易错09 勾股定理及锐角三角函数的应用（易错专练，5大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 勾股定理及锐角三角函数的应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 易错点 2 折叠问题中的勾股定理等式方程 易错点 3 混淆三角函数的定义 易错点 4 特殊三角函数值记忆错误 易错点 5 解直角三角形在实际问题中的应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 错因剖析 概念混淆：死记勾股定理公式 ，但不区分字母含义，随意代入边长，分不清哪边是斜边。 认知偏差：忽略勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形乱用定理计算边长。 基础薄弱：无图题型不分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分 “两边都是直角边”“一边直角边、一边斜边” 两种情况，造成漏解。 【例1】直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边的长为（   ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，可分第三边为直角边或斜边两种情况，根据勾股定理分别求第三边即可． 【详解】解：当第三边是斜边时，边长为：； 当第三边是直角边时，边长为：； 即第三条边的长为或， 故选C． 避错秘籍 【防错指南】 先判定直角、标出斜边，再列公式； 非直角三角形，严禁使用勾股定理。 【知识链接】 1、勾股定理专属直角三角形： 斜边 = 直角对的边 = 三角形最长边。 2、固定公式用法，精准对应 设： 为斜边， 为直角边 求斜边： 求直角边： 口诀：平方和求斜边，平方差求直边 变式迁移 【变式1-1】在中边上的高为4，若，则的面积为（    ） A．10或2 B．20或4 C．10或4 D．20或2 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论求解是解题关键． 根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：①如图1所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的面积等于； ②如图2所示： ∵在中，边上的高为4，，， ∴，， ， ∴， ∴的面积等于； 则的面积等于20或4， 故选：B． 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理计算出各条线段的长度，再估算出每条线段长度的范围，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴线段长度最接近的是． 【变式1-3】如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先通过勾股定理求出，再由角平分线性质可得，从而得，所以，又垂直平分，所以，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴． 易错点2 折叠问题中的勾股定理等式方程 错因剖析 概念混淆：不能根据折叠的性质迁移线段、角，找到适合的直角三角形建立勾股方程。 认知偏差：缺乏 “折叠 + 勾股 + 方程” 固定解题模型，识图不完整，代数几何结合能力薄弱。 基础薄弱：方程建模与求解能力不足。 【例2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 避错秘籍 【防错指南】一般解题步骤： ① 找等量：由折叠，标出所有相等线段； ② 巧设元：设最短未知线段为，其余相关线段用**总长**表示； ③ 定直角：锁定折叠后新形成的直角三角形； ④ 列方程：利用 直角边 ²＋直角边 ²＝斜边 ² 列一元一次方程； ⑤ 解方程、验结果，舍去不合理负值、超范围解。 【知识链接】 折叠变换：轴对称→全等→边等、角等； 勾股定理：直角三角形边长等量关系； 方程思想：几何线段计算代数化，是中考折叠题型核心考法。 变式迁移 【变式2-1】如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，然后求出，根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，设，则由折叠可得，再对运用勾股定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则由折叠可得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为． 【变式2-2】（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 【变式2-3】如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 易错点3 混淆三角函数的定义 错因剖析 概念混淆：混淆的边角对应关系，尤其混淆正弦和余弦。 认知偏差：忽略三角函数只在直角三角形中定义，无直角三角形不构造而强行计算。 基础薄弱：运用三角函数时，不指明那个直角三角形，导致混乱。 【例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】确定三角函数值的方法 ① 定角：锁定要求的锐角； ② 辨边：以该角为顶点，分清：对边、邻边、斜边； ③ 套式：严格按定义列式，不乱替换。 【知识链接】定义（锐角三角函数） 在中，对于一个锐角： 正弦： 余弦： 正切： 极简口诀： 正对正，余靠邻，切对比邻；斜边永远在下方。 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南通·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 【变式3-2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 【变式3-3】（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 易错点4 特殊三角函数值记忆错误 错因剖析 概念混淆：混淆的与；混淆正切大小，把与写反。 认知偏差：缺少规律认知，不理解互余角三角函数之间的关系。 基础薄弱：含特殊角三角函数值的基础实数运算法则不熟练，计算错误。 【例4】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 避错秘籍 【防错指南】理解记忆（依托两个特殊直角三角形） 含直角三角形：三边比 含等腰直角三角形：三边比 由边长比推导三角函数，告别死记硬背。 【知识链接】特殊角的三角函数值 1. 图表记忆 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2. 规律记忆 30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，； 30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式4-2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式4-3】（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 【答案】6 【分析】原式分别计算负整数指数幂、绝对值以及特殊角三角函数，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 易错点5 解直角三角形在实际问题中的应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例5】（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式5-1】（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【答案】的长度约为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则，设，可得，再进一步利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作于，则， 设，而， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长度约为． 【变式5-2】（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式5-3】（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 【答案】(1)图2中塔底半径的长约为； (2)兴国寺塔的高度约为． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，根据等腰三角形三线合一求出，，解直角三角形即可解答； （2）过点作于点，易证四边形是矩形，得到，解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：图2中塔底半径的长约为； （2）解：过点作于点， 由题意得， 由（1）知， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 答：兴国寺塔的高度约为． 1. （2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. （2026·江苏南通·一模）如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 3. （2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 4. （2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. （2026·江苏连云港·一模）如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点F，连接，根据中位线的性质得，再说明是直角三角形，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：连接，取的中点F，连接， ∵点M，N，F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 6. （2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 7. （2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 【答案】 【分析】先根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 8. （2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 9. （2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 10. （2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【答案】 【分析】如图，过点F作交于点M，交于点N，设，则，证明出，表示出，然后利用勾股定理求出，进一步利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴， ∵E是中点 ∴ 设，则 由折叠得，，， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∴． 11. （2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. （2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 13. （2026·江苏苏州·一模）缅怀革命先烈，传承红色基因．清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的高度进行测量，相关测量数据记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为，且图中所有的点都在同一平面内，，，垂足分别为． 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． 参考数据 … … 根据以上信息，求该纪念碑的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】延长交于点，分别解和，求出，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：延长交于点，则由题意可知：，，，， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：该纪念碑的高度为 14. （2026·江苏泰州·一模）拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． (1)求的长； (2)该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】（1）过点作，垂足为．求得，根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）过点作，垂足为．根据解直角三角形的方法求解即可； 【详解】（1）解：（1）过点作，垂足为． 在中，， ， 在中，， ， 答：的长为． （2）解：过点作，垂足为． ， 在中，， ， ， 在中，， ， 答：的长为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理及锐角三角函数的应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 易错点 2 折叠问题中的勾股定理等式方程 易错点 3 混淆三角函数的定义 易错点 4 特殊三角函数值记忆错误 易错点 5 解直角三角形在实际问题中的应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 错因剖析 概念混淆：死记勾股定理公式 ，但不区分字母含义，随意代入边长，分不清哪边是斜边。 认知偏差：忽略勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形乱用定理计算边长。 基础薄弱：无图题型不分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分 “两边都是直角边”“一边直角边、一边斜边” 两种情况，造成漏解。 【例1】直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边的长为（   ） A． B． C．或 D．2或 避错秘籍 【防错指南】 先判定直角、标出斜边，再列公式； 非直角三角形，严禁使用勾股定理。 【知识链接】 1、勾股定理专属直角三角形： 斜边 = 直角对的边 = 三角形最长边。 2、固定公式用法，精准对应 设： 为斜边， 为直角边 求斜边： 求直角边： 口诀：平方和求斜边，平方差求直边 变式迁移 【变式1-1】在中边上的高为4，若，则的面积为（    ） A．10或2 B．20或4 C．10或4 D．20或2 【变式1-2】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 易错点2 折叠问题中的勾股定理等式方程 错因剖析 概念混淆：不能根据折叠的性质迁移线段、角，找到适合的直角三角形建立勾股方程。 认知偏差：缺乏 “折叠 + 勾股 + 方程” 固定解题模型，识图不完整，代数几何结合能力薄弱。 基础薄弱：方程建模与求解能力不足。 【例2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 避错秘籍 【防错指南】一般解题步骤： ① 找等量：由折叠，标出所有相等线段； ② 巧设元：设最短未知线段为，其余相关线段用**总长**表示； ③ 定直角：锁定折叠后新形成的直角三角形； ④ 列方程：利用 直角边 ²＋直角边 ²＝斜边 ² 列一元一次方程； ⑤ 解方程、验结果，舍去不合理负值、超范围解。 【知识链接】 折叠变换：轴对称→全等→边等、角等； 勾股定理：直角三角形边长等量关系； 方程思想：几何线段计算代数化，是中考折叠题型核心考法。 变式迁移 【变式2-1】如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 【变式2-2】（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 易错点3 混淆三角函数的定义 错因剖析 概念混淆：混淆的边角对应关系，尤其混淆正弦和余弦。 认知偏差：忽略三角函数只在直角三角形中定义，无直角三角形不构造而强行计算。 基础薄弱：运用三角函数时，不指明那个直角三角形，导致混乱。 【例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】确定三角函数值的方法 ① 定角：锁定要求的锐角； ② 辨边：以该角为顶点，分清：对边、邻边、斜边； ③ 套式：严格按定义列式，不乱替换。 【知识链接】定义（锐角三角函数） 在中，对于一个锐角： 正弦： 余弦： 正切： 极简口诀： 正对正，余靠邻，切对比邻；斜边永远在下方。 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南通·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【变式3-3】（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 易错点4 特殊三角函数值记忆错误 错因剖析 概念混淆：混淆的与；混淆正切大小，把与写反。 认知偏差：缺少规律认知，不理解互余角三角函数之间的关系。 基础薄弱：含特殊角三角函数值的基础实数运算法则不熟练，计算错误。 【例4】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 避错秘籍 【防错指南】理解记忆（依托两个特殊直角三角形） 含直角三角形：三边比 含等腰直角三角形：三边比 由边长比推导三角函数，告别死记硬背。 【知识链接】特殊角的三角函数值 1. 图表记忆 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2. 规律记忆 30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，； 30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【变式4-2】（2026·江苏宿迁·一模）计算：． 【变式4-3】（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 易错点5 解直角三角形在实际问题中的应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例5】（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式5-1】（2025·江苏徐州·中考真题）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作．同学们测得，，．求的长度（精确到）． 答案（参考数据：，，，，，） 【变式5-2】（2026·江苏徐州·一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【变式5-3】（2026·江苏无锡·一模）图1是江阴市兴国寺塔，它始建于北宋太平兴国年间．塔底外形是一个如图2所示的正八边形．某数学兴趣小组对兴国寺塔进行了一定的实地测量活动，具体过程如下： 【数据收集】通过实地测量，正八边形的边长． 【问题解决】 (1)求图2中塔底半径． (2)如图3，在延长线上确定一点B，使A、B两点的距离为，在B处竖一根的竹竿，从杆顶P测得塔顶E的仰角为，求出兴国寺塔的高度． （结果取整数．参考数据：，，） 1. （2025·江苏南京·二模）下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（   ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 2. （2026·江苏南通·一模）如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（   ）． A． B． C． D． 3. （2026·江苏南通·一模）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 4. （2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5. （2026·江苏连云港·一模）如图，中，，点在的延长线上，点在边上，分别是的中点．若，则的长是（　　） A． B． C． D． 6. （2026·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7. （2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 8. （2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则____． 9. （2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 10. （2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 11. （2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______． 12. （2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 13. （2026·江苏苏州·一模）缅怀革命先烈，传承红色基因．清明节期间，某数学兴趣小组前往苏州烈士陵园开展实践活动，对纪念碑的高度进行测量，相关测量数据记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 如图，某同学在点处用测角仪测得纪念碑的最高点的仰角，另一名同学在他的正后方的点处用相同的测角仪测得点的仰角（测角仪的高度为，且图中所有的点都在同一平面内，，，垂足分别为． 测量数据 在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． 参考数据 … … 根据以上信息，求该纪念碑的高度（结果精确到）． 14. （2026·江苏泰州·一模）拉筋板是一种常见的健身器材，通过站立于倾斜的踏板上，利用自身重力拉伸小腿后侧肌群，达到放松肌肉、改善柔韧性的效果． 图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，由踏板，底座及支撑架组成，，支撑架可绕点A旋转，当D点卡在底座上的不同档位（为锐角）时，踏板可绕点B旋转以调节倾斜角度．当点D调至时，． (1)求的长； (2)该拉筋板的使用说明书提示：当踏板与水平地面的夹角超过时，人体重心偏高，易发生受伤风险．小明在进行拉伸时为避免受伤，对D点位置进行了调整（如图3），请求出的最小值．（结果保留根号）（参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $