易错11 对称、平移、旋转变换（易错专练，6大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题11 对称、平移、旋转变换 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 易错点 2 混淆点平移规律和函数平移规律 易错点 3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 易错点 4 全等变换的性质运用 易错点 5 平面直角坐标系内图形变换作图 易错点 6 根据轴对称求线段和最值问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错因剖析 概念混淆：轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 认知偏差：判断轴对称不会找对称轴，不会沿直线折叠验证；判断中心对称不会找对称中心，不会绕中心点旋转 180° 验证。 基础薄弱：缺少常见图形的对称情况认知。 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 避错秘籍 【防错指南】判断图形对称性的三步法 1、先试折叠：能重合→轴对称； 2、再试转 180°：能重合→中心对称； 3、两步都满足→既是轴对称又是中心对称。 【知识链接】 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 2、两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. 3、若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。 变式迁移 【变式1-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错因剖析 概念混淆：把点的平移和函数图象平移当成同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差：不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱：坐标运算、函数变形能力弱。 【例2】（2026·辽宁抚顺·一模）将点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点B，点B恰好落在直线上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 点平移：往哪边移，坐标就往哪边加减； 函数平移：往哪边移，解析式里反着加减。 【知识链接】 1. 点的平移规律（坐标直接变） 设点 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：点平移：左减右加，上加下减 2. 函数图象平移规律（解析式反向变） 针对 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：函数平移：左加右减，上加下减 变式迁移 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 【变式2-2】（2026·河南商丘·一模）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 易错点3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 错因剖析 概念混淆：把关于 x 轴对称、关于 y 轴对称、关于原点对称坐标变化规律互相搞混，横纵坐标符号乱变。 认知偏差：只记旋转 90° 坐标互换，不看顺逆时针，正负号随意加。 不会绕非原点的点旋转、对称，只会用原点公式直接套用。 基础薄弱：做题不画图，纯凭记忆套公式，极易出错。 【例3】（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度后，得到的点关于x轴的对称点的坐标是___________． 避错秘籍 【防错指南】 对称：只变符号，坐标数值不变； 平移：只做加减，不改变正负规律； 旋转：坐标互换 + 变号结合。 【知识链接】 1、关于轴对称：x 不变，y 变号 2、关于轴对称：y 不变，x 变号 3、关于原点对称：x、y 全变号 4、绕原点旋转 逆时针旋转 顺时针旋转 旋转 （同原点对称） 变式迁移 【变式3-1】（2026·广东江门·一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①； ②； ③， 按照以上变换，例如：，则等于______． 【变式3-2】 （2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 易错点4 全等变换的性质运用 错因剖析 概念混淆：平移、轴对称、旋转都是全等变换，形状、大小完全不变，只改变位置。 认知偏差：不会挖掘隐含相等条件 1、翻折（轴对称）不会用对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 2、旋转忽略旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等两大隐含条件。 3、平移不会用对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等。 基础薄弱：不会利用全等变换进行线段转移、角度转移，不会转化求值。 【例4】（2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 避错秘籍 【防错指南】遇平移、翻折、旋转： ① 先定：属于哪种全等变换； ② 直接用性质：找等边、找等角； ③ 必要时证全等，再求线段、角度、周长； ④ 翻折、旋转常用来转移线段、集中条件。 【知识链接】 平移 对应线段平行且相等；对应点连线平行且相等。 轴对称（翻折） 对称轴垂直平分对应点连线；对应线段延长线交于对称轴上。 旋转 对应点到旋转中心距离相等；每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·四川成都·二模）如图，绕点逆时针旋转得到，点正好在线段上，，则的度数为______． 【变式4-2】（2026·海南海口·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 【变式4-3】（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 易错点5 平面直角坐标系内图形变换作图 错因剖析 概念混淆：混淆平移、轴对称、中心对称、旋转的作图方法。 认知偏差：坐标平面内，图形变换找点不准，距离与对应关系出错。 基础薄弱：不标对应顶点字母，图形无标注。 【例5】（2026·安徽池州·一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)若为内一点，平移得到，使点移到点处，请在图上画出，并直接写出点的坐标为________； (2)将原来的绕点顺时针旋转得到，请在图上画出，并直接写出点到运动路线的长度为________． 避错秘籍 【防错指南】 变换作图绝不凭肉眼估画，必须用网格格数、垂直等距定位； 所有辅助线、对称轴、作图痕迹必须保留； 原图、变换后图形要分别标注对应顶点字母。 【知识链接】 平移作图 按规定方向、格数，每个顶点同向同距离平移，再顺次连线。 轴对称作图 过每个顶点向对称轴作垂线，延长至等距离处，得对称顶点。 中心对称（原点 / 某点） 连接顶点与对称中心，延长一倍长度，得到对应顶点。 旋转作图 定旋转中心、方向、角度； 以中心为圆心，顶点到中心距离为半径画弧，转指定角度找点。 变式迁移 【变式5-1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． (2)画出绕点O顺时针旋转后的． (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 【变式5-2】（2026·安徽六安·一模）在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)将向上平移4个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，在第三象限画出的位似，与的相似比为，画出； (3)若点在内，则在（1）的变换后的对应点的坐标为 ，在（1）（2）的变换后的对应点的坐标为 ． 【变式5-3】（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，， (1)以原点为位似中心，将放大得到，使与的相似比为2，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； (2)若绕原点逆时针旋转，得到，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_____． 易错点6 根据轴对称求线段和最值问题 错因剖析 概念混淆：基础模型区分不清，乱套用。 认知偏差：不会把 “折线和” 通过轴对称化折为直，缺乏转化思想。 基础薄弱：建模识图弱，几何计算功底不足。 【例6】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 避错秘籍 【防错指南】 最值原理：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。 遇到矩形、菱形、等腰三角形、坐标系，优先用天然对称轴； 【知识链接】 轴对称性质：对称点到直线上任意一点距离相等，实现线段等量替换，化折线为直线。 变式迁移 【变式6-1】（2026·河南周口·二模）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则周长的最小值为________． 【变式6-2】（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 【变式6-3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 1. （2026·湖南长沙·模拟预测）下列是几种著名的数学曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．三叶玫瑰线 D．卡西尼卵形线 2. （2026·湖北·模拟预测）已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（  ） A． B． C． D． 3. （2026·广东东莞·一模）已知在直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 4. （2026·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5. （2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6. （2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 7. （2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 8. （2026·山西晋中·一模）在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 9. （2026·甘肃平凉·一模）如图，在中，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的平分线上，则的周长为_____． 10. （2026·山东济宁·一模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 11. （2026·河南安阳·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在处，当是等腰三角形时，点到的距离为__________． 12. （2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 13. （2025·安徽滁州·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称，请画出． (3)请在轴上找一点，使的长度最短． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对称、平移、旋转变换 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 易错点 2 混淆点平移规律和函数平移规律 易错点 3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 易错点 4 全等变换的性质运用 易错点 5 平面直角坐标系内图形变换作图 易错点 6 根据轴对称求线段和最值问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 轴对称图形、中心对称图形区分不清 错因剖析 概念混淆：轴对称是关于直线的对称，中心对称是关于点的对称。 认知偏差：判断轴对称不会找对称轴，不会沿直线折叠验证；判断中心对称不会找对称中心，不会绕中心点旋转 180° 验证。 基础薄弱：缺少常见图形的对称情况认知。 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念，逐一分析各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】判断图形对称性的三步法 1、先试折叠：能重合→轴对称； 2、再试转 180°：能重合→中心对称； 3、两步都满足→既是轴对称又是中心对称。 【知识链接】 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 2、两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. 3、若一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点成中心对称。 变式迁移 【变式1-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义．根据轴对称图形的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形；据此求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 【变式1-3】（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 易错点2 混淆点平移规律和函数平移规律 错因剖析 概念混淆：把点的平移和函数图象平移当成同一套口诀，直接套用，符号、方向全搞反。 认知偏差：不理解函数图象平移与点平移的关系。 基础薄弱：坐标运算、函数变形能力弱。 【例2】（2026·辽宁抚顺·一模）将点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点B，点B恰好落在直线上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规律得到含参数的点B坐标，再代入直线方程求解，即可得到点B的坐标． 【详解】解：由题意得点的坐标为， ∵点在直线上，将坐标代入方程得： ， 解得：， 将代入得． 避错秘籍 【防错指南】 点平移：往哪边移，坐标就往哪边加减； 函数平移：往哪边移，解析式里反着加减。 【知识链接】 1. 点的平移规律（坐标直接变） 设点 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：点平移：左减右加，上加下减 2. 函数图象平移规律（解析式反向变） 针对 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 口诀：函数平移：左加右减，上加下减 变式迁移 【变式2-1】（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 【答案】 【详解】解：根据点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，横坐标加2，向上平移4个单位长度，纵坐标加4， 可得平移后点的坐标为：． 【变式2-2】（2026·河南商丘·一模）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【分析】一次函数图象平移的规律：上加下减． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为，即． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 【答案】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则计算平移后的顶点坐标即可. 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为， 先向上平移4个单位，顶点纵坐标加4，得到顶点坐标为， 再向右平移3个单位，顶点横坐标加3，得到新的顶点坐标为. 易错点3 混淆平面直角坐标系内坐标的变换 错因剖析 概念混淆：把关于 x 轴对称、关于 y 轴对称、关于原点对称坐标变化规律互相搞混，横纵坐标符号乱变。 认知偏差：只记旋转 90° 坐标互换，不看顺逆时针，正负号随意加。 不会绕非原点的点旋转、对称，只会用原点公式直接套用。 基础薄弱：做题不画图，纯凭记忆套公式，极易出错。 【例3】（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度后，得到的点关于x轴的对称点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点的平移规则，左减右加，求出点的坐标为，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵将点向左平移4个单位长度后，得到的点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标是． 避错秘籍 【防错指南】 对称：只变符号，坐标数值不变； 平移：只做加减，不改变正负规律； 旋转：坐标互换 + 变号结合。 【知识链接】 1、关于轴对称：x 不变，y 变号 2、关于轴对称：y 不变，x 变号 3、关于原点对称：x、y 全变号 4、绕原点旋转 逆时针旋转 顺时针旋转 旋转 （同原点对称） 变式迁移 【变式3-1】（2026·广东江门·一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①； ②； ③， 按照以上变换，例如：，则等于______． 【答案】 【分析】根据题目给出的三种变换规则，从内向外依次计算即可得到结果． 【详解】解：先根据变换③计算，得 再根据变换②计算，得 ． 【变式3-2】 （2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴． 【变式3-3】（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每次一个循环，进而求出第次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交轴于点，连接，交轴于点， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 同理得，， 将绕点逆时针每次旋转： ，，，，，，每次一个循环， ∵， ∴第次旋转后，点的坐标为． 易错点4 全等变换的性质运用 错因剖析 概念混淆：平移、轴对称、旋转都是全等变换，形状、大小完全不变，只改变位置。 认知偏差：不会挖掘隐含相等条件 1、翻折（轴对称）不会用对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 2、旋转忽略旋转角相等、对应点到旋转中心距离相等两大隐含条件。 3、平移不会用对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等。 基础薄弱：不会利用全等变换进行线段转移、角度转移，不会转化求值。 【例4】（2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 避错秘籍 【防错指南】遇平移、翻折、旋转： ① 先定：属于哪种全等变换； ② 直接用性质：找等边、找等角； ③ 必要时证全等，再求线段、角度、周长； ④ 翻折、旋转常用来转移线段、集中条件。 【知识链接】 平移 对应线段平行且相等；对应点连线平行且相等。 轴对称（翻折） 对称轴垂直平分对应点连线；对应线段延长线交于对称轴上。 旋转 对应点到旋转中心距离相等；每一组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 变式迁移 【变式4-1】（2026·四川成都·二模）如图，绕点逆时针旋转得到，点正好在线段上，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到 ，，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵点在线段上， ∴在中，， ∴， ∴， 由图可知，点在上，即， ∴． 【变式4-2】（2026·海南海口·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 【答案】 5 / 【分析】过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明；然后利用三角函数，，可得，，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：过点E作于点H，如图， 则， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-3】（2026·四川绵阳·二模）矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，利用勾股定理求得，由旋转可得，，，得到，然后解，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为点， ∵矩形中，， ∴，，， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错点5 平面直角坐标系内图形变换作图 错因剖析 概念混淆：混淆平移、轴对称、中心对称、旋转的作图方法。 认知偏差：坐标平面内，图形变换找点不准，距离与对应关系出错。 基础薄弱：不标对应顶点字母，图形无标注。 【例5】（2026·安徽池州·一模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)若为内一点，平移得到，使点移到点处，请在图上画出，并直接写出点的坐标为________； (2)将原来的绕点顺时针旋转得到，请在图上画出，并直接写出点到运动路线的长度为________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析，． 【分析】（1）由题意得，向左平移个单位长度得到，由此作图即可，可得出点的坐标． （2）根据旋转的性质作图即可，根据网格求出的长，最后利用弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵若为内一点，平移得到， 又∵移到点处， ∴向左平移个单位长度得到， 如图所示， 点的坐标为． （2）如图所示，为所求的三角形，连接、， ∵， 又， ∴点到运动路线的长度为弧的长． 避错秘籍 【防错指南】 变换作图绝不凭肉眼估画，必须用网格格数、垂直等距定位； 所有辅助线、对称轴、作图痕迹必须保留； 原图、变换后图形要分别标注对应顶点字母。 【知识链接】 平移作图 按规定方向、格数，每个顶点同向同距离平移，再顺次连线。 轴对称作图 过每个顶点向对称轴作垂线，延长至等距离处，得对称顶点。 中心对称（原点 / 某点） 连接顶点与对称中心，延长一倍长度，得到对应顶点。 旋转作图 定旋转中心、方向、角度； 以中心为圆心，顶点到中心距离为半径画弧，转指定角度找点。 变式迁移 【变式5-1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． (2)画出绕点O顺时针旋转后的． (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据关于x轴对称的特点，找到A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到答案； （2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可； （3）旋转时线段扫过的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求, ∴坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）∵，． ∴，， ∴旋转时线段扫过的面积． 【变式5-2】（2026·安徽六安·一模）在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)将向上平移4个单位长度，得到，画出； (2)以点O为位似中心，在第三象限画出的位似，与的相似比为，画出； (3)若点在内，则在（1）的变换后的对应点的坐标为 ，在（1）（2）的变换后的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律求解； （2）把、、三点的横纵坐标都乘以，得到、、的坐标，即可画出； （3）根据点平移的坐标变换规律，即可求出点的坐标；根据位似变换的规律，使点的横纵坐标都乘以，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： 点，，， 由平移可知，使，，三点的纵坐标加4，得出、、三点的坐标，即，，， 即为所求． （2）解：如图所示： 点，，，与的相似比为，且点O为位似中心， 使、、三点的横纵坐标都乘以，得出、、三点的坐标，即，，， 即为所求． （3）解：向上平移4个单位长度，得到， 使点的纵坐标加4得出对应点的坐标，即的坐标为； 与的相似比为，且点O为位似中心， 使点的横纵坐标都乘以得出对应点的坐标，即的坐标为． 【变式5-3】（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，， (1)以原点为位似中心，将放大得到，使与的相似比为2，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； (2)若绕原点逆时针旋转，得到，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答； （2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出的长度，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 根据题意得：， ∴旋转过程中，点经过的路径长为． 易错点6 根据轴对称求线段和最值问题 错因剖析 概念混淆：基础模型区分不清，乱套用。 认知偏差：不会把 “折线和” 通过轴对称化折为直，缺乏转化思想。 基础薄弱：建模识图弱，几何计算功底不足。 【例6】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 避错秘籍 【防错指南】 最值原理：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。 遇到矩形、菱形、等腰三角形、坐标系，优先用天然对称轴； 【知识链接】 轴对称性质：对称点到直线上任意一点距离相等，实现线段等量替换，化折线为直线。 变式迁移 【变式6-1】（2026·河南周口·二模）如图，在边长为2的菱形中，，将沿着射线的方向平移，得到，连接，，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，通过证明得到，即可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ∵在边长为 2 的菱形中，， ，， ∵将沿射线的方向平移得到， ∴，点在过点且平行于的定直线上， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 根据轴对称的性质可得：， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 则周长的最小值为． 【变式6-2】（2026·山东日照·模拟预测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作的对称点，连接、，则，过点作，交延长线于点，可得，可得的最小值为，过点作，交于，过点作于点，证明是等腰直角三角形，得出，证明，得出，利用外角性质得到，由等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的对称点，连接、，过点作，交延长线于点， ∴， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时、重合，、、三点在同一条直线上， 过点作，交于，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【变式6-3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 1. （2026·湖南长沙·模拟预测）下列是几种著名的数学曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．三叶玫瑰线 D．卡西尼卵形线 【答案】D 【详解】解：A．蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．三叶玫瑰线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．卡西尼卵形线既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. （2026·湖北·模拟预测）已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移规律求解，平移规律为：点左右平移时纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移时横坐标不变，纵坐标上加下减． 【详解】解：∵在轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∵在轴上， ∴的纵坐标为， 已知，， ∵点原横坐标为，平移后横坐标为，可得线段向左平移个单位长度， 点原纵坐标为，平移后纵坐标为，可得线段向下平移个单位长度， ∴点平移后的纵坐标为， ∴的坐标为． 3. （2026·广东东莞·一模）已知在直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数．利用规律即可直接得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． 4. （2026·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，先根据等边三角形的性质结合旋转的性质可得到，，结合含角直角三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形，， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 点的坐标为． 5. （2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 6. （2026·河南·一模）如图，，以O为圆心，长为半径画弧，交于点A，B，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一个动点，连接，．若，则阴影部分周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴， ∴的长， 作点D关于的对称点，连接交于点，连接，则，此时，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为． 7. （2026·山西晋城·一模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 8. （2026·山西晋中·一模）在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵线段绕原点顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 9. （2026·甘肃平凉·一模）如图，在中，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的平分线上，则的周长为_____． 【答案】15 【分析】根据平移的性质得出，，进而利用勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由平移可知，，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴相似比是， ∵的周长， ∴的周长为． 10. （2026·山东济宁·一模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质找到规律，点的坐标以每秒为一个周期依次循环，进而得出第秒，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ，叶片每秒绕原点逆时针转动， ，，，，…， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第秒时点的对应点的坐标为． 11. （2026·河南安阳·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在处，当是等腰三角形时，点到的距离为__________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，再由折叠性质得到；分三种等腰三角形的情况讨论，排除不可能的情况；对可能的两种情况，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解距离． 【详解】解：在中，，，． 由勾股定理得：． 由折叠性质可知：． 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 情况1： 此时，，显然，此情况不成立，舍去． 情况2： 设点到的距离为，过作于． ∵，， ∴为中点，． 在中： 情况3： 此时，过作交所在直线于． 设，则． 在中：． 在中：． 联立得： 展开： 化简： 解得：． 代入： ． 综上，点到的距离为或． 12. （2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 13. （2025·安徽滁州·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫格点，的每个顶点都在格点上． (1)将向左平移个单位长度，得到，画出． (2)在平面直角坐标系中，与关于原点成中心对称，请画出． (3)请在轴上找一点，使的长度最短． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，中心对称变换，轴对称的性质，准确作图是解题的关键． （）根据平移性质即可得到图形； （）画出关于原点的对称点，然后连接即可； （）作点关于轴的对称点，连接交x轴于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，点即为所求； 理由：由画图可知，， ∴， ∵三点共线， ∴此时最短， 故点即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $