21.2.1 平行四边形及其性质 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

21.2.1 平行四边形及其性质 数学　八年级下册 平行四边形的性质(1) 数学　八年级下册 平行四边形的性质 只有一组对边平行的四边形叫作梯形, 有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 平行四边形用“▱”表示, 如图, 平行四边形ABCD记作“▱ABCD”. 数学　八年级下册 1.(新教材P56探究改编)探究平行四边形的对边与对角的关 系： (1)如图, 连接▱ABCD的对角线AC. 求证：△ACB≌△CAD. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, AB∥CD. ∴∠1＝∠2, ∠3＝∠4. 数学　八年级下册 在△ACB和△CAD中, ∴△ACB≌△CAD(ASA). (2)AD与BC的关系为 , ∠B ∠D. 平行且相等 ＝ 数学　八年级下册 2.(新教材P56探究改编)探究平行四边形的对角线的关系： 如图, 在▱ABCD中, 连接AC, BD, 并设它们相交于点O. 求证：OA＝OC, OB＝OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC, AD∥BC. ∴∠ADO＝∠CBO. 在△ADO和△CBO中, ∴△ADO≌△CBO(AAS). 数学　八年级下册 总结： 平行四边形的性质 图示 几何语言 平行四边形的对边平行且相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分   ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD BC, AB CD, ∠BAD＝∠BCD, ∠ABC＝∠ADC, OA＝OC, OB＝OD 数学　八年级下册 利用平行四边形的性质进行证明 3. 如图, 在▱ABCD中, DE⊥AB, BF⊥CD, 垂足分别为E, F.求证：AE＝CF. 证明：∵DE⊥AB, BF⊥CD, ∴∠AED＝∠CFB＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A＝∠C, AD＝CB. ∴△ADE≌△CBF(AAS). ∴AE＝CF. 数学　八年级下册 4.(2025·东莞三模)如图, ▱ABCD的对角线AC, BD相交于点 O, E, F分别是OA, OC的中点. 求证：BE＝DF. 证明：∵E, F分别是OA, OC的中点, ∴OE＝ OA, OF＝ OC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC, OB＝OD.∴OE＝OF. 又∵∠BOE＝∠DOF, ∴△BOE≌△DOF(SAS).∴BE＝DF. 数学　八年级下册 利用平行四边形的性质进行计算 5. 如图, 在▱ABCD中, AB＝5, BC＝3, ∠A＝55°. (1)▱ABCD的周长为 ； (2)∠B＝ °, ∠C＝ °. 16 125 55 数学　八年级下册 6.(1)在▱ABCD中, 若∠A＋∠C＝140°, 则∠A＝ °, ∠B＝ °； (2)若▱ABCD的周长为20 cm, AB∶BC＝3∶2, 则AB＝ cm, AD＝ cm. 70 110 6 4 数学　八年级下册 7.如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, AC＝ 16 cm, BD＝10 cm, 则AO＝ , BO＝ . 8 cm 5 cm 数学　八年级下册 8.(新教材P57 T2改编)如图, 在▱ABCD中, BC＝10, AC＝8, BD＝14. (1)△AOD的周长是 . (2)△ABC和△DBC的周长哪个长？长多少？ 21 数学　八年级下册 解：(2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB＝CD. 又∵C△ABC＝AB＋BC＋AC, C△DBC＝CD＋BC＋BD, ∴C△DBC－C△ABC＝BD－AC＝14－8＝6>0. ∴△DBC的周长较长, 长6. 数学　八年级下册 9. (新教材P57例1)如图, 在▱ABCD中, AB＝10, AD＝8, AC⊥BC.求BC, CD, AC, OA的长, 以及▱ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC＝AD＝8,CD＝AB＝10. ∵AC⊥BC,∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理, 得AC＝ ＝6. ∴OA＝OC＝ AC＝3, S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48. 数学　八年级下册 10.如图, 已知▱ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AC⊥AB, AC＝10, BD＝26. (1)求AB的长； 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝ AC＝ ×10＝5,OB＝ BD＝ ×26＝13. ∵AC⊥AB, ∴△BAO是直角三角形. 由勾股定理, 得AB＝ ＝12. 数学　八年级下册 (2)求▱ABCD的面积. 解：(2)依题意, 得 S▱ABCD＝AB·AC ＝12×10 ＝120. 数学　八年级下册 11.如图, 已知▱ABCD. (1)若∠A＋∠C＝100°, 则∠A＝ ； (2)若▱ABCD的周长为32, BC＝4, 则AB＝ . 50° 12 数学　八年级下册 12.(新教材P66 T11)如图, 在梯形ABCD中, AB∥DC, ∠A＝ ∠B.求证：AD＝BC. 证明：如图, 过点C作CE∥AD交AB于点E. ∴∠A＝∠CEB＝∠B. ∴CE＝CB. ∵AB∥CD, CE∥AD, ∴四边形AECD是平行四边形. ∴AD＝EC.∴AD＝BC. 数学　八年级下册 13.如图, ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若AC＋BD ＝20, CD＝7, 则△ABO的周长为 . 17 数学　八年级下册 14.如图, ▱ABCO的顶点O, A, C的坐标分别是(0, 0), (6, 0), (2, 4). (1)顶点B的坐标是 ； (2)AC与BO的交点坐标是 . (8, 4) (4, 2) 数学　八年级下册 15.如图, 在▱ABCD中, E, F是对角线BD上的两点, 且四边 形AECF也是平行四边形. 求证：BE＝DF. 证明：如图, 连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB＝OD. ∵四边形AECF是平行四边形, ∴OE＝OF.∴OB－OE＝OD－OF, 即BE＝DF. 数学　八年级下册 16.如图, 在▱ABCD中, ∠ABC和∠BCD的平分线BE与CE 相交于点E, 且点E恰好落在AD上. (1)求证：BE2＋CE2＝BC2； 数学　八年级下册 (1)证明：∵BE, CE分别平分∠ABC, ∠BCD, ∴∠CBE＝ ∠ABC,∠BCE＝ ∠BCD. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠CBE＋∠BCE＝ ∠ABC＋ ∠BCD ＝ (∠ABC＋∠BCD)＝90°. ∴∠BEC＝180°－(∠CBE＋∠BCE)＝90°. ∴BE2＋CE2＝BC2. 数学　八年级下册 (2)若AB＝2, 则▱ABCD的周长为 . 12 数学　八年级下册 平行四边形的性质(2) 数学　八年级下册 1.如图, 已知△ABC. (1)点A到点B的距离为 ； (2)点A到直线BC的距离为 . 5 3 数学　八年级下册 2.(1)两平行线之间的距离：两条平行线中, 一条直线上任 意一点到另一条直线的距离, 叫作这两条平行线之间 的距离. (2)举例：如图, a∥b, A是a上的任意一点, AB⊥b, 垂足为B, 线段AB的长就是平行 线a, b之间的距离. (3)结论：如果两条直线平行, 那么一条直线上所有的点 到另一条直线的距离都相等. 数学　八年级下册 两平行线间的距离的应用 3.(新教材P58例3 改编)如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, AB ＝DC.求证：∠A＝∠D. 证明：如图, 分别过点A, D作BC的垂线, 垂足分别为E, F. ∵AD∥BC, AE⊥BC,DF⊥BC, ∴AE＝DF. 数学　八年级下册 又∵AB＝DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL). ∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC, ∴∠B＋∠BAD＝180°, ∠C＋∠CDA＝180°. ∴∠BAD＝∠CDA. 数学　八年级下册 4.(新教材P66 T11改编)如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B＝∠C.求证：AB＝DC. 证明：如图, 分别过点A, D作BC的垂线, 垂足分别为E, F. ∵AD∥BC, AE⊥BC,DF⊥BC, ∴AE＝DF, ∠AEB＝∠DFC＝90°. 又∵∠B＝∠C, ∴△ABE≌△DCF(AAS).∴AB＝DC. 数学　八年级下册 5.如图, 直线a∥b, 点A在直线a上, 点B, C在直线b上, AC⊥b. 已知AB＝10, AC＝6. (1)直线a, b之间的距离为 ； (2)点B与点C的距离为 ； (3)点B到AC的距离为 . 6 8 8 数学　八年级下册 6.如图, 在▱ABCD中, AE⊥BC于点E, AF⊥CD于点F. (1)写出BC, CD, AE, AF之间的数量关系并证明； (2)若AF＝3, CD＝4, BC＝5, 求AD与BC之间的距离. 解：(1)BC·AE＝CD·AF. 证明如下：∵AE⊥BC, AF⊥CD, ∴S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF, 即BC·AE＝CD·AF. 数学　八年级下册 (2)由(1)知BC·AE＝CD·AF. 又∵AF＝3, CD＝4, BC＝5, ∴AE＝ . ∴AD与BC之间的距离为 . 数学　八年级下册 平行线的性质综合 7. (新教材P58例2 改编)如图, ▱ABCD的对角线AC, BD 相交于点O, EF过点O且与AB, CD分别相交于点E, F. (1)求证：OE＝OF； (2)若AC＝6, AB＝10, AC⊥BC, 求EF的最小值. 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, OA＝OC. ∴∠AEO＝∠CFO, ∠EAO＝∠FCO. ∴△AEO≌△CFO(AAS). ∴OE＝OF. 数学　八年级下册 (2)解：由题意可知, 当EF⊥AB时, EF的值最小. 在△ABC中, 由勾股定理, 得 BC＝ ＝ ＝8. ∵S▱ABCD＝AC·BC＝CD·EF, ∴6×8＝10EF. ∴EF＝ . ∴EF的最小值为 . 数学　八年级下册 8.(新教材P59 T1改编)如图, 四边形ABCD是平行四边形, ∠ABC＝70°, BE平分∠ABC且与AD相交于点E, DF∥EB且与BC相交于点F. (1)求∠1的大小； (2)求证：DF平分∠ADC, DE＝BF. 数学　八年级下册 (1)解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥BC,∠ADC＝∠ABC＝70°. ∴∠ABC＋∠C＝180°. ∴∠C＝110°. ∵BE平分∠ABC, ∴∠CBE＝ ∠ABC＝35°. ∵DF∥EB, ∴∠CFD＝∠CBE＝35°. ∴∠1＝180°－∠C－∠CFD＝35°. 数学　八年级下册 (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, AD＝BC, AB＝CD. ∴∠AEB＝∠CBE＝∠CFD,∠ADF＝∠CFD＝35°＝∠1. ∴DF平分∠ADC. ∵BE平分∠ABC. ∴∠ABE＝ ∠ABC＝ ×70°＝35°＝∠1. ∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE＝CF.∴DE＝BF. 数学　八年级下册 9.(新教材P59 T3改编)如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠C ＝90°, AD＝6, AB＝8, BC＝10, E为边BC上一点, AB∥DE, 求AD, BC之间的距离. 解：∵AD∥BC, AB∥DE, ∴四边形ABED是平行四边形. ∴BE＝AD＝6, DE＝AB＝8. 数学　八年级下册 ∴CE＝BC－BE＝10－6＝4. 在Rt△CDE中, 由勾股定理, 得 CD＝ ＝4 . ∴AD, BC之间的距离为4 . 数学　八年级下册 10.(新教材P87 T9改编)如图, 四边形ABCD是平行四边形, BE∥DF, 且分别交对角线AC于点E, F, 连接ED, BF.求证： DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, AD＝BC. ∴∠FAD＝∠ECB. 数学　八年级下册 ∵BE∥DF, ∴∠AFD＝∠CEB. ∴△AFD≌△CEB(AAS). ∴AF＝CE. ∴AF－EF＝CE－EF, 即AE＝CF. 又∵∠DAE＝∠BCF, AD＝CB, ∴△ADE≌△CBF(SAS). ∴DE＝BF. 数学　八年级下册 11.(新教材P59 T2改编)如图, ▱ABCD的周长为30, 对角线 AC, BD相交于点O, 点E在AD上, OE⊥AC.求△CDE的周 长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC,AD＝BC, AB＝CD. 又∵OE⊥AC, ∴OE垂直平分AC. 数学　八年级下册 ∴AE＝CE. ∴C△CDE＝CE＋DE＋CD ＝AE＋DE＋CD ＝AD＋CD ＝ C▱ABCD ＝ ×30 ＝15. 数学　八年级下册 12.如图, 在▱ABCD 中, ∠BCD 的平分线与 BA 的延长线相 交于点 E, BH⊥EC于点H. (1)求证：CH＝EH； (2)若AD＝5, CD＝3, 求AE的长. 数学　八年级下册 (1)证明：∵CE平分∠BCD, ∴∠BCE＝∠DCE. 在▱ABCD中, DC∥AB, ∴∠E＝∠DCE. ∴∠E＝∠BCE.∴BC＝BE. 又∵BH⊥CE, ∴CH＝EH. 数学　八年级下册 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC＝AD＝5, AB＝CD＝3. 由(1)得BE＝BC, ∴BE＝5. ∴AE＝BE－AB＝2. 数学　八年级下册 13.如图, 在▱ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 点E在 BD的延长线上, 且△EAC是等边三角形. 若AC＝8, AB＝ 5, 求： (1)ED的长； (2)AB与CD之间的距离. 数学　八年级下册 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC＝ AC＝4, OB＝OD. ∵△EAC是等边三角形, ∴EO⊥AC, AE＝AC＝8. 在△OAE中, 由勾股定理, 得 OE＝ ＝4 . 数学　八年级下册 在△OAB中, 由勾股定理, 得 OB＝ ＝ ＝3. ∴OD＝OB＝3. ∴ED＝OE－OD＝4 －3. (2)由平行四边形的面积公式, 得AB与CD之间的距离为 AC·BD÷AB＝ ×8×6÷5＝ . 数学　八年级下册 14.如图, 在▱ABCD中, 点E, F分别在边DC, AB上, DE＝BF. 把平行四边形沿直线EF折叠, 使得点B, C分别落在点B′, C′处, 线段EC′与线段AF交于点G, 连接DG, B′G.求证： (1)∠1＝∠2； (2)DG＝B′G. 数学　八年级下册 证明：(1)在▱ABCD中, DC∥AB, ∴∠2＝∠FEC. 由折叠得∠1＝∠FEC, ∴∠1＝∠2. 数学　八年级下册 (2)∵∠1＝∠2, ∴EG＝GF. ∵AB∥DC, ∴∠DEG＝∠EGF. 由折叠得EC′∥B′F, BF＝B′F, ∴∠B′FG＝∠EGF＝∠DEG. ∵DE＝BF, ∴DE＝B′F. ∴△DEG≌△B′FG(SAS).∴DG＝B′G. 数学　八年级下册 $