7.4.2超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 温州科技高级中学 张明 分布列的概念： 复习引入 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值()地概率P(X=)=,以表格地形式表示如下： X P 以上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列。有时为了表达简单，也用等式P(X=)=,表示X的分布列。 讲课人：邢启强 2.二项分布 X 0 1 k n P 1.n重伯努利试验 复习引入 3.如果X 那么E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 讲课人：邢启强 问题. 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求:随机变量X的分布列. 如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08 且各次抽样的结果相互独立,此时X~B(4,0.08). 如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是否服从二项分布? 如果不服从，那么X的分布列是什么? 讲课人：邢启强 例3.在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 从100件产品中任取3件，其中恰有K件次品的结果为 那么从100件产品中任取3件，其中恰好有K件次品的概率为 规律：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为 例题讲评 解：（1）从100件产品中任取3件结果数为 反思：m=minn死记硬背吗？ 1、根据实际意义。 2、由组合数的定义，比如由得 P(X=k)= P(X=k)= 其中nN，n,M,N 讲课人：邢启强 学习新知 超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 1.公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列. 3. “任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式. 4.各对应的概率和必须为1. 讲课人：邢启强 上式需要死记硬背吗？ 答：根据组合数定义，由k由n由， 由若n-N+m>0,则m=n-N+m 若n-N+mm=0。 【注意】超几何分布的注意问题 （1）“由较明显的两部分组成”，如“男生、女生”，“正品、次品”； （2）不放回抽样； （3）注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围。 其中n,N,M,M,n,m=max,r=min 讲课人：邢启强 为了更加深刻的理解m=max什么意思？我们举特殊简单的例子。 让总产品N=100,取M=4件次品,抽取n=94或98件。则n-N+M=-3或n-N+M=2。这时m=0或m=2。m=2说明必须抽2件次品，因为正品只有96件,而你要抽98件。所以k=2、3、4。==4吻合。 讲课人：邢启强 解: 例1.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50,M=1,n=5, 因此甲被选中的概率为 例题讲评 注：教材解法是记住公式然后去套。这样学数学不好。我们要理解知识的本质，知道知识的来龙去脉、发生发展过程。 讲课人：邢启强 解: 另解: 例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 例题讲评 设抽取的10个零件中不合格品数为𝑋,则𝑋服从超几何分布,且𝑁=30,𝑀=3,𝑛=10, 𝑋的分布列为 至少有1件不合格的概率为 𝑃(𝑋≥1)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)+𝑃(𝑋=3) 𝑃(𝑋≥1)=1−𝑃(X=0)= 讲课人：邢启强 探究: 服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 讲课人：邢启强 组合数学不属于任何一门传统数学分支，数学家不是对他不屑一顾，就是望而却步。法国组合数学家贝尔热（C·Berge）曾这样挖苦道:“数学家形成一个习惯，遇到一个组合问题便说‘这是个纯粹的组合问题’，‘这是个困难的组合问题’。念了这两句话好像使他们不受良心的责备而推卸责任，把工作任务转嫁道别人身上。” 摘自：《数学的魅力一一初等数学概念演绎》（罗声雄 著） 讲课人：邢启强 超几何分布的均值 若X服从超几何分布, 学习新知 则D(X)＝ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 讲课人：邢启强 解: 例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. (1)对于有放回摸球,由题意知𝑋~𝐵(20,0.4),𝑋的分布列为 对于不放回摸球,由题意知𝑋服从超几何分布，𝑋的分布列为 同学们，学习数学要防止自己生搬硬套。此题如果是记住公式然后套一下，你学习会很吃力。我们要理解超几何分布的意义，知道怎样？还要知道为什么是这样？ 讲课人：邢启强 例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 分析(2):“用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1的概率.”是什么意思？ 答：设样本中黄球的比列。X=0,1,2,。误差不超过0.1即X取哪些值时。 0.4是总体黄球比例。样本中黄球比例与总体黄球比例的误差。 因为所有的概率值加起来等于1，且概率从0到1刚好是一个单位，所以满足的X那几项概率加起来就是误差不超过0.1的概率，概率值越大，则可能性越大。 讲课人：邢启强 例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解(2) 采用不放回摸球估算的结果更可靠些 讲课人：邢启强 0.05 0 0.10 0.15 0.20 0.25 两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布. 这两种分布的均值相等都等于8. 但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近. 当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小. 此时，超几何分布可以用二项分布近似. 讲课人：邢启强 二项分布与超几何分布区别和联系 1.区别 一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样, 而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 2.联系 当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布. 学习新知 讲课人：邢启强 课堂小结 2.超几何分布的均值 1.超几何分布 3.为什么被称为超几何分布？ 因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。 讲课人：邢启强 $