易错12 统计与概率（易错专练，6大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间的销售情况如表： 尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 3 4 7 15 6 3 2 根据表中数据，可建议鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为 __． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.3环，方差分别为，，则三人中成绩最稳定的选手是______． 【变式1-3】60．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 (1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； (2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． (3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2026·江苏无锡·一模）一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（   ） A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏徐州·中考真题）小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·二模）某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是____． 【变式2-3】（2025·江苏南京·一模）周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是________分，____分． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】（2026·江苏无锡·一模）六位同学心理测试的成绩分别为：分、分、分、分、分、分，则这位同学的成绩众数和平均数分别是（　　）． A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 【变式3-2】（2026·江苏徐州·一模）为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2025·江苏南京·一模）已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏南京·二模）设甲组数据，，，，的方差为，乙组数据，，，，的方差为.若，则的值可以是_____（写出一个满足条件的的值即可） 【变式4-2】（2025·江苏南京·三模）有一组数据：（a为常数），这组数据的方差为__________． 【变式4-3】（2026·江苏无锡·模拟预测）某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． (1)根据表中数据，补全条形统计图； (2)扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； (3)某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】64．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 【变式5-2】（2026·江苏盐城·一模）某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的观众共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 【变式5-3】（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）甲、乙、丙三位同学进入校园歌手大赛的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序（抽签不放回）． (1)甲同学第一位出场的概率为________． (2)求丙不是最后一个出场的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【变式6-2】（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，先随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球． (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求两次摸出的球都是红球的概率（用树状图或列表法求解） 【变式6-3】（2025·江苏苏州·二模）小明和小红准备用人工智能软件给苏州文旅创作一条宣传标语，打算采用抽签的方式，各自从①；②豆包；③；④这四个软件中选取一个进行创作，四支签分别标有①②③④． (1)若小明先抽签，抽到“①”的概率为___________； (2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，求小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2025·江苏连云港·二模）“五一”节后休渔，为了保证海鲜供应，对于皮皮虾进行人工暂养，一段时间后，统计数据如下表： 放养个数 100 200 500 1000 2000 5000 成活个数 92 188 476 951 1900 4752 据此暂养的皮皮虾成活率为___________．（结果精确到0.01） 【变式7-2】（2025·江苏扬州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【变式7-3】（2025·江苏盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 1. （2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 2. （2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 3. （2026·江苏泰州·模拟预测）某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4. （2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 5. （2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 6. （2026·江苏无锡·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7. （2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 8. （2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9. （2026·江苏苏州·一模）如图是的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是__________． 10. （2025·江苏南京·三模）在某次体有中考模拟考试中，九（1）班和九（2）班的成绩汇总如下： 九（1）班体育模拟测试成绩 分数 人数 40 10 39 10 38 5 37 4 21 1 平均分：a 中位数：39 方差：11.34 九（2）班体育模拟测试成绩 分数 人数 40 3 39 8 38 9 37 6 36 4 平均分：38 中位数：b 方差：c (1)__________，__________，__________； (2)根据数据，九__________班同学的模拟成绩更整齐一些（填（1）或（2））； (3)结合数据给两个班的体育老师各提出一条关于后续教学的合理化建议． 11. （2026·江苏南京·一模）有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． (1)A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； (2)在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 12. （2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】一鞋店试销一种新款式鞋，试销期间的销售情况如表： 尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 3 4 7 15 6 3 2 根据表中数据，可建议鞋店经理多进一些同一尺码的鞋，该尺码为 __． 【答案】 【分析】本题考查的是众数的含义，根据众数的含义结合表中的数据可得答案． 【详解】解：观察数据可知，出现的次数最多，故鞋店经理多进一些同一尺码的鞋， 该尺码为． 故答案为：． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.3环，方差分别为，，则三人中成绩最稳定的选手是______． 【答案】甲 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性也越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，比较三个方差的大小即可求解． 【详解】解：，，， ， 三人中成绩最稳定的选手是甲． 【变式1-3】60．（2026·江苏南京·一模）某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 (1)这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； (2)你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． (3)推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 【答案】(1) 460，390 (2)B，理由见解析 (3)南方 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）根据夏、冬季续航里程数判断即可； （3）根据各款汽车的夏季续航里程数均大于冬季续航里程数判断即可. 【详解】（1）解：这五款汽车夏季续航里程的平均数是， 冬季续航里程数从小到大排序为：350，370，390，400，420， 则中位数是； （2）解：B款车续航方面最好， 理由：B款汽车夏季续航里程数在五款汽车中居第二位，冬季续航里程数在五款汽车中居第一位， 故B款车续航方面最好（答案不唯一，理由合理即可）； （3）解：由表格数据可知，各款汽车的冬季续航里程均明显低于夏季续航里程，这说明低温环境对新能源汽车的续航能力影响较大。因为我国北方地区冬季寒冷，南方地区相对温暖，可以推测新能源汽车在南方地区的使用体验更好，因此用户占比较多的省份主要位于南方地区. 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2026·江苏无锡·一模）一组数据11，12，13，13，15，16，17的中位数和众数分别为（   ） A．15，13 B．13，14 C．13，13 D．14，13 【答案】C 【分析】根据中位数和众数的概念，先确定排序后数据的中位数位置得到中位数，再找出出现次数最多的数得到众数即可． 【详解】解：∵这组数据已经按从小到大排序，为11，12，13，13，15，16，17，总共有7个数据，数据个数为奇数， ∴中位数为排序后位于中间位置的第4个数据，即中位数为13． ∵这组数据中，13出现的次数最多，为2次，其余数都只出现1次， ∴众数为13． 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏徐州·中考真题）小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 【答案】137 【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案． 【详解】解：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140．其中位于中间位置的数为137， 所以该组数据的中位数是137， 故答案为：137． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·二模）某科技兴趣小组成员的年龄分别是：13、9、10、8、14、13、13，这组数的中位数是____． 【答案】13 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握求中位数的方法，将数据有小到大排列好，如果是奇数个数据，中位数就位最中间的数． 【详解】解：小组成员的年龄有小到大：8、9、10、13、13、13、14， 故中位数为第四位对应的数：13， 故答案为：13． 【变式2-3】（2025·江苏南京·一模）周老师根据班级学生某次练习中某道题（满分4分）的答题情况，绘制了如下统计图． 某题得分情况条形统计图 这道题该班学生得分的众数和中位数分别是________分，____分． 【答案】 4 3.5 【分析】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法． 根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可． 【详解】解：得分为4分的人数有20人，次数最多， ∴众数为4； ∵将数据排序后，第20个和第21个数据分别为3，4， ∴中位数为：； 故答案为：4，3.5． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为___________分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，掌握加权平均数的意义及计算是关键． 按照加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得小李的最终成绩为：（分）， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】（2026·江苏无锡·一模）六位同学心理测试的成绩分别为：分、分、分、分、分、分，则这位同学的成绩众数和平均数分别是（　　）． A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 【答案】A 【详解】解：∵位同学的成绩中，分出现的次数最多，共出现次， ∴这组数据的众数为分； 平均数， ∴平均数为分． 【变式3-2】（2026·江苏徐州·一模）为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 【答案】 【分析】根据读，听，写三项的成绩和对应权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：小丽的个人总分为： ． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占，动作技巧占，感染力占．九年级1班和2班的成绩如下表，若2班要在最终成绩上超过1班，则他们的感染力得分应超过__________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 70 80 88 九（2）班 80 75 【答案】90 【分析】本题主要考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． 先根据加权平均数以及2班要在最终成绩上超过1班列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 所以他们的感染力得分应超过90分． 故答案为：90． 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2025·江苏南京·一模）已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握方差的公式． 先求出本组数据的平均数，然后利用方差公式求解即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏南京·二模）设甲组数据，，，，的方差为，乙组数据，，，，的方差为.若，则的值可以是_____（写出一个满足条件的的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义；观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个的值计算出前一组数据的方差求解． 【详解】解：数据，，，，中，每2个数相差1，一组数据，，，，前4个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而，则或 ∴（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】（2025·江苏南京·三模）有一组数据：（a为常数），这组数据的方差为__________． 【答案】 【分析】本题考查了方差，掌握方差的计算公式是解题关键．先计算平均数，再计算方差即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为， 故答案为：． 【变式4-3】（2026·江苏无锡·模拟预测）某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． (1)根据表中数据，补全条形统计图； (2)扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； (3)某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 【答案】(1)图见解析 (2)；第组和第组；第组 (3)见解析 【分析】（）统计表格中各视力分组的人数，确定总人数，补全条形统计图； （）及以上区域的圆心角，所以用该分组的占比乘以；因为要找极差最大的组，所以分别计算每组的最大值与最小值的差再比较；因为要找前三组中标准差最大的组，所以根据标准差反映数据离散程度的性质，判断数据波动最大的组； （）对于劝说内容，因为要结合数据，所以从统计出的视力不良人数占比、视力差的影响等角度组织语言． 【详解】（1）解：统计各视力段的人数： ，共 人 ； ，共人 ； 根据人数补全条形统计图： ：对应高度格 ； ：对应高度格；如图： （2）解：总共有名学生， 及以上共人， ∴视力在及以上区域所占圆心角约为：， 各组中的极差是： 第组：； 第组：； 第组： ； 第组：； 第组：； 第组：； 第组：； ∵； ∴各组中极差最大的组是：第组和第组： 第组数据： ， 和是， 平均数 ， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 方差越大标准差越大， ∵， ∴前三组中标准差最大的是第组； （3）同学，从统计结果能看出来，咱们班九成同学视力都不到，大多和不良用眼习惯有关．长期熬夜打游戏非常损伤视力，一旦视力下降变成近视，日常运动、生活都会很不方便，戴眼镜也会带来很多额外的不便，还会影响未来的升学和职业选择；所以一定要控制打游戏的时间，早睡作息规律，好好保护自己的视力呀！ 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】64．（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【答案】(1)，，图见解析 (2)人 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 【详解】（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人， 将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间， 故， 由B班成绩，可得， 补全条形图如下： （2）解：人， 故成绩为“了解”的学生人数约为人； （3）解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样； 从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些； 从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些； 从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)360名 【分析】（1）用D类别的人数除以其人数占比即可求出参与本次调查的学生人数； （2）求出A类别的人数，再补全统计图即可； （3）用600乘以样本中身体质量指数正常的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴参与本次调查的学生人数为60人； （2）解：A类别的人数为人， 补全统计图如下： （3）解：名， 答：估计身体质量指数正常的学生人数为360名． 【变式5-2】（2026·江苏盐城·一模）某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的观众共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 【答案】(1)100 (2)54 (3)图见解析 (4)3800人 【分析】（1）用A类别的人数除以所占的比例，进行求解即可； （2）用360度乘以C类别的人数，进行求解即可； （3）根据C类别的人数补全条形图即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：（人）； （2）解：C类别的人数为：， ； （3）解：补全条形图如图： （4）解：（人）； 答：估计观众中对该电影满意的人数为3800人． 【变式5-3】（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 【答案】(1)C (2)①200；②图见详解；82.5 (3)6万人 【分析】（1）根据抽样调查的基本要求解答即可； （2）①根据图中满意占比，人数为90人求解即可； ②求出非常满意人数，即可补全条形统计图；再根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体的方法解答即可； 【详解】（1）解：抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，A只抽取年轻人、B只抽取使用过的游客、D只抽取工作人员，样本都不具备代表性，只有C在景区不同时段、不同区域抽取各类游客，抽样最合理，故选C； （2）解：①由题意可知，“满意”等级共人， 扇形图中满意占比，因此样本容量为； ②非常满意人数为人， 补全条形统计图如图： 200个数据从小到大排列，中位数为第100和第101个数据的平均数： 前两个等级（不满意比较满意）共个数据，结合满意等级的人数分布： 80分共10个（累计），81分共20个（累计），82分共20个（累计）， 因此第100个数据为82，第101个数据为83，中位数为； （3）解：样本中非常满意的频率为， 因此20万人次中非常满意的人次约为：（万人次）， 答：估计非常满意的人次约为万人次． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； （2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）甲、乙、丙三位同学进入校园歌手大赛的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序（抽签不放回）． (1)甲同学第一位出场的概率为________． (2)求丙不是最后一个出场的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接用概率公式求解即可； （2）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得： 甲同学第一位出场的概率； 故答案为：； （2）解：树状图如图所示：    一共有6种情况，丙不是最后一个出场的有4种情况， ∴丙不是最后一个出场的概率． 【变式6-2】（2026·江苏徐州·一模）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，先随机摸出一个球（不放回），再随机摸出一个球． (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求两次摸出的球都是红球的概率（用树状图或列表法求解） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种， ∴摸到红球的概率为； （2）解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） 共有20种等可能的结果，其中摸到的两个球都是红球的结果有6种， ∴摸到的两个球都是红球的概率为． 【变式6-3】（2025·江苏苏州·二模）小明和小红准备用人工智能软件给苏州文旅创作一条宣传标语，打算采用抽签的方式，各自从①；②豆包；③；④这四个软件中选取一个进行创作，四支签分别标有①②③④． (1)若小明先抽签，抽到“①”的概率为___________； (2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，求小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画树状图，得出一共有16种等可能的结果数，恰好抽到同一个人工智能软件的结果数有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一共有四支签，且每支签被抽到的概率相同， ∴小明先抽签，抽到“①”的概率为； （2）解：设分别用A、B、C、D表示①；②豆包；③；④这四个软件， 画树状图如下所示． 由树状图可知，一共有16种等可能的结果数，其中小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的结果数有4种， ∴小明、小红恰好抽到同一个人工智能软件的概率概率为． 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示： 抛掷次数 2枚正面都朝上的频数 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） (1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到） (2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． （1）根据题意，用频率估计概率即可； （2）根据列表法求概率，即可求解． 【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下， 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种， 因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为． 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2025·江苏连云港·二模）“五一”节后休渔，为了保证海鲜供应，对于皮皮虾进行人工暂养，一段时间后，统计数据如下表： 放养个数 100 200 500 1000 2000 5000 成活个数 92 188 476 951 1900 4752 据此暂养的皮皮虾成活率为___________．（结果精确到0.01） 【答案】0.95 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据大量试验的前提下，用放养个数除以放养个数即可解答． 【详解】解：，，，，，， ∴暂养的皮皮虾的频率稳定在0.95附近， ∴暂养的皮皮虾成活率为0.95． 故答案为：0.95 【变式7-2】（2025·江苏扬州·一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】10 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据点落入黑色部分的频率稳定在 左右，得到点落入黑色部分的概率为，，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右，即点落入黑色部分的概率为， 则估计黑色部分的总面积为， 故答案为：10 【变式7-3】（2025·江苏盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为________． 【答案】12 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有12个， 故答案为：12． 1. （2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】A 【分析】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断． 【详解】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查， ∴选项A说法错误； B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义， ∴选项B说法正确； C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比， ∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确； D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差， ∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确． 2. （2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 3. （2026·江苏泰州·模拟预测）某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】分别计算甲乙两人成绩的平均数、众数、中位数、方差，根据各统计量的结果判断，方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定． 【详解】解：将甲乙成绩从小到大排序，甲为8，9，9，9，10，乙为8，8，9，10，10， ∴甲的中位数为9，乙的中位数为9，两人中位数相同，排除C选项； 平均数：，， ∴两人平均数相同，排除A选项； 甲的众数为9，乙的众数为8和10，众数不是选拔运动员稳定发挥的核心判断依据，排除B； 方差：∵， ， ∴，甲的成绩更稳定，因此教练最看重的数据是方差． 4. （2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【答案】A 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路为：先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 5. （2026·江苏徐州·一模）一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念，先根据数据个数确定中位数的位置，再结合中位数的值得到x的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 6. （2026·江苏无锡·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定．比较四名运动员的方差，最小者即为最稳定． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙、丁的方差分别为，且 ， ∴ 丁的方差最小， ∴ 成绩最稳定的是丁． 7. （2025·江苏泰州·一模）某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（   ） A．85分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】B 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵（分）， ∴该选手的平均得分是86分． 故选：B． 8. （2026·江苏徐州·一模）一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值即为事件发生的概率，先根据白球频率求出总球数，再减去白球个数即可得到红球个数． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 9. （2026·江苏苏州·一模）如图是的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是__________． 【答案】 【分析】首先设小正方形的面积为，计算出大正方形的总面积，然后利用割补法或观察法计算出阴影部分的面积，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：设每个小正方形的面积为，则的正方形地砖的总面积为， 观察图形可知，四个角处的阴影部分分别为个面积为的小三角形，中间阴影部分为个面积为的小三角形拼成的菱形， 所以阴影部分的总面积为， 根据几何概率公式可得，石子投中阴影部分的概率为． 10. （2025·江苏南京·三模）在某次体有中考模拟考试中，九（1）班和九（2）班的成绩汇总如下： 九（1）班体育模拟测试成绩 分数 人数 40 10 39 10 38 5 37 4 21 1 平均分：a 中位数：39 方差：11.34 九（2）班体育模拟测试成绩 分数 人数 40 3 39 8 38 9 37 6 36 4 平均分：38 中位数：b 方差：c (1)__________，__________，__________； (2)根据数据，九__________班同学的模拟成绩更整齐一些（填（1）或（2））； (3)结合数据给两个班的体育老师各提出一条关于后续教学的合理化建议． 【答案】(1)38.3，38，1.4； (2)（2）； (3)对于九（1）班，建议可以针对成绩在21分的这位同学进行重点辅导，帮助其提高成绩缩小与其他同学的差距：对于九（2）班，虽然整体成绩比较整齐，但可以进一步加强对成绩在36分这部分同学的训练，争取让所有同学的成绩都有所提升． 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差的求解，方差的意义等知识． （1）根据平均数，中位数，方差的定义分解求解即可． （2）根据方差的定义求解即可． （3）根据成绩分别提出建议即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：， 九（2）班有人数：（人）， 则中位数， 故答案为： 38.3，38，1.4； （2）解：∵， ∴九（2）班同学的模拟成绩更整齐一些． （3）解：对于九（1）班，建议可以针对成绩在21分的这位同学进行重点辅导，帮助其提高成绩缩小与其他同学的差距：对于九（2）班，虽然整体成绩比较整齐，但可以进一步加强对成绩在36分这部分同学的训练，争取让所有同学的成绩都有所提升． 11. （2026·江苏南京·一模）有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． (1)A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； (2)在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：A在第一轮中选取标有数字1的卡牌，才有可能赢得整场游戏； （2）解：在（1）的条件下， A第一轮用1，B第一轮用6(B赢)； 剩下的牌：A组是3、5；B组是2、4， 后续两轮的出牌顺序组合： 1、A出3、B出2(A赢)，A出5、B出4(A赢)→A赢两场，整体获胜； 2、A出3、B出4(B赢)，A出5、B出2(A赢)→A赢1场，整体失败； 3、A出5、B出2(A赢)，A出3、B出4(B赢)→A赢1场，整体失败； 4、A出5、B出4(A赢)，A出3、B出2(A赢)→A赢两场，整体获胜； 总共有4种等可能的出牌顺序，其中A赢得整场游戏的有2种． 所以概率为：． 12. （2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)80，16， (2)50 (3)恰好抽到2名男生的概率为． 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可； （2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人）， （人）， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人）， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人； （3）解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种， ∴恰好抽到2名男生的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $