云南昆明市安宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

安宁市第一中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 (试卷满分：150分考试时间：120分钟)命题人：xyh 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息： 2.请将答案正确填写在答题卡上； 3考试范围：必修一、必修二、选修一、选修二、选修三（到6.2排列组合）. 第I卷（选择题共58分）) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为 () A8 B.9 C.12 D.18 1 2.已知z=1+i, 5-1 () A.-i B.i C.-1 D.1 3.已知集合A=〔-4,0,12,8，B={x=x,则A∩B= () A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8) D.{0,1} 4不等式-4 2的解集是 () x-1 A.{x-2≤x≤1} B.{xx≤-2} C.{d-2≤x<1} D.{xx>1} 5.在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=V6,则A= () A.45° B.60° C.120° D.135° 6.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S?=6,S=-5,则S6= () A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 7设抛物线C:y2=2(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线 BF的方程为y=-2x+2,则|AF月 () A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知函数f(x)=2+x,8(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序 为 () 试卷第1页，共15页 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，则不允许有空盒子的放法种数共有 () A.CA B.CCCC C.CCA2 D.18 10.已知双曲线c:x_2 =-1,则 ) 54 A.C的离心率为35 B.双曲线二-二=1与C有相同的渐近线 810 C.直线y=3与c相交的弦长为5 D.C的焦点到渐近线的距离为√5 11.对于函数f(w)=$in2x和g(9=$im(2x-乃，下列说法中正确的有 () A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12假设P(4)=0.7,P(B)=0.8,且A,B相互独立，则P(AB)=:P(AUB)=一 13.已知c为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tanatan B=√2+1，则 sin(a+B)= 14某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图 所示，若被截正方体的棱长是50c,则石凳的表面积为 cm. 试卷第2页，共15页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数∫(x)=ax3+bx+2在x=-2处取得极值-14. (1)求a,b的值： (2)求函数f(x)在[-3,3]上的最值. 1615分》已知数列红子的首项4-号且满是a2a1: 304 (1)求证：数列 1 为等比数列. a 2)若1+11 .1 ++三<100，求满足条件的最大整数n. 4a243 a 17.(15分)已知函数f(x)=cos4x-2 sinxcosx-sin4x. (1)求∫(x)的最小正周期： (2)当x∈0， 时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合. 试卷第3页，共15页 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形，且 PD=AB=2AD,∠BAD=元」 31 (1)证明：AD⊥PB; (2)求平面PAB与平面PDB夹角的正切值。 D B 19.(17分) （1)求与椭圆二+上=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程 4924 (2)如图，M是抛物线y2=4x上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、FM为终边的角 ∠xFM=60°，求|FM|. (3)一条光线从点A(-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+(y-2)2=1相切，求反射后光线 所在直线的方程。 试卷第4页，共15页 2025-2026学年下学期高二年级期中考是数学答案 一。选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D B AC BD BC 1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为() A.8 B.9 C.12 D.18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解。 【详解】样本数据2,8,14,16,20的平均数为 2+8+14+16+20-60=12 5 5 故选：C 2.已知z=1+i,则 s-1 A.-i B.i C.-1 D.1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解 故选：A. 3.已知集合A=〔-4,0,1,2,8，B={xx3=x,则A∩B=() A.{01,2} B.{1,2,8 C.{2,8 D.{0,1} 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B后结合交集的定义可求A⌒B 【详解】B={xx=x={0,-1,},故A∩B={0,1}, 故选：D 试卷第5页，共15页 4不等式-4 ≥2的解集是() x-1 A.{x-2≤x≤1 B.{xx≤-2) C.{x-2≤x<1 D.{xx>1 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可 【阅片2p务号：0a2-月s0.成-21 x-1 x-1 x-1≠0 故解集为{x-2≤x<1} 故选：C 5.在△ABC中，BC=2,AC=1+V5,AB=√6，则A=() A.45° B.60° C.120° D.1350 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理084=AB+AC2-BC 直接计算求解即可. 2AB.AC 【详解】由题意得cos4=AB+AC-BC_V6'+1+W-22V2 2AB.AC 2×V6×(1+V5) 21 又0°<A<180°，所以A=45°. 故选：A 6.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S,=6,S,=-5,则S6=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项4和公差d的方程求出首项4和公差d, 再由等差数列前n项和公式即可计算求解 3a+3d=6「d=-3 【详解】设等差数列{a}的公差为d,则由题可得 5a+10d=-5a=5 试卷第6页，共15页 所以S6=6g+15d=6×5+15×(-3)=-15 7.设抛物线C:y2=2Px(p>O)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直 线BF的方程为y=-2x+2,则AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线1？求出焦点F和P即抛物线C的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B, 从而可依次求出y和x4,再由焦半径公式即可得解， 【详解】对1e:y=-2x+2,令y=0,则x=1, 所以F(1,0),p=2即抛物线C:y2=4x,故抛物线的准线方程为x=-1, 故B(-1,4),则y4=4,代入抛物线C:y2=4x得x4=4 所以AF=AB=x+2=4+1=5. 2 故选：C 8.B 【解析】首先可求出c=0,再由f(x)=0得2=-x,由8(x)=0得1og2x=-x,将其转化为y=2、 y=log2x与y=-x的交点，数形结合即可判断. 【详解】解：由h(x)=x3+x=0得x=0,.c=0, 由f(x)=0得2*=-x,由8(x)=0得log2x=-x. 在同一平面直角坐标系中画出y=2、y=log2x、y=-x的图象， 由图象知a<0,b>0,.a<c<b. 故选：B 二.多选题 9.AC.提示：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，且没有空盒，则三个 盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法. 解法1：分两步进行： 试卷第7页，共15页 ①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法： ②将分好的3组作全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法. 所以没有空盒的放法有CA种. 解法2：分两步进行： ①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC 种情况： ②将剩下的2个小球作全排列，放入剩下的2个小盒中，有A?种放法. 所以没有空盒的放法有CCA?种，故选AC. 10.BD 【分析】根据题意，化简双曲线的标准方程为少_ -=1,结合双曲线的几何性质，以及点到直线 45 的距离公式，逐项判断，即可求解。 【详解】由双曲线C芳-1，可得 5-41 451, 则a=2,b=V5,可得c=2+6=3,且渐近线方程为y=±25 对于A,双曲线C的离心率e-台，所以A箱误 对行B双线若若=1的近我方程为，-：25 x,所以双曲线yx =1与C有相同的渐近线， 810 810 所以B正确： 对于C,将y=3代入苦号1，解得=士故直线y=3与C相交的弦长为5，所以C错误 45 对于D,双曲线C的焦点F(O,±3)到渐近线的距离为d=b=√5，所以D正确. 故选：BD 11.【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解1A选项，令f四=in2x=0,解得=征k∈乙，即为f(零点， 2 令g(的=m(2x-孕=0，解得x=任+及ke乙，即为gw零点. 28 显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误： 试卷第8页，共15页 B选项，显然f()m=g()mx=1，B选项正确： C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为 2π =元，C选项正确： 2 D选项，根据正弦函数的性质f)的对称轴满足2x=m+台x=征+刀，k∈Z, 2 24 g(m)的对称轴满足2x-亚=你+元一x= 机+3沉，keZ 28 显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三.填空题 12.0.560.94 【分析】(1)由A与B相互独立知P(AB)=P(A)×P(B),代入求解即可， (2)P(AUB)=P(A+P(B)-P(AB),代入求解即可. 【详解】解：(1)：P(A)=0.7,P(B)=0.8,且A与B相互独立， .P(AB)=P(A)×P(B)=0.7×0.8=0.56; (2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94, 故答案为：0.56；0.94. 13.【答案】- 2√2 3 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(au+B)=-2V2,再缩小a,+B的范围，最后结 合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案， tana+tan B 4 【详解】法一：由题意得tan(a+P)= =-2V2 1-tanatan B1-（V2+l 因为0∈ 2k阮，2远+CB2mc+元，2mm+3玩 2 ,k,m∈Z, 则a+B∈(2m+2k)元+元，（2+2k)π+2π)，k,1m∈Z, 又因为an(ax+B)=-2W2<0, 试卷第9页，共15页 则a+p=（2m+2k)a+(2m+2)z+2r ,k,∈Z,则sin(a+B)<0, 则 如la+A-2W5,联立m2a+P)+os2(a+)=l,解得snla+=-25 cos(a+B) 3 法二：因为a为第一象限角，B为第三象限角，则cos>0,cosB<0, coSa COs B COS & =cos B=- sin2 a+cos2 a 1+tan2a sin2B+cos2B 1+tan2B sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin B=cos a cos B(tana+tan B) -4 -4 =4cos acos B= -4 2v迈 1+tan'av1+tan2B (tana+tan B)2+(tan atan B-1)2 4+2 3 故答案为： 2V2 3 14.(7500+2500V3)cm 【分析】由题意，该几何体是由棱长为50cm的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四 面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，该几何体是由棱长为50cm的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四 面体是全等的三棱锥， 同时几何体是由8个底面边长为25√2cm的等边三角形和边长为25√2cm的6个正方形组成的一个14 面体， 所以该几何体的表面积为： S=8xx25√2x25√2sim60°+6×25√2x25√2=(7500+2500W5cm2. 2 故答案为：(7500+2500W3)cm2. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判 定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题 四.解答题 15.(13分)(1)a=-1,b=12 (2)最小值为-14，最大值为18 试卷第10页，共15页 【分析】(1)利用极值的定义列方程求解； (2)利用导数讨论函数在[-3,3]的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值. 【详解】(1)因为f(x)=3+bx+2,所以f'(x)=3ax2+b, 因为函数f(x)在x=-2处取得极值-14， 所以f(-2)=12a+b=0,且f(-2)=-8a-2b+2=-14, 解得a=-1,b=12; 经检验，a=-1,b=12时，'(x)=-3x2+12=-3c+2)-2), 令f'(x)>0,解得-2<x<2,令f(x)<0,解得x>2或x<-2, 所以f(x)在(-0，-2)上单调递减，在(-2,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 所以函数f(x)在x=-2处取得极值，符合题意，所以a=-1,b=12: (2)由(1)可知f(x)在(-0，-2)上单调递减，在(-2,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减： 所以f(x)在[-3，-2)上单调递减，在(-2,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减： 所以当x=-2时，f(x)取得极小值-14，在x=2时，f(x)取得极大值18， 又f(-3)=-7,f(3)=11, 所以f(x)在[-3,3]的最小值为f(2)=-14,最大值为f(2)=18. 16.(15分)(1)证明见解析；(2)99. 【分行】①由a2化简符到。之1》，结合等比数列的定义.即可梁解： 3a2 a+13`a (2)由(1)求得 导。专“令2白1，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得 1=2x 8=1+L+1++1=+1- 3,根据S.<100,即可求解 【详解】(1)由题意，数列{a}满足a+1= 3a. 2a,+1,可得 1-20+1-1.1+2 一 am13a3a,3' 11 可得1-1=1+名-1=2少，即 1 13a33 1-13 a 又临a-子所1子 1-3 试卷第11页，共15页 所以数列 位1小表示首跟为行公比为的等比数列 (2)由(1)可得 1含9-2.所以日g29n 设数列{ 的前n项和为Sn, 则=1+11 =2++1 1 33十3++ 2 1 +n=n+1- 3, 1 若S<100,即n+1-<100, 因为函数y=x+1-为单调递增函数， 3x 所以满足S.<100的最大整数n的值为99 1n.(15分)1)r-,(2)xe得，时/e=-万 【分析】(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解： (2)由x的范围先求出2x+严的范围，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】解：（1)f(x)=cosx-2 sinxcosx-sinx, =(cos2x-sin2 x)(cos2x+sin'x)-sin 2x, cos2x-sin 2x =5co2x+学： 故fx)的最小正周期T=π： (2)由x0,1可得2x+e听，1， 当得2x+=即=行时，列激取行最小位反.所以：语，时)万 8 18.(17分)(1)证明见解析 (2②1 6 【分析】(1)设AD=a,则AB=2a,PD=2a,利用余弦定理结合勾股定理可证得AD⊥BD,利 用线面垂直的性质得出PDLAD,再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立； 试卷第12页，共15页 (2)以点D为坐标原点，DA、DB、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用 空间向量法可求得平面PAB与平面PDB夹角的正切值. 【详解】(1)设AD=a,则AB=2a,PD=2a. 在△ABD中，根据余弦定理BD2=AD2+AB2-2AD·AB·coS∠DAB, 将AD=a,AB=2a,∠DAB=T代入可得： BD'=a2+(2n}-2xax2 ax cosa+4r2-4a×L,所以BD=V5a. 2 则AD2+BD2=d2+3a2=4a2=AB2,所以AD⊥BD, 因为PD⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,所以PD⊥AD. 又因为PDOBD=D,PD、BDC平面PBD,所以AD⊥平面PBD. 而PBC平面PBD,所以AD⊥PB, (2)因为PD⊥底面ABCD,AD⊥BD,四边形ABCD为平行四边形， 以点D为坐标原点，DA、DB、DP所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由(1)知AD=a,BD=√3a,PD=2a, 则D(0,0,0),A(a,0,0),B0,V3a0),P(0,0,2a), 易知平面PBD的一个法向量为=(1,0,0)， 设平面PAB的一个法向量为i=(x,y,), 2 AB=（-a,V3a,0）,AP=(-a,0,2ad, 则n花=-mV5w=0 i.AP=-ax+2az=0 D 取x=25,可得i=(23,2,3), 设平面PAB与平面PDB的夹角为O, m.。252√3 则c0sθ= 1x19√19 所以sin0=M-cos28=h 12万 1919 故tan6=sim6-V万.M9v21 cose 19 23 6 试卷第13页，共15页 19.(17分) a后号1 解析】根据题意双曲线方程可设为。a>0力>0，可得关于a,万的方程组，进而求出@ b的数值即可求出双曲线的方程 【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是F(-5,0),F(5,0), 故双曲线方程可设为-1(a>0,b>o), 5 又双曲线的离心率e= [a2+b2=25 .55 解之得a=4,b=3 故双曲线的方程为后号1 【点睛】思路点睛：该题考查圆锥曲线的综合，解题方法如下： (1)根据椭圆方程，求得椭圆的焦点； (2)设出双曲线的方程，根据双曲线的离心率，以及椭圆中a,b,c的关系，列出方程组，求出α，b 的值； (3)最后写出双曲线的方程 (2)|FM=4 【分析】求出抛物线y2=4x的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即 可作答。 【详解】抛物线y2=4x的准线为x=-1,过M作MB垂直于直线x=-1,垂足为B,作ALMB于 A,直线x=-1与x轴交于点K,如图： 则MB/x轴，即∠FMB=∠HM=60,四边形ABKP是矩形，RIAMFA中，|MAIEM, 由抛物线定义知|MB曰FM|,F1,O),而MA+|ABHMB,IABHKF上2， 则与M+2PM,解得M作4， 所以|FM=4. 试卷第14页，共15页 (3)3x-4y-6=0或4x-3y-1=0 【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求 得斜率，得出方程 【详解】点A(-2,3)关于x轴的对称点为(-2，-3)，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为y+3=k(x+2),即-y+2k-3=0, 因为反射光线与圆相切， 则圆心B,2到反射光线的距离d=,即5k=1,解得k=4或2 √k2+1 34’ 则反射直线的方程为3x-4y-6=0或4x-3y-1=0. 试卷第15页，共15页