第1-4单元解决问题（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦分数运算与空间图形，通过分层题型构建“方法提炼-知识迁移-实际应用”的系统化训练体系，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分数运算与应用|1-5、14-18|通分比较分数、分数加减法则、单位“1”量率对应|从分数基本运算到实际情境应用，构建“量-率-关系”逻辑链| |长方体表面积|6-13|表面积公式（带盖/无盖）、侧面积计算、不规则图形转化|从标准长方体到变式（通风管/凹陷），强化空间观念与推理意识| |长方体体积|19-24|体积公式、排水法、体积与容积区分|从体积计算到实际问题（注水/容器容积），培养模型意识与应用能力|

第1-4单元解决问题专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．奇思、妙想和淘气做同样的作业，奇思用了时，妙想用了时，淘气用了时，谁做作业的速度最快？ 2．辽宁省的地貌特征总体可概括为“六山一水三分田”。其中，山地、丘陵的面积约占全省总面积的，河流、湖泊等水域的面积约占全省总面积的，其余为平原和耕地。平原和耕地约占全省总面积的几分之几？ 3．“鲲鹏径”是深圳市民喜爱的徒步路线。儿童节当天，淘气和爸爸选择其中一段进行徒步：上午走了这段路程的，下午又走了这段路程的。 （1）淘气和爸爸已经走完了这段路程的几分之几？ （2）还剩下这段路程的几分之几没走完？ 4．一个西瓜，淘气吃了，笑笑吃了。 （1）淘气和笑笑一共吃了这个西瓜的几分之几？ （2）淘气比笑笑多吃了这个西瓜的几分之几？ （3）这个西瓜还剩几分之几没有被吃掉？ 5．阳光小学“种植社团”的同学们在学校小农场种西红柿、辣椒和黄瓜，其中辣椒的种植面积占小农场面积的，西红柿的种植面积占小农场面积的，其余部分种黄瓜。黄瓜的种植面积占小农场面积的几分之几？ 6．一辆货车油箱的长、宽、高分别是1.2米，0.5米，0.4米（箱壁厚度忽略不计）。做一个这样的油箱需要多少平方米的铁皮？ 7．学校手工社团开展创意包装活动，计划用硬纸板制作衣服包装盒（展开图如图）。已知包装盒有两面是正方形，如图是一件衣服的包装盒展开图，制作这个包装盒至少需要多少纸板？ 8．做一个不带盖的长方体铁皮水桶，铁桶的长是3分米，宽是3分米，高是4分米，至少用多少平方分米的铁皮？ 9．为了给“健美操社团”的同学们提供更好的训练场地，阳光小学为同学们建造了一个外观为长方体的室内运动场。该场馆长52米、宽25米、高5.5米，四周有8个边长为3米的正方形大窗户，还有一扇面积为20平方米的大门，如果要粉刷这个室内运动场的四周和顶部，需要粉刷的面积是多少平方米？ 10．自从电影《哪吒2》热映后，哪吒公仔成了热门礼物。淘气想送笑笑一个哪吒公仔做生日礼物，并亲手制作了配套礼盒（展开图如下）。 （1）淘气制作礼盒至少需要多大面积的硬纸板？ （2）淘气想要用彩带捆扎礼盒（如图），准备60厘米长的彩带够吗？请说明理由。（打结处需要20厘米彩带） 11．一个饼干盒长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现要在它的4周贴上商标纸（上下面不贴）这个商标纸的面积是多少平方分米？ 12．一种长方体通风管，长是80厘米，通风口是边长20厘米的正方形。做10节这样的通风管要用多少平方米铁皮？ 13．下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 14．公园里新建了一个底面是长方形的花坛，长是14米，宽是长的。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 15．妈妈买了一套衣服，其中裤子的售价是上衣的。已知上衣的售价是280元，那么这套衣服的总售价是多少元？ 16．有两辆货车，大货车一次可以运30吨货物，如果小货车的运货量是大货车的，那么，大货车3次满载运完的货物，小货车至少要几次才能运完？ 17．每年的11月为深圳读书月，在读书月期间，五（2）班通过“书香满途，漂向远方”的活动迎接读书月，乐乐拿出家里科技书的，奇奇拿出家里科技书的，奇奇认为他拿出的科技书比乐乐多。你同意他的说法吗？请你用喜欢的方式说明理由。 18．教育部对学生睡眠时间提出明确要求，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时。 (1)小文是一名五年级的学生，他每天睡10时，他一天的睡眠时间占全天的几分之几？ (2)上高中的小钟每天睡眠时间占全天的，他的睡眠时间符合教育部的相关规定吗？请你用文字、画图或列算式的方法说明你的想法。 19．学校修建了一个长50米，宽20米，高1.8米的游泳池。 （1）在池底和四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）游泳池中共注水1500立方米，水面距池口多少米？ 20．如图，一种果汁的包装盒是一个从外面量长7厘米、宽4厘米、高10厘米的长方体。请你通过计算说明商家是否欺骗了消费者？ 21．一个长方体水箱，从里面量得长是30厘米，宽是15厘米。水箱中完全浸没一块石头后，水深20厘米。当取出这块石头后，水深16厘米。这块石头的体积是多少立方分米？ 22．仔细观察下图，石块的体积是多少立方厘米？（容器底面是正方形） 23．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 24．爸爸计划用下面的5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，请你先想一想该怎样粘，再完成下面各题。 （1）做这个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃？ （2）这个鱼缸最多可装水多少升？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-4单元解决问题专练-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．妙想 【分析】由于作业量相同，速度最快者用时最短，所以需要先比较三个分数、、的大小。先找到这三个分数分母的最小公倍数（12），把它们通分变成同分母分数，再比较分子的大小，分子越小说明用时越短，对应的人做作业速度就最快。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为，＜＜ 答：妙想用时最短，速度最快。 2． 【分析】把全省总面积看作单位“1”，根据分数减法的意义，用“1”减去山地、丘陵的面积以及河流、湖泊等水域的面积约占全省面积的分率，即是平原和耕地约占全省总面积的几分之几。 【详解】 答：平原和耕地约占全省总面积的。 3．（1）   （2） 【分析】（1）把总路程看成单位“1”，淘气和爸爸上午走的这段路程的加上下午走的就是淘气和爸爸已经走完了这段路程的几分之几。 （2）用1减去淘气和爸爸已经走完了这段路程的几分之几，就是还剩下这段路程的几分之几没走完。 【详解】（1） 答：淘气和爸爸已经走完了这段路程的。 （2） 答：还剩下这段路程的没走完。 4．（1）；（2）；（3） 【分析】由题意得：一个西瓜，淘气吃了，笑笑吃了。则求他们一共吃了这个西瓜的几分之几，直接用加上即可； 求淘气比笑笑多吃了这个西瓜的几分之几，用淘淘吃的减去笑笑吃的，也就是减减即可； 求这个西瓜还剩几分之几没有被吃掉，也就是将整个西瓜看作单位“1”，用1连减与即可。 【详解】（1） 答：淘气和笑笑一共吃了这个西瓜的。 （2） 答：淘气比笑笑多吃了这个西瓜的。 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ 答：这个西瓜还剩没有被吃掉。 5． 【分析】将小农场面积的面积看成单位“1”，用单位“1”减去辣椒的种植面积占小农场面积的分率，再种西红柿的种植面积占小农场面积的分率即可解答。 【详解】1－－ ＝－－ ＝－ ＝ 答：黄瓜的种植面积占小农场面积的。 6．2.56平方米 【分析】求铁皮的面积相当于求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。 【详解】（1.2×0.5＋1.2×0.4＋0.5×0.4）×2 ＝（0.6＋0.48＋0.2）×2 ＝1.28×2 ＝2.56（平方米） 答：做一个这样的油箱需要2.56平方米的铁皮。 7．6750平方厘米 【分析】由展开图可知，包装盒有两个面是正方形，所以长和宽相等，都为45厘米。所以高为60－45＝15厘米。长方体表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算即可。 【详解】包装盒有两个面是正方形，长和宽相等，都为45厘米。 60－45＝15（厘米） （45×45＋45×15＋45×15）×2 ＝（2025＋675＋675）×2 ＝（2700＋675）×2 ＝3375×2 ＝6750（平方厘米） 答：制作这个包装盒至少需要6750平方厘米纸板。 8． 57平方分米 【分析】本题要求计算不带盖的长方体铁皮水桶的表面积。长方体表面积＝两个底面积＋四个侧面积，长方体共有6个面，但缺少顶面，因此只需计算底面和4个侧面的面积之和。底面面积为长×宽，前后面面积各为长×高，左右面面积各为宽×高，题目中已知条件长和宽相等，四个侧面的面积相同，可合并计算。 【详解】（3×3）＋（3×4）×4 ＝9＋12×4 ＝9＋48 ＝57（平方分米） 答：至少用57平方分米的铁皮。 9．2055平方米 【分析】需要计算长方体四周和顶部的总面积，再减去窗户和大门的面积。根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个室内运动场的四周和顶部的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出8个正方形大窗户的面积，再用这个室内运动场的四周和顶部的面积减去8个正方形大窗户的面积，减去大门的面积，即可求出需要粉刷的面积。 【详解】52×25＋（52×5.5＋25×5.5）×2－3×3×8－20 ＝1300＋（286＋137.5）×2－3×3×8－20 ＝1300＋423.5×2－3×3×8－20 ＝1300＋847－9×8－20 ＝1300＋847－72－20 ＝2147－72－20 ＝2075－20 ＝2055（平方米） 答：需要粉刷的面积是2055平方米。 10．（1）122平方厘米； （2）够；理由见详解 【分析】（1）由图可知，长方体的长是7厘米，宽是4厘米，高是3厘米，求需要硬纸板的面积就是求长方体的表面积，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积即可； （2）由图可知，需要彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处彩带的长度，求出需要彩带的长度最后和60厘米比较大小，即可求得。 【详解】（1）（7×4＋7×3＋4×3）×2 ＝（28＋21＋12）×2 ＝61×2 ＝122（平方厘米） 答：淘气制作礼盒至少需要122平方厘米的硬纸板。 （2）7×2＋4×2＋3×4＋20 ＝14＋8＋12＋20 ＝22＋12＋20 ＝34＋20 ＝54（厘米） 因为60厘米＞54厘米，所以准备60厘米长的彩带够。 答：准备60厘米长的彩带够。 11． 21平方分米 【分析】要求商标纸的面积即求长方体的侧面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算后需将平方厘米转换为平方分米。 【详解】长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2 （平方厘米） 2100平方厘米＝21平方分米 答：这个商标纸的面积是21平方分米。 12． 6.4平方米 【分析】通风管只有四个侧面，没有上下底面。因为通风口是边长20厘米的正方形，所以4个侧面的面积相等。一节通风管的侧面积为4个长80厘米、宽20厘米的长方形的面积之和。 根据“长方形面积＝长 ×宽”计算出1节通风管1个长方形面的面积，乘4计算出1节通风管的侧面积；再乘10计算出10节通风管的侧面积，即为做10节这样的通风管所用铁皮的面积。 最后将平方厘米换算为平方米（1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米）。 【详解】80×20×4×10 ＝1600×4×10 ＝6400×10 ＝64000（平方厘米） 64000平方厘米＝6.4平方米 答：做10节这样的通风管要用6.4平方米铁皮。 13．512平方厘米 【分析】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 14． 84 平方米 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。长方形的宽＝长方形的长×对应分率；占地面积＝长×宽。 【详解】 （平方米） 答：这个花坛的占地面积是 84 平方米。 15．350元 【分析】把上衣的售价看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用上衣的售价乘，求出裤子的售价。再用上衣的售价加上裤子的售价，求出这套衣服的总售价。 【详解】280＋280× ＝280＋70 ＝350（元） 答：这套衣服的总售价是350元。 16．18次 【分析】先根据“货物总量＝每次运货量×运输次数”，求出大货车3次满载运完的货物总量；再根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，求出小货车的运货量；最后根据“运输次数＝货物总量÷每次运货量”，求出可得小货车运完这些货物所需的次数。 【详解】30×3＝90（吨） 30×＝5（吨） 90÷5＝18（次） 答：小货车至少要18次才能运完。 17．见详解 【分析】要判断谁拿出的科技书多，关键是看分数对应的单位“1”（即整体数量）。 乐乐拿出的是乐乐家科技书总数的，这里的单位“1”是乐乐家的科技书数量； 奇奇拿出的是奇奇家科技书总数的，这里的单位“1”是奇奇家的科技书数量。 由于两家原来的科技书总数（两个单位“1”）不一定相同，所以不能直接通过和的大小比较谁拿得多。 【详解】不同意。 因为两个单位“1”不一定相同，所以不能直接通过和的大小比较谁拿得多。 例如： 若乐乐家有80本科技书，他拿出是本；奇奇家有8本科技书，他拿出是本。此时乐乐拿出的书多。 若乐乐家有8本科技书，他拿出是本；奇奇家有80本科技书，他拿出是本。此时奇奇拿出的书多。 因此，奇奇的说法不一定正确。 18．(1) (2)符合；方法说明见详解 【分析】解答这道题需明确：求一个数是另一个数的几分之几，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法；一天等于24小时。 （1）题目中已知小文每天睡10时，求他一天的睡眠时间占全天的几分之几，用计算即可。 （2）小钟每天睡眠时间占全天的，也就是24小时的，据此求出小钟每天的睡眠时间，再与高中生应达到8小时的标准作比较即可。 【详解】（1） 答：他一天的睡眠时间占全天的。 （2）（小时） 高中生应达到8小时，所以小钟的睡眠时间符合教育部的相关规定。 答：小钟的睡眠时间符合教育部的相关规定。 19．（1）1252平方米 （2）0.3米 【分析】（1）根据题意，求贴瓷砖的面积就是求长方体游泳池前后面、左右面和下面共5个面的总面积，根据前后面的面积＝长×高×2，左右面的面积＝宽×高×2，下面的面积＝长×宽，可得：贴瓷砖的面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，据此解答。 （2）游泳池中共注水1500立方米，即水的体积是1500立方米，游泳池中的水呈长方体，长是50米，宽是20米，根据长×宽×高＝长方体的体积可知：长方体的体积÷长÷宽＝高，即可求到水的高度，再用游泳池的高度减水的高度，即得到水面距池口的米数。据此解答。 【详解】（1）50×1.8×2＋20×1.8×2＋50×20 ＝90×2＋36×2＋1000 ＝180＋72＋1000 ＝252＋1000 ＝1252（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1252平方米。 （2）1500÷50÷20 ＝30÷20 ＝1.5（米） 1.8－1.5＝0.3（米） 答：水面距池口0.3米。 20．欺骗了 【分析】从图中可知，果汁包装盒上注明“280毫升”，说明果汁包装盒的容积是280毫升。 已知包装盒从外面量的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出包装盒的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位，然后与“280毫升”进行比较，因为包装盒有厚度，所以包装盒的体积一定会大于容积，由此得出商家是否欺骗了消费者。 【详解】7×4×10＝280（立方厘米） 280立方厘米＝280毫升 答：商家欺骗了消费者。 21．1.8立方分米 【分析】根据题意，石头的体积＝下降的水的体积。下降的水的形状是长30厘米，宽15厘米，高（20－16）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。最后换算成以立方分米为单位的数。 【详解】30×15×（20－16） ＝30×15×4 ＝1800（立方厘米） ＝1.8（立方分米） 答：这块石头的体积是1.8立方分米。 22．200立方厘米 【分析】看图可知，浸入石块水面上升了（8－6）厘米，水面上升的体积就是石块的体积，根据长方体体积公式，容器底面积×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：石块的体积是200立方厘米。 23．25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【详解】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 24．（1）9000平方厘米 （2）72升 【分析】根据题意，用5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，观察5块玻璃，只有“60×30”是1块，所以把“60×30”作为鱼缸的底面，然后把2块“60×40”作为鱼缸的前面和后面，把2块“40×30”作为鱼缸的左面和右面，据此制作完成这个无盖的长方体鱼缸，且确定这个长方体的长是60厘米、宽是30厘米、高是40厘米。 （1）求做这个鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可求解。 （2）求这个鱼缸最多可装多少升水，就是求鱼缸的容积；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，以及进率“1升＝1000立方厘米”，即可求解。 【详解】用5块玻璃粘成一个无盖的长方体鱼缸，如下图： （1）60×30＋60×40×2＋40×30×2 ＝1800＋4800＋2400 ＝9000（平方厘米） 答：做这个鱼缸需要9000平方厘米的玻璃。 （2）60×30×40 ＝1800×40 ＝72000（立方厘米） 72000立方厘米＝72升 答：这个鱼缸最多可装水72升。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $