综合与实践-折纸与数学课件2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册

综合与实践 折纸与数学 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 纸飞机、千纸鹤是我们常见的折纸作品.折纸是一种比较普及的传统手工技艺，它既有艺术性，也蕴含着丰富的数学知识.通过折纸活动，我们可以直观地感受几何图形的变换，实现特定线段、角度和几何图形的构造. 背景介绍 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 2 活动任务 国际标准尺寸: 210mm × 297mm. A4纸广泛应用于我们的学习和工作中，如文件打印、资料复印等. 短边：210mm 长边：297mm 3 折纸与线段 活动任务 操作1-1 任务：测量并检验一张A4纸长边和短边的长度，将其对折一次长边并裁切，得2张； 折叠次数 长边/cm 短边/cm 0 1 2 3 29.7 21.0 21.0 14.8 14.8 10.5 10.5 7.4 ... ... ... 取其中一张重复上述过程.将长边与短边的数据记录下来，并填入下表. 4 活动任务 折纸与线段 折叠过程中，图形的长边和短边都在不断缩短. 相邻两次折叠，后一次折叠图形的长边长度等于前一次折叠图形短边的长度， 思考1-1 纸片在折叠过程中，图形的长边和短边有什么变化呢？长边与短边的比值是否也会发生变化？ 折叠次数 长边/cm 短边/cm 0 1 2 3 29.7 21.0 21.0 14.8 14.8 10.5 10.5 7.4 21.0 21.0 10.5 10.5 14.8 14.8 29.7 14.8 21.0 10.5 14.8 7.4 ... ... ... 长边与短边的比值可能 不变. 长边与短边的比值 1.41 1.42 1.41 1.42 后一次折叠图形短边的长度等于前一次折叠图形长边的一半. ... 4 7.4 5.25 1.41 纸张在连续对折时，若长短边之比始终保持一致，能否求出这个比值？ 5 活动任务 折纸与线段 长边与短边的比值 ... 折叠次数 长边/cm 短边/cm ... ... ... n n+1 a b b 由 ,可得 . 思考1-2 纸张在连续对折时，若长短边之比始终保持一致，能否求出这个比值？ 6 活动任务 折纸与线段 零浪费、易缩放. A系列纸张 尺寸示意图： 思考1-2 A系列纸长短边比值恒定： . 纸张在连续对折时，若长短边之比始终保持一致，能否求出这个比值？ 7 活动任务 折纸与线段 思考1-3 给你一张矩形纸片，怎样才能折出一个正方形？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 活动任务 折纸与线段 如图，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，设为点B'，折痕与边BC的交点为E，再沿B'E折叠，所得的四边形ABEB'即为正方形. 如何证明？ 操作1-2 用一张矩形纸片折出一个正方形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 活动任务 折纸与线段 如图,将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边 AD上设为点B'，折痕与边BC的交点为E，再折叠B'E. 求证：四边形ABEB'为正方形. 通过折叠 矩形ABCD ∠BAD=∠B=90° 分析 ∠BAD=∠B=∠AB'E=90° 四边形ABEB'内角和360° ∠BAD=∠AB'E=∠B'EB=∠B=90° 正方形ABEB' ∠AB'E=∠B AB=AB' 矩形ABEB' 菱形ABEB' 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 活动任务 折纸与线段 证明 ∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠B=90°. 通过折叠可知∠AB'E=∠B=90°， ∴∠BAD=∠B=∠AB'E=90°. ∵∠BAD+∠B+∠AB'E+∠B'EB=360°， ∴∠BAD=∠B=∠AB'E=∠B'EB=90°， ∴四边形ABEB'为矩形. 由折叠过程可知AB=AB'， ∴四边形ABEB'为菱形. ∴四边形ABEB'为正方形. 还有别的折法吗？ 如图,将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在边 AD上设为点B'，折痕与边BC的交点为E，再折叠B'E. 求证：四边形ABEB'为正方形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 活动任务 折纸与线段 分别折出矩形ABCD四个内角的角平分线，折痕与折痕的交点如图所示，分别标记为E、F、G、H，则四边形EFGH即为正方形. 操作1-2 用一张矩形纸片折出一个正方形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 活动任务 折纸与线段 分别折出矩形ABCD四个内角的角平分线，折痕与折痕的交点如图所示，分别标记为E、F、G、H. 求证：四边形EFGH为正方形. ∠AEB=∠HEF，∠DGC=∠HGF 通过折叠 ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8=45° ∠AEB=∠DGC=∠BHC=∠AFD=90° ∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90° 矩形EFGH 矩形ABCD ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° AB=CD BE=CG HE=HG 菱形EFGH △AEB≌△DGC 分析 1 3 2 5 4 6 7 8 正方形EFGH HB=HC 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 13 活动任务 折纸与线段 ∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， AB=CD. ∵AF、BH、CH、DF分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA的角平分线， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8=45°， ∴∠AEB=∠DGC=∠BHC=∠AFD=90°， △AEB≌△DGC，HB=HC. ∵∠AEB=∠HEF，∠DGC=∠HGF. ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°， 证明 ∴四边形EFGH为矩形. 又∵△AEB≌△DGC， ∴BE=CG. ∴HB－BE=HC－CG， 即HE=HG， ∴四边形EFGH为菱形. ∴四边形EFGH即为正方形. 1 3 2 5 4 6 7 8 分别折出矩形ABCD四个内角的角平分线，折痕与折痕的交点如图所示，分别标记为E、F、G、H. 求证：四边形EFGH为正方形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 活动任务 折纸与线段 能得到已知线段的 、 、 ... 角平分线 能得到已知线段的 . 线段中点 能否得到已知线段的 ？ 思考1-4 通过折纸，可以折出图形的指定线段吗？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 活动任务 折纸与线段 A B C D O 操作1-3 利用正方形纸片折纸，得到正方形边长的 . 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 A B C D O 活动任务 折纸与线段 思考1-5 利用正方形纸片折纸，你是否能得到正方形边长的 、 ？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 活动任务 折纸与线段 A B C D M N 操作1-4 利用正方形纸片折纸，得到正方形边长的 . 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 活动任务 折纸与线段 A B C D M N A’ 操作1-5 利用正方形纸片折纸，得到正方形边长的 . 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 活动小结 折纸与线段 A4纸 对折长边 正方形纸片折指定线段 操作方法 线段中点 角平分线 勾股定理 学习内容 根据操作目标，主动“构造”图形和线段. 从实际生活中现成的、标准的图形里“发现”隐藏的数学规律. 矩形纸片 折正方形 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 折纸与角 活动任务 第二步：再次折叠纸片，使点 A落在MN上，记为点A'，且使折痕经过点B，得到折痕BE，同时得到线段A'E. 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕MN，把矩形纸片展开； 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 折纸与角 活动任务 在图中，你能找出60°的角吗? 思考2-1 ∠ABA'、 ∠EBC、∠AEB、∠A'EB、∠A'ED、 ∠EA'M. 连接AA'： 设MN与BE交点为G： ∠BAA'、∠AA'B. ∠EGA'、∠MGB. G 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 22 折纸与角 活动任务 ∠ABA'、 在图中，还能找到哪些度数的角? 30°角： 连接AA'： 设MN与BE交点为G： G ∠A'BC、∠MA'B、∠MA'A、∠AA'E、∠A'AE. (连接AA'，设MN与BE交点为G.) ∠BAA'、∠AA'B. ∠EGA'、∠MGB. ∠ABE、∠EBA'、 ∠EBC、∠AEB、∠A'EB、∠A'ED、 ∠EA'M. 在图中，你能找出60°的角吗? 思考2-1 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 23 折纸与角 活动任务 ∠ABA'、 在图中，还能找到哪些度数的角? 120°角： 150°角： 连接AA'： 设MN与BE交点为G： G (连接AA'，设MN与BE交点为G.) ∠BAA'、∠AA'B. ∠EGA'、∠MGB. ∠AEA'、∠BED、∠EA'N、∠MGE、∠BGA'. ∠BA'N、∠AA'N. ∠EBC、∠AEB、∠A'EB、∠A'ED、 ∠EA'M. 在图中，你能找出60°的角吗? 思考2-1 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 30°角： ∠A'BC、∠MA'B、∠MA'A、∠AA'E、∠A'AE. ∠ABE、∠EBA'、 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 24 折纸与角 活动任务 ∠ABA'、 在图中，还能找到哪些度数的角? 120°角： 150°角： 连接AA'： 设MN与BE交点为G： G (连接AA'，设MN与BE交点为G.) ∠BAA'、∠AA'B. ∠EGA'、∠MGB. ∠AEA'、∠BED、∠EA'N、∠MGE、∠BGA'. ∠BA'N、∠AA'N. ∠EBC、∠AEB、∠A'EB、∠A'ED、 ∠EA'M. 等边△ABA' 等边△EGA' 在图中，你能找出60°的角吗? 思考2-1 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 30°角： ∠A'BC、∠MA'B、∠MA'A、∠AA'E、∠A'AE. ∠ABE、∠EBA'、 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 25 折纸与角 活动任务 操作2-1 利用一张矩形纸片试折出一个60°角. 如果是一张正方形纸片，你有折出一个等边三角形的方法吗? 思考2-2 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 26 活动任务 折纸与角 操作2-2 用一张正方形纸片，折出一个等边三角形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 27 活动任务 折纸与角 操作2-2 用一张正方形纸片，折出一个等边三角形. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 28 活动任务 折纸与角 正方形 折纸 ... 已折角度 ... 可折角度 ... E F E F G 45° 30°、60°、 120°、150° 15°、60°、75° 22.5°、67.5° 15°、75° 7.5°、37.5° 思考2-3 你还能用一张正方形纸片折出哪些角度? 请举例. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 29 折纸与正方形 活动任务 一次“对折” 操作3-1 利用折纸来判断一张四边形纸片是否一定是正方形，并说明理由. 30 折纸与正方形 活动任务 一次“对折” 操作3-1 利用折纸来判断一张四边形纸片是否一定是正方形，并说明理由. 31 折纸与正方形 活动任务 矩形 菱形 两次“对折” 操作3-1 利用折纸来判断一张四边形纸片是否一定是正方形，并说明理由. 32 折纸与正方形 活动任务 A B C D M N 两次“对折” 操作3-1 利用折纸来判断一张四边形纸片是否一定是正方形，并说明理由. 33 折纸与正方形 活动任务 如图，两次“对折”后展开，有两条折痕，记为MN和AC， 如果两次“对折”图形均重叠，则四边形ABCD为正方形. 以MN为折痕“对折”时，图形重叠 ∠BAD=∠D，∠B=∠BCD AB=CD 以AC为折痕“对折”时，图形重叠 ∠B=∠D AB=AD，BC=CD ∠BAD=∠D=∠B=∠BCD A B C D M N 四边形ABCD内角和360° AB=AD=BC=CD ∠BAD=∠D=∠B=∠BCD=90° 菱形ABCD 正方形ABCD 矩形ABCD 分析 34 折纸与正方形 活动任务 如图，两次“对折”后展开，有两条折痕，记为MN和AC， 如果两次“对折”图形均重叠，则四边形ABCD为正方形. ∵以MN为折痕“对折”时，图形重叠， ∴∠BAD=∠D，∠B=∠BCD，AB=CD. ∵以AC为折痕“对折”时，图形重叠， ∴∠B=∠D，AB=AD，BC=CD. ∴∠BAD=∠D=∠B=∠BCD，AB=AD=BC=CD. ∴四边形ABCD为菱形. ∵∠BAD+∠D+∠B+∠BCD=360°. ∴∠BAD=∠D=∠B=∠BCD=90°. ∴四边形ABCD为矩形. ∴四边形ABCD为正方形. 证明 A B C D M N 35 活动任务 折纸与正方形 操作3-2 请把一张正方形纸片折成你喜欢的任意一种样式，如千纸鹤、纸飞机、纸青蛙等，展开后研究折痕. 36 活动任务 折纸与正方形 线段、角 操作3-2 请把一张正方形纸片折成你喜欢的任意一种样式，如千纸鹤、纸飞机、纸青蛙等，展开后研究折痕. 37 活动任务 折纸与正方形 A B O C D E F M N 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O. 38 活动任务 折纸与正方形 A B O C D E F M N 线段 AM、AE等线段长为 . 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 39 活动任务 折纸与正方形 A B O C D E F M N 线段 AM、AE等线段长为 . AC=BD= . 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 40 活动任务 折纸与正方形 A B O C D E F M N AO、BO等线段长为 . 线段 AM、AE等线段长为 . AC=BD= . 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 41 活动任务 折纸与正方形 线段 A B O C D E F M N P G Q AO、BO等线段长为 . AM、AE等线段长为 . AC=BD= . 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 42 活动任务 折纸与正方形 A B O C D E F M N 角 ∠BAO、∠ABO等角为45°. 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 43 活动任务 折纸与正方形 ∠EBP=∠PBO=∠QBO=∠NBQ=22.5°. ∠EPB=∠BPG=∠BQG=∠BQN=67.5°. A B O C D E F M N P G Q 如图，在正方形ABCD中，M、N、E、F分别为所在边的中点，AC平分∠BAD、∠BCD，BD平分∠ABC、∠ADC，由正方形的性质可知，MN、EF、AC、BD相交于一点，记为O.设正方形边长为a. 角 ∠BAO、∠ABO等角为45°. 44 活动任务 折纸与生活 请同学们自主设计并制作一款折纸样式. 操作4 思考 4-1 折纸的过程中，你观察到了哪些线段关系？ 4-2 折纸的过程中，出现了哪些特殊角度？它们是如何通过折叠得到的？ 4-3 如果把这个折纸作品展开，折痕图中可能会隐藏着哪些几何图形？ 45 活动任务 折纸与生活 46 活动任务 折纸与生活 47 课堂小结 折纸与线段 折纸与生活 折纸与正方形 折纸与角 A4纸长边 短边比值 矩形纸片折正方形 折指定线段 折出60°角 折等边三角形 特殊化 联系 联系 折纸判断四边形是否为正方形 探究线段与角 ... 结束语 折纸中的数学探究，常以观察由操作引发的图形变化出发，获得对其中数学关系的猜想，再通过逻辑推理加以证明.这种从动手实践到抽象思考，再用以解决问题的过程，正是数学应用于现实世界的方法体现. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 49 null 11664.0 null 30192.0 null 15024.0 null 9743.676 EV录屏5.3.4软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn null 24215.596 EV录屏5.3.4软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn null 22125.752 EV录屏5.3.4软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn null 13557.498 $