,2). 设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量， 则mBC=0,所以-2x+2y0所以任= n.BE=0,-x+2z=0, lx=2z. 令x=2,得y=2,z=1,则n=(2,2,1) 设M(0,2,m),m∈[0,2]，则M=(0,2,m), 设直线AM与平面BCE所成的角为O,则 sin=cos<AM,n> AM,nL。m+4L=5 |Mn3Vm2+43 解得m=1, 所以C41 CC2 18.(本小题13分) 解：（I)依题意可得，0.6n=60,即n=100. 高三数学参考答案 第2页（共6页） 所以a=1-60-30=10,b=71总0=-01， (Ⅱ)采用按比例分层抽样的方法从综合得分为[30,60)和[60,100]的员工中抽取6人， 其中综合得分为[B0,60的员工人数为6×60。=4，综合得分为[60,10]的员工 60+30 人数为6× 30 =2 60+30 依题意可得，X的所有可能取值为0,1,2. 所以X的分布列为： X 0 1 2 2-5 15 15 E00=0*子+1号 5 8+2* (Ⅲ)方案二 19.(本小题15分) a 2 a=2, (I)解：由已知得 √+c=2, 解得 c=5, a2=b2+c2 b=1. 所以椭圆E的标准方程为4+少=1. (I)证明：若直线MN与x轴不相交，设M(←m,Nm,m≠0)，且m +n2=1, 4 则直线AM,AW的斜率之积为”一·n 、21m2 41 -m+2m+24-m=4-m=4' 与已知矛盾. 设直线MN与x轴交于点T(,O), 直线MN的方程为y=k(x-),k≠0， y=k(x-), 联立 1少2=1，，消丢y得(4k2+1)x2-8k2+4k22-4=0 高三数学参考答案第3页（共6页） 由题意得，△=64k4-16(4k2+10k2t2-1)>0, 即4k2-k22+1>0, 设M(x,y),N(x2,y2), 422-4 由电达定理得士五华打 由题意得A(-2,0), 所以片.五-5 x+22+24 即-.6-1_5 +2为+241 所以(4k2-5)x2-10+4k20(x+x)+422-20=0, 所以-器-0+404-20-0， 所以-24k2-42-20k1=0, 由k≠0，得-24-42-20t=0,即2+5t+6=0, 解得t=-2(舍去)或t=-3, 所以直线MN过定点T(-3,0). 20.（本小题15分) 解：(1)f句=nx+x-+2ax,所以f0=2a,又因为f0=a, 由题意f'0)-f①)=2a-a=1,所以a=1. (I)设g的=f份=hx+*-+2m,xe0,o, 则g0因-史+2a2 ,xe(0,+o∞). x2 ①当a≥0时，在(0，+∞)上g(x)>0, 故g(x)在(0，+∞)单调递增，无最大值： ②当a<0时，令g(x)=0, 得5=1+-8a<05=-1-8>0. 4a 4a 所以当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表： 高三数学参考答案 第4页（共6页） t (0x2) x (x2,+o0) g'(x) + 0 g(x) 7 极大值 所以当x=为2= -1--8时，g()有最大值 4a 综上，a的取值范围是(oo,0) (m)由()知，1-1-8-1，整理得ad+a=0解得a=-1或0（舍， Aa 所以a=-1, 此时f因=c-hx-,所以f=nx-1-2x+1, 所以直线1：y-t-0ht+2=at-}-2r+1x-), 令x=0得y=e-0nt-2-tmt--2r+l)=-nt+2-t+1, 所以0，-lnt+2-t+), △0P2的面积为Sae=-lnt+f-i+1非2(-h+f-t+川， h(t)=t(-Int+t2-t+D),tE(I+oo), h'(t)=-Int+3t2-2t,tE(L,+oo). 令m0=0,则m0=6-21- te0,+oo)时，62-2t-1=32+24t-1)+(2-1)>0, 所以m0=6-24>0, 所以m()=h(④在(L,+o∞)内单调递增， 故h()>h'0⑩=1>0， 所以h()在(L,+∞)内单调递增，故h()>h)=1. 由此可知Saem40分所以不存在符合条件的点P使Sam 、1 21.(本小题15分) 解：(I)①具有；②不具有。 ()由数列{c,}具有性质平，得c=G+G2++c, 高三数学参考答案 第5页（共6页） 因此d+d2+…+d。=(%+c2+…+c)-[1+3+…+(2c.-] -ci-[+(2c.-DJe. 2 =0. 所以d+d2+…+d=-d。n, 所以(d+d2+…+d-)2=d (Ⅲ)设数列{e,}满足e,=a,-(2n-),neN. 由题知a,<a1(teN),得e+(2i-1)<e1+(2i+1),即e1-g>-2, 假设{e}中满足e,=0的项数有限，则存在正整数k,使得当m>k时，em≠0， 即当m>k时，em>0或en<0. ①若满足en>0的项数有限，则存在正整数11≥k),使得当m>1时，m<0, 由（Ⅱ）可知g+g2+…+e=0(n∈N)恒成立，(*) 设S=g+e2+…+%, 由于当m>1时，en<0, 又en=an-(2m-1)是整数，有en≤-1， 所以T=(g+e2++e)+(%1+e42+…+e4s+i)≤S+(-10S|+l)≤-1， 所以对满足an≥l+S+1的正整数n,g+62++e<0,与（(*)矛盾. ②若满足em<0的项数有限，同理可得矛盾。 ③由①②可知，{，}中有无穷多项满足en>0,且有无穷多项满足en<0, 因此，存在正整数i,j>j>),使得e>0且e<0, 因此，存在正整数1>1≥)，使得e>0,且e1<0,即e≥1且e1≤-1， 于是1-g≤-2，与941-g>-2矛盾， 所以数列{e}中有无穷多项为0. 即集合M={eN|a,=2i-1}是无限集。 高三数学参考答案 第6页（共6