专题02 平面向量与复数（5大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 平面向量与复数 5大考点概览 考点01平面向量的基本定理与坐标表示 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量的投影向量 考点04复数的概念 考点05复数的四则运算 平面向量的基本定理与坐标表示 考点1 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 2．（2026·吉林G35联合体·二模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知为直线上动点，定点，为坐标原点，若，则有（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 5．(2026·辽宁大连·二模)已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 平面向量的数量积 考点2 1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知平面向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．(2026·辽宁朝阳·二模)已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 4．（2026·内蒙古包头·二模）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·哈尔滨师大附中·二模）（多选）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 7．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．当时，四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积的最大值为2 8．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知向量,满足,,则的最大值为__________. 9．（2026·辽宁省名校协作体·二模）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 平面向量的投影向量 考点3 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．6 D．12 2．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 3．（2026·哈尔滨三中·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 复数的概念 考点4 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）复数在复平面内所对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·二模）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C．2 D． 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（2026·内蒙古包头·二模）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 6．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 7．（2026·吉林白山·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 复数的四则运算 考点5 1．（2026·辽宁辽阳·二模）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春六中·二模）已知复数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)若，则复数（   ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林G35联合体·二模）若复数，则的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 6．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知，则（　　） A． B．1 C． D． 7．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．1 9．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 10．（2026·哈尔滨三中·二模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 5大考点概览 考点01平面向量的基本定理与坐标表示 考点02平面向量的数量积 考点03平面向量的投影向量 考点04复数的概念 考点05复数的四则运算 平面向量的基本定理与坐标表示 考点1 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 【答案】A 【详解】由题设知，则，则，则， 因为与同向，所以，故. 故选：A 2．（2026·吉林G35联合体·二模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对任意向量，满足三角不等式： ， 当且仅当与共线反向时，左侧等号成立， 将，代入可得 ， 即 的最小值为. 故选：B 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知为直线上动点，定点，为坐标原点，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，则 因为为直线上动点，所以，. 故选：A 4．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意，作图如下： 因为三点共线，所以可设 又，可得； 所以； 又因为三点共线，可设， 因此可得，解得； 所以 可得. 故选：B 5．(2026·辽宁大连·二模)已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 【答案】B 【详解】由题意，， 所以， 因为，， 所以. 故选：B 平面向量的数量积 考点2 1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知平面向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，解得. 故选：A 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算先计算，再由向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以，解得. 故选：D. 3．(2026·辽宁朝阳·二模)已知单位平面向量，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】通过可得即可求解. 【详解】显然，解得， 于是. 故选：A 4．（2026·内蒙古包头·二模）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示， 将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为， 由，所以，两边平方化简整理得： ，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以， 化简得：. 由圆方程可知，，所以， 即. 故选：C 6．（2026·哈尔滨师大附中·二模）（多选）曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（   ） A． B． C．当时,的最大值是 D．当时, 【答案】ACD 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时，，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当时，曲线C：，即，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时，，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 故选：ACD 7．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．当时，四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积的最大值为2 【答案】BCD 【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为，所以当时，， 则 ，故A错误； 选项B：的面积， 因为，所以当时，，故B正确； 选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径， 因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为， 则， 所以四边形ABCD面积的， 令，则， 令，则， 令，解得或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当，即时，有最大值， 此时，，故C正确； 选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，， 两弦异侧时，其距离，且， 则四边形ABCD面积 ， 所以当时，有最大值为2，故D正确. 故选：BCD 8．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知向量,满足,,则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先利用和的模长，求出 和，再将转化为模长平方的形式，结合向量数量积的性质求最大值 【详解】由,两式分别平方： (1) (2)​ 由(1)+(2)得：， 由(1)−(2)得：， ， 再由,，根据向量模长的三角不等式： ， 即，所以， 当与同向时，取最大值为， 所以 因此 9．（2026·辽宁省名校协作体·二模）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 平面向量的投影向量 考点3 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以 故选：A 2．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 【答案】 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又， 所以 ， 因此. 3．（2026·哈尔滨三中·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 复数的概念 考点4 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）复数在复平面内所对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义及共轭复数概念求解. 【详解】由复数的几何意义可知，故. 故选：B 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以．所以D正确． 3．（2026·辽宁大连·二模）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，利用复数的四则运算列方程求解即可. 【详解】设，则， 所以，， 解得，即， 所以， 故选：D 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由模长公式求解即可. 【详解】复数满足，则. 故选：B. 5．（2026·内蒙古包头·二模）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数乘法求解. 【详解】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得， 所以. 故选：B 6．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【分析】先对复数化简计算，然后逐个分析判断即可 【详解】解：， 则在复平面对应的点为，位于第二象限，所以A正确， 的虚部为1，所以B错误， ，所以C正确， ，所以D错误， 故选：AC 7．（2026·吉林白山·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 复数的四则运算 考点5 1．（2026·辽宁辽阳·二模）已知复数，，a，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 所以，解得，则. 故选：B 2．（2026·吉林长春六中·二模）已知复数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的乘方运算及共轭复数的定义求解即可. 【详解】. . . 所以. 故选：B. 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)若，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B 4．（2026·吉林G35联合体·二模）若复数，则的虚部是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由虚数的概念结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】根据题意可得， 则，，得到的虚部是. 故选：C 5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 故选：B 6．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】， 所以. 故选：A 7．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，虚部为. 故选：A 8．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 故选：B 9．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 故选：B 10．（2026·哈尔滨三中·二模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数. 因此的虚部为. 故选：A 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 平面向量的基本定理与坐标表示 考点1 1 2 3 4 5 A B A B B 平面向量的数量积 考点2 1 2 3 4 5 6 7 A D A B C ACD BCD 8． 9． 平面向量的投影向量 考点3 1．A 2． 3． 复数的概念 考点4 1 2 3 4 5 6 7 B D D B B AC ABC 复数的四则运算 考点5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B C B A A B B A 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $