精品解析：江苏扬州大学附属中学东部分校2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试题

江苏扬州大学附属中学东部分校2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 所以 2. 在中，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求，结合三角形内角和的性质即可求. 【详解】因为在中，， 所以，由正弦定理得， 因为，所以或 检验或均满足内角和定理， 所以或 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，，再结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】 因为， 所以，，， 所以 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，进而根据二倍角公式，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 . 5. 如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与B相距5n mile的C处.两艘轮船之间的距离为（ ）n mile. A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可知为正三角形，再解，即可求出． 【详解】 如图所示：连接，由题可知，，， 所以为正三角形，在中，，， 所以，，即． 所以，两艘轮船之间的距离为. 6. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 由余弦定理得：，， ，解得：，. 8. 在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角、向量数量积公式和三角形面积公式可分别求得的值，进而得到；根据三点共线可确定，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】记所对边分别为， ，， ，解得：， ，， ，，，，，， ， 为线段上的动点（不含端点），且，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图形利用向量的线性运算一一判断即可. 【详解】对A，由题意得，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，依次由余弦定理求出即可求解判断；对于B，由即可判断；对于C，先由正弦定理求出a，再由面积公式即可求解判断；对于D，先由题设求出的取值范围，再由正弦定理结合两角差的正弦公式以及弦化切即可求出即可求解判断. 【详解】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，若，则，所以有两解，故B错误； 对于C，若，则，则， 所以，故C正确； 对于D，由题，若为锐角三角形， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. __________.. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为， 所以 所以 13. 在中，，则是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出，再利用余弦定理表示出，两者相等变形后，利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断． 【详解】∵在△ABC中，，即， ， 由余弦定理得：，即， 整理得：，即， 则△ABC为直角三角形， 故答案为直角 【点睛】此题考查了余弦定理，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 14. 在任意平面四边形中，点分别在线段上，且，，则与夹角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量线性运算得，再根据向量模求解即可. 【详解】由题意得：①， 又②， 由①+②可得，即， 所以， 设与夹角为，因为，， 所以，解得. 所以与夹角的余弦值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）若与夹角为钝角，实数的取值范围； （2）若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意且与不共线，再分别求解对应的参数范围即可求得答案； （2）先根据向量垂直关系求得，再根据投影向量的公式求解即可. 【小问1详解】 因为，与夹角为钝角， 所以且与不共线， 因为与共线时，有，解得， ，解得， 所以与夹角为钝角时，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以向量在向量上的投影向量为， 即向量在向量上的投影向量坐标为. 16. 已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ （1）若，求b、c； （2）若，求c． 【答案】（1）1，； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值． 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． 【小问2详解】 ∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 17. 已知，，且，. （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【小问1详解】 根据两角差的正切公式，，解得， 【小问2详解】 注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 18. 在中，角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，点在外，，求四边形面积的最大值； （3）若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， 【小问2详解】 解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值. 【小问3详解】 解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬州大学附属中学东部分校2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. （ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔，灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西方向，与A相距mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西方向，与B相距5n mile的C处.两艘轮船之间的距离为（ ）n mile. A. B. C. 4 D. 6. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. __________.. 13. 在中，，则是______三角形． 14. 在任意平面四边形中，点分别在线段上，且，，则与夹角的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知 （1）若与夹角为钝角，实数的取值范围； （2）若，求向量在向量上的投影向量坐标. 16. 已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ （1）若，求b、c； （2）若，求c． 17. 已知，，且，. （1）的值； （2）的值. 18. 在中，角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，点在外，，求四边形面积的最大值； （3）若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $