精品解析：吉林省吉林市第二十九中学2025-2026学年 八年级下学期期中考试数学试卷

八年级数学学科适应性训练 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2， B. 0.6，0.8，1 C. 5，13，14 D. 3，4，5 3. 如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 6. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_____________． 8. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 9. 正六边形的一个内角的度数为________°． 10. 如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 11. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：. 13. 如图有一块四边形的空地，其中，米，米，米，米．求出空地的面积． 14. 如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷，垂足为A，且，这样能使雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿，请证明这一结论． 15. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 16. 如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； （3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝12，求EF的长． 19. 在处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距米的处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的处． （1）此时快艇航行了多少米(即的长)？ （2）距离哨所多少米（即的长）． 20. 已知，，则： （1）      ；      ；      ． （2）计算式子的值． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简． （2）化简． （3）化简：． 22. 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1） cm； （2）当 秒时，四边形成为矩形． （3）当t为多少时，？ （4）是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科适应性训练 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2， B. 0.6，0.8，1 C. 5，13，14 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 3. 如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质依次验证即可． 【详解】解：A.四边形平行四边形， ， ，故选项正确，不符合题意； B.四边形平行四边形， ，故选项正确，不符合题意； C.四边形平行四边形， ， 与的高相等， ，故选项正确，不符合题意； D.四边形平行四边形， 与不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 5. 若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可． 【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边， ∴分两种情况讨论： ①当x为斜边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴； ②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，x的值为5或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 6. 如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得，根据正方形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【解析】 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 9. 正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角的度数为． 故答案为：120． 10. 如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理可得， 即，解得， 的面积为：． 11. 如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 设原点为， ， 表示的实数为． 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：. 【答案】-6. 【解析】 【分析】首先去绝对值以及化简二次根式和利用二次根式乘法运算去括号，进而合并同类项得出即可． 【详解】解：原式= = =-6. 【点睛】本题考查二次根式的混合运算和去绝对值.去绝对值时，可先判断绝对值内部计算的结果是正数还是负数，再根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 13. 如图有一块四边形的空地，其中，米，米，米，米．求出空地的面积． 【答案】空地的面积为平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是解题的关键．如图所示，连接，利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，米，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴（平方米）， 答：空地的面积为平方米． 14. 如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷，垂足为A，且，这样能使雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿，请证明这一结论． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．首先证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即雨刷在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿． 15. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索（或）的长度为尺. 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解. 本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程是解题的关键. 【详解】解：设的长为x尺, 尺，尺， (尺), 在中，尺，尺，尺， 由勾股定理得： 解得：， 答： 秋千绳索（或）的长度为尺. 16. 如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，得，再结合，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； （3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点构造平行四边形即可． 【小问1详解】 如图①，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） 【小问2详解】 如图②，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 【小问3详解】 如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝12，求EF的长． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，连接DC，根据三角形中位线定理可得，DE=BC，DE∥BC，又因CF=BC，可得DE=CF，进而得出四边形DEFC是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：连接DC， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE=BC，DE∥BC， ∵CF=BC， ∴DE=CF， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DC=EF， DC=AB=5， 所以EF=DC=5． 【点睛】本题考查三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线,掌握三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线是解题关键． 19. 在处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距米的处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的处． （1）此时快艇航行了多少米(即的长)？ （2）距离哨所多少米（即的长）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据含角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质求出米，，用勾股定理即可求得最后结果； （2）在中，由勾股定理得的长即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，，米，， 米，． 在中，由勾股定理得， （米）， ， 米， 此时快艇航行了米； 【小问2详解】 在中，由勾股定理得， ， ， （米）， 距离哨所米． 【点睛】本题考查了方位角，含角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 20. 已知，，则： （1）      ；      ；      ． （2）计算式子的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减，二次根式的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，结合完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，， 故答案为：；；； 【小问2详解】 由（1）可得：， ， ∴． 21. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简． （2）化简． （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干中方法进行分母有理化即可； （2）根据题干中方法进行分母有理化即可； （3）根据题干中方法进行分母有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 22. 如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： （1） cm； （2）当 秒时，四边形成为矩形． （3）当t为多少时，？ （4）是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）18 （2）6 （3）4 （4）存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【解析】 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【小问1详解】 如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； 【小问3详解】 根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； 【小问4详解】 是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $