精品解析：吉林省长春市宽城区实验学校2025- 2026学年下学期七年级数学期中试题

长春市宽城区实验学校七年级期中大练习数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是( ) A. 2x＝1 B. C. 2x－y＝5 D. ＋1＝2x 【答案】A 【解析】 【分析】依据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：A.2x＝1是一元一次方程，故A符合题意； B.不是整式方程，故B不符合题意； C.2x－y＝5是二元一次方程，故C不符合题意； D.＋1＝2x是一元二次方程，故D符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的概念是解题的关键． 2. 二元一次方程组的解是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②得：3x=6，即x=2， 把x=2代入①得：y=0， 则方程组的解为， 故答案选B. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断选项即可，不等式两边加或减同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A．不等式两边同时减2，不等号方向不变，得，故A错误； B．不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，得，故B错误； C．不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，当时，满足 ， ， ，即，故C错误； D．不等式两边同时除以4，不等号方向不变，得，故D正确． 4. 方程，去分母后正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质方程两边都乘以12去分母即可． 【详解】解： +1=， 去分母得：3（x+2）+12=4x， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的变形，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 5. 由方程组可得出x与y的关系是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组－加减消元法，先把方程组化为的形式，再把两式相加即可得到关于x、y的关系式． 【详解】解：原方程可变形为 得， 故选C． 6. 某机器零件的设计图纸如图所示，在数轴上表示该零件长度（L）合格尺寸，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】L=10±0.2表示的意思是零件的长度与标准值10的差距在0.2或以内都是合格的． 【详解】L=10±0.2表示长度大于10-0.2=9.8，并且小于10+0.2=10.2的范围内的零件都是合格的． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7. 某文具店一本练习本和一支中性笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支中性笔，共花了40元．若设练习本每本为x元，中性笔每支为y元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等量关系“一本练习本和一支中性笔的单价合计为3元”，“20本练习本的总价+10支中性笔的总价=40”，列方程组求解即可． 【详解】设练习本每本为x元，中性笔每支为y元， 根据单价的等量关系可得方程为x+y=3， 根据总价40得到的方程为20x+10y=40， 所以可列方程为：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键． 8. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车x辆，则列出的不等式为( ) A. 15x>20(x+6) B. 15(x+6)>20x C. 15x>20(x-6) D. 15(x-6)>20x 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意可得改进生产工艺后，每天生产汽车（x+6）辆，根据关键描述语：现在15天的产量就超过了原来20天的产量列出不等式即可． 【详解】设原来每天最多能生产x辆， 由题意得：15（x+6）＞20x， 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住关键描述语． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 如果x=6是方程2x+3a=0的解，那么a的值是_____． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：把x=6代入方程2x+3a=0得， 12+3a=0， 解得：a=﹣4， 故答案为：-4 10. x的3倍与5的和不大于8，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出x的3倍，再表示出与5的和，最后根据和不大于8可得不等式． 【详解】根据题意可列不等式：3x+5≤8． 故答案为3x+5≤8． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 11. 若方程，用含的代数式表示，则=____． 【答案】 【解析】 【分析】要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到等式的右边，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题关键是把方程中含有x的项和常数项移到等式的右边，再把y的系数化为1． 12. 不等式的负整数解的和是____． 【答案】-3 【解析】 【分析】先移项再系数化为1即可解不等式，再取负整数的解进行相加即可得到答案． 【详解】解： 移项得到： 系数化为1得到： ∴负整数解有：-2、-1 ∴负整数解得和为：(-2)+(-1)= -3 故答案为：-3 【点睛】本题主要考查了解不等式以及整数的定义，掌握解不等式的步骤值解题的关键． 13. 一个书包的标价为110元，按8折出售仍可获利10%，则该书包的进价为____元． 【答案】80 【解析】 【分析】设该书包的进价为x元，根据销售收入﹣成本＝利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该书包的进价为x元， 根据题意得：110×0.8﹣x＝10%x， 解得：x＝80． 答：该书包的进价为80元． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14. 如图，两个天平都平衡，则三个球体的质量等于____个正方体的质量． 【答案】5 【解析】 【分析】由图可知：2个球体的重量＝5个圆柱体的重量，2个正方体的重量＝3个圆柱体的重量．可设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程即可得出答案． 【详解】解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z． 根据等量关系列方程： 2x＝5y；2z＝3y， 即：6x＝15y；10z＝15y， 则：6x＝10z， 即：3x＝5z， 即三个球体的重量等于五个正方体的重量． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等式的性质．需利用等式的性质对根据已知得到的等式进行变形，从而找到最后的答案． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 16. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）得，求出y的值，将y的值代入求出x的值，进而求出z的值． 【小问1详解】 解： 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 所以该方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 将，代入得， 解得， 所以该方程组的解为． 17. 若方程组和方程组有相同的解，求a和b的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】先解方程组求出x，y的值，代入方程组，即可解答． 【详解】解：解：∵方程组和方程组有相同的解， ∴，解得， 代入其他两个方程，得， 解得 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示为： 19. 已知：和是关于、的二元一次方程的两组解． （1）求、的值． （2）当时，的值． 【答案】（1）k的值为2，b的值为-3； （2）7 【解析】 【分析】（1）将已知两组解代入二元一次方程中得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值； （2）由k与b的值确定出二元一次方程，将x=5代入即可求出对应y的值． 【小问1详解】 解：∵和是关于、的二元一次方程的两组解， ∴， 解得：， 即k的值为2，b的值为-3； 【小问2详解】 解：由（1）得：该二元一次方程为， 当时，． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值， 20. 列方程解应用题 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？ 【答案】21人,羊为150元 【解析】 【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价． 【详解】解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元钱， 则5x+45=7x+3， 解得x=21（人）， 5×21+45=150， 答：买羊人数为21人，羊价为150元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 21. 学校计划购买甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元，且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元 (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1200元，则最多可以购买甲种图书多少本？ 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元；(2)最多可购买甲种图书20本． 【解析】 【分析】（1）根据“甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元”以及“购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元”可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据“投入总经费不超过1200元”可以列出相应的不等式，从而可以求得甲种图书最多能购买多少本． 【详解】解：（1）设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意，得： 解得：． 答：甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元． （2）设最多可购买甲种图书m本，则购乙种图书（50﹣m）本，由题意，得： 30m+20×（50﹣m）≤1200 解得：m≤20． 答：最多可购买甲种图书20本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和一元一次不等式． 22. 先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______． ②若方程只有一个解，则的值为______． ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 【答案】（1）或 （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，去绝对值，解一元一次方程； （2）由可得时无解，时有一个解，时有两个解． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 解得； 当时，原方程可化为， 解得． 所以原方程的解是或． 【小问2详解】 解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 23. [教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容． 问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题： （1）两人合作需要__________天完成． （2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？ [拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬． 【答案】[教材改编]（1）2.4；（2）师傅和徒弟各分225元；[拓展]师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元． 【解析】 【分析】[教材改编]（1）用总工作量除以两人的工作效率之和，即可求解；（2）两人合作x天，根据题意，列出方程，即可求解； [拓展]先分别求出两人完成的工作量，可得两人完成工作量相同部分，再根据工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，即可求解． 【详解】[教材改编]解：（1）两人合作的天数为：天， 答：两人合作需要2.4天完成； （2）设两人合作x天，根据题意得： ， 解得：， ∴徒弟完成的工作量为，师傅完成的工作量为， ∴两人的工作量相同， ∴师傅和徒弟各分一半，即元， 答：师傅和徒弟各分225元； [拓展] 解：由（1）得：两人合作的时间为2.4天， 徒弟完成工作量的， 师傅完成工作量的， 两人完成工作量相同部分为， 徒弟所得报酬为元， ∴师傅所得报酬为元， 答：师傅所得报酬为306元，徒弟所得报酬为144元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 24. 已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完． （1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）共有两种租车方案：①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆；（3）最省钱的租车方案为租A型车2辆，B型车5辆，租车费用为800元． 【解析】 【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据题意和（1），得，然后根据a，b都是非负整数，从而可得到a，b的值； （3）分别计算出（2）中各个方案的费用，然后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）设1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货x吨，y吨． 根据题意，得， 解得 答：1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨． （2）根据题意和（1），得． ∵a．b均为非负整数， ∴或 ∴共有两种租车方案： ①租A型车6辆，B型车2辆；②租A型车2辆，B型车5辆． （3）方案①的租金为：6×100+2×120=840（元）． 方案②的租金为：2×100+5×120=800（元）． ∵840＞800， ∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意列出方程组是解题的关键． 25. 在长方形ABCD中，AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝8cm，点P从A点出发，沿A－B－C－D路线运动到D停止，点Q从D出发，沿D－C－B－A路线运动到A停止．若P、 Q同时出发，点P速度为1cm/s，点Q速度为2cm/s，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm/s，点Q速度变为3cm/s．设P、Q出发的时间为t秒． （1）P点到达终点的时间为_________秒． （2）出发几秒时CQ＝6cm？ （3）出发几秒时P、Q相遇？ （4）当t＝_______时点P和点Q在运动路线上相距的路程为25cm？ 【答案】（1）17 （2）2秒或秒 （3）8秒 （4）1或 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，可将动点问题抽象成路程中的相遇问题，找出等量关系列式即可，此题的难点在于6s 前后点P、Q的速度改变．（1）点P的运动时间要分两段求，因为6s 前后点P、Q的运动速度有所改变；（2）点Q与C的距离分为相遇前的距离和相遇后的距离来讨论；（3）先算出6s 时点P、Q所运动的路程，再用全程减去点P、Q所运动的总路程，剩下可抽象成路程中的相遇问题，时间等于相距的总路程除以速度和；（4）路程相距25要分三种情况讨论，一种是没相遇前，一种是相遇后，最后一种是点Q已经到达终点，点P还未到终点． 【小问1详解】 解：点P 6s所运动的路程为：cm； 点P的全程路程为：cm； ∴cm； ∵6s后点P的速度为：cm/s； ∴s； ∴P点到达终点的时间为：s； 故答案为：17． 【小问2详解】 当Q点与C点相遇前cm； 则Q点运动的路程为：cm； ∴s； 当Q点与C点相遇后cm； 则Q点运动的路程为：cm； Q点6s所运动的路程为：cm； Q点6s后运动的路程为：cm； ∴s； s； 综上所述，出发2秒或秒时cm． 【小问3详解】 6s前点P运动的路程为6cm，点Q运动的路程为12cm，全程为28cm； ∴6s时，点P、Q相距cm； ∴s； ∴s； ∴出发8秒时P、Q相遇． 【小问4详解】 点P、Q没相遇前； ； s； ∴P、Q没相遇前，1秒后相距25cm； 点P、Q相遇后； ∵P、Q用8s相遇； s； ∴s； ∵Q点到达终点的时间为：； ； ∴13不符合题意，舍去； 点Q到达终点，点P还未到终点前； s； s； ∴秒时P、Q相距25cm； 综上所述，当或时点P和点Q在运动路线上相距的路程为25cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市宽城区实验学校七年级期中大练习数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是( ) A. 2x＝1 B. C. 2x－y＝5 D. ＋1＝2x 2. 二元一次方程组的解是　　 A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程，去分母后正确的是（ ）. A. B. C. D. 5. 由方程组可得出x与y的关系是（　　）． A. B. C. D. 6. 某机器零件的设计图纸如图所示，在数轴上表示该零件长度（L）合格尺寸，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某文具店一本练习本和一支中性笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支中性笔，共花了40元．若设练习本每本为x元，中性笔每支为y元，则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就超过了原来20天的产量，设原来每天生产汽车x辆，则列出的不等式为( ) A. 15x>20(x+6) B. 15(x+6)>20x C. 15x>20(x-6) D. 15(x-6)>20x 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 如果x=6是方程2x+3a=0的解，那么a的值是_____． 10. x的3倍与5的和不大于8，用不等式表示为______． 11. 若方程，用含的代数式表示，则=____． 12. 不等式的负整数解的和是____． 13. 一个书包的标价为110元，按8折出售仍可获利10%，则该书包的进价为____元． 14. 如图，两个天平都平衡，则三个球体的质量等于____个正方体的质量． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 解方程组 （1） （2） 17. 若方程组和方程组有相同的解，求a和b的值． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 已知：和是关于、的二元一次方程的两组解． （1）求、的值． （2）当时，的值． 20. 列方程解应用题 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？ 21. 学校计划购买甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元，且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元 (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1200元，则最多可以购买甲种图书多少本？ 22. 先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． （1）解方程：． （2）已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是______． ②若方程只有一个解，则的值为______． ③若方程有两个解，则的取值范围是______． 23. [教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容． 问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题： （1）两人合作需要__________天完成． （2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？ [拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬． 24. 已知某物流公司租用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；租用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．该物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完． （1）问租用1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）为完成运输任务，且同时租用A型与B型两种车辆，请你帮该物流公司设计租车方案． （3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 25. 在长方形ABCD中，AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝8cm，点P从A点出发，沿A－B－C－D路线运动到D停止，点Q从D出发，沿D－C－B－A路线运动到A停止．若P、 Q同时出发，点P速度为1cm/s，点Q速度为2cm/s，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm/s，点Q速度变为3cm/s．设P、Q出发的时间为t秒． （1）P点到达终点的时间为_________秒． （2）出发几秒时CQ＝6cm？ （3）出发几秒时P、Q相遇？ （4）当t＝_______时点P和点Q在运动路线上相距的路程为25cm？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $