2026年中考数学压轴几何模型 专题27 相似三角形之母子型相似

该初中数学中考复习讲义聚焦“相似三角形母子型相似”专题，覆盖中考必考的斜射影、双垂直等模型，通过“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”四环节构建知识体系，助力学生掌握线段求值、比例式证明等核心考点，实现从基础到综合应用的系统突破。 亮点在于“模型直观化+分层训练”策略，如双垂直模型结合图形与结论推导培养几何直观，例题从翻折、旋转等综合题切入提升推理能力，三级练习适配不同学生需求。通过5分钟模型识别速练和真题变式训练，有效强化模型意识，教师可据此精准把控复习节奏，帮助学生高效提升相似综合题解题能力。

专题27 相似三角形模型之母子型相似 相似三角形之母子型相似模型，由相似三角形判定定理（两角分别相等）推导生成，是相似三角形中最基础、最常用的经典模型，可直观建立线段比例关系、实现边长与线段长度的转化，简化几何求值与证明。中考常以线段求值、比例式证明、几何综合、代几结合题型出现，题目结构简洁、规律突出，兼具基础性与延伸性，是几何相似思想与转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析相似三角形之母子型模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； （4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：. 典例分析 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 课堂随练 1．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．． 5．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 巩固提高 1．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　　． 2．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 3．如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    4．如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．    5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD 6．如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：；（2）若，，求． 7．定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．    8．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．    设，则． 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……    任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 10．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 11．如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 12.如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 13．如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    14．鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．    (1)求证：．(2)若，求的长．(3)求的值． 15．（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 16．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由． 17．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD > CD），在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于，BC＝10，求CE的长． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2    （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 19．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB； （2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积． 20．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 相似三角形之母子型相似 相似三角形之母子型相似模型，由相似三角形判定定理（两角分别相等）推导生成，是相似三角形中最基础、最常用的经典模型，可直观建立线段比例关系、实现边长与线段长度的转化，简化几何求值与证明。中考常以线段求值、比例式证明、几何综合、代几结合题型出现，题目结构简洁、规律突出，兼具基础性与延伸性，是几何相似思想与转化思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析相似三角形之母子型模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； （4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 典例分析 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M． ∵∠FAE=∠CAB=90°，， ∴EF：AF：AE=5：4：3， ∵C′H∥AF， ∴△EAF∽△EHC′， ∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3， 设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k， 由翻折可知，∠AEN=∠TEN， ∵NA⊥EA，NT⊥ET， ∴∠NAE=∠NTE， ∵NE=NE， ∴△NEA≌△NET（AAS）， ∴AN=NT，EA=ET， 设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m， 在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2， ∴（4mx）2=x2+（2m）2， 解得：， ∵AC=AB=，∠CAB=90°， ∴BC=AC=， ∴CD=BD=， ∵DM⊥CM，∠DCM=45°， ∴CM=DM=， ∵AN∥DM， ∴， ∴， ∴EM=， ∴EC=， ∴， ∴CH=，C′H=， ∴CC′=， ∵DC=DC′=DB， ∴∠CC′B=90°， ∴BC′=， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【例2】如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【例3】如图，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，以为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，由于为切点，得出垂直于切线，进而得出，根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据，求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得． 【详解】解：当点移动到过点的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图， 过的直线是的切线， 垂直于切线， 延长交于，则， 在矩形中，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 的最大面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出处于什么位置时面积最大． 【例4】如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（    ） A．27 B．26 C．25 D．24 【答案】A 【分析】过作于，在上截取，连结，；先证明，然后运用相似三角形的性质和已知条件得到；再根据图形得到，即当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可． 【详解】解：如图：过作于，在上截取，连结，， 是等边三角形，，， ，， ，． ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ∴当且仅当，，三点共线时，取得最大值为最小值， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值之积为． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 课堂随练 1．如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠EAF=∠ADB=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴EF·ED=AE2， ∵AE=4， ∴EF·ED=16， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键． 2．如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意； C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意； D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键． 3.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa， ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC ∴a2＝CE•a，4a2＝AE•a，∴CE，AE，∴， ∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故选：A． 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　） A．3：2 B．2：3 C． D．． 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD， ∴∴，故选：B． 5．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴ 由作图可得是的角平分线，∴ ∵∴ ∵∴ ∴ ∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 巩固提高 1．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　　． 【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB， ∴AD＝＝，故答案为：． 【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析． 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 又，∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵，∴，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 3．如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似三角形对应角相等是解题的关键． 4．如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可； （2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出． 【详解】（1）证明：在与中 ，，∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴，，∴， 又∵，，∴， 解得：，∴，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD 【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA；△ACD ∽△BCA；△ABD ∽△CAD （2）∵△ABD ∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD ∽△BCA ∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD ∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD （3），∴ABAC=BCAD 6．如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于． （1）求证：；（2）若，，求． 【答案】(1)见解析;(2). 【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论; (2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果. 【详解】（1）∵，∴． 又∵，，∴． 而，，∴，∴，∴． 又，，∴∽， ∴，∴，∴． （2）由（1）可知，而，， ∴，∴，∴在中根据勾股定理可知． ∵∽，∴，． 【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键 7．定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．    【答案】(1)是，证明见解析(2) 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，，，， ，，，， ，，，点是的“理想点”； （2）在上时，如图：    是的“理想点”，或， 当时，，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 8．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在中，所对的边分别为，若，则． 下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作的平分线，∴．    设，则． 证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……    任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）． (2)请补全证法2剩余的部分． 【答案】(1)相似(2)见解析 【分析】（1）由题意知，是通过构造相似三角形，然后作答即可； （2）如图2，延长到点，使得，连接，则，．由，可得．证明，则，即，整理可得． 【详解】（1）解：由题意知，构造相似三角形，故答案为：相似； （2）证明：如图2，延长到点，使得，连接，    ，． ，． ，， ，，． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∴∽，∴，∴； （2）解：∵，∴设，则（）， ∵，，同（1）得：，∴， 在中，，过作于，如图2所示： 则，在中，， ∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵，∴设，则（）， ∴，∵，， ∴，∴ 又∵，∴∽， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴， ∴；故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 10．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长；（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A，∴，∴， ∵，，∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴， ∵，，∴； ②过作，与的延长线交于， ∵，∴， ∴、和均为等腰三角形，∴， ∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键． 11．如图，，平分，连接交于.(1)求证：；(2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定和性质即可证明； （2）根据勾股定理求得的值，即可根据（1）中结论求解． 【详解】（1）证明：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，即． （2）解：在中，，，则， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12.如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 【答案】（1）2：5； （2）①证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据题意可知∠APC=90°，然后根据相似三角形的判定与性质，结合勾股定理可求解； （2）①根据等腰三角形的等边对等角，结合三角形的内角和定理可证明； ②过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 易得四边形PDCE为矩形，然后根据30°角的直角三角形和线段的垂直平分线的性质可求解. （1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵∠1=∠3=∠5，∴∠2=∠4， ∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，同理，∠BPC=135°，∴∠APC=90°， 设AC=a，PC=x，则， ，∴△APB∽△BPC， ∴，∴，， 在Rt△PAC中，，∴， ∵，∴； （2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，设∠4=∠5=， ∵AP=AC，则∠6=∠APC=，即∠1=180°-2（）=2，即∠1=2∠4； ②如图所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 则四边形PDCE为矩形，在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA， 又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PE垂直平分BC，∴PB=PC． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定、线段垂直平分线的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14．鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边的延长线相交于点F，的平分线交于点M．    (1)求证：．(2)若，求的长．(3)求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到，再根据，可得到，进而得到结论； （2）根据等角对等边可以得到，，再由（1）得结论得到，解方程可以求出结果； （3）设，连接，，根据正多边形可以推导出，，则可表示出，然后求出比值． 【详解】（1）证明：∵是正五边形，∴， ∴， 又∵的平分线交于点M，∴，∴， 又∵，∴，∴，即； （2）解：∵，∴，∴，， ∵，∴， 解得：或（舍去），∴； （3）设，，连接，，则根据（2）中计算可得， ∵是正五边形， ∴， ∴∴， ∴，，∴，∴， ∴，∴．    【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E． ①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值． 【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2） 【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可； ②由，可得，由①同理可得，计算； （2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）①∵CD平分，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． ∴．∴．∴．∴． ②∵，∴．由①可得，∴． ∴．∴是定值，定值为1． （2）∵，∴． ∵，∴．又∵，∴． 设，则．∵CD平分，∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴．∴． 如图，过点D作于H． ∵，∴．∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E． （1）求证：△ACD∽△ABE； （2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由． 【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解； 【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论； （2）连接DE，根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°． ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABE （2）连接DE， ∵△ACD∽△ABE, ∴AD：AE＝AC：AB． ∴AD：AC＝AE：AB． ∵∠A＝∠A． ∴△AED∽△ABC， 【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题的关键． 17．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD > CD），在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于，BC＝10，求CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连AD利用直径所对圆周角是90°，可得∠DAC+∠DCA=90°，再由等量代换∠EBC+∠DCA=90°，则问题可解； （2）由已知，可得∠BAD=45°，再设AD=BD=x，在△ADC中利用勾股定理求DC，进而求BC，再证明△CDE∽△CEB，求CE即可． 【详解】（1）证明：连接AD ∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90° 即∠DAC+∠DCA=90° ∵∠EBC＝∠DEC，∠DAC＝∠DEC ∴∠EBC＝∠DAC ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=90° ∴AC⊥BH （2）解：∵∠ABC＝45°，∠ADB=90° ∴∠BAD=45° ∴∠BAD=∠ABD ∴AD=BD 设AD=BD=x，CD=10-x，则 x1=4（舍），x2=6 ∴BD=6，CD=4 ∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD ∴△CDE∽△CEB ∴ 即， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理的推理、 相似三角形的性质与判定，解答关键是根据勾股定理构造方程求解． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2    （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【答案】（1）能，t的值为2s或3s；（2）t为秒与秒. 【分析】（1）在矩形ABCD中求出对角线AC的长度，然后表示出CQ、PC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，然后表示出PH的长度，根据面积为3.6cm2，列方程求解． （2）分∠PQC＝90°与∠CPQ＝90°两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作PH⊥BC于点H，    在矩形ABCD中， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝10cm， 当运动ts（0＜t＜5）时，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm， ∵∠ACB＝∠HCP，∠B＝∠PHC， ∴△PHC∽△ABC， ∴ ∴PH＝（10﹣2t）cm， 根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6， 解得：t1＝2，t2＝3． 答：当t的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6cm2时． （2）如图2，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，    ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t， ∴△PQC∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得t＝（秒）； 如图3，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，    ∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC， ∴△CPQ∽△CBA， ∴＝， 即＝， 解得t＝（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（2）时要注意分类讨论． 19．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB； （2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论； （2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四边形ABCD的面积． 【详解】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝90°， ∴∠ABE＝∠CDE. 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△EAB∽△ECD， ∴， ∴． （2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H， ∵CD＝5，cos∠ADC＝， ∴DG＝3，CG＝4. ∵S△CED＝6， ∴ED＝3， ∴EG＝6. ∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°， ∴BH＝6，AH＝， 由（1）得△ECG∽△EAH， ∴， ∴EH＝， ∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝． 【点睛】本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题，解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系；这种类型的题目给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题；三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是解决这种类型题目的关键． 20．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明； （3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ，即， ， ， ， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质． 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $