20.2勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

20.2 勾股定理的逆定理的应用 根据问题背景，建立数学模型，应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题，体会“数”“形”转化思想，培养转化、推理的能力． 学 习 目 标 思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 新 课 导 入 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 立体图形中求两点间的最短距离, 一般把立体图形展开成平面图形, 连接两点, 根据两点之间线段最短确定最短路线. 1. 有一个圆柱形油罐, 要以A点环绕油罐建梯子, 正好建在A点的正上方点B处, 问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m, 高AB是5m, π取3)? A B A B A' B' 解：油罐的侧面展开图如图, 则AB'为梯子的最短距离. ∵BB'＝2×3×2＝12, AB＝5, 又∵∠B＝90º, ∴AB' 答：梯子最短需13m. 跟踪练习 2. 有一圆柱, 底面圆的周长为24cm, 高为6cm, (1)蚂蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物, 它爬行的最短路线长为多少？ A B B A C (2)蚂蚁从距底面1cm的E处爬到对角B处吃食物, 它爬行的最短路线长为多少？ E B B E C 12 6 12 5 13 这两个命题的题设、结论分别是什么？ 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 探究点 2 互逆命题和互逆定理 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 题设 结论 题设 结论 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 题设A 结论B ① 题设B 结论A ② 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 跟踪训练 新知探究 分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置构成的三角形是直角三角形. 解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，     所以△ABC是直角三角形，且∠B=90〫， 所以 C 地在 B 地的正北方向 . 归纳总结 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： AC2 +BC2 =AB2 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 直角三角形的判定 数 形 C B A 例1 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：(1)∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，∴ 152 + 82 = 172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形， 且∠C 是直角. (2) a = 13，b = 14，c = 15. (2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225， ∴ 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理， ∴ 这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 归纳：解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 针对练习 1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， ∴BC2+AB2=AC2， 即△ABC是直角三角形， ∠B=90°. 答：C在B地的正北方向． 1.判断下列各组数是不是勾股数. （1）8,12,16；（2）12,16,20；（3）0.9,1.2,1.5     （3）不是正整数，所以不是一组勾股数. 跟踪训练 新知探究 2.给出下列数组：①5、12、13；②2、3、4；③2.5、6、6.5；④21、20、29.其中勾股数的组数是（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1         C 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12， AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：AB = 3，BC = 4，∠B = 90°， ∴ 由勾股定理得 AC2 = AB2 + BC2， 得 AC = = 5. 又 CD =12，AD = 13， ∴ AC2 + CD2 = AD2，∴△ACD为直角三角形， ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD = ×3×4 + ×5×12 = 36. 6. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF = CD. 求证∠AEF = 90°. 证明：设 CF = x，则 EC = BE = 2x，DF = 3x， AD = AB = 4x. 由勾股定理得：EF2 = EC2 + FC2 = 5x2， AE2 = AB2 + BE2 = 20x2，AF2 = AD2 + DF2 = 25x2 = 25x2， ∴EF2 + AE2 = 25x2 = AF2. 由勾股定理的逆定理知，∠AEF = 90°. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等，两条直线平行. 成立 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 对应角相等的两个三角形全等. 不成立 在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立 针对训练 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 当堂巩固 B A 1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 A.3，4，6 B.2， C.1，，2 D.6，8，10 √ 练习1 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东 的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B.此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ $