2026年中考数学压轴几何模型 专题26 垂美四边形

该初中数学讲义聚焦中考几何高频考点“垂美四边形模型”，围绕对角线互相垂直的四边形定义、面积公式及四边平方和关系等核心内容，构建“模型讲解-例题分析-课堂随练-巩固提高”四阶复习体系，通过梳理性质推导逻辑、解析中考真题题型，帮助学生突破四边形综合计算与证明难点。 亮点在于以核心素养为导向设计教学活动，如通过性质证明培养推理能力，结合矩形内点平方关系问题发展几何直观。设置“定义理解-性质应用-综合探究”递进式例题，如例3利用正方形外接构建模型意识，配合分层练习与即时反馈，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生中考几何应考能力。

专题26 垂美四边形模型 垂美四边形模型，由对角线互相垂直的四边形定义推导生成，是特殊四边形边长与面积关系的经典几何模型，可直观推导四边平方和、面积定值等核心结论，简化复杂几何计算。中考常以四边形综合、线段求值、面积探究题型出现，题目条件简洁、结论实用，规律突出、逻辑性强，是几何数形结合与定理迁移思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析垂美四边形的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 【定义】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中 AC⊥BD ①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2 ①S垂美四边形ABCD= ②由勾股定理易证。 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点，连接AP、BP DP2+BP2=AP2+PC2 ∵DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2 PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2 而AD=BC ∴ DP2+BP2=AP2+PC2 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP AP2+PC2=DP2+BP2 过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H 由已知条件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略) 而AP=EH，BP=EF，CP=FG，DP=GH ∴ AP2+PC2=DP2+BP2 例题分析 【例1】如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（    ） A．60 B．30 C．16 D．32 【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可． 【详解】由题意可知：四边形的面积 ∵AC、BD是方程的两个解， ∴，四边形的面积， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键． 【例2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 【例3】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）． （3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程) 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明过程见解析；（3）cm 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质即可求解； （2）根据垂直的定义和勾股定理即可解答； （3）连接CG、BE，BG与CE交于N点，AB、CE交于M点，先证明△BAG≌△EAC，继而得到∠ABG=∠AEC，根据∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，即有∠ABG+∠BMN=90°，则∠BNM=90°，即CE⊥BG，可知四边形CGEB是垂美四边形，根据（2）结论即可求解． 【详解】（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：连接AC、BD， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）cm； 理由： 连接CG、BE，BG与CE交于N点，AB、CE交于M点，如图， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠BAG=∠CAE， ∵AC=AG，AB=AE， ∴△BAG≌△EAC， ∴∠ABG=∠AEC， ∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNM=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴由（2）的结论可知， ∵正方形的性质有BE=AB，GC=AC， ∴BE=3，GC=2， ∵在Rt△ABC中，AB=3，AC=2， ∴由勾股定理有， ∴， ∴（cm）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的定义、勾股定理等知识，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 【例4】学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____． 【答案】4﹣2 【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得，即可求出CE的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求． 【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示： 则AB＝DE，由题意得：，即，解得：CE＝， 当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值． 【例5】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 课堂随练 1．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) . 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】(1)四边形是垂美四边形． 证明：连接AC，BD， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； 故答案为． (3)连接、， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E． 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵四边形ABCD是垂美四边形 ∴AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长． 【答案】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FMAN是矩形，理由详见解析；问题解决：. 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理可得直线AC是线段BD的垂直平分线，进而得证； （2）首先猜想出结论，根据垂直的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，进而证得猜想，将已知代入即可求得CD； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可. 【详解】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下： ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形． （2）四边形FMAN是矩形， 理由：如图3，连接AF， ∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点， ∴AF=CF=BF， 又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE， ∴AD=DB、AE=CE， ∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC， 又∵∠BAC=90°， ∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°， ∴四边形AMFN是矩形； 问题解决： 连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE= 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键. 3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形； (4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形． 【答案】(1)矩形；正方形(2)（3，4）或（4，3）(3)见解析(4) 【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知矩形和正方形都是勾股四边形； （2）如图（1）中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；（3）如图（2），连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题； （4）如图（3），当°，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴相邻两边的平方和等于对角线的平方，∴矩形、正方形都是勾股四边形；故答案为矩形、正方形； （2）解：如图（1）所示， ∴M的坐标为：（3，4）或（4，3）；故答案为（3，4）或（4，3）； （3）证明：如图（2），连接CE，由旋转得：≌，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴四边形是勾股四边形； （4）解：如图（3），°，四边形是勾股四边形． 理由如下：连接CE，由旋转得：≌，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，∴四边形是勾股四边形；故答案为． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 4． (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）              (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求． 【答案】(1)③④(2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析 (3)；理由见解析(4) 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案； （4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可． （1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④； （2）解：四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （3）解：， 证明如下：如图①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，， ，∴； （4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，， ∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形，∴， ∵AB＝10，AC＝8，∴，，， ∴，则GE＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 巩固提高 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴， 在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴，∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 2．如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：． 【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD ∵，，， ∴故：选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键． 3．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：设，四边形面积为S，则， 则： 当时，S最大为：32﹔故选：B． 【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键． 4．定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 【答案】6 【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：设，则 ∵四边形ABCD的对角线互相垂直，∴， 则： ．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6． 【点睛】本题主要考查了配方求最大值，准确分析计算是解题的关键． 5．如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】过点作于，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，在中，由勾股定理可得，然后借助的面积求出，再在中，由勾股定理可得；证明，由相似三角形的性质计算的长即可． 【详解】解：如下图，过点作于， ∵，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练运用勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如果，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射 线，上滑动，下列结论：①若C ，O两点关于对称，则②C ，O两点距离的最大值为4：③四边形的面积为；④斜边的中点D运动路径的长度是．其中正确结论的序号是_______________ 【答案】①②##②① 【分析】①先根据含角的直角三角形性质分别求出和，由轴对称的性质可知：是的垂直平分线，所以；②根据，当经过的中点E时，最大，推出C、O两点距离的最大值为4；③如图2，根据四边形的面积等于面积与面积的和，其中的面积为，的面积为，且、的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到，推出，推出，得到，得到；④如图3，半径为2，圆心角为的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公式计算得到π． 【详解】解：在，，， ∴，， 若C、O两点关于对称，如图1， 则是的垂直平分线， ∴，   ∴①正确； ②如图1，取的中点E，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴当经过点E时，最大， C、O两点间的距离最大值为4； ∴②正确； ③如图2，，其中，， 且，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴③不正确； ④如图3，斜边的中点D运动路径是：以点O为圆心，以2为半径的圆周的， 其弧长为：． ∴④不正确． 综上所述，本题正确的有：①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形，轴对称，三角形面积，二次函数，圆弧等，解决问题的关键是熟练掌握含角的直角三角形的边角性质，轴对称性质，三角形面积公式，二次函数性质，圆弧长公式． 7．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】连接，，交于点M，根据三角形中位线定理得到，，，可得四边形是平行四边形，再根据“对垂四边形”的性质得到垂直线段，从而逐步证明四边形是正方形，最后计算面积即可． 【详解】解：连接，，交于点M， ∵在四边形中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，， ∴，同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是“对垂四边形”， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 8．新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、GH，四边形EFGH即为所求；（2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相加即可；（3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之间的数量关系； （4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度． 【详解】（1）解：如图1： （2）解：如图2， Rt△ACD中，，Rt△ABC中，，． （3）∵，∴中，； 中，，中，， 中，，∴， ；∴； （4）解：连接，如图3， ∵D、E分别是中边的中点，∴； ∵，∴四边形是垂美四边形；∴； 即，得． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代换得出结论是解题的关键． 9．新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系．(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解； （2）由三角形的中位线定理可得，，，由②的结论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形，， ，； ②如图1，四边形是垂美四边形，， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ，， ，即：； （2）解：如图，连接， 、分别是中边、的中点，， ，，， ，四边形是垂美四边形， ，，．故答案为 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形 10．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP． ①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ； ②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）①，② 【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论； （2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长； ②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出． 【详解】解：（1）证明：如图中， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）①如图，连接PC、AQ交于点D， ∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形， ∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°， ∴∠PBC＝∠ABQ， ∴△PBC≌△ABQ（SAS）， ∴∠BPC＝∠BAQ， 又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°， 即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°， ∴∠PDA＝90°， ∴PC⊥AQ， 利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2 即（5）2+（4）2＝32+PQ2； ∴PQ＝． ②如图，连接PC、AQ交于点D， 同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC， ∵M、N分别是AC、AP中点， ∴MN＝， ∵MN＝2， ∴AQ＝PC＝4． 延长QB作AE⊥QE， 则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48， ∵EQ＝4+BE，∴（4+BE）2﹣BE2＝23，解得BE＝， ∴S△ABC＝BC×BE＝＝．故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 垂美四边形模型 垂美四边形模型，由对角线互相垂直的四边形定义推导生成，是特殊四边形边长与面积关系的经典几何模型，可直观推导四边平方和、面积定值等核心结论，简化复杂几何计算。中考常以四边形综合、线段求值、面积探究题型出现，题目条件简洁、结论实用，规律突出、逻辑性强，是几何数形结合与定理迁移思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析垂美四边形的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 【定义】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。 已知 图示 结论（性质） 证明过程 四边形中 AC⊥BD ①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2 ①S垂美四边形ABCD= ②由勾股定理易证。 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点，连接AP、BP DP2+BP2=AP2+PC2 ∵DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2 PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2 而AD=BC ∴ DP2+BP2=AP2+PC2 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP AP2+PC2=DP2+BP2 过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H 由已知条件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略) 而AP=EH，BP=EF，CP=FG，DP=GH ∴ AP2+PC2=DP2+BP2 例题分析 【例1】如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（    ） A．60 B．30 C．16 D．32 【例2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【例3】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（如图1）．下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证、证明）． （3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，则GE长为 ．(直接写出结果，不需要写出求解过程) 【例4】学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____． 【例5】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 课堂随练 1．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 2．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E． 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵四边形ABCD是垂美四边形 ∴AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长． 3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________． (2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形； (4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形． 4． (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）              (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求． 巩固提高 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 2．如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 4．定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 5．如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ． 6．如果，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射 线，上滑动，下列结论：①若C ，O两点关于对称，则②C ，O两点距离的最大值为4：③四边形的面积为；④斜边的中点D运动路径的长度是．其中正确结论的序号是_______________ 7．定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”中，对角线与交于点O，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，且四边形是“对垂四边形”，则四边形的面积是 ． 8．新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 9．新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系．(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 10．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2． （2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP． ①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ； ②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $