易错11 对称、平移、旋转变换（易错专练，5大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 对称、平移、旋转变换 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 易错点 2 混淆点平移规律和函数平移规律 易错点 3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 易错点 4 全等变换的性质运用 易错点 5 根据轴对称求线段和最值问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错因剖析 概念混淆：轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 认知偏差：判断轴对称不会找对称轴，不会沿直线折叠验证；判断中心对称不会找对称中心，不会绕中心点旋转 180° 验证。 基础薄弱：缺少常见图形的对称情况认知。 【例1】（2026·江苏扬州·一模）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】判断图形对称性的三步法 1、先试折叠：能重合→轴对称； 2、再试转 180°：能重合→中心对称； 3、两步都满足→既是轴对称又是中心对称。 【知识链接】 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 2、两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. 3、若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏泰州·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·江苏盐城·中考真题）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．　 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错因剖析 概念混淆：把点的平移和函数图象平移当成同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差：不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱：坐标运算、函数变形能力弱。 【例2】（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 避错秘籍 【防错指南】 点平移：往哪边移，坐标就往哪边加减； 函数平移：往哪边移，解析式里反着加减。 【知识链接】 1. 点的平移规律（坐标直接变） 设点 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：点平移：左减右加，上加下减 2. 函数图象平移规律（解析式反向变） 针对 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：函数平移：左加右减，上加下减 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏徐州·模拟预测）将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 【变式2-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为__________． 【变式2-3】（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 易错点3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 错因剖析 概念混淆：把关于 x 轴对称、关于 y 轴对称、关于原点对称坐标变化规律互相搞混，横纵坐标符号乱变。 认知偏差：只记旋转 90° 坐标互换，不看顺逆时针，正负号随意加。 不会绕非原点的点旋转、对称，只会用原点公式直接套用。 基础薄弱：做题不画图，纯凭记忆套公式，极易出错。 【例3】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 对称：只变符号，坐标数值不变； 平移：只做加减，不改变正负规律； 旋转：坐标互换 + 变号结合。 【知识链接】 1、关于轴对称：x 不变，y 变号 2、关于轴对称：y 不变，x 变号 3、关于原点对称：x、y 全变号 4、绕原点旋转 逆时针旋转 顺时针旋转 旋转 （同原点对称） 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏常州·一模）若点关于原点对称的点是则的值是（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3-2】（2026·江苏无锡·一模）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为______． 【变式3-3】已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是______． 易错点4 全等变换的性质运用 错因剖析 概念混淆：平移、轴对称、旋转都是全等变换，形状、大小完全不变，只改变位置。 认知偏差：不会挖掘隐含相等条件 1、翻折（轴对称）不会用对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 2、旋转忽略旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等两大隐含条件。 3、平移不会用对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等。 基础薄弱：不会利用全等变换进行线段转移、角度转移，不会转化求值。 【例4】（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 避错秘籍 【防错指南】遇平移、翻折、旋转： ① 先定：属于哪种全等变换； ② 直接用性质：找等边、找等角； ③ 必要时证全等，再求线段、角度、周长； ④ 翻折、旋转常用来转移线段、集中条件。 【知识链接】 平移 对应线段平行且相等；对应点连线平行且相等。 轴对称（翻折） 对称轴垂直平分对应点连线；对应线段延长线交于对称轴上。 旋转 对应点到旋转中心距离相等；每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【变式4-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【变式4-3】（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 易错点5 根据轴对称求线段和最值问题 错因剖析 概念混淆：基础模型区分不清，乱套用。 认知偏差：不会把 “折线和” 通过轴对称化折为直，缺乏转化思想。 基础薄弱：建模识图弱，几何计算功底不足。 【例5】（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________． 避错秘籍 【防错指南】 最值原理：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。 遇到矩形、菱形、等腰三角形、坐标系，优先用天然对称轴； 【知识链接】 轴对称性质：对称点到直线上任意一点距离相等，实现线段等量替换，化折线为直线。 变式迁移 【变式5-1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于________． 【变式5-2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图在中，， 动点D从点A 开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B 开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，F为中点，连接则的最小值为_____ 【变式5-3】（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 1. （2026·江苏徐州·一模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2. （2025·江苏扬州·二模）点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 3. （2026·江苏南通·模拟预测）如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 4. （2025·江苏·模拟预测）如图，将一个矩形纸条沿直线折叠，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 6. （2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7. （2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8. （2026·江苏无锡·一模）如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 9. （2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向左平移3个单位，得到点，则点的坐标为________． 10. （2026·江苏徐州·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 11. （2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 12. （2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是________． 13. （2025·江苏泰州·一模）在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时，________． 14. （2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，，M，N分别是边上的动点，将四边形沿直线翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，其中点F始终落在边上． (1)如图1，当点E恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图2，当点F与点B重合时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对称、平移、旋转变换 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 易错点 2 混淆点平移规律和函数平移规律 易错点 3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 易错点 4 全等变换的性质运用 易错点 5 根据轴对称求线段和最值问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错因剖析 概念混淆：轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 认知偏差：判断轴对称不会找对称轴，不会沿直线折叠验证；判断中心对称不会找对称中心，不会绕中心点旋转 180° 验证。 基础薄弱：缺少常见图形的对称情况认知。 【例1】（2026·江苏扬州·一模）中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 避错秘籍 【防错指南】判断图形对称性的三步法 1、先试折叠：能重合→轴对称； 2、再试转 180°：能重合→中心对称； 3、两步都满足→既是轴对称又是中心对称。 【知识链接】 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 2、两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. 3、若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏泰州·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【变式1-2】（2025·江苏盐城·中考真题）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【变式1-3】（2025·江苏扬州·中考真题）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．　 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错因剖析 概念混淆：把点的平移和函数图象平移当成同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差：不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱：坐标运算、函数变形能力弱。 【例2】（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 点平移：往哪边移，坐标就往哪边加减； 函数平移：往哪边移，解析式里反着加减。 【知识链接】 1. 点的平移规律（坐标直接变） 设点 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：点平移：左减右加，上加下减 2. 函数图象平移规律（解析式反向变） 针对 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：函数平移：左加右减，上加下减 变式迁移 【变式2-1】（2025·江苏徐州·模拟预测）将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式2-3】（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 易错点3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 错因剖析 概念混淆：把关于 x 轴对称、关于 y 轴对称、关于原点对称坐标变化规律互相搞混，横纵坐标符号乱变。 认知偏差：只记旋转 90° 坐标互换，不看顺逆时针，正负号随意加。 不会绕非原点的点旋转、对称，只会用原点公式直接套用。 基础薄弱：做题不画图，纯凭记忆套公式，极易出错。 【例3】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 避错秘籍 【防错指南】 对称：只变符号，坐标数值不变； 平移：只做加减，不改变正负规律； 旋转：坐标互换 + 变号结合。 【知识链接】 1、关于轴对称：x 不变，y 变号 2、关于轴对称：y 不变，x 变号 3、关于原点对称：x、y 全变号 4、绕原点旋转 逆时针旋转 顺时针旋转 旋转 （同原点对称） 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏常州·一模）若点关于原点对称的点是则的值是（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，如果两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标分别互为相反数．据此求出的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于原点对称点是， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（2026·江苏无锡·一模）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】5 【分析】关于轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解：点与点关于轴对称， ． 【变式3-3】已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出的值即可解答． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 易错点4 全等变换的性质运用 错因剖析 概念混淆：平移、轴对称、旋转都是全等变换，形状、大小完全不变，只改变位置。 认知偏差：不会挖掘隐含相等条件 1、翻折（轴对称）不会用对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 2、旋转忽略旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等两大隐含条件。 3、平移不会用对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等。 基础薄弱：不会利用全等变换进行线段转移、角度转移，不会转化求值。 【例4】（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 避错秘籍 【防错指南】遇平移、翻折、旋转： ① 先定：属于哪种全等变换； ② 直接用性质：找等边、找等角； ③ 必要时证全等，再求线段、角度、周长； ④ 翻折、旋转常用来转移线段、集中条件。 【知识链接】 平移 对应线段平行且相等；对应点连线平行且相等。 轴对称（翻折） 对称轴垂直平分对应点连线；对应线段延长线交于对称轴上。 旋转 对应点到旋转中心距离相等；每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【答案】 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·江苏扬州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【答案】30 【分析】根据旋转可得，再根据等边对等角和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为__________________． 【答案】 【分析】延长与交于点M，由平行四边形的性质得长度，，由折叠性质得的值和的值，进而得的值，再根据是等腰直角三角形，便可求得结果． 【详解】解：延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 则 即 ∴， 由折叠知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造直角三角形． 易错点5 根据轴对称求线段和最值问题 错因剖析 概念混淆：基础模型区分不清，乱套用。 认知偏差：不会把 “折线和” 通过轴对称化折为直，缺乏转化思想。 基础薄弱：建模识图弱，几何计算功底不足。 【例5】（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．得四边形是平行四边形，求出，，得出，要使四边形的周长最小，只要使的值最小，当A、N、F三点共线时的值最小．运用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ， ， 要使四边形的周长最小，只要使的值最小， ∴当A、N、F三点共线时的值最小． 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ， 当时，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 最值原理：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。 遇到矩形、菱形、等腰三角形、坐标系，优先用天然对称轴； 【知识链接】 轴对称性质：对称点到直线上任意一点距离相等，实现线段等量替换，化折线为直线。 变式迁移 【变式5-1】（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最短距离问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质解决最值问题是解题的关键． 如图：作点A关于的对称点，连接，则，当在同一直线上时，的最小值等于的长，求得的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图：作点A关于的对称点，连接，则，， ∴， ∴当在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中， ， ∴， ∴的最小值等于4． 故答案为4． 【变式5-2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图在中，， 动点D从点A 开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B 开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，F为中点，连接则的最小值为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图象、两点间距离公式、中点坐标、点的对称等知识点，灵活运用两点间距离公式是解答本题的关键． 先根据题意建立直角坐标系可得，，，，则，将转化为，再利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值即可． 【详解】解：如图，以点B为原点，、所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则，，，， ∵F为中点， ， ∴，, ∴， 设，，，则， 作出图形如下： 作出点关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为使取得最小值的点， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 【变式5-3】（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 1. （2026·江苏徐州·一模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 2. （2025·江苏扬州·二模）点关于原点对称的点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标关系，即横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选A． 3. （2026·江苏南通·模拟预测）如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移性质得，再根据， 求得线段的长即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移距离为． 4. （2025·江苏·模拟预测）如图，将一个矩形纸条沿直线折叠，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记性质并列出关于的方程是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，再根据翻折变换的性质和平角等于列出方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵矩形的对边平行， ， ， 即， 解得． 故选：A． 5. （2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【详解】解：如图1，在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 6. （2025·江苏南京·二模）格点在平面直角坐标系中的位置如图所示．和关于x轴对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． 下列说法：①绕某点旋转一定的角度可得到；②绕某点旋转一定的角度可得到；③与关于某条直线对称．其中所有正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形，旋转图形，根据轴对称图形，旋转图形的意义进行判断即可． 【详解】解：如图： ①绕点逆时针旋转90度可得到，故①正确； ②绕某点旋转一定的角度不能得到，故原说法错误； ③与关于直线对称，故③正确． 所以，正确的说法是①③， 故选：C． 7. （2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用题目中的条件，找出点的坐标，然后按照题目要求多次绕点顺时针旋转，找出点旋转后的坐标，四次后，旋转后的点与原来的点重合，用得出与重合，求出答案． 【详解】解：在中， ， ∴， ∴， 如图所示， 绕点顺时针旋转第次，点; 绕点顺时针旋转第次，点； 绕点顺时针旋转第次，点； 绕点顺时针旋转第次，点与点重合； ∴点绕点旋转次一循环，； ∴点绕点顺时针旋转第2027次，与第3次重合， 故点． 【点睛】解题关键是先按照题目要求解出旋转后点的坐标，找到规律，从而解出答案． 8. （2026·江苏无锡·一模）如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，，则由角之间的关系可得，再根据平行线的性质推出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. （2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向左平移3个单位，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，利用关于y轴对称的点的性质（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案．正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点， ∵将点向左平移3个单位，得到点， ∴点的坐标为，即． 故答案为： 10. （2026·江苏徐州·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 11. （2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 12. （2025·江苏无锡·一模）如图，在中，，点，均落在坐标轴上且，点的坐标为，将向上平移得到，若点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值是________． 【答案】36 【分析】作轴于点于，根据证明，求出的长度，进而求出点的坐标，设设向上平移个单位，用表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，即可求出的值． 【详解】解：作轴于点于， 在中，，点均落在坐标轴上，且，点的坐标为， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设向上平移个单位，则，则， 又 ∵点和在该比例函数图象上， ∴，解得， ， 故答案为： 36 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的变化-平移，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的知识． 13. （2025·江苏泰州·一模）在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时，________． 【答案】或 【分析】本题主要考查坐标与图形，三角函数值，两点间距离公式等知识，以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，由，可得，，和关于直线对称，可得，设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为，根据两点间距离公式得，，由可得，求出的值即可解决问题． 【详解】解：以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，如图， ， ∵，， ∴，， ∵和关于直线对称， ∴， 设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为， ∴， ， ∵， ∴， 解得，或， 经检验，或是原方程的解， ∴当时，， 当时，， 综上，或， 故答案为：或． 14. （2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，，M，N分别是边上的动点，将四边形沿直线翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，其中点F始终落在边上． (1)如图1，当点E恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图2，当点F与点B重合时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果； 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴设，则， 如图，连接，作交于点， ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合， ∴点、关于对称， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $