精品解析：湖北随州市曾都区第一高级中学2026届高三第二阶段（四月）质量检测数学试卷

2026届高三第二阶段（四月）质量检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，可得， 所以，所以. 故选：C 3. 设且，若双曲线的一条渐近线方程是，则( ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线求出其渐近线方程，由题中条件，列出等式求解即可. 【详解】令 ，得， 即双曲线的渐近线方程为， 又其中一条渐近线方程是， 由得或， 因为且，所以， 故选：A. 4. 已知是偶函数，当，时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】令，则，得， 又因是偶函数，故． 5. 已知，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论. 【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立； 若，可得，即可得，即必要性成立， 因此可得“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 6. 在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（ ） A. B. - C. ﹣ D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，求得，结合数量积运算，即可求得结果. 【详解】根据题意，，又点为中点，故可得， 如下所示： 故三角形为等边三角形，故可得， 不妨设，故可得， 则向量在向量上的投影为. 故选：. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉属基础题；注意本题中几何关系的挖掘. 7. 函数图象的对称中心为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案； 【详解】因为 ， 即，令，解得， 所以的对称中心为，， 故选：B. 8. 设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为函数与函数值的大小比较，而是偶函数，是过定点的函数. 【详解】由，得， 令，， 因为函数为偶函数， 当时，，， ，，单调增，，，单调减， 极小值；由偶函数性质，在上单调增，在上单调减，极小值， 而函数为过定点的直线，如下图 若仅存在一个整数，使得，等价于 ，解得 故选:C 【点睛】方法点睛：恒成立或有解问题，当所给函数式较为复杂时，可以通过移项转化为两个较易处理的函数进行讨论，让其中一个函数是确定的，另一个是带参数的，使得问题更加简洁. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用二项式定理中的通项，以及利用赋值处理相应问题． 【详解】∵ 令则可得：，A正确； 令则可得：即，D正确； 展开式第项的通项，则 当时，，B不正确； 当k为偶数时，，当k为奇数时， ∴ 令则可得：，C正确． 故选：ACD． 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 11. 已知抛物线（）的焦点为，过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，其，在第一象限，为坐标原点，若，则（ ）. A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则直线的斜率为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 若线段，的中点分别为点，，则与的面积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，则两条直线，，都存在斜率，设出直线的方程，将直线和抛物线联立，得到关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理得到的值，将点，代入上，计算出，由计算出的值，从而得到抛物线的标准方程；选项A，根据抛物线的标准方程求出抛物线的准线方程；选项B， 求出，利用，得到的等量关系，结合的值解出的值；选项C，利用弦长公式求出，由同理得到，计算，结合基本不等式得到四边形的面积的最小值；选项D，由线段，的中点分别为点，利用中点坐标公式和点在直线上，求出点的坐标，同理可得的坐标，求出，利用点斜式求出直线的方程，从而得到直线与轴的交点的坐标，从而得到，计算得解. 【详解】（）的焦点为， 过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，， 两条直线，，都存在斜率， 设直线的方程为， 将直线代入，得到， 整理得到， 设，，则， ，在上，， ， ，，， ， ，，，， ， 选项A，，抛物线的准线方程为，故选项A正确； 选项B，，，， ， ，， ，， ，，或， 在第一象限，在第二象限，，舍去， ，直线的斜率为，故选项B正确； 选项C，， ， ，同理可得， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 四边形的面积的最小值为，故选项C错误； 选项D，，，线段，的中点分别为点，， ，，， 直线的方程为，且在直线上，， ，同理可得， ， 直线的方程为， 设，解得， 则直线与轴的交点为，， ，，，故选项D正确. 故选：ABD. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数定义和诱导公式计算即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故答案为： 13. 在数列中，若，，则它的前项和__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 则数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以. 14. 在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据四棱锥的体积为9，建立半径与棱长的关系式求最值即可得出；将四棱锥放入长方体中，借助于长方体的外接球可得，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解最值. 【详解】如下图所示，设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积， 所以；设四棱锥的外接球半径为， 通过构造长方体可知满足； 即， 令，则，令,即； 当 所以，在上单调递减，在上单调递增；即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以，. 故答案为：3 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1），根据对数的运算性质和等差数列前项求和公式计算可得，进而 ，结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由，得， 相减可得，故. 当时，， 又，解得，所以， 因此对任意的，都有， 故为等比数列，且公比为3， 故. 【小问2详解】 . 故. ， 所以数列的前项和为. 16. 如图，在三棱锥中，. （1）求证：平面. （2）在线段BC上是否存在点D（不与重合），使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求三棱锥与三棱锥的体积之比；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在中，由正弦定理得，即， 所以，又，所以， 所以，即， 所以，所以， 所以，则， 因为，平面， 所以平面； （2）存在，三棱锥与三棱锥的体积之比为2 【解析】 【分析】（1）根据已知得，且、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）根据已知将补全为如下图所示的长方体，构建合适的空间直角坐标系，且，应用向量法及面面角的大小列方程求参数值，再由棱锥的体积公式求体积比，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 由平面，平面，则， 由，平面，则平面， 结合平面，可将补全为如下图所示的长方体， 构建如下图示空间直角坐标系，则，且， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，则，又平面的一个法向量为， 若平面与平面所成锐二面角为，则， 所以，整理得，可得， 所以，线段上存在靠近的三等分点，此时， 由，则. 17. 已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. （1）求的值； （2）求平行四边形面积的最大值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）设出点A，B的坐标，结合它们所在的直线方程，再根据向量关系得到点P的坐标，因为点P在椭圆上，将P的坐标代入椭圆方程，可得到A，B的坐标与P的坐标的关系式，进而通过弦长公式求解. （2）设直线OA的倾斜角为，通过倍角公式求出，， 利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果； 【小问1详解】 因为点分别在直线与上，所以可设， 设，则 因为四边形OAPB是平行四边形，所以 即 所以， 所以 【小问2详解】 因为点A，B分别在直线与上 设直线OA的倾斜角为，则， ， ，即， 所以平行四边形OAPB的面积为 在中，设， 所以，当且仅当时等号成立 所以平行四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，所以平行四边形的面积的最大值为. 18. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）函数的定义域为，求导得， ，， 使得，即，， 又在上单调递增， ∴当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上单调递减， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）对函数直接求导，由导数符号判断单调区间. （2）先对求导，利用导函数的单调性确定的最小值点，再将最小值与所给常数比较即可. （3）由可转化为函数在上单调递减、在上单调递增，从而得到再代入的表达式，并令，把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，分别求出下界与上界，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，． 令得，令得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，且都有，即． 在上单调递减，在上单调递增． 在上恒成立，在上恒成立． ， 令，在上单调递增，，． 在上恒成立，在上恒成立， 由得，令，则． ，在上单调递减，， 所以． 由得，令，则． ，当时，单调递增；当时，单调递减． ，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 19. 某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 【答案】（1） （2）， （3） 当能被整除时，在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值. 【解析】 【分析】（1）先计算该研究员未获得邀请的概率，再借助对立事件计算即可得； （2）借助对立事件概率可求出，再结合期望公式计算即可得； （3）表示出基本事件总数与事件所包含的基本事件数可得，再解出不等式可得，则可分是否为整数进行讨论得解. 【小问1详解】 设事件表示“研究员甲即没被“理论组”邀请，也没有被“应用组”邀请”， 则； 【小问2详解】 ； 由， 则； 【小问3详解】 当时，只能取，有， 当，整数满足，其中是和中的较小者， “两组各自独立、随机的选择人发出邀请”所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到两组人邀请的人数恰为， 仅收到一组人邀请的人数为， 则事件所含基本事件数为， 此时， 当，，即， 即， 化简得， 即，则， 假如成立， 则当能被整除时， ， 故在和处达到最大值； 则当不能被整除时， 在处达最大值.（注：表示不超过的最大整数）. 下证：， 因为，所以， ，故，显然 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二阶段（四月）质量检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A. B. C. D. 3. 设且，若双曲线的一条渐近线方程是，则( ） A. B. C. D. 4. 已知是偶函数，当，时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（ ） A. B. - C. ﹣ D. 7. 函数图象的对称中心为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 11. 已知抛物线（）的焦点为，过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，其，在第一象限，为坐标原点，若，则（ ）. A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则直线的斜率为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 若线段，的中点分别为点，，则与的面积之比为 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则_____． 13. 在数列中，若，，则它的前项和__________ ． 14. 在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，______________. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，. （1）求证：平面. （2）在线段BC上是否存在点D（不与重合），使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求三棱锥与三棱锥的体积之比；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. （1）求的值； （2）求平行四边形面积的最大值. 18. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 19. 某学术机构计划在相邻的两周各举办一场不同主题的学术研讨会，分别由“理论组”和“应用组”负责．已知该机构有位研究员，每场会议需要邀请位研究员作报告和是固定的正整数，且）．假设“理论组”和“应用组”独立地、随机地从全部位研究员中各自选择人发出邀请，且所有邀请都能准确送达．记收到“理论组”或“应用组”邀请通知的研究员人数为． （1）当时，求研究员甲收到邀请通知的概率； （2）定义变量，记“第位研究员收到“理论组”或“应用组”邀请通知”为“”，否则记为“”，求； （3）求使取得最大值的整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $