湖南邵阳市邵东市振华中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 注重基础与能力梯度，融合现实情境（如解放碑高度测量）与文化传承（海伦公式、秦九韶算法），适配高一数学期中核心知识检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、解三角形、向量、立体几何|单选基础巩固（如复数象限判断），多选综合应用（如圆台性质辨析）| |填空题|3/15|解三角形、圆台外接球、测量问题|14题结合生活情境考查仰角应用，体现数学眼光| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明与距离、解三角形、面积公式推广|19题递进式探究面积公式推广，融合文化与创新思维；18题四棱锥证明与夹角计算，突出逻辑推理|

邵东市振华中学2026上学期高一数学期中考试参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C B D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．. 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得， 因为，所以.=1（6分） （2）， 因为，所以，（9分） 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为.（15分） 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再结合，即可求证； （2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 17．（15分） 【解析】（1）在中，， 由余弦定理，可得.（3分） （2）由（1）知：， 因为，所以，所以. 在中，，（6分） 由正弦定理，可得.（9分） （3）在中，， 所以，（12分） 在中，由正弦定理， 可得， 所以.（15分） 18．（17分）3．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； （2）因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； （3）由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 19．（17分）(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）按比例设边，算半周长，用海伦公式得面积含表达式，由已知面积求，进而求得大于60°的角所对的边长. （2）用面积与、关系及海伦公式得表达式，换元后用均值不等式证明. （3）在两个三角形用余弦定理得等式①，算四边形面积得等式②，①②平方相加，用三角函数性质和不等式推导，结合半周长得面积最大值及取等条件. 【详解】（1）已知，设，，，， 半周长. 根据海伦公式，把值代入得. 又已知面积为，即，解得， 因为，所以，故， 所以所求边. （2）由，，结合， 可得. 设，，，则. 根据均值不等式，，， 所以， 即，当即时等号成立. （3）连结BD，在、中对BD算两次， 用余弦定理得， 化简得①式. 四边形面积， 化简得②式. 将①、②平方相加，利用及不等式， 得到， 故. 即 因为，所以， 当，即四边形是圆内接四边形时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $邵东市振华中学2026年上学期高一数学期中考试试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知分别为三个内角所对的边，若，则（     ） A． B． C．或 D． 3．已知向量，，，则m的值为（     ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 4．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（     ） A．1 B． C． D．2 5．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则三角形的形状为（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是（     ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 10．如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 11．对于有如下命题，其中正确的是（     ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，若，则___. 13．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为 ， 则该圆台的外接球表面积为__________． 14．解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 16．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 17．（15分）如图，在中，已知，是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的长. 18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 19.我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题. (1)已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长； (2)三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：； (3)试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $