与圆有关的最值问题课件-2026届高三数学二轮专题复习

　与圆有关的最值问题 　　与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形中某边的长度、某图形的 面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决 此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化. 高中总复习·数学（创新版） 利用几何意义求最值 已知实数x，y满足（x－2）2＋y2＝4，下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为－ B. x＋y的最小值为－2 C. （x＋2）2＋（y＋3）2的最小值为5 D. 点（x，y）到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：如图，方程（x－2）2＋y2＝4表示以C（2，0） 为圆心，半径r＝2的圆.对于A， 表示点（－1，0） 与圆上的点（x，y）的连线的斜率，设过点（－1，0） 的直线的斜率为k，则y＝k（x＋1），即kx－y＋k＝ 0，所以圆心C到该直线的距离d1＝ ≤2，解得≤k≤ ，故A错误；对于B，令x＋y＝z，即x＋y－z＝0，直线x＋y－z＝0与圆必有交点，则圆心C到该直线的距离d2＝ ≤2，解得2－2 ≤z≤2＋ 高中总复习·数学（创新版） 2 ，即2－2 ≤x＋y≤2＋2 ，故x＋y的最小值为2－2 ，故B 错误；对于C，（x＋2）2＋（y＋3）2表示圆上的点（x，y）到A（－2，－3）的距离的平方，令圆上的点（x，y）到A（－2，－3）的距离为d3，因为｜AC｜＝ ＝5，所以｜AC｜－r≤d3≤｜AC｜＋r，即3≤d3≤7，所以9≤（x＋2）2＋（y＋3）2≤49，故C错误；对于D，因为直线y＝kx＋2恒过点D（0，2），又｜CD｜＝ ＝2 ，所以点（x，y）到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2 ，故D正确. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 （1）形如m＝ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； （2）形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； （3）形如m＝（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为两点间距 离的平方的最值问题. 高中总复习·数学（创新版） 利用对称性求最值 （2026·云南玉溪模拟）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0 上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值 是 ⁠. 2 高中总复习·数学（创新版） 解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0可转化为：（x－2）2＋（y－1）2＝5， 则圆心为C（2，1），半径r＝ .设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B 的坐标为（a，b），则 ∴a＝－4，b＝－2，∴B （－4，－2），∴｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是｜BC｜－r＝ － ＝2 . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动 点有关的折线段的最值问题的基本思路： （1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； （2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一 般要通过对称性解决. 高中总复习·数学（创新版） 建立函数关系求最值 〔一题多解〕设点P（x，y）是圆x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点 A（2，0），B（－2，0），则 · 的最大值为 ⁠. 解析：法一　∵P（x，y）是圆x2＋（y－3）2＝1上的动点，且A（2， 0），B（－2，0），∴ · ＝（2－x，0－y）·（－2－x，0－y） ＝（2－x）·（－2－x）＋（－y）2＝x2＋y2－4，由x2＋（y－3）2＝ 1，得x2＋y2＝6y－8，且2≤y≤4，∴x2＋y2－4＝6y－12≤24－12＝12， ∴ · 的最大值为12. 12 高中总复习·数学（创新版） 法二　 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝ －4.由于点P在圆x2＋（y－3）2＝1上，则 当点P坐标为（0，4）时， 取得最大值16，∴ · 的最大值为16 －4＝12. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 建立函数关系式求最值 　　根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系 式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. 高中总复习·数学（创新版） 1. （2026·山西大同模拟）设P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上的任 意点，则（x－5）2＋（y＋4）2的最大值是（　　） A. 6 B. 25 解析：　（x－5）2＋（y＋4）2表示点P（x，y）到（5，－4）的距离 的平方，∵P（x，y）是圆（x－2）2＋y2＝1上一点，∴（x－5）2＋ （y＋4）2的最大值为圆心（2，0）到（5，－4）的距离与半径1之和的平 方，即[（x－5）2＋（y＋4）2]max＝ ＝ 36.故选D. C. 26 D. 36 √ 高中总复习·数学（创新版） 2. 已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－2）2＋y2＝1上任 意一点，则△PAB面积的最小值是（　　） A. B. 2 C. 3＋ D. 3－ √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　两点A（－1，0），B（0，2），则｜AB｜＝ ＝ ，直线AB方程为y＝2x＋2，圆（x－2）2 ＋y2＝1的圆心C（2，0），半径r＝1，点C到直线AB： 2x－y＋2＝0的距离d＝ ＝ ，因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝ －1，所以△PAB面积的最小值是 × ×（ －1）＝3－ .故选D. 高中总复习·数学（创新版） 3. 若P（x，y）在圆（x－4）2＋（y－2）2＝9上运动，则 的最大值 为 ⁠. 解析：设 ＝k，可得kx－y－1＝0，又因为点P（x，y）在圆（x－ 4）2＋（y－2）2＝9上运动，则直线kx－y－1＝0与圆（x－4）2＋（y－ 2）2＝9有公共点，且圆心坐标为（4，2），半径为r＝3，由点到直线的 距离公式可得 ≤3，整理可得7k2－24k≤0，解得0≤k≤ .因 此， 的最大值为 . ​ 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y－4）2 ＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜ ＋｜PN｜的最小值为 ⁠. 解析：P是x轴上任意一点，则｜PM｜的最小值为｜PC1｜－1，同理｜ PN｜的最小值为｜PC2｜－3，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为｜PC1｜ ＋｜PC2｜－4.作C1关于x轴的对称点C1'（2，－3），所以｜PC1｜＋｜ PC2｜＝｜PC1'｜＋｜PC2｜≥｜C1'C2｜＝5 ，即｜PM｜＋｜PN｜ ＝｜PC1｜＋｜PC2｜－4≥5 －4. 5 －4 高中总复习·数学（创新版） 5. 设点P（x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的动点，定点A（0，2），B （0，－2），则｜ ＋ ｜的最大值为 ⁠. 解析：由题意，知 ＝（－x，2－y）， ＝（－x，－2－y），所以 ＋ ＝（－2x，－2y），所以｜ ＋ ｜＝2 .因为点P （x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标（x，y）满足 方程（x－3）2＋y2＝4，1≤x≤5，所以y2＝－（x－3）2＋4，所以｜ ＋ ｜＝2 ＝2 .因为1≤x≤5，所以当x＝5 时，｜ ＋ ｜的值最大，且最大值为2 ＝10. 10 高中总复习·数学（创新版） $