精品解析：湖南岳阳市2026届高三下学期5月信息模拟卷数学

岳阳市2026届高三信息卷 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项； 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的点和对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对化简，然后利用对称关系可求出复数. 【详解】， 因为复数对应的点和对应的点关于虚轴对称， 所以. 故选：C 3. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 4. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ） A. 28 B. C. D. 74 【答案】A 【解析】 【分析】设正四棱台的高为，根据对角面的面积，列出方程，求得，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为，所以， 设正四棱台的高为，则，可得， 正四棱台的上底面面积为，下底面面积为， 则该正棱台的体积为. 故选：A. 5. 过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到最小时，最小，先求出最小值，再利用计算出结果. 【详解】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以的最小值为. 故选：B. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑思想结合均值不等式求解作答. 【详解】，由得：， 即，解得， 当且仅当时取等号，由解得， 所以当时，取得最小值4. 故选：A 7. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ） 频率 半音 C D E F G A B C（八度） A. B. G C. D. A 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案. 【详解】依题意可知. 由于满足，则， 所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为， 所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题. 8. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ） A. 对于任意点，平面 B. 直线被球截得的弦长为 C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】令与重合，利用特殊位置举反例证明A错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求得、两直线所成角，从而求得点到直线的距离，即可求得直线被球截得的弦长，判断B选项；确定过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆为以直线被球O截得的弦长为为直径的圆，从而求得圆的面积，判断C选项；确定当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用正弦定理面积公式求六边形面积即可判断D选项. 【详解】 对于A，根据已知条件圆为以为圆心，半径的圆；在棱上移动， 当与点重合时，平面即为平面，因为在直线上， 所以平面，所以与平面相交，A错误； 对于B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，，， 设直线与直线夹角为，则， 由此可知，连结，过作直线的垂线，垂足为， 则在中，有，解得， 设直线被球O截得的弦长为，则，B错误； 对于C，过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，有垂直于过的平面， 此时圆的半径为，圆的面积为，C正确； 对于D，根据题意当为的中点时， 过，，的平面截该正方体所得截面为正六边形，， 在中，，所以边长， 所以截面面积为，D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：⑴利用球的弦长公式计算弦长；⑵确定平面截正方体所得截面的形状. 二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时有最大值 D. 当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 因为数列单调递减且， 所以或时有最大值，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线：（）的准线方程为，过的焦点的直线与交于，两点，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 存在直线，使得为直角三角形 C. 若，则的周长为 D. 若，则直线的倾斜角为60°或120° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件求出抛物线方程，设出直线，利用韦达定理，结合抛物线定义及向量夹角公式逐项分析判断. 【详解】由抛物线的准线方程为，得该抛物线方程为，其焦点为，设， 对于A，由抛物线的定义，得，则， 而直线的倾斜角不为0，设其方程为，由，得， 则，， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，，， 得，则， 而，因此一定为钝角，即为钝角三角形，B错误； 对于C，由抛物线的定义，得，解得，则， 不妨令点在第一象限，则，即，，又，则， 而点在第四象限，则，即，，， ，，的周长为，C正确； 对于D，由，得，即， 整理得，则，解得， 因此直线的斜率为或，即直线的倾斜角为30°或150°，D错误． 故选：AC 11. 已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（ ） A. B. C. 在上的最小值为 D. 存在，使得是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由展开得到对应系数相等，即可判断A、B，求出函数的导函数，说明的单调性，即可判断C，求出的对称中心，即可判断D. 【详解】由题意可得 ， 所以即为系数的相反数，即，故A错误； 即为常数项，即，故B正确； 因为，所以， 则在上单调递增，又，则在恒成立， 所以在单调递减，所以，故C正确； 因为， 则， 所以，所以的对称中心为，所以关于对称， 即为奇函数，则， 所以存在，使得为奇函数，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到，再由正切的倍角公式和两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意，角的终边过点，根据三角函数的定义，可得， 则， 又由. 故答案为：. 13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为， 两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,， ， 所以. 故答案为：,. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化成恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，此时问题转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解. 【详解】已知，函数定义域为， 若恒成立，即恒成立， 此时，即恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得 当时，；当时，， 又，所以当时，，， 此时需满足，即恒成立， 则在恒成立， 所以在恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时， 则实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】求解不等式恒成立问题，首先是对题目所给不等式进行转化，利用化归与转化的数学思想方法，转化为“有规律”的结构，如本题中，将题目所给不等式转化为，则可构造出对应的函数，然后利用导数进行求解. 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据正弦定理边角互化并整理得，进而得答案； （2）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而结合已知条件得，再求解正弦值即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，即， 所以，正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，． 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 解：因为， 所以，由正弦定理得． 又因为，， 所以， 整理可得，即， 所以， 因为， 所以或，即或， 因为， 所以，． 16. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立． （1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率； （2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望． 【答案】（1）分别抽人，人，人，；（2）的分布列为下表： 2 5 8 ，.【解析】 【分析】（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得； （2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件，利用相互独立事件的概率公式求出，则可取值，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可； 【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人. 记事件：“员工被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以员工被抽到的概率为. （2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件， 由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以， 则可取值：2，5，8， ﹔ ， 所以的分布列为下表： 2 5 8 则的期望为． 【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接､， 因为，为的中点，所以，故， 因为为等边三角形，所以， 又因为，面，因此平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以直线在平面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角为，则， 因为，，所以是正三角形，则， 因为为等边三角形，，则， 所以在中，由，得， 则，所以， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，在中，，， 所以，又，所以，即， 又平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到在平面的射影在直线上，即，进而证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面，则，接着利用勾股定理证得，由此可得平面； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面与平面的法向量，从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知､､两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由于是的中点，易得， 又由可得， 所以，， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面与平面的夹角为，易知， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）点Q为椭圆C内部一点，其与椭圆C的左焦点以及上顶点S构成的△为等边三角形，试求△外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合可求； （2）根据等边三角形边长相等且点Q为椭圆C内部，可求点Q的坐标，再由等边三角形的性质求圆心和半径． 【小问1详解】 由已知条件知离心率，长轴， 故，，， 故所求的椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 设点Q的坐标为，由为等边三角形，可得， 因此， 求解可以得到或 由于点Q在椭圆内部，因此需满足，由此可以排除后一种情况，得到点Q的坐标为， 等边三角形外接圆的圆心即为其中心，因此圆心坐标为，半径为， 故外接圆的方程为. 19. 记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【答案】（1）； （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数 有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数 与不存在“ 点”； （3）对任意的 ，存在，使得函数和在区间内存在“ 点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“ 点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为 ， 所以， 由 得： ， 又因为 ，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意 ，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“ 点”. 【解析】 【分析】（1）求导，设“ 点”为，解方程组，可得结论． （2）假设存在“ 点”为，解方程组，应用等式无解可得结论； （3）设“ 点”为，由，用表示出 ，由 求得的范围，利用导数求得 的范围即可求解. 【小问1详解】 设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市2026届高三信息卷 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项； 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点和对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ） A. 28 B. C. D. 74 5. 过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ） 频率 半音 C D E F G A B C（八度） A. B. G C. D. A 8. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ） A. 对于任意点，平面 B. 直线被球截得的弦长为 C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D. 当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时有最大值 D. 当时，n的最大值为8 10. 已知抛物线：（）的准线方程为，过的焦点的直线与交于，两点，过，分别作准线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 存在直线，使得为直角三角形 C. 若，则的周长为 D. 若，则直线的倾斜角为60°或120° 11. 已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（ ） A. B. C. 在上的最小值为 D. 存在，使得是奇函数 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为______． 13. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题；本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，，求． 16. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立． （1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率； （2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆C的方程； （2）点Q为椭圆C内部一点，其与椭圆C的左焦点以及上顶点S构成的△为等边三角形，试求△外接圆的方程. 19. 记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． （1）若函数与存在“点”，求实数的值； （2）证明函数与不存在“点”； （3）已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $