第8章相交线与平行线 单元训练2025-2026学年青岛版七年级数学下册

第8章相交线与平行线综合专练 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列∠1、∠2是对顶角的() A B 2.按下列要求画图，只能画出一条直线的是( 过点P画与直线垂直的直线 过点P画与直线相交的直线 过点P画与平行的直线 ① ② ③ A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 3.若∠1+∠2=180°，则下列图形一定能得到1∥，的是() 4.王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化 遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果∠1+∠2=80°，那么∠3的度 数是() 试卷第1页，共3页 图1 图2 A.60° B.120° C.150° D.140° 5.如图1，三根木条a,b,c相交成∠1=80°，∠2=110°，固定木条b,C,将木条a绕 点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条Q旋转(). 图1 图2 A.20° B.30° C.40° D.50° 6.如图，AB∥CD,直线MN交AB于点M,交CD于点N,MP平分∠AMN交CD于点P, 若∠1=145°，则∠2的度数为() 1 A M 一B C p 一D A.65° B.68° C.70° D.75° 7.将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则：① ∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE;④如果∠2=45°，则有 BC∥AD,上述结论中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在同一平面内，线段AB的长为6，点A,B到直线I的距离分别为2和3，则符合 条件的直线1共有() 试卷第1页，共3页 B A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 9.如图所示，直线AB∥CD,点E在AB上，点H在CD上，点F、G在直线AB的上方， 点Q是FE延长线上一点，且满足∠FEG=3∠AEF,∠GHQ=3∠DHQ,则LG与∠Q的数量 关系是() G B 0 H D A.∠G+∠Q=65° B.∠Q=3∠G C.3∠Q-∠G=180° D.4∠Q-∠G=180° 10.为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B 两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的 光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转 动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束 互相平行时A灯旋转的时间是( Q B M A.1或6秒 B.8.5秒 C.1或8.5秒 D.2或6秒 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,O为垂足，如果∠E0D=38°，则 ∠COB= 0 E D 12.如图，点4，O,B在同一条直线上，∠C0D=∠A0C,OE平分∠B0D,若 试卷第1页，共3页 ∠C0D=10°，则∠C0E的度数为 E D A 0 B 13.如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=60°，则∠4的度数为 时，AB∥CD. B 3 4 C 一D 14.近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意 图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现，当 ∠EDC=126°时，台灯光线最佳.则此时∠DCB的度数为 D E B A 15.将一块三角板ABC(∠BAC-90°，∠ABC=30°)按如图方式放置，使A,B两点分别落 在直线m,n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°30'；②∠1+∠2=90°；③∠ 2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线m∥n的有，（填序号） A 20 m B I6.如图，直线AB∥EF,点C在EF上，∠EAC=LECA,BC平分∠DCF,且CA平分 ∠DCE.下列结论：①AC⊥BC;②AE∥CD;③∠1+LB=90°；④∠BDC=2∠1；⑤ SC5ac·共中正雅的是 ·(填序号) 试卷第1页，共3页 D 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.如图，直线EF,CD相交于点0,0A⊥0B,0C平分∠A0F;若∠A0E=40°，求 ∠COF,∠BOD的度数. 18.如图，己知直线AB,CD相交于点O,∠C0E=90°. B (1)若∠E0B=55°，求∠A0C的度数； (2)若LB0D:LB0C=3:7,求LA0E的度数 19.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A,B,C三点都是格点，（每个小方格的顶点 叫做格点) 操作： B (I)找出格点D,画出AB的平行线CD: (2)图中满足要求的格点D共可以找出 个； (③)找出格点E,画AB的垂线CE,垂足为H (4)线段 的长是点C到直线AB的距离， 20.如图所示，已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？ 为什么？ 试卷第1页，共3页 21.已知：如图AB∥CD,∠1=∠2，∠DFB=160°. D (1)求证：EF∥AB. (2)若LB=50°，求∠1的度数 22.如图，已知，AM∥BG,点C是射线BG上一点，且不与点B重合，∠FCG=90°， 点F在直线AM上，且不与点A重合，过点C作CD∥AB,交AM于点D,过点C作 CE⊥AB,垂足为E, AF M B G (1)补全符合题意的图形： (2)若LECF=35°，求∠BCD的度数 23.2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意 义重大.如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图， 其中∠BAE=120°，∠BCD=150°，∠ABC=3∠CBF,若AE∥CD,求∠ABF.(提示：过 点B作TH∥CD) 图1 图2 24.在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的守护者”.这些 试卷第1页，共3页 机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径. (1)【问题发现】 ①如图1，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的内部检测点，若 ∠1=30°，∠2=40°，则∠P= ②如图2，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的外部检测点，猜想 ∠P,∠1，∠2之间的数量关系是 ·(直接写出结论，不需要证明) B B D 图1 图2 (2)【尝试应用】 如图3，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，机器人设置了垂直检测线FG⊥EF，, 同时生成检测∠BEF的角平分线与LDFG的角平分线交于点P,求∠P的度数. E B G 图 (3)【拓展延伸】 如图4，直线AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的内部检测点.AI对 检测路线进行优化，设置∠BEM-4∠BEP,∠DFN-!∠DFP,EM交FP的延长线于点 M,FN交EP的延长线于点N,请你探究∠M,∠N与∠EPF的数量关系 A B 图4 试卷第1页，共3页 第8章相交线与平行线综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 2．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 3．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 4．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴． 5．如图1，三根木条，，相交成，，固定木条，，将木条绕点顺时针转动至如图2所示，使木条与木条平行，则可将木条旋转（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，图2中，从而确定旋转角． 【详解】解：在图2中，∵， ∴， ， ∴木条绕点顺时针旋转． 6．如图，，直线交于点M，交于点N，平分交于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线性质、角平分线定义及邻补角，掌握利用平行线性质转化角，结合角平分线计算角度是解题的关键． 先由邻补角求出，再利用角平分线得，结合平行线性质与三角形外角或内角和求． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 故选：C． 7．将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 8．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 9．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，证明，得到，再根据三角形外角定理得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【答案】C 【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设灯旋转的时间为秒， 灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒， 灯先转动2秒，灯才开始转动， ，即， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得，符合题设； ②如图，当时，， ， ， ， ，即， 解得符合题设； ③如图，当时，， ， 同理可得：，即， 解得，不符题设，舍去； 综上，灯旋转的时间为1秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则________． 【答案】128 【分析】根据垂线的定义得到，进而求出，再由对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，点在同一条直线上，，平分，若，则的度数为______． 【答案】/80度 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差，由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 14．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】/度 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2， ∴mn，故①符合题意； ∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠2=2∠1，∠ABC=30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故③不符合题意； 过点C作CEm， ∴∠3=∠4， ∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， ∴ECn， ∴mn，故④符合题意； ∵∠ABC=∠2-∠1， ∴∠2=∠ABC+∠1， ∴mn，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．如图，直线，点在上，，平分，且CA平分．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证；⑤求得，推出，即可判断． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ， 即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故④正确； ∵，， ∴， ∴，即，故⑤错误； 综上，正确的有：①②③④． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．如图，直线，相交于点，，平分；若，求，的度数． 【答案】， 【分析】根据可知，根据求出，根据平分求出的大小，最后求出的大小． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵平分， ， ． 18．如图，已知直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义和已知角度即可解答； （2）根据邻补角的定义和，求出，结合，即可解答； 【详解】（1）解：∵，，是直线， 根据平角的定义可得： ， ∴ ； （2）解：∵和是邻补角， ∴， ∵， 设，， 则 ， 解得， ∴， ∴， 又， ∴． 19．如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 20．如图所示，已知直线，，，，，且，，则与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据平行公理的推论即可得出结论．解题的关键是掌握平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．已知：如图，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)30° 【详解】（1）证明：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 22．如图，已知，，点是射线上一点，且不与点重合，，点在直线上，且不与点重合，过点作，交于点，过点作，垂足为． (1)补全符合题意的图形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据题意画图即可． （2）利用两直线平行内错角相等和已知角的度数求出的度数，从而解出答案． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图1所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图2所示： 步骤同图1详解一致，同理可得， ， 综上所述，． 23．2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强，意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，求．（提示：过点作） 【答案】 【分析】过点作，结合平行线的性质可得，的度数，运用角的和差关系可得的度数，进而可得的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． 24．在未来的智慧城市中，AI智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”．这些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径． (1)【问题发现】 ①如图1，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点，若，，则______． ②如图2，直线，点，分别在，上，点为机器人的外部检测点，猜想,，之间的数量关系是______．（直接写出结论，不需要证明）       (2)【尝试应用】 如图3，直线，点，分别在，上，机器人设置了垂直检测线，同时生成检测的角平分线与的角平分线交于点，求的度数． (3)【拓展延伸】 如图4，直线，点，分别在，上，点为机器人的内部检测点．AI对检测路线进行优化，设置，，交的延长线于点，交的延长线于点，请你探究，与的数量关系． 【答案】(1)① ；② (2) (3) 【分析】本题考查了平行的性质，熟练掌握平行的模型，作出合适辅助线是解题的关键． （1）过拐点作，从而得到，利用平行的性质进行角度计算即可求得答案； （2）过点作,设，，利用平行的性质可得，结合第（1）问的结论即可求解； （3）过点作，过点作，过点作，设，，利用平行的性质将，与用和表示出来，从而得出它们之间的关系． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点作， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即， 由（1）可知，． （3）如图，过点作，过点作，过点作，则， 设，， ，， ，, ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $