2026年中考数学专题特训：二次函数综合

**基本信息** 聚焦二次函数核心素养，以题载法构建从概念辨析到实际建模的完整方法体系，逻辑链条清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|单选1-7|待定系数法/图像性质分析|从定义出发，结合开口方向、对称轴等性质辨析概念| |图像性质应用|填空8-16|平移规律/最值计算|通过坐标变换、几何直观深化性质理解| |综合计算与建模|解答17-21|分类讨论/实际问题建模|从代数计算过渡到项目式应用，培养模型意识|

2026年中考数学专题特训：二次函数综合 一、单选题 1．二次函数 的图像开口向上，且经过原点，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 3．已知一个二次函数（a、b是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 1 4 6 … y … 12 4 7 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是（    ） A．该函数图象开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数有最小值，且最小值为3 D．该函数图象与x轴有两个交点 4．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．对任意实数，都有恒成立 6．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 7．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A．B． C．D． 9．一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 二、填空题 11．将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 12．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 13．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 14．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 15．如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 16．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）． (1)求这个函数图象的最小值； (2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标； (3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围． 18．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 19．二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 20．项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 21．已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学专题特训：二次函数综合》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C C D B B B 1．A 【分析】根据二次函数的图像开口向上可得二次项系数大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，， ∴， 解得：． 2．B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 3．D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：将，代入二次函数， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为：， ∴函数的开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，函数的最小值为3，该函数与x轴没有交点，则正确，选项D错误． 4．C 【分析】先将原抛物线配方得到顶点式，确定原顶点坐标，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合平移后顶点为列方程求解． 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 5．C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵当时，函数值最小，最小值为， ∴对任意实数，都有恒成立，即恒成立， ∴对任意实数，都有恒成立，故D选项正确，不符合题意． 6．C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 7．D 【分析】“零和点”在直线上，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解即为不存在“零和点”. 【详解】解：A、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； B、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； C、 对于，令，整理得，，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； D、 对于，令，，两边同乘得，即，方程无实数解，不存在“零和点”，符合题意. 8．B 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明，利用“割补法”，用大三角形的面积减去三个全等小三角形的面积，得到的面积关于的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【详解】是等边三角形， ，， ， ，，， ． 在、和中， ， ， ． 过作于点， 在中，，， ， ， ， ， 二次项系数， 函数图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，取得最小值， ． 当或时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 9．B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 10．B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 11． 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 12． 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 13． 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 14． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 15． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识． 根据图象可得：抛物线的开口向上，与轴交于正半轴，即得，进而根据抛物线与轴交于点，点可得到对称轴，即可判断，，，可得结论①②③正确；当时，即，可得结论④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，，故结论③④正确， ∴，即，，故结论②正确， ∴，故结论①正确， 综上，说法正确的个数为． 16． 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 17．(1)当时，；当时， (2) (3)当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围． 【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，得到函数的对称轴为直线，再根据和进行分类讨论即可； （2）令，则，根据题意得到，即可求出答案； （3）将代入，解得或，分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 故函数的对称轴为直线， 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，；当时，； （2）解：令，则， 即， 无论取任何实数，抛物线过轴上一定点， ， 解得， 故定点坐标为； （3）解：在图像上， 将代入，得， 解得或， 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时， 随的增大而减小； 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时，随的增大而减小； 当时，函数解析式为，的取值范围； 当时，函数解析式为，的取值范围． 18．(1)； (2)绳子不能过他的头顶；理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过． （3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点， ， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； （2）解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶． 理由如下：， ∵， ∴当时，， ∴绳子不能过他的头顶； （3）解：当时，， 解得或； 当时，， 解得或， 所以两人之间最远相距或． 19．(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； （2）解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 20．(1) (2) (3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 21．(1)， (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解； （3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解； ②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $