11.1.2 不等式的性质（第2课时 用不等式的性质解不等式）（培优教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不等式的性质 第2课时 用不等式的性质解不等式 第十一章 不等式与不等式组 不等式及其解集 不等式的性质 用不等式的性质解不等式 不等式与不等式组第十一章 11. 1 不等式 11. 2一元一次不等式 11. 3 一元一次不等式组 章节导读 解一元一次不等式 列一元一次不等式解决实际问题（一） 列一元一次不等式解决实际问题（二） 学 习 目 标 1 2 3 能结合具体的不等式，准确说出利用不等式性质解不等式的步骤，明确解不等式与解方程的联系与区别； 掌握利用不等式的性质将不等式化为x>m或x<m形式的方法，能正确在数轴上表示不等式的解集，并解决简单的实际问题； 经历用不等式性质解不等式、在数轴上表示解集的过程，体会类比思想与数形结合思想，提升运算能力与数学建模的核心素养. 导入新课 这节课，我们就用这些工具，正式学习如何利用不等式的性质解不等式，掌握把不等式化为x>m或x<m的方法，并用数轴直观表示解集，真正学会解决各类不等关系问题． 同学们，上节课我们已经系统学习了不等式的三条性质，知道了解不等式的变形规则，就像给 “解不等式” 配齐了 “工具包”． 典例分析 例1：利用不等式的性质解下列不等式． （1） x – 7＞26 ；（2）3x＜2x＋1 ；（3） x＞50 ； （4）– 4x＞3. 解：(1)根据不等式的性质 1，不等式两边加 7，不等号的方向不变， x＞33． 所以 x – 7＋7＞26＋7， 这个不等式的解集在数轴上表示为， 0 33 你能在数轴上直观地表示这个不等式的解集吗？ 典例分析 解：(2)根据不等式的性质 1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变， x＜1 所以 3x – 2x＜2x + 1 – 2x 0 1 这个不等式的解集在数轴上表示为， 例1：利用不等式的性质解下列不等式． （1） x – 7＞26 ；（2）3x＜2x＋1 ；（3） x＞50 ； （4）– 4x＞3. 你能在数轴上直观地表示这个不等式的解集吗？ 典例分析 解：(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， x＞75 0 75 所以 x ＞ ×50 这个不等式的解集在数轴上表示为， 例1：利用不等式的性质解下列不等式． （1） x – 7＞26 ；（2）3x＜2x＋1 ；（3） x＞50 ； （4）– 4x＞3. 你能在数轴上直观地表示这个不等式的解集吗？ 典例分析 解：(4)根据不等式的性质 3，不等式两边除以 – 4，不等号的方向改变， 所以 ＜ 0 – 3 4 这个不等式的解集在数轴上表示为， ＜ 例1：利用不等式的性质解下列不等式． （1） x – 7＞26 ；（2）3x＜2x＋1 ；（3） x＞50 ； （4）– 4x＞3. 你能在数轴上直观地表示这个不等式的解集吗？ 典例分析 解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为x>m或x<m （m为常数）的形式． 1. 利用不等式的性质 1 可简化为“移项”； 2. 利用不等式的性质 2 或性质 3 就是把未知数的系数化为 1，要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向，常数项的符号也要改变． 基础训练 基础训练 不等式的性质1 不等式的性质3 不等式的性质2 不等式的性质3 新知探究 除了含有<，>，≠的不等式，像 a≥b 或 a≤b 这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式． 例如，x≥3表示x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值． 符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 符号“≥”与“>”的含义有什么区别？“≤”与“<”呢？ 新知探究 a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质. 例如：如果a≥b，那么2a≤ 2b. 生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示. 如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h，最高车速应为100km/h.如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100. 新知探究 本节开头问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速v应满足什么条件？ v＞105 且v≤120 即：105<v≤120 典例分析 例2：如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm．若鱼缸内已有水的高度为1dm ，现准备向鱼缸内继续注水. 用V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 分析：问题中的不等关系是： 已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积． 典例分析 解：因为“已有水的体积+新注入水的体积≤鱼缸的容积”，所以 10×3.5×1＋V≤10×3.5×7 解得 V≤210 又由于新注入水的体积不能是负数，所以V 的取值范围是 在数轴上表示V 的取值范围如图所示： 0≤V≤210 在表示0和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数. 基础训练 基础训练 新知总结 用不等式的性质解不等式 ①解不等式的核心思路 ②解不等式的基本步骤 1．移项：利用性质 1，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边（移项要变号）； 2．系数化为 1：利用性质 2 或 3，将未知数的系数化为 1． 系数为正数时，不等号方向不变； 系数为负数时，不等号方向必须改变． 解不等式的目标，是利用不等式的性质，将不等式逐步化为x>a或x<a（或x≥a、x≤a）的形式，这与解方程的“化归”思路是一致的． 新知总结 用不等式的性质解不等式 ③解集的数轴表示 1．不含等号（> 或 <）：用空心圆圈表示端点，射线向对应方向延伸； 2．含等号（≥ 或 ≤）：用实心圆点表示端点，射线向对应方向延伸； 3．区间形式（如 0≤V≤210）：两端都用实心圆点，用线段连接． 巩固练习 不等式的性质2 不等式的性质1 不等式的性质3 不等式的性质1 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 解：（1），，，，， ，，，②， 得，； （2），，，，， ，①，，， ②，得，． 课堂总结 感谢聆听! 【解析】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，可得答案． 解：A、由，得，故选项不符合题意； B、由，可知，两边同时除以得，故选项符合题意； C、由，得，故选项不符合题意； D、由，得，故选项不符合题意；故选：B． 1．根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 B 2．下列各题的横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． （1）若，则______12；____________ （2）若，则______；____________ （3）若，则______；____________ （4）若，则______0．____________ 【解析】本题考查了不等式的基本性质；掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（1）由性质，即可求解；（2）由性质，即可求解；（3）由性质，即可求解；（4）由性质，即可求解. D 【解析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 1．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 解：原来的两位数是，对调后的两位数是， 由题意可知，， 由不等式的基本性质1和2，可得， 这样的两位数举例：12（答案不唯一）． 2．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大，请写出一个这样的两位数． 【解析】本题考查了不等式的应用，不等式的基本性质，正确理解题意并列不等式求解是关键．由题意得，原来的两位数是，对调后的两位数是，则，根据不等式的基本性质可求得，再举例即可． 【解析】根据不等式的基本性质依次分析各小题即可得到结果． 解：（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6； （2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2； （3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3； （4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4. 故答案为：不等式的基本性质2；不等式的基本性质1；不等式的基本性质3，不等式的基本性质1． 1．说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质： （1）由x＞－3，得x＞－6；___________； （2）由3＋x≤5，得x≤2；______________； （3）由－2x＜6，得x＞－3；____________； （4）由3x≥2x－4，得x≥－4._____________． 解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 答对一题得分，答错或不答均扣分， 实际得分为答对得分减去扣的分数，即， 要求得分不低于分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式，选项符合题意． 2．年月日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答均扣分．若得分不低于分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（   ） A． B． C． D． A 解：（1）（不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质2）， 解得． （2） （不等式的基本性质1）， ， （不等式的基本性质3）， 解得． 3．利用不等式的基本性质解下列不等式： (1)； (2)． 【解析】本题考查了利用不等式的基本性质解下列不等式，利用不等式的基本性质和不等式的基本性质2、3，进行求解即可． 解：∵，∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 4．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【解析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【解析】（1）利用题中给出的条件，列出不等量关系即可求解； （2）利用题中给出的条件，列出不等量关系即可求解． 5．【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法．例如，解答“已知，试确定的范围”．小明的解题过程如图所示． 【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题： (1)已知，求的取值范围． (2)已知，求的取值范围． $