专题03 构造直角三角形斜边上的中线（举一反三专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦直角三角形斜边中线性质，通过“直接应用-构造辅助线-综合迁移”的递进式题型设计，系统培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1|1例+3变式|直接应用斜边中线性质求值|性质基础应用，连接已知直角与中点条件| |题型2|1例+3变式|连斜边上的中线构造等量关系|从已知中点出发，构建中线实现边角转化| |题型3|1例+3变式|取斜边中点连中线构造辅助线|主动创造中点条件，突破无明显中点情境| |题型4|1例+3变式|取共斜边中点连双中线证等量|综合运用双中线性质，解决复杂图形问题|

专题03 构造直角三角形斜边中线（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】 1 【题型2 构造直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】 4 【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】 9 【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】 13 【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质、勾股定理．解题关键是通过等腰三角形三线合一确定为中点，再利用直角三角形斜边中线性质得出与的数量关系，最后借助勾股定理算出的长度．本题围绕等腰三角形和直角三角形的性质展开．已知是等腰三角形、为高，需借助直角三角形斜边中线性质，建立与的联系，再结合勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴是的中点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在 中，，． ， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， ∵D是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【题型2 构造直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】 【例2】如图，等腰的斜边的中点为D，，E是边上一点，连接，过点D作，交于点F．若，四边形的面积是9，则的长为 ． 【答案】4 【分析】过点D作于点G，作于点H，连接，根据等腰直角三角形的性质易证都是等腰直角三角形，得到，进而得到四边形是正方形，再证明，得到，由四边形的面积是9，推出正方形的面积为9，进而得到，由，求出，即可求解． 【详解】解：过点D作于点G，作于点H，连接， 等腰中，，点D为斜边的中点， ， ， 都是等腰直角三角形， ，， 同理得：都是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积是9，即， ， 正方形的面积为9， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角的判定与性质，正方形的判定与性质，直角三角形的特征等知识，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点E、F分别为线段的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故答案为：4． 【变式2-2】如图，在和中，，为的中点，连接，，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的内角和与外角的性质，连接，根据斜边上的中线的性质，得到，根据三角形的外角得到，再根据等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 即： ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】已知线段的两端分别在轴和轴上，，取的中点，在轴负半轴上取点，连接，过点作交轴于点，记的面积为，的面积为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．连接，由等腰直角三角形的性质可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半以及等腰三角形三线合一的性质，得到，，再证明出，得到，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】 【例3】如图，，边长为的等边三角形的顶点，分别在边，上．当在边上运动时，随之在边上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点到点的最大距离为 ． 【答案】/ 【详解】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间，线段最短；根据两点之间，线段最短推得点、、三点共线时点到点的距离最大是解题的关键． 取的中点为点，连接、，根据等边三角形的性质可得，，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，然后根据两点之间，线段最短可得当点、、三点共线时点到点的距离最大，即可求解． 【点睛】解：如图，取的中点为点，连接、， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 由图可知，当点、、三点共线时点到点的距离最大， 最大值为． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线、直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质以及平行的性质，解题的关键是通过取中点构造辅助线． 取的中点，连接，，利用直角三角形斜边中线定理等腰三角形的性质以及平行的性质求解角度． 【详解】取的中点，连接，，   ， ∵是中线，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识． 如图，记的中点为，连接，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴ ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【变式3-3】如图所示，等边边长为6，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，，由直角三角形的性质得到的长，由，即可求出的最小值． 本题考查求线段最小值的问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线得到． 【详解】解：取中点，连接，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】 【例4】如图所示，和中，，为的中点，，交于，，求证：. 【答案】见解析 【分析】连接OD.因为∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点；所以有=OB=OC，进而∠COD=2∠CBD，∠BOE=2∠BCE；又因为∠BAC=120°；所以有∠CBD+∠BCE=60°，∠COD+∠BOE=120°；所以∠DOE=60°；从而证得△DOE是等边三角形，所以DE=OE. 【详解】连， ∵为的中点， ∵=OB=OC， ∴∠COD=2∠CBD,∠BOE=2∠BCE. ∵∠BAC=120°， ∴∠CBD+∠BCE=60°， ∴∠COD+∠BOE=120°， ∴∠DOE=60°， ∴△DOE是等边三角形， ∴DE=OE. 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是要掌握分析题中的各种信息条件，找到相应的知识来解决问题，然后根据以往做题经验找出解决问题的方法. 【变式4-1】已知，中，，，D为的中点，若E在直线上任意一点，，交直线于F点，G为的中点，延长与交于点H． (1)若E在边上．证明①；②． (2)若，，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)14或2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，画出相应图形分析求解是解答的关键． （1）①连接，推出，，，证，最后根据全等三角形的性质即可得出； ②连接，根据直角三角形斜边上中线求出，推出，推出，推出即可； （2）分两种情况，当E在线段上时和当E在线段CA延长线上时，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①连接，如图1所示： ∵，，D为的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 证明：②连接，如图2所示： ∵，G为的中点， ∴， ∵，G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： ①当E在线段上时，， ∴， 由（1）①知：， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴； ②当E在线段CA延长线上时，如图3所示： ， 综上所述，或2． 【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的 ． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的性质得到：，， ，得到①的结论正确；利用梯形的判定与性质判断②不正确；连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到③的正确；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到④的正确；利用等腰直角三角形的性质判断⑤不正确． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴①的结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∵， ∴， ∴②的结论不正确； 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为M， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴③的结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴④的结论正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ∴⑤的结论不正确． 综上，正确的结论有：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，条件适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理推出，根据旋转的性质和中点的定义得到，根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到，得出，再利用直角三角形的性质推出，得出，再利用直角三角形的性质即可求出的长； （2）连接、，由（1）得，，，推出四边形是矩形，则有，，利用等面积法求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：（1）， ， ， 将绕边的中点O逆时针旋转得到， ，，，，， 点O是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接、， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ，， 是的高， ， ， ，， ， ， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 构造直角三角形斜边中线（举一反三专项训练） 【新教材华东师大版】 【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】 1 【题型2 构造直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】 2 【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】 3 【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】 4 【题型1 利用直角三角形的斜边中线直接求值】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【题型2 构造直角三角形斜边中线（连斜边上的中线）】 【例2】如图，等腰的斜边的中点为D，，E是边上一点，连接，过点D作，交于点F．若，四边形的面积是9，则的长为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点E、F分别为线段的中点，连接，若，则的长为 ． 【变式2-2】如图，在和中，，为的中点，连接，，若，则 ． 【变式2-3】已知线段的两端分别在轴和轴上，，取的中点，在轴负半轴上取点，连接，过点作交轴于点，记的面积为，的面积为，则的值是 ． 【题型3 构造直角三角形斜边中线（取斜边中点，连中线）】 【例3】如图，，边长为的等边三角形的顶点，分别在边，上．当在边上运动时，随之在边上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点到点的最大距离为 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是 ．    【变式3-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段的最大值是 ． 【变式3-3】如图所示，等边边长为6，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为 ． 【题型4 构造直角三角形斜边中线（取共斜边中点，分别连两中线）】 【例4】如图所示，和中，，为的中点，，交于，，求证：. 【变式4-1】已知，中，，，D为的中点，若E在直线上任意一点，，交直线于F点，G为的中点，延长与交于点H． (1)若E在边上．证明①；②． (2)若，，求边的长． 【变式4-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，两个全等的含的三角板和三角板，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，，连接，取的中点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $