专题13同底数幂的除法、整式的除法 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

专题13 同底数幂的除法、整式的除法 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 1 【题型2 单项式除以单项式】 3 【题型3 多项式除以单项式】 5 【题型4 整式的混合运算】 7 【题型5 整式的化简求值】 9 【题型6 利用整式的除法求值】 12 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 14 【题型8 整式除法的实际应用】 17 · 1. 经历同底数幂除法法则的推导过程，理解法则的代数本质，掌握同底数幂除法的运算性质，明确法则的适用条件。 · 2. 能熟练运用同底数幂的除法法则进行简单运算，掌握法则的逆用方法，提升幂的运算能力。 · 3 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解法则的推导过程，明确运算步骤和注意事项。 · 4. 能熟练进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，做到步骤规范、结果准确。 03 知识•梳理 知识点1. 同底数幂的除法法则 · （1）法则表达式：（其中，m、n为正整数，且）。 · （2）文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 · （3）适用条件：① 底数a不能为0（0的0次幂、负整数次幂无意义）；② 底数必须相同（不同底数需先转化为相同底数，再运用法则）；③ 指数m、n为正整数，且m大于n。 · （4）易错点：混淆同底数幂的乘法与除法法则，避免出现“”的错误；忽略底数不能为0的条件。 知识点2. 零指数幂与负整数指数幂 · （1）零指数幂：（其中），即任何不等于0的数的0次幂都等于1；0的0次幂无意义。 · （2）负整数指数幂：（其中，p为正整数），即任何不等于0的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 · （3）注意事项：负整数指数幂运算后，结果需化为正整数指数幂的形式（不含负指数）；计算时需先判断底数是否为0，避免无意义的运算。 知识点3. 法则逆用 · 同底数幂除法法则逆用：（其中，m、n为正整数，且），可用于求未知幂的表达式或简化运算。 知识点4. 单项式除以单项式 · （1）法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 · （2）运算步骤：① 先算系数相除（遵循有理数除法法则，注意符号）；② 再算同底数幂相除（运用同底数幂除法法则）；③ 最后保留被除式中独有的字母及指数。 · （3）易错点：系数相除时符号出错；遗漏被除式中独有的字母及指数；同底数幂相除时指数计算错误。 知识点5. 多项式除以单项式 · （1）法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 · （2）运算步骤：① 把多项式的每一项分别除以单项式（遵循单项式除以单项式法则）；② 对每一项的商进行符号整理；③ 将所有商相加，合并同类项（若有）。 · （3）易错点：漏除多项式的某一项；每一项除以单项式时符号出错；合并同类项时漏项、错项。 知识点6. 整式除法的注意事项 · （1）整式除法的结果仍为整式（商的次数=被除式次数-除式次数）； · （2）运算时需先判断除式是否为0，除式为0时，除法无意义； · （3）混合运算中，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内的。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 · 解题技巧：正用法则时，确保底数相同、底数不为0，底数不变、指数相减；逆用时，将指数差的幂转化为两个同底数幂相除的形式，结合已知条件简化计算，注意零指数幂、负整数指数幂的取值规则。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法运算：即同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算时注意保留原式的负号即可． 【详解】解：． 【变式1】．若，，则等于（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，利用幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】解：根据幂的运算法则变形得 又， 代入得： 【变式2】．已知（为正整数），则______． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，先将原式的底数统一为，再利用幂的相关运算法则化简，最后代入已知条件计算结果． 【详解】解：， ， ． 【变式3】．已知，，则________． 【答案】9 【分析】把变形为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【题型2 单项式除以单项式】 · 解题技巧：先算系数相除（注意符号和整除性），再算同底数幂相除，最后保留被除式独有的字母及指数；若系数不能整除，结果保留分数形式，避免小数运算出错。 【典例2】．计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式运算法则，将系数与同底数幂分别相除即可求解． 【详解】解： ． 【变式1】．某科技馆中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是___________． 账号：shu li shi jie 密码 【答案】2026 【分析】根据题意可知其密码由最终表示式中x，y，z的指数依次拼接而成的，再根据幂的乘方，及单项式除以单项式进行运算，然后根据指数得出答案． 【详解】解：由，， ∴密码是由表示式中x，y，z的指数依次拼接而成的， ∴． 【变式2】．人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______．    数学问题与密码 密码M 【答案】2026 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式．根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：2026 【变式3】．计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）运用单项式除以单项式计算法则，系数和同底数幂分别相除； （2）运用单项式除以单项式计算法则，系数相除时转化为乘法，同底数幂相减； （3）运用有理数的乘除法则、同底数幂的除法运算法则和科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：，，． 【题型3 多项式除以单项式】 · 解题技巧：按“逐项相除、再相加”的步骤进行，每一项都要除以单项式，注意每一项的符号变化，除完后及时合并同类项，避免漏项。 【典例3】．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，即可计算出两处被污染的项. 【详解】解：∵ 被除式的第一项为，除式为， ∴ 商的第一项为 ； 设被除式中被污染的项为， ∵ 商的第二项为，且 ， ∴ ， ∴ ； 因此两处被污染的内容依次为和. 【变式1】．若，则代表的整式是___________． 【答案】 【详解】 解：根据题意得代表的整式是 ． 【变式2】．一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这条边上的高为__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积公式和多项式除以单项式的运算，根据三角形面积公式推导出所求高的表达式，再根据整式运算法则化简即可得到结果． 【详解】解：设这条边上的高为， 根据三角形面积公式，可得： 整理得： ． 【变式3】．八（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长是，则宽是________． 【答案】 【分析】用长方形的面积除以长等于宽，结合多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ． 【题型4 整式的混合运算】 · 解题技巧：严格遵循运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的；同底数幂运算优先运用法则简化，整式除法结合单项式、多项式除法法则分步计算，确保每一步符号准确。 【典例4】．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，多项式除以单项式运算法则，合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】先计算单项式的乘法、除法，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，再进行加减即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 整式的化简求值】 · 解题技巧：先根据整式除法、合并同类项等法则化简代数式，化简完成后再代入字母的具体值计算；代入前需检验字母取值是否使除式为0，避免无意义运算。 【典例5】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式以及完全平方公式，单项式乘以多项式的法则将式子展开，然后合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式1】．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查整式的化简求值，平方和绝对值的非负性，用到完全平方公式、平方差公式和整式乘除运算法则，解题思路为先展开括号内各项，合并同类项后计算整式除法，再根据非负性求出的值，代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ∵，且， ∴， 得 将， 代入得原式 【变式2】．已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 【答案】(1)的值为，的值为 (2)， 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则将展开后合并，然后令和项的系数分别为，得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则将原式化简后合并，再将、代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴， 解得：， 即的值为，的值为； （2）解： ， 当，时， 原式． 【变式3】．阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式，第一步 ，第二步 ，第三步 当，时，原式．第四步 (1)第一步运算用到了乘法公式（用字母表达）_____（写出1种即可）； (2)以上步骤第________步出现了错误； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)或 (2)一 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法与除法： （1）根据平方差公式或完全平方公式的定义即可写出答案； （2）括号前面是 “”号时，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变； （3）根据整式乘法和除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）或 （2）第一步出现了错误，应为： 原式 故答案为：一 （3）原式 当，时， 原式 【题型6 利用整式的除法求值】 · 解题技巧：先通过整式除法化简已知条件或所求代数式，将复杂式子转化为简单的整式形式，再结合已知条件代入求值；若有幂的运算，可结合同底数幂除法法则逆用简化。 【典例6】．某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵总花费为元，每份奖品的价格是元， ∴购买的奖品的份数为： ． 故选：D． 【变式1】．已知矩形的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式除以单项式的计算，矩形面积等于两邻边长的乘积，因此另一边长等于面积除以已知边长，按多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：另一边长为 ． 故选：B． 【变式2】．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 【变式3】．已知，则的值为____________． 【答案】1 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，系数与同底数幂分别相除，再通过指数对应相等，求出和的值，最后计算． 【详解】解：由已知等式， ，且该式等于 ∴． 由于右边不含， ∴，即：． 解得：． 代入得：． ∴． 解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是利用“同底数幂相除，指数相减”的规则，通过等式两边指数对应相等来求解． 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 · 解题技巧：结合几何图形的面积、边长关系，列出含整式除法的关系式，例如用面积除以边长求另一条边长；先根据图形关系列出算式，再运用整式除法法则计算，验证结果是否符合图形实际意义。 【典例7】．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为________．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 【变式1】．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽． 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高求出底面积，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可． 【详解】解：根据题意，纸盒的高为，纸盒底部长方形的长为， ∴纸盒底部长方形的面积为：， 则纸盒底部长方形的宽为：， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为： 【变式2】．如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键． 直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故答案为：． 【变式3】．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，数形结合表示出工件横截面的面积代数式是解决问题的关键． 可将题图补全，变成一个大长方形，则题图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积，再由整式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 【题型8 整式除法的实际应用】 · 解题技巧：根据实际问题中的数量关系设未知数，列出含整式除法的方程或代数式，先化简算式或方程，再求解；最后检验答案是否符合实际题意（如边长、数量为正数）。 【典例8】．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式除以单项式的整式运算，根据除法各部分关系“除式=被除式÷商”，利用多项式除以单项式的法则计算即可 【详解】解：小明应写的整式为 ∴答案选：B 【变式1】．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 【变式2】．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)图阴影部分面积为，图阴影部分面积为； (3)图中的阴影部分的面积是． 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键； （1）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）根据图形列出表示面积的代数式即可； （3）根据，，求出，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵两个正方形，，边长分别为，， ∴阴影部分正方形的边长为， ∴图2阴影部分面积为：； 图3阴影部分面积为：． 答：图2阴影部分面积为，图3阴影部分面积为． （3）解：根据题意得： ，， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图4阴影部分面积为： ， ． 答：图4中的阴影部分的面积是． 【变式3】．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)2090 (3) 【分析】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，故选项正确； B．，故选项错误； C．，故选项错误； D．，故选项错误． 2．已知，，则的值是（    ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘的逆运算，同底数幂相除的逆运算，将所求代数式变形为底数为的幂，利用幂的运算性质，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 则， 3．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴． 4．随着汽车电气化、网联化程度不断加深，汽车逐渐成为万物互联的重要入口之一，原本用于驾驶的时间及精力也将逐渐被高级辅助驾驶释放，数字智能座舱在汽车中显得越来越重要．高通骁龙8295芯片，是高通第四代骁龙汽车数字座舱平台中的产品，采用的是5纳米技术，已知为，则用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式除法法则，完全平方公式，平方差公式分别计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 6．灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算第二块长方形面积与第一块正方形面积的差，通过多项式展开和简化得到结果即可；本题主要考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵第一块地面积为，第二块地面积为， ∴第二块比第一块多的面积为： ； 故选：B． 7．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 8．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 9．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、赋值法计算即可得到结果． 【详解】解：对于①：当时， ∵， ∴， ∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵为自然数， ∴或， 当 时，， ∴，此时当时，， 当 时，， 正整数解共有，，三种，这三种情况对应的的值均为， ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵，，，，均为正整数， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，，共有种可能取值，故②正确； 对于③： ∵， ∴， 设的所有奇次项系数之和为，所有偶次项系数之和为， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有个． 10．已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用同底数幂的运算法则找出的关系，，，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 11．氦气是一种重要的战略资源．1亿个氦原子的质量约为，则1个氦原子的质量为________g．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先将1亿转化为科学记数法，再根据1个氦原子的质量总质量原子个数，计算即可； 【详解】解：1亿， ∴1个氦原子的质量 ． 12．已知，，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用幂的乘方逆运算与同底数幂的除法逆运算，先将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：． 13．计算：=_______． 【答案】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两个项后，再进行有理数减法运算即可. 【详解】解：. 14．小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小瑞同学记录的内容（如图所示），可得到缺失的单项式应该为____． 【答案】 【详解】解：缺失的单项式应该为． 15．如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．若图乙的面积与图甲的面积的差（即是一个常数，则这个常数为____． 【答案】 【分析】先根据长方形的面积求出它的宽，再求出周长，然后根据正方形的周长及长方形的周长相等得出正方形的边长，最后再表示出面积相减即可得出答案． 【详解】解∶ ∵长方形甲的面积为，它的长为， ∴长方形甲的宽； ∴甲的周长为， ∵长方形甲和正方形乙的周长相等， ∴正方形乙边长为， ∴， ∴． 16．计算： (1) ； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算同底数幂除法，积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，再算乘法，最后算除法即可； （3）先计算负整数指数幂，零指数幂和绝对值，再合并同类项即可； （4）先按照多项式除以单项式的运算法则去括号，再分别计算各项最后相加即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 18．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________； (2)计算：； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可知多项式，多项式，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得到多项式A和B；根据合并同类项的运算法则计算即可得到计算结果； （2）根据（1）中所求结果代入，利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； ； 计算结果： 原式 ； （2）解：原式 ． 19．如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽； (2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形面积公式求解即可； （2）先求出长方形甲的周长，再利用正方形的周长公式求出正方形的边长，进而求出正方形的面积，从而探讨和之间的数量关系． 【详解】（1）解：长方形甲的面积为，它的长为， 长方形甲的宽为； （2）解：长方形甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等， 正方形乙的边长为， ， ， ， ． 20．已知、均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为． (1)将整式化为最简形式； (2)求整式； (3)求的正确结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据整式乘法混合运算法则，进行计算即可； （2）根据，，求出整式B即可； （3）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴ ； （3）解： ． 21．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如图所示： ． 求被捂住的多项式． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ， ∴被捂住的多项式为． 22．观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题． （1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为，根据规律直接写出答案即可； （2）根据规律写出答案即可； （3）构造（2）中的公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （2）解：根据上面各式的规律可得： 故答案为：． （3）解：令， 根据（2），当，（即）时， 有， 所以， 即． 23．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 同底数幂的除法、整式的除法 （5知识点+8题型+过关检测） 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 1 【题型2 单项式除以单项式】 3 【题型3 多项式除以单项式】 4 【题型4 整式的混合运算】 4 【题型5 整式的化简求值】 4 【题型6 利用整式的除法求值】 5 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 6 【题型8 整式除法的实际应用】 7 · 1. 经历同底数幂除法法则的推导过程，理解法则的代数本质，掌握同底数幂除法的运算性质，明确法则的适用条件。 · 2. 能熟练运用同底数幂的除法法则进行简单运算，掌握法则的逆用方法，提升幂的运算能力。 · 3 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解法则的推导过程，明确运算步骤和注意事项。 · 4. 能熟练进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，做到步骤规范、结果准确。 03 知识•梳理 知识点1. 同底数幂的除法法则 · （1）法则表达式：（其中，m、n为正整数，且）。 · （2）文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 · （3）适用条件：① 底数a不能为0（0的0次幂、负整数次幂无意义）；② 底数必须相同（不同底数需先转化为相同底数，再运用法则）；③ 指数m、n为正整数，且m大于n。 · （4）易错点：混淆同底数幂的乘法与除法法则，避免出现“”的错误；忽略底数不能为0的条件。 知识点2. 零指数幂与负整数指数幂 · （1）零指数幂：（其中），即任何不等于0的数的0次幂都等于1；0的0次幂无意义。 · （2）负整数指数幂：（其中，p为正整数），即任何不等于0的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。 · （3）注意事项：负整数指数幂运算后，结果需化为正整数指数幂的形式（不含负指数）；计算时需先判断底数是否为0，避免无意义的运算。 知识点3. 法则逆用 · 同底数幂除法法则逆用：（其中，m、n为正整数，且），可用于求未知幂的表达式或简化运算。 知识点4. 单项式除以单项式 · （1）法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 · （2）运算步骤：① 先算系数相除（遵循有理数除法法则，注意符号）；② 再算同底数幂相除（运用同底数幂除法法则）；③ 最后保留被除式中独有的字母及指数。 · （3）易错点：系数相除时符号出错；遗漏被除式中独有的字母及指数；同底数幂相除时指数计算错误。 知识点5. 多项式除以单项式 · （1）法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 · （2）运算步骤：① 把多项式的每一项分别除以单项式（遵循单项式除以单项式法则）；② 对每一项的商进行符号整理；③ 将所有商相加，合并同类项（若有）。 · （3）易错点：漏除多项式的某一项；每一项除以单项式时符号出错；合并同类项时漏项、错项。 知识点6. 整式除法的注意事项 · （1）整式除法的结果仍为整式（商的次数=被除式次数-除式次数）； · （2）运算时需先判断除式是否为0，除式为0时，除法无意义； · （3）混合运算中，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内的。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂的除法及其逆用】 · 解题技巧：正用法则时，确保底数相同、底数不为0，底数不变、指数相减；逆用时，将指数差的幂转化为两个同底数幂相除的形式，结合已知条件简化计算，注意零指数幂、负整数指数幂的取值规则。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，则等于（  ） A． B． C． D．3 【变式2】．已知（为正整数），则______． 【变式3】．已知，，则________． 【题型2 单项式除以单项式】 · 解题技巧：先算系数相除（注意符号和整除性），再算同底数幂相除，最后保留被除式独有的字母及指数；若系数不能整除，结果保留分数形式，避免小数运算出错。 【典例2】．计算：______． 【变式1】．某科技馆中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是___________． 账号：shu li shi jie 密码 【变式2】．人类使用密码的历史悠久，利用下图的数学问题可以生成密码，则密码M是______．    数学问题与密码 密码M 【变式3】．计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【题型3 多项式除以单项式】 · 解题技巧：按“逐项相除、再相加”的步骤进行，每一项都要除以单项式，注意每一项的符号变化，除完后及时合并同类项，避免漏项。 【典例3】．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则代表的整式是___________． 【变式2】．一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这条边上的高为__________． 【变式3】．八（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长是，则宽是________． 【题型4 整式的混合运算】 · 解题技巧：严格遵循运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的；同底数幂运算优先运用法则简化，整式除法结合单项式、多项式除法法则分步计算，确保每一步符号准确。 【典例4】．计算：． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)． (2)． 【题型5 整式的化简求值】 · 解题技巧：先根据整式除法、合并同类项等法则化简代数式，化简完成后再代入字母的具体值计算；代入前需检验字母取值是否使除式为0，避免无意义运算。 【典例5】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【变式2】．已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 【变式3】．阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式，第一步 ，第二步 ，第三步 当，时，原式．第四步 (1)第一步运算用到了乘法公式（用字母表达）_____（写出1种即可）； (2)以上步骤第________步出现了错误； (3)请写出正确的解答过程． 【题型6 利用整式的除法求值】 · 解题技巧：先通过整式除法化简已知条件或所求代数式，将复杂式子转化为简单的整式形式，再结合已知条件代入求值；若有幂的运算，可结合同底数幂除法法则逆用简化。 【典例6】．某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知矩形的面积为，若它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】．已知，则的值为____________． 【题型7 整式的除法与几何图形的应用】 · 解题技巧：结合几何图形的面积、边长关系，列出含整式除法的关系式，例如用面积除以边长求另一条边长；先根据图形关系列出算式，再运用整式除法法则计算，验证结果是否符合图形实际意义。 【典例7】．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为________．（每个容器的厚度均忽略不计） 【变式1】．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为________． 【变式2】．如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为________． 【变式3】．如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为______． 【题型8 整式除法的实际应用】 · 解题技巧：根据实际问题中的数量关系设未知数，列出含整式除法的方程或代数式，先化简算式或方程，再求解；最后检验答案是否符合实际题意（如边长、数量为正数）。 【典例8】．科技小组的小明和小红在进行整式运算探究活动，两人各写一个整式，若把小明写的整式当作除式，小红写的整式当作被除式，规定商必须是，若小红写的整式是，则小明应写的整式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【变式2】．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式． (1)通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式； (2)有两类正方形纸片，，其边长分别为，（），图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形；用含，的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积（列出式子并化简） (3)在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为和，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【变式3】．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是（    ） A．9 B．3 C．1 D． 3．如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．随着汽车电气化、网联化程度不断加深，汽车逐渐成为万物互联的重要入口之一，原本用于驾驶的时间及精力也将逐渐被高级辅助驾驶释放，数字智能座舱在汽车中显得越来越重要．高通骁龙8295芯片，是高通第四代骁龙汽车数字座舱平台中的产品，采用的是5纳米技术，已知为，则用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．灵宝市是河南省最大的苹果种植基地，以出产苹果而闻名．某农户租两块土地种植苹果，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多（   ） A． B． C． D． 7．乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 8．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 9．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 11．氦气是一种重要的战略资源．1亿个氦原子的质量约为，则1个氦原子的质量为________g．（用科学记数法表示） 12．已知，，则代数式的值为________． 13．计算：=_______． 14．小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小瑞同学记录的内容（如图所示），可得到缺失的单项式应该为____． 15．如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．若图乙的面积与图甲的面积的差（即是一个常数，则这个常数为____． 16．计算： (1) ； (2)； (3) (4)． 17．先化简，再求值：，其中满足． 18．如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________； (2)计算：； 19．如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽； (2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 20．已知、均为整式，，某学生计算时，误把看成，这样他计算的正确结果为． (1)将整式化为最简形式； (2)求整式； (3)求的正确结果． 21．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，如图所示： ． 求被捂住的多项式． 22．观察下列各式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答下列各题： (1)直接写出结果：_____________________． (2)若n是正整数，且，则______________________． (3)根据你发现的规律，计算的值． 23．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 试卷第1页，共3页 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