2026届高考数学解答题限时集训（二）

限时集训：2026高考数学解答题（二) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 B分)已知S,是数列a的前项和，8三)，S=0性 (1)求{a}的通项公式： (2n+1)2 (2)若数列 的前n项和为T.,证明：T<4+1. 4S. 16.(15分)如图，在四棱台ABCD-ABCD中，AA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为 √2的正方形，A4=AC=1. D D C (1)求证：AC⊥平面ABD; (2)求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值： 求直线CH与平面CBD所成角的 1 (3)已知点H在棱AA上，且三棱锥H-ABD的体积为 正弦值. 17.(15分)人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模 型A,为了比较其与传统人工智能模型B的文本生成效果，随机抽取A,B两种模型各40次 文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据 如下表 有效生成 无效生成 合计 模型A 4 模型B 12 合计 16 (1)完成2×2列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型A随机生成1次文本， 求该文本生成效果为有效生成的概率： (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. n(ad-be)' 附X2= n =a +b +c +d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.100 0.050 0.010 Xa 2.706 3.841 6.635 817分)已知卫是双曲线C。a>06>0的右焦点，P23)在C上，且P与 x轴垂直 (1)求C的方程： (2)若过点P与C的右支相切的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，O为坐标原点， 求三角形AOB的面积； (3)设过点P作两条直线与C的右支分别交于M,N(异于点P)两点，且直线PM,PN的 斜率互为相反数，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出直线N的斜率；若不是，说 明理由。 19.(1分)已知函数/e)=e-5x+1以，x[0+o）. (1)求曲线∫(x)在(1，f(1)处的切线方程： (2)求f(x)在[0，+o)上的单调区间： ⑧诺，e0o).且，满足fx)+fx)S求证：5+<2. (参考数据：e=2.71828…)限时集训：2026高考数学解答题（二) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知s是数列{a}的前n项和，a=2,S1=a1+a )求a,的通项公式： [(2n+12 (2)若数列 4S, 的前n项和为2，证明：工<4n+1 16.(15分)如图，在四棱台 BCD-ABCD中 ，4M上平面4BCD,底面1BCD 是边长 为2的正方形， AA=AC=1 B D B AC,⊥ (1)求证： 平面4BD ABD (2)求平面 与平面 CBD 夹角的余弦值： ③)已知点H在棱A4上，且三棱锥H-4BD的体积为g,求直线CH与平面C,BD所成角 的正弦值。 17.(15分)人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大 模型A,为了比较其与传统人工智能模型B的文本生成效果，随机抽取A,B两种模型各40 次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计 数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型A 4 模型B 12 合计 16 (1)完成2×2列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型A随机生成1次文本， 求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关。 nad-be)2 附X n=a+b+c+d. (a+b(c+d(a+c(b+d) 0.100 0.050 0.010 Xa 2.706 3.841 6.635 18.(17分)已知F是双曲线 号若-a06 的右焦点，P2,3)在C上，且 PF与x轴垂直， (I)求C的方程； 2若过点P与C的右支相切的直线与C的两条渐近线分别交于 ,B 两点， 为坐标原点， 求三角形AOB的面积： (3)设过点P作两条直线与C的右支分别交于M,N(异于点P)两点，且直线PM,PN的 斜率互为相反数，问直线MW的斜率是否为定值？若是，求出直线MN的斜率；若不是， 说明理由. 19.(17分)已知函数国=ex+,e0+ 求曲线在Lf)处的切线方程： 2求f八在0+切)上的单调区间： (e法x气0+o,且，满足小)+-号，泉运：+5<2 (参考数据：e=2.71828…) 限时集训：2026高考数学解答题（二） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系可推导得到，结合等差数列通项公式可分别得到为奇数和为偶数时的通项公式，进而得到； （2）根据等差数列求和公式可得，采用裂项相消法可求得，进而证得结论. 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）由（1）得：， ， ， ，. 16．（15分）如图，在四棱台中，平面，底面是边长为的正方形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)已知点在棱上，且三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明平面的法向量与直线的方向向量平行，从而证明线面垂直； （2）通过求解两个平面的法向量的夹角，从而得到两个平面的夹角； （3）根据三棱锥的体积求解出直线对应的向量，然后通过求解直线与法向量的夹角从而得到直线与平面的夹角. 【详解】（1）如下图所示，以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的一个法向量为，， ， 则，代入可得，令，则，， 则平面的一个法向量为， 又因为，，所以，所以平面. （2）设平面的一个法向量为， ，，则，代入可得， 令，则，，则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则，         所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）因为点在棱上，设，， ，解得，所以， ，平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取两种模型各次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (1)完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型随机生成次文本，求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附 【答案】(1) 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (2)文本生成效果与模型类型有关. 【分析】（1）先计算随机生成次为有效生成的频率，再由频率估计概率可； （2）直接由独立性检验计算可得. 【详解】（1）首先补全列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 根据频率估计概率，模型共生成次，其中有效生成次， 因此随机生成次为有效生成的频率为， 根据频率估计概率，利用模型随机生成次文本，该文本生成效果为有效生成的概率. （2）零假设：文本生成效果与模型类型无关. 代入卡方公式计算，令, 因为小概率值对应的临界值，由于，因此不成立. 结论：依据的独立性检验，认为文本生成效果与模型类型有关. 18．（17分）已知是双曲线的右焦点，在上，且与轴垂直． (1)求的方程； (2)若过点与的右支相切的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，求三角形AOB的面积； (3)设过点作两条直线与的右支分别交于（异于点）两点，且直线的斜率互为相反数，问直线的斜率是否为定值？若是，求出直线的斜率；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，理解见解析 【分析】（1）根据题意列式求得，即可得方程； （2）设过与的右支相切的直线方程为，与双曲线方程联立，利用判别式求得切线方程，进而与渐近线方程联立求得的坐标，可求得面积； （3）设直线，联立方程组，利用根与系数的关系可得，设，则中的换成，得，进而计算可得结论. 【详解】（1）设的右焦点为，由在上，且与轴垂直，得， 又，所以，所以的方程为． （2）的两条渐近线方程为， 设过与的右支相切的直线方程为，将此方程与方程联立，消去得， 则，且，解得， 所以切线方程为，切线与轴交于点， 由与分别联立，求出的纵坐标分别为， 所以三角形AOB的面积为． （3）设直线的方程为，由的方程与方程联立， 得 则，所以， 设，则中的换成，得， 直线的斜率为 ， 所以直线的斜率为定值. 19．（17分）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】(1) (2)的增区间为，无减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【详解】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增，所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则，所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（二) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1 15.(13分)已知S,是数列{a}的前n项和，4=Sn=a1+a）. (1)求{a}的通项公式： (2n+12 (2)若数列 的前n项和为T.,证明：T<4+1. 4S. 【答案1Qa-号ueN) (2)证明见解析 【分析】(1)利用a,与Sn关系可推导得到a+1-a1=1,结合等差数列通项公式可分别得到 n为奇数和n为偶数时的通项公式，进而得到a。: (2)根据等差数列求和公式可得S,采用裂项相消法可求得Tn,进而证得结论 【详解】(1)当n≥2时，S4=a(1+a）,.a1=Sn1-Sn=a1(1+an)-an(1+a-1) .a+1a-aa-1=a,又a≠0，.a1-an-1=1; 8=a0+a.时a4:a=1 2 2 则当n为奇数时，4=4+”1-经：当加为偶数时，a=4+ a-2(ueN). (2)由(1)得：3=1+2+3++nn1+1) 2 4 2+_②+_4n+4n+-4+1 4+11 4S. n(n+1)n2+n n(n+1) nn+1' 灭如片动如1 n+1 :1 >0,.T<4n+1. n+1 16.(15分)如图，在四棱台ABCD-ABCD中，AA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为 √2的正方形，A4=AC1=1. (1)求证：AC⊥平面ABD: (2)求平面ABD与平面CBD夹角的余弦值； (3)已知点H在棱AA上，且三棱锥H-ABD的体积为 ),求直线CH与平面CBD所成角的 正弦值， 【答案】(1)证明见解析 22 3)3v0 10 【分析】(1)通过证明平面的法向量与直线的方向向量平行，从而证明线面垂直： (2)通过求解两个平面的法向量的夹角，从而得到两个平面的夹角： (3)根据三棱锥的体积求解出直线对应的向量，然后通过求解直线与法向量的夹角从而得 到直线与平面的夹角 【详解】(1)如下图所示，以A为原点，AB,AD,A4所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系A-z, 则4aao.aa0,cw.io,pi0.4ao.c91j 设平面ABD的-个法向量为m=(x,y,),BA=（√2,0,1)，BD=（-V2,√2,0) m.BA=0 -x+y=0令r=-l,则y=1,:E, -√2x+z=0 代入可得 mBD=0 则平面ABD的一个法向量为m=(1,1V2), 又因为AC 55,m=C,所以aC/m,所以4C1平面4BD 2’2 (2)设平面C,BD的一个法向量为i=(x,乃，三)， G（591n-(5va0:则aE0 ,代入可得 2 2+=0 n.BD=0 -√2x+√2y=0 令x=1,则y=1,三=0，则平面CBD的一个法向量为i=(1,1,0), 设平面ABD与平面CBD夹角为6，则c0s0=cos(m,训= m列_2√2 园2√22· 所以平面ABD与平面CBD夹角的余弦值为2 (3)因为点H在棱AA上，设AH=h,h∈[0,1]， 3 平面CBD的一个法向量i=(1,1,0) 设直线CH与平面CBD所成角为&，则sina=cos(伍， ci.戎 -22 310 2+2+5 10, 所以直线CH与平面CBD所成角的正弦值为0 10 17.(15分)人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模 型A,为了比较其与传统人工智能模型B的文本生成效果，随机抽取A,B两种模型各40次 文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据 如下表 有效生成 无效生成 合计 模型A 4 模型B 12 合计 16 (1)完成2×2列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型A随机生成1次文本， 求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值=0.05的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附x2= n(ad-bej n =a +b +c +d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.100 0.050 0.010 Xa 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 有效生成 无效生成 合计 模型A 36 4 40 模型B 28 12 40 合计 64 16 80 0.9 (2)文本生成效果与模型类型有关， 【分析】(1)先计算随机生成1次为有效生成的频率，再由频率估计概率可： (2)直接由独立性检验计算可得。 【详解】(1)首先补全2×2列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型A 36 4 40 模型B 28 12 40 合计 64 16 80 根据频率估计概率，模型A共生成40次，其中有效生成36次， 因此随机生成1次为有效生成的频率为寸=369=0,9， 4010 根据频率估计概率，利用模型A随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率0.9 (2)零假设H。：文本生成效果与模型类型无关 代入卡方公式计算，令a=36,b=4,c=28,d=12,n=80, n(ad-be) 80×(36×12-4×28)280×3202 x=(a+b)(c+d)(a+e)(b+d) =5 40×40×64×1616×64×100 因为小概率值a=0.05对应的临界值xs=3.841,由于X2=5>3.841,因此H。不成立. 结论：依据=0.05的独立性检验，认为文本生成效果与模型类型有关， 1817分)已知是双由线C若芳=1(a>0b>0的右焦点，P2.3)在c上，且pp与 x轴垂直. (1)求C的方程： (2)若过点P与C的右支相切的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，O为坐标原点， 求三角形AOB的面积： (3)设过点P作两条直线与C的右支分别交于M,N(异于点P)两点，且直线PM,PN的 斜率互为相反数，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出直线MN的斜率：若不是，说 明理由。 【答案】()x2-上=1 (2)V5 (3)是定值-2，理解见解析 3 【分析】(1)根据题意列式求得a,b,即可得方程： (2)设过P与C的右支相切的直线方程为y=k(x-2)+3,与双曲线方程联立，利用判别式 求得切线方程，进而与渐近线方程联立求得A,B的坐标，可求得面积： (3)设直线y-3=k(x-2),M(:,y),联立方程组，利用根与系数的关系可得x= 2R-6k+6 2-3 设N(x2,2),则x中的k换成-k,得x,= 22+6k+6,进而计算可得结论 k2-3 b2 【详解】(1)设C的右焦点为F(c,0),由P(2,3)在C上，且PF与x轴垂直，得c=2,=3, 又b=c2-d,a>0b>0,所以a=1,b=√3，所以C的方程为x- 31. (2)C的两条渐近线方程为y=±V3x, 设过P与C的右支相切的直线方程为y=k(x-2)+3,将此方程与C方程联立，消去y得， (k2-3)x2+(6k-4k2)x+4k2-12k+12=0, 则k2-3≠0，且△=(6k-4k2)-4(k2-3)(4k2-12k+12)=0,解得k=2, 所以切线方起为y2x1,期线与轴交于点（兮0： 由y=2x-1与y=士5分别联立，求出4B的纵坐标分别为，5 2-V32+√3' 厅以三角形AOB的面积为2X22-32+N石 =5 (3)设直线PM的方程为y-3=k(x-2),M(x,),由PM的方程与C方程联立， 得(k2-3)x2+(6-4k2)x+4k2-12k+12=0, 则k2-3≠0.△>0，X+2=4-6k,所以5=2k6k+6, k-3 k2-3 设N(化，乃)，则x中的k换成-k,得5= 2k2+6k+6 k2-3 直线N的斜率为-上=-k(5-2)+3-(5-2)-34h-M5+) x,-x x-x x-x 4k-k 2k2-6k+6,2k2+6k+6 4k2+12 4k3-12k4k3+12k-24 k2-3 k2-3 4k-k× 2-3=2-32-3= 12k k2-3=-2, 2k2+6k+62k2-6k+6 12k 12k k2-3 K2-3 k2-3 k2-3 k2-3 所以直线N的斜率为定值-2. 19.17分)已知函数f-心x+,[Q+o). (1)求曲线f(x)在(1，f()处的切线方程； (2)求f(x)在[0，+o)上的单调区间： ⑧若，≤[®）.且x=,满是/)/)行求述+2. (参考数据：e=2.71828…) 【答案】y- (2)∫(x)的增区间为[0，+o),无减区间 (3)证明见解析 【分析】(1)应用导数的几何意义求切线方程： (2)对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间： (3)根据题设分析，令0≤名<1<号并应用极值点箱移思想构造r()=了)+了-号， e01。再应用号数研究的数符号：结合/6+，)答即可证 【详解11)由题设r)=心-+日f0=c音c=则/00，所以切找方程 为 2)设8)=f()=e-x+1,令hA()=g(国=e-x+),则(x)=e-氵 在0n)上，M倒0，创单调道说 在x=（+上，>0，he单调莲增， 4=分0.0-1号0，A0=0 在x∈[O,1)上，h(x)<0,g(x)单调递减， 在xe(1,+o)上，h(c)>0，g(x)单调递增，所以g(x)mn=g(1)=0,即g(x)=f'(x)≥0， 故∫(x)的增区间为[0，+o),无减区间： (3)由(1)，(2)知，f(x)在[0，+o)上单调递增， 若，5+m).必有f)+f)>2f0-号 若：名e0,必有f)+fx)k2f0=号 若5=1，必有()=山，矛盾， 令0≤x<1<,F()=f()+f2-x)号(xe[0.. m(x)=F'(x)=f'(x)-f'(2-x)=e*-e2-x-2e(x-1), 则m(y)=e+e2-x-2e≥2We.e2--2e=0,所以m(x)单调递增，m(1)=0, 在x∈[0,1]上，m(y)<0,F(y)单调递减，F(x)m=F()=0, x∈0，P()=f(x)+f2-x)29>F@=0, 所以，f)+2-)>号=f)+f) 所以，f(2-x)>∫(x2),即2-x>x2,原不等式成立