精品解析：山西晋中市介休市2025—2026学年第二学期期中质量评估试题（卷） 七年级数学

山西晋中市介休市2025-2026学年第二学期期中质量评估试题（卷）七年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2026 D. 2025 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ . 2. 为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的定义，平角的定义，进行计算即可. 【详解】解：由题意，，为， ∴. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和多项式除以单项式的运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B．，计算错误，故B选项不符合题意； C．，计算正确，故C选项符合题意； D．，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方和多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 4. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点A，B，C，D处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者最近，会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，进行判断即可. 【详解】解：由题意，其中蕴含的数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 5. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域．纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝．已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】25纳米米 ． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 6. 某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下： 试验种子粒数 100 400 600 1000 2000 3000 发芽种子粒数 96 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在某个常数附近，由此数据可估计绿豆发芽的概率为（ ） A. 0.960 B. 0.948 C. 0.950 D. 0.955 【答案】C 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，观察大量试验后频率的稳定值即可估计概率． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近， ∴由表格可知，随着试验种子粒数增加，绿豆发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴可估计绿豆发芽的概率为． 7. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其依据是同位角相等，两直线平行． 故选：C． 8. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法公式展开各选项，对比等式两边即可判断变形是否正确. 【详解】解：对A选项，，A变形错误； 对B选项，，与等式右边相等，B变形正确； 对C选项，，C变形错误； 对D选项，，D变形错误. 9. 某校七年级计划组织“研学之旅”活动，准备从安泰工业园、张壁古堡、介休文体中心三个地点中随机选择一个，每个地点被选中的可能性相同，则选中张壁古堡的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，选中张壁古堡的概率为. 10. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. “二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“不可能”“随机”或“必然”）． 【答案】 随机 【解析】 【详解】解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，是随机事件. 13. 如图所示，某项目化学习小组制作的一艘航模船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，方向角的表示方法，进行计算即可. 【详解】解：如图，由题意，， ∴. 14. 三角形的面积是，高为，它的底边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，以及多项式除以单项式的法则进行计算即可. 【详解】解：由题意，三角形的底边长为. 15. 如图所示为一根弯折的铁丝，，工人师傅准备对该铁丝进一步加工，在上的点处进行弯折，欲使弯折后，那么弯折后的度数为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．分两种情况：当点C在点D的左侧时，当点C在点D的右侧时，分别画出图形，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：当点C在点D的左侧时，如图所示： ∵，， ∴； 当点C在点D的右侧时，如图所示： ∵，， ∴； 综上分析可知：的度数为：或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 计算及化简求值： （1）利用乘法公式简便计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）1 （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 当时，原式. 18. 阅读下列推理过程，并完成任务： 如图，已知．试说明． 解：（已知）， ① （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （平角的定义）， （依据1 ）， ② （等量代换）， （依据2 ）． 任务： （1）将上述推理过程补充完整． ①： ． ②： ． （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”： ． “依据2”： ． 【答案】（1）①；② （2）同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，等量代换，进行作答即可； （2）根据同角的补角相等，以及内错角相等，两直线平行进行作答即可. 【小问1详解】 解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （平角的定义）， （同角的补角相等）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故①；②； 【小问2详解】 解：“依据1”：同角的补角相等； “依据2”：内错角相等，两直线平行. 19. 春天来了，又到了放风筝的好时节．如图是小明绘制的风筝骨架示意图，他发现在风筝的制作过程中用到了许多的数学知识．例如风筝的骨架构成了许多角，这些角之间有着特殊关系． （1）试飞后，他想进一步加强骨架的牢固性，准备过上的点处固定一根平行于的竹条，交于点，请你在图中利用尺规帮助小明作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）小明观察风筝骨架的特点并提出了以下数学问题：在（1）的基础上，测得，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）以点M为顶点，为角的一条边，在上面作，根据内错角相等，两直线平行，可得； （2）根据平行线的性质得出，根据邻补角得出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 20. 阅读与思考 下面是“奋进小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 任意五个连续整数的平方和 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“奋进小组”开展了以下探究活动． 问题：任意五个连续整数的平方和是否一定能被5整除？． 初步探究： 进行特例探究，选择五个具体的数字进行验证．如选，发现能够被5整除． 继续取几组连续整数进行验证，发现它们的平方和都能被5整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设5个连续整数的中间一个为，进行如下验证： … 任务： （1）请你按“奋进小组”的思路完成以上结论的验证； （2）进一步探究：任意三个连续整数的平方和是否一定能被3整除？若能，请写出理由；若不能请探究任意三个连续整数的平方和被3除的余数是多少． 【答案】（1）见解析 （2）不能，2 【解析】 【分析】（1）根据“奋进小组”的思路，确定连续的5个整数，利用完全平方公式展开后进行判断即可； （2）设3个连续整数的中间一个为，求出三个连续整数的平方和，进行判断即可. 【小问1详解】 解：设5个连续整数的中间一个为，则其余四个整数分别为， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数， ∴能被5整除， 即任意五个连续整数的平方和一定能被5整除； 【小问2详解】 解：不能， 设3个连续整数的中间一个为，则其余两个整数分别为， ∴ ； ∵不能被3整除， ∴任意三个连续整数的平方和不能被3整除， ∵能被3整除，； ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 21. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； （2）任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； （3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）本游戏规则不公平，见解析 【解析】 【分析】（1）先计算标数字6的面数为：，总面数为20 ，根据简单的概率公式计算解答即可； （2）先计算3的倍数的数有个，根据简单的概率公式计算解答即可； （3）计算奇数的个数个，偶数个数为个，计算概率，比大小解答即可． 本题考查了简单的概率公式计算概率，游戏的公平性，熟练掌握概率计算，正确掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6” ∴标有“6”的面数为面， ∴掷出“6”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， 故3的倍数的数的面有个， ∴掷出“3的倍数”的概率是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， 故奇数的个数个，偶数个数为个， ∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大， 故本游戏规则不公平． 22. 综合与探究 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻“算两次”原理的奥秘． （1）任务1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式 ． （2）任务2：观察图2，探究用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请写出这个等式，并运用你所得到的等式，类比计算：若m、n为有理数，且，试求的值． （3）任务3：如图3，点是线段上的一点，以为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和加上2个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，列出等式，再进行计算即可； （3）设，根据完全平方公式变形计算即可. 【小问1详解】 解：由图可得； 【小问2详解】 解：由图可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， 由题意，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积. 23. 综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： （1）将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； （2）如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： （3）如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西晋中市介休市2025-2026学年第二学期期中质量评估试题（卷）七年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 2026 D. 2025 2. 为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点A，B，C，D处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者最近，会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 5. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域．纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝．已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下： 试验种子粒数 100 400 600 1000 2000 3000 发芽种子粒数 96 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在某个常数附近，由此数据可估计绿豆发芽的概率为（ ） A. 0.960 B. 0.948 C. 0.950 D. 0.955 7. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 8. 下列从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某校七年级计划组织“研学之旅”活动，准备从安泰工业园、张壁古堡、介休文体中心三个地点中随机选择一个，每个地点被选中的可能性相同，则选中张壁古堡的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. “二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“不可能”“随机”或“必然”）． 13. 如图所示，某项目化学习小组制作的一艘航模船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则等于__________． 14. 三角形的面积是，高为，它的底边长为__________． 15. 如图所示为一根弯折的铁丝，，工人师傅准备对该铁丝进一步加工，在上的点处进行弯折，欲使弯折后，那么弯折后的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2）． 17. 计算及化简求值： （1）利用乘法公式简便计算： （2）先化简，再求值：，其中 18. 阅读下列推理过程，并完成任务： 如图，已知．试说明． 解：（已知）， ① （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （平角的定义）， （依据1 ）， ② （等量代换）， （依据2 ）． 任务： （1）将上述推理过程补充完整． ①： ． ②： ． （2）上述解答过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ “依据1”： ． “依据2”： ． 19. 春天来了，又到了放风筝的好时节．如图是小明绘制的风筝骨架示意图，他发现在风筝的制作过程中用到了许多的数学知识．例如风筝的骨架构成了许多角，这些角之间有着特殊关系． （1）试飞后，他想进一步加强骨架的牢固性，准备过上的点处固定一根平行于的竹条，交于点，请你在图中利用尺规帮助小明作出线段（保留作图痕迹，不写作法）； （2）小明观察风筝骨架的特点并提出了以下数学问题：在（1）的基础上，测得，求的度数． 20. 阅读与思考 下面是“奋进小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务． 任意五个连续整数的平方和 学习了第一章《整式的乘除》后，我们“奋进小组”开展了以下探究活动． 问题：任意五个连续整数的平方和是否一定能被5整除？． 初步探究： 进行特例探究，选择五个具体的数字进行验证．如选，发现能够被5整除． 继续取几组连续整数进行验证，发现它们的平方和都能被5整除． 深入探究： 探究结论的一般性．设5个连续整数的中间一个为，进行如下验证： … 任务： （1）请你按“奋进小组”的思路完成以上结论的验证； （2）进一步探究：任意三个连续整数的平方和是否一定能被3整除？若能，请写出理由；若不能请探究任意三个连续整数的平方和被3除的余数是多少． 21. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出面标有“6”的概率是 ； （2）任意掷这枚骰子，掷出面标有“3的倍数”的概率是 ； （3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 22. 综合与探究 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻“算两次”原理的奥秘． （1）任务1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式 ． （2）任务2：观察图2，探究用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请写出这个等式，并运用你所得到的等式，类比计算：若m、n为有理数，且，试求的值． （3）任务3：如图3，点是线段上的一点，以为边向两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 23. 综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： （1）将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； （2）如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： （3）如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $