精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学综合测试（20）1.3

湖北曾都一中2025至2026学年2026届高三上数学综合测试（20） 考试时间：18:30-20:30 2026.1.03 范围（人教A版全部高中内容） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每个小题绐的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 故选：B 2. 若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，结合实部与虚部相等，可得，再解方程即可． 【详解】， 因为实部与虚部相等， 所以，解得． 故选：D． 3. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 4. 已知，是关于的方程的两个根，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理得到两根之和，两根之积，结合正切和角公式进行求解. 【详解】由韦达定理得， 故. 故选：D 5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 的极大值点为1，无极小值点 B. 的极小值点为1，无极大值点 C. 的极大值点为0，极小值点为1 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 6. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 8. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正余弦定理化简可得，对变形得，两边同时平方得，解得，再利用三角形面积公式可得结果. 【详解】因为，由余弦定理得， 又因为是斜三角形，所以，所以，由正弦定理得． 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，，化简得， 解得或（舍去）， 所以． 故选：B． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域） 9. 下列有关说法正确的是（ ） A. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 已知随机变量X服从二项分布，则 D. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，先排序，再计算对应下四分位数判断即可；对于B，根据正态分布的对称性求解即可判断；对于C，根据二项分布的方差公式得，再求判断；对于D，根据决定系数的定义可判断D. 【详解】对于A，将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，9，11，13，由，所以该组数据的下四分位数为，故错误； 对于B，因为随机变量，所以，则，为定值，故B正确. 对于C，随机变量服从二项分布，故， ，故正确； 对于D，在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好，故D 正确； 故选：BCD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若数列满足，记为的前项和，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知得出是公比为3，首项为3的等比数列，进而得出，即可判断AC；由得出数列前项和，由列出方程求解即可判断B；由，裂项得出，求和即可判断D． 【详解】由递推公式得，，构造新数列得，， 所以是公比为3，首项为3的等比数列， 所以， 所以，故A正确，C错误； 因为，所以数列前项和为：， 所以，故B正确； 由得，， 所以，故D正确； 故选：ABD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式及多项式的乘法，分类讨论求解即可. 【详解】展开式的通项为， 则的展开式中项有两种情况： ①当时，展开式中含项为，系数为； ②当时，展开式中含项为，系数为. 所以的展开式中项的系数为15. 故答案为：15 13. 已知抛物线方程为，求抛物线焦点的坐标_______，已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过将抛物线方程化为标准形式确定焦点坐标；利用已知条件求解点的坐标，再通过面积公式计算三角形面积. 【详解】①将方程化为标准形式，对应抛物线的形式，得，即. 焦点坐标为，故焦点的坐标为. ②抛物线的焦点为，设点的坐标为. 在中，，利用向量数量积公式：. 其中，，； ，，代入得，解得. 的纵坐标绝对值为，的面积为. 故答案为：； 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算可得，令，求解，可得的所有可能取值，再分类讨论，求出所有符合要求的的值即可得. 【详解】， 令，则令， 则当时，则，解得， 由，故舍去，故； 当时，，解得或； 即有三解，分别为、与； 而， 由时，， 则当时，与无解， 由时，， 则当时，无解； 当，令，即，解得或； 当时，令，即，解得； 令，即，解得， 由，故舍去，故； 综上可得，函数的零点有：、、、. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益． 参考数据：，，． 附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距． 【答案】（1），具有较高的线性相关程度 （2），40.3亿元 【解析】 【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论. (2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度． 【小问2详解】 ∵， ， ∴． ∴y关于x的线性回归方程为， 将代入线性回归方程可得，， ∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）． 16. 如图，在斜四棱柱，底面是边长为2的菱形，，且. （1）证明：平面. （2）若，，且平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】（1）证明： 连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到平面，平面，故面面平行，进而证明线面平行； （2）证明出，所以⊥，又，故⊥，从而证出线面垂直，建立空间直角坐标系，设，求出两平面的法向量，由面面角的余弦值得到方程，求出，进而得到. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接，交于点， 底面是边长为2的菱形，， 故为等边三角形，， 则，， 又因为，，所以≌，故， 所以⊥， 又，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由勾股定理得，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 解得，故. 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合诱导公式及辅助角公式化简即可求角； （2）（i）根据三角形的面积公式及余弦定理求得；（ii）由（i）可解得，即为等边三角形，再根据余弦定理求． 【小问1详解】 由，可得， 即，即，又， 则，即. 【小问2详解】 （i）因为，所以. 由余弦定理得：， 则，即， 所以， （ii），， 故为等边三角形，则， 由，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图： 因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； （2）①； ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可； （2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可. 【小问1详解】 由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年2026届高三上数学综合测试（20） 考试时间：18:30-20:30 2026.1.03 范围（人教A版全部高中内容） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每个小题绐的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知，是关于的方程的两个根，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 的极大值点为1，无极小值点 B. 的极小值点为1，无极大值点 C. 的极大值点为0，极小值点为1 D. 的极小值点为0，极大值点为1 6. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点O满足，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域） 9. 下列有关说法正确的是（ ） A. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 已知随机变量X服从二项分布，则 D. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归效果越好 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 若数列满足，记为的前项和，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________. 13. 已知抛物线方程为，求抛物线焦点的坐标_______，已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则的面积为________． 14. 已知函数，则函数的零点个数为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 （1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） （2）求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益． 参考数据：，，． 附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距． 16. 如图，在斜四棱柱，底面是边长为2的菱形，，且. （1）证明：平面. （2）若，，且平面与平面夹角的余弦值为，求. 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $