海南海口华中学校2025-2026学年高三下学期5月检测数学试题

**基本信息** 高三数学5月检测卷梯度设计合理，融合圆台制作（6题）、亚运会乒乓球比赛（19题）等真实情境，考查数学建模与创新思维，适配高三复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|中位数、复数、圆与直线等|第5题结合等比数列考圆上点到直线距离，体现知识交汇| |多选|3|线性回归、解三角形、等比数列|第9题通过销量数据考查回归分析，培养数据观念| |填空|3|向量、排列组合、新定义数列|第14题“乱序元”新定义，检测创新意识| |解答题|5|三角函数、双曲线、立体几何、导数、概率统计|第19题以亚运比赛为背景，考查概率应用与逻辑推理|

海南省海口华中学校2025-2026学年第二学期高三数学5月检测试题 一、单选题 1．若有一组数据为1，5，3，2，11，9，12，20，则该组数据的中位数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由中位数的定义求解即可. 【详解】从小到大排列为1，2，3，5，9，11，12，20，故中位数为． 故选：C． 2．若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法运算法则结合共轭复数的概念、复数的概念计算即可. 【详解】由题得，， ，其虚部为，D正确. 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解指数不等式得到，根据交集的概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 4．若点关于x轴的对称点为，则的一个取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于轴的对称的性质列式，利用两角和的正弦余弦展开公式化简，求出，结合正切函数的图象与性质求解即可. 【详解】点关于x轴对称，则横坐标相等纵坐标互为相反数， 所以，即，即， 所以，， 当时，，所以的一个取值为， 故选：C. 5．已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】要使圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之比大于等于4，由此建立不等式求的最小值. 【详解】设圆上三点到直线的距离分别为， 圆心到直线的距离为， 若直线与圆相切或相交，此时可以取非常小的正数， 则必存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列； 若直线与圆相离，即， 则圆上任意一点到直线的距离位于， 若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列， 则需，得， 则的最小值为. 故选：C 6．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 7．在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（    ） A．或7 B．2或7 C．或14 D．2或14 【答案】D 【分析】利用二项式定理的通项公式先求，再由等差中项即可求解. 【详解】令，得，由， 所以，， 因为成等差数列，所以， 所以，所以，即， 解得或. 8．已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、多选题 9．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 【答案】ABD 【分析】求出样本中心点，进而求出经验回归方程，再逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得变量x，y正相关，A正确； 对于B，， 因此，B正确； 对于C，，当时，（百台），C错误； 对于D，当时，，残差为，D正确. 10．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 【答案】AC 【分析】通过正弦定理对已知条件进行转化，再结合三角函数的性质求出三角形的内角，进而求出三角形的面积和周长. 【详解】由正弦定理，知， 又，则， 将代入，得， ， 又，当且仅当时，等号成立． 因为为三角形的内角，所以， 可得，故A正确，B错误． 又由正弦定理知，则三角形的面积，周长为，故C正确，D错误． 故选：AC 11．设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．有最大值 D．数列是公差为lg2的等差数列 【答案】ABD 【分析】结合等比数列的下标和性质解方程得，进而求得判断A；求解等比数列的首项，结合求和公式求解得，再根据等比数列定义判断B；根据直接判断C；求解通项公式，结合等差数列定义判断D. 【详解】对于A，在等比数列中，，或， ，，∴，故选项A正确； 对于B，由得，， 数列是等比数列，故选项B正确； 对于C，，则，无最大值，故选项C错误； 对于D，， ，故选项D正确. 三、填空题 12．已知向量，，若，则_______. 【答案】 【分析】根据向量平行得到方程，求出，从而得到，利用模长公式求出答案. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以. 故答案为： 13．六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将看成一个整体，与除外的两人进行排列，形成了四个空， 再将插入这四个空中， 所以所有不同排法有种. 故答案为：. 14．定义为实数，，的乱序元.若正项数列满足，，其任意相邻三项的乱序元为6，则数列的前2025项和为__________. 【答案】2925 【分析】由题意建立方程，求得数列的周期性，可得答案. 【详解】由题干知，于是， 两式相减，得到.由知. 而，得到，， 于是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最大值及取得最大值时x的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)最大值为，此时 (2) 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由，求得，利用三角函数的基本关系式，得到，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，即时，函数取得最大值； （2）解：由函数， 因为，可得， 可得， 又因为，可得， 则. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 17．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 18．设函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简即可； （2）令，将恒成立问题转化为恒成立，求导，利用导数研究的单调性，然后求得，进一步构造函数，利用导数研究其单调性，求出的m范围，即可证明. 【详解】（1）由题意，所以切线斜率， 又，所以函数在处的切线方程为，即； （2）令，则， 所以恒成立等价于恒成立，， 当，则在上单调递增，而，不符合题意. 当，由得， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 令，则，又由得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 而，，所以， 所以m的最大值与最小值之差大于. 19．2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率． (1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2). 【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可； （2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论. 【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能值为， ，， 的分布列如下， 2 3 所以. （2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则， 甲最终获胜的概率为， 采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则， 甲最终获胜的概率为 ， 则 ，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口华中学校2025-2026学年第二学期高三数学5月检测试题 一、单选题 1．若有一组数据为1，5，3，2，11，9，12，20，则该组数据的中位数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 4．若点关于x轴的对称点为，则的一个取值为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆和直线，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 7．在二项展开式中，前三项的系数成等差数列，则实数的值是（    ） A．或7 B．2或7 C．或14 D．2或14 8．已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 10．已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．为等腰三角形 B． C．的面积是 D．的周长是 11．设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．有最大值 D．数列是公差为lg2的等差数列 三、填空题 12．已知向量，，若，则_______. 13．六人排队，要求两人相邻，两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答） 14．定义为实数，，的乱序元.若正项数列满足，，其任意相邻三项的乱序元为6，则数列的前2025项和为__________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最大值及取得最大值时x的值； (2)若，求的值． 16．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 17．如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．设函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于. 19．2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率． (1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $