专题07 函数与导数（5大考点）（安徽专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题07 导数 5大考点概览 考点01函数的性质及其应用 考点02导数的概念和几何意义 考点03利用导数求极值和最值 考点04零点问题 考点05不等式恒成立问题 ( 函数 的 性质 及其 应用 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 2．（2026·安徽滁州·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的周期性和奇函数性质，依次求值即得． 【详解】因为 是奇函数，所以 ，所以， 又因为 的周期为 2，所以 ． 当时，， 故. 3．（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上周期为4的奇函数， 又当时，， 故. 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为是增函数，所以需保证相邻区间的函数值满足递增关系，根据已知时的函数表达式求出该区间的最大值，再结合递推关系，建立关于不等式求解. 【详解】当时，，和都是单调递增函数，因此在内单调递增， 左端点； 在区间内，对任意，都有， 由递推关系： 当时，，因此， 若整体递增，则必有，若，函数值正负交替，不可能递增， 则该区间内部同样单调递增；而区间左端点， 区间内任意，都有， 函数整体为增函数，必须满足的最大上限值的最小起点值， 得到，解得. 再看区间，左端点， 要保持递增，需的上限值，得，和之前结论一致， 以此类推，对所有后续区间，只要，分段衔接处永远满足递增，每一段内部也保持递增. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以. 7．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可. 【详解】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式。 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 8．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题意可得，通过导数确定是时唯一的解，进而可求得的值. 【详解】因为是奇函数且，则， 解得， 设，则， 令，则，因为单调递增，且， 所以存在唯一，使， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最多有两个零点， 观察到，所以是时唯一零点， 即是在上唯一的解，经检验，满足题意， 所以，则. 9．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 二、多选题 10．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D． 【答案】BD 【分析】根据正弦函数和对数函数的性质，结合奇偶性的定义逐项判断. 【详解】函数， 令，得， 所以函数定义域为， 由于定义域关于原点不对称，则函数不具有奇偶性，A错误； ，， 则是周期函数，B正确； 由于，， 所以，故C错误，D正确. 三、填空题 11．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. 【答案】 【分析】分析函数的单调性、奇偶性，及值域，分、、三种情况讨论，根据绝对值的性质求出的取值范围，即可得出的最小值. 【详解】因为，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数， ， 因为，所以，所以，所以， 所以， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 当时，，，， 则； 当时，，，， 则. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①若， 则 ， 因为，，则， 显然，此时； ②若， 同①可知； ③若， 则， 表示函数的图象上两点、的垂直高度差， 由图可知，，， 所以， 又因为，即. 综上所述，故，即的最小值为. 12．（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线恒过定点，点是曲线上的一个动点，点，当的最小值为时，______． 【答案】 【分析】法一：取中点，应用向量加减的几何意义及数量积的运算律，结合已知得，根据等号成立条件有处切线斜率为，最后利用导数的几何意义列方程求参数值；法二：设，应用向量数量积的坐标表示得到，应用导数研究其最小值得，结合及等号成立条件求参数值. 【详解】法一：取中点，，，， 所以，而， 结合余弦定理易知，则，当且仅当重合时取等，即垂直于过点的切线， 而，此时处切线斜率为，而，从而，即． 法二：设，且，，则，， 所以，则， 当，，在上单调递减，无最小值 当，在上单调递增，，， 故存在极小值点，，得 故，即， 由，则，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，当且仅当取等， 所以，即． ( 导数的概念和几何意义 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽池州·二模）已知，则（   ） A．的导函数关于直线对称 B．曲线在处的切线方程为 C．函数的极小值点为 D．函数的极大值点为0 【答案】BCD 【分析】求出的导函数，根据二次函数的性质求得其对称轴，判断A；利用导数的几何意义求得曲线在处的切线方程，判断B；利用导数求出函数的极小值点和极大值点判断C，D. 【详解】函数的定义域为，， 所以导函数关于直线对称，所以A错误； 因为， 所以曲线在处的切线方程为，即，所以B正确； 因为， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数的极小值点为，函数的极大值点为0，所以C，D正确. 二、填空题 2．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到，对其求导并研究导函数的性质求出对应自变量，从而确定切线，将问题化为求与的距离问题，即可得. 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 3．（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 【答案】 【详解】因为，，所以，， 所以函数的图象在处的切线方程为， 将点代入，得，解得. 4．（2026·安徽合肥·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，进而利用点斜式直线方程求解即可. 【详解】由题意，则，， 所以所求切线方程为，即. 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·二模）设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得； （2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符， 时需满足，解出即可得. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）令，利用导数讨论单调性，求出的值. 【详解】（1），，的方程为，即； （2）直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，即方程只有一正实数解，即只有一正实数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增； 且时，；时，， 故. 7．（2026·安徽淮北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个不同的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数的导函数， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程是，即. （2）函数的导函数， 当时，，单调递增，方程至多有一个实根，不符合题意舍去； 当时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 时，；时，. 要使方程有两个不同的根则, 即， 所以，即， 令， 故在上单调递增，又， 所以时，. 综上：的取值范围是. ( 利用导数求极值和最值 考点 3 ) 一、多选题 1．（2026·安徽安庆·二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（    ） A． B．是极小值点 C． D． 【答案】BD 【分析】结合导数的性质与零点存在性定理得到，，举反例判断A，不断构造函数并结合导数的性质判断B，利用正弦函数性质并结合题意代换判断C，对原函数合理变形得到，结合并利用导数判断D即可. 【详解】由题意得的定义域为，则， 而极值点满足，则，结合题意得， 可得方程的根出现在时，即时， 而，，， 结合零点存在性定理得，， 对于A，由已知得，， 则，不满足，故A错误， 对于B，令，且， 令，则， 令，， 当时，，则在上单调递增， 而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 即存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则是的极小值点，故B正确， 对于C，由已知得，， 则，而， ，而，则，得到， 由正弦函数性质得在上单调递减， 则，得到，故C错误， 对于D，由题意得，， 满足，由已知得，则， 可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递增，则， 即，故D正确. 二、解答题 2．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；② 【分析】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． ( 零点问题 考点 4 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、解答题 1．（2026·安徽池州·二模）已知． (1)当时，求函数的单调性； (2)当时，判断曲线与直线交点的个数，并证明； (3)设，若存在实数，使关于的不等式的解集为，求的最小值． 参考数据：，，，，． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)1个，证明见解析 (3)3 【分析】（1）求导，根据导数的正负即可求解； （2）解法一：由局部放缩及局部求导即可证明；解法二：整体求导判断出单调性，作出简图即可判断； （3）解法一：穷举验证法，分类讨论得值求解；解法二：参变关联法，分类讨论和，结合的解集为，列出不等式即可求解． 【详解】（1）求导得，令，解得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减． （2）解法一： 由题意得， ①当时，，所以， ②当时，求导得， 所以在单调递减， 又，， 所以曲线与直线交点的个数为1． 解法二：求导得， 令，求导得， 令，则，令得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递增， 所以， 所以在R上单调递减，又，， 所以有唯一根，记为， 故在单调递增，单调递减， 取，有；取，有，画出简图如图所示， 所以曲线与直线交点的个数为1． （3）解法一：①当时，由（1）知在单调递增，单调递减， 取，有；取，有， 若，左边找点：取， 则 ，（这里用到了，，，） 右边找点：取， 则， 不满足题设条件，舍； 若，当时，， 当时，， 所以的解集为R，舍； ②时，取，有；取，有， 由②的解集为时，则（*）， 又，所以（*）不成立，舍； ③当时，取，有；取，有， 同理，当时，， 当时，求导得， 所以在单调递减， 所以的解集为时，则（）， 又，，所以（）成立， 综上，的最小正整数为3． 解法二：由，取，有；取，有， 若时，， 若时，对求导得， 所以在单调递减， 所以的解集为时，则，即且，即（）， 由（*）和（）得，令， 显然单调递增，因为，， 所以的根为（），其中， 所以的解为， 由（*）得，由（）得，结合，， 所以的最小正整数为3． ( 不等式恒成立问题 考点 5 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明 见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、解答题 1．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； (3)证明：. 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）对求导，分，和，讨论与的大小，即可得出答案； （2）由结合（1）可得，再分和结合的单调性可知不成立，可求得. （3）要证明，即证明，结合（2）中对恒成立，分别令代入上式，化简即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以由（1）知不符合题意，故， 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 所以实数的值为. （3）证明：要证， 即证， ， 即证：， 由（2）知，在上恒成立，其中当且仅当时等号成立， 于是对恒成立， 分别令代入上式， 可得：， 将上述个不等式左右两边分别相加得： ， , 所以， 所以. 2．（2026·安徽合肥·二模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，记． （i）求的取值范围； （ii）若，求直线斜率的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）（ii） 【分析】（1）通过分析得到要证，即证，令，求其二阶导数即可证明； （2）（i）将题干转化为存在两个极值点等价于在上有两个不同的根，令，求导判断单调性即可证明； （ii）设，根据题意得到，再令，通过求导求出其最大值即可求出直线斜率的最小值. 【详解】（1）当时，，要证，即证， 令，则， 令，则， ，，故在上单调递增，， ，即，故在上单调递增，， ，得证. （2）（i）求导得，存在两个极值点等价于在上有两个不同的根， 在上有两个不同的根， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故的最小值为，且当时，；当时，， 因此要使在上有两个不同的根，需要， 故的取值范围为. （ii）由题得，， 把代入，得，同理得， 直线斜率为， 设，即，又， ，解得，即， 则，即， ， 令，则， 令，则，故在上单调递增， ，即，故在上单调递增， 的最大值为， 要使直线斜率取最小值，即求的最大值， 故直线斜率的最小值为. 3．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 4．（2026·安徽安庆·二模）已知函数． (1)证明：函数的图象为轴对称图形； (2)当时，证明：； (3)若数列满足：，证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数定义域关于对称及即可判断； （2）构造函数，求导，根据导数即可证明，不等式的另一端构造函数同理即可证明； （3）令，根据三角换元可得，计算再结合（2）进行即可证明. 【详解】（1）因为定义域关于对称， 且， 所以函数关于对称，即函数的图象为轴对称图形 （2）时， 令，， 其中在上单调递增，故在上单调递减， 因为，故存在使得， 所以时，；时 即在上单调递增；在上单调递减. 又， 所以，即，即当时，. 时， 令，其中. 则， 故在上单调递增，所以， 即，即； 综上：当时， （3）由可知. 令，则， 则，， 所以，又，， 故，， . 由得， 由（2）知，即 令则，即， 即得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数 5大考点概览 考点01函数的性质及其应用 考点02导数的概念和几何意义 考点03利用导数求极值和最值 考点04零点问题 考点05不等式恒成立问题 ( 函数的性质及其应用 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·二模）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽马鞍山·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 8．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 9．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D． 三、填空题 11．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. 12．（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线恒过定点，点是曲线上的一个动点，点，当的最小值为时，______． ( 导数的概念和几何意义 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽池州·二模）已知，则（   ） A．的导函数关于直线对称 B．曲线在处的切线方程为 C．函数的极小值点为 D．函数的极大值点为0 二、填空题 2．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 3．（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 4．（2026·安徽合肥·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 三、解答题 5．（2026·安徽合肥·二模）设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 6．（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 7．（2026·安徽淮北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个不同的根，求的取值范围. ( 利用导数求极值和最值 考点 3 ) 一、多选题 1．（2026·安徽安庆·二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（    ） A． B．是极小值点 C． D． 二、解答题 2．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． ( 零点问题 考点 4 一、多选题 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所 以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、解答题 1．（2026·安徽池州·二模）已知． (1)当时，求函数的单调性； (2)当时，判断曲线与直线交点的个数，并证明； (3)设，若存在实数，使关于的不等式的解集为，求的最小值． 参考数据：，，，，． ( 不等式恒成立问题 考点 5 1．（2026·安徽宿州·一模）设函数 ，则（      ） A． 在 处的切线方程为 B． 是 的极大值点 C．当 时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A， ，在 处的切线方程为 ，化简可得 ，故A选项正确； 对于B， ，令 ，解得： , 令 ，解得： 或 , 令 ，解得： , 所以函数 在 和 递增，在 递减， 则 是 的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数 在 和 递增，在 递减，故当 时，最小值为 ，最大值为 ，所以 ，故C选项错误： 对于D选项，由于 ，D选项正确. 故选：AD 二、解答题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线 在 处的切线为 . (1)求切线 的方程； (2)求证：切线 在曲线 的下方（切点除外）. 【答案】(1) ； (2 )证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可； （2）结合（1），将问题化为证明 ，令 ，利用导数证明 恒成立，即可. 【详解】（1）由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以切线方程为 ，即 ； （2）结合（1），令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ，所以 时 ， 时 ， 所以 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一根 ， 时， 在 上单调递减， 时， 在 上单调递增， 所以函数 ，则 ，当且仅当 时取等号， 所以切线 在曲线 的下方（切点除外），得证. ) 一、解答题 1．（2026·安徽淮南·二模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； (3)证明：. 2．（2026·安徽合肥·二模）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，记． （i）求的取值范围； （ii）若，求直线斜率的最小值． 3．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 4．（2026·安徽安庆·二模）已知函数． (1)证明：函数的图象为轴对称图形； (2)当时，证明：； (3)若数列满足：，证明： ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $