专题12：平行四边形和梯形（期末专项训练）四年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以“概念-性质-操作-特殊类型”为逻辑主线，通过口诀化方法（如“一靠二移三画四标”画高步骤）和对比辨析（平行四边形与梯形对边平行差异）构建系统性训练体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|4个核心考点|概念对比（平行四边形两组对边平行vs梯形一组对边平行）、画高四步口诀|从基本定义到性质应用，再到特殊图形特征，形成递进关系| |例题讲解|4类题型|概念辨析（如长方形是特殊平行四边形）、性质应用（平行四边形不稳定性实例分析）|题型与考点一一对应，覆盖核心考法| |专项训练|4组练习|动手操作（高的画法、图形分割）、动态变化分析（图形运动中形状判定）|结合生活情境与几何操作，强化推理意识与应用能力|

专题12：平行四边形和梯形（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、平行四边形和梯形的概念及特点 1 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 2 考点三、平行四边形和梯形的高及画法 2 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 3 例题讲解 4 题型一、平行四边形和梯形的概念及特点 4 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 5 题型三、平行四边形和梯形的高及画法 6 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 7 专项训练 7 练习一、平行四边形和梯形的概念及特点 8 练习二、平行四边形的不稳定性及应用 10 练习三、平行四边形和梯形的高及画法 12 练习四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 17 考点梳理 考点一、平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2)主要特征： ①　对边平行：上下两边平行，左右两边也平行。 ②　对边相等：相对的两条边长度相等。 ③　对角相等：相对的两个角度数相等。 ④　邻角互补：相邻的两个角加起来是 。 (3)特殊关系： ①　长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 ②　因为它们不仅满足“两组对边分别平行”，还满足“四个角都是直角”（长方形）或“四条边都相等且四个角都是直角”（正方形）。 2. 梯形 (1)定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2)各部分名称： ①　底：平行的一组对边叫做梯形的底。通常较短的叫上底，较长的叫下底。 ②　腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 ③　高：从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 (3)重要区分： ①　平行四边形：两组对边平行。 ②　梯形：只有一组对边平行。 ③　一般四边形：没有对边平行。 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 1. 特性：不稳定性 (1)含义：平行四边形容易变形。只要拉动它的一组对角，它的形状就会改变，但四条边的长度保持不变。 (2)对比：三角形具有稳定性（形状固定），而平行四边形具有不稳定性（形状易变）。 2. 生活中的应用 利用平行四边形容易变形的特点，生活中有很多巧妙的设计： (1)伸缩门：学校或小区的电动伸缩门，由许多平行四边形框架组成，可以自由拉伸和收缩，节省空间。 (2)升降机/千斤顶：利用平行四边形的变形原理，实现高度的调节或重物的顶升。 (3)折叠衣架：可以折叠收纳，方便携带。 (4)活动挂架：可以调整宽度和角度。 3. 注意事项 (1)虽然形状变了，但周长不变（因为边长没变）。 (2)但是，面积会改变（因为高随着形状的变化而变短或变长）。 考点三、平行四边形和梯形的高及画法 “高”是几何图形中非常重要的概念，画高必须使用三角尺。 1. 什么是高？ (1)平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高。这条对边是平行四边形的底。 (2)梯形的高：从上底的一点到下底的垂直线段，是梯形的高。 2. 有多少条高？ (1)平行四边形：有无数条高。 ①　同一组对边之间的高长度都相等。 ②　平行四边形有两组不同的高（对应两组不同的底）。 (2)梯形：有无数条高。 ①　所有的高长度都相等（因为上下底平行，平行线间的距离处处相等）。 3. 画高的步骤（通用口诀：一靠、二移、三画、四标） 以画平行四边形或梯形的高为例： (1)一靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (2)二移：沿底边平移三角尺，直到另一条直角边经过对边上的某一点（通常是顶点，也可以是对边上的任意一点）。 (3)三画：从该点向底边画一条垂直线段。 ①　注意：在图形内部画高时，通常用虚线表示。 (4)四标： ①　在垂足处标上直角符号（ ）。 ②　在旁边写上“高”字。 ③　如果是梯形，确保高画在上下底之间；如果是平行四边形，确保高垂直于选定的底。 4. 易错点提示 (1)高必须与底垂直。 (2)高是一条线段，有两个端点（一个是顶点或边上的点，一个是垂足）。 (3)画梯形的高时，一定要画在上底和下底之间，不能画在腰上。 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 梯形根据“腰”的特点，可以分为两种特殊的梯形：直角梯形和等腰梯形。 1. 直角梯形 (1)定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 (2)特点： ①　一条腰垂直于底：其中一条腰与上底、下底都垂直。 ②　这条腰就是高：垂直于底的那条腰的长度，既是腰长，也是梯形的高。 ③　两个直角：因为上下底平行，同旁内角互补，所以直角梯形通常有两个直角（位于垂直腰的两端）。 2. 等腰梯形 (1)定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (2)特点： ①　两腰相等：左右两条不平行的边长度一样。 ②　底角相等：同一底上的两个角度数相等（即上面的两个角相等，下面的两个角相等）。 ③　轴对称图形：等腰梯形是轴对称图形。 a.对称轴：连接上底中点和下底中点的直线。 b.它有 1条 对称轴。 例题讲解 题型一、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题1】四条线段首尾顺次相连围成的图形叫( )；两组对边分别平行的四边形叫( )；只有一组对边平行的四边形叫( )。 【答案】 四边形 平行四边形 梯形 【分析】根据四边形的定义：四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。梯形的定义：只有一组对边平行的四边形。据此进行解答。 【详解】根据分析得： 四条线段首尾顺次相连围成的图形叫四边形；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形。 【练习1】下面说法正确的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相平行 B．平行四边形具有稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 【答案】C 【分析】正方形是一种四边形，其四条边长度相等且四个角都是直角，所以正方形相邻的两条边互相垂直； 平行四边形容易变形，具有不稳定性； 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形有四条边，对边平行且相等，长方形是特殊的平行四边形； 平行四边形要求两组对边都平行，而梯形只有一组对边平行，不满足平行四边形的定义，因此不是平行四边形的特殊形式。 【详解】A．正方形相邻的两条边互相垂直，原题说法错误； B．平行四边形具有不稳定性，原题说法错误； C．长方形是特殊的平行四边形，原题说法正确； D．梯形不是特殊的平行四边形，原题说法错误。 故答案为：C 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 【例题2】李阿姨买了一个衣架，这个衣架能伸缩（如图所示），这是应用了平行四边形( )的特性。 【答案】不稳定 【分析】平行四边形的特性之一是不稳定性，即它的形状可以在边长不变的情况下改变角度，从而实现伸缩。 【详解】 衣架能伸缩，所以是利用了平行四边形的不稳定性。 【练习2】木匠师傅要加固一个平行四边形木框（如下图），下面加固方式最稳定牢固的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，而平行四边形具有易变形的性质，若哪个图形加固一根木棍后，将图形分成2个三角形，那么才能使得原平行四边形木框更加牢固。 【详解】A．加固一根木棍后，将图形分成2个三角形，三角形具有稳定性，所以这种方法更牢固； B．加固一根木棍后，将图形分成2个平行四边形，还是容易变形； C．加固一根木棍后，将图形分成2个平行四边形，还是容易变形。 故答案为：A 题型三、平行四边形和梯形的高及画法 【例题3】画出下面图形底边上的一条高。 【答案】见详解 【分析】平行四边形的高画法：从平行四边形一条边上的任意一点向对边（底）作一条垂线，这条垂线的长度就是平行四边形的高。把三角板的一条直角边与平行四边形的底边重合。沿着底边平移三角板，让三角板的另一条直角边与平行四边形的对边相交。从交点向底边画一条垂直的线段，这条线段就是底边上的高（用虚线表示）。 梯形的高画法：梯形的高是两底之间的垂直距离，两条底是互相平行的，所以可以在上底任意选一点，向下底作垂线。把三角板的一条直角边与梯形的下底重合。移动三角板，让另一条直角边与梯形的上底相交。从交点向下底画一条垂直的线段，这条线段就是梯形的高（用虚线表示）。 【详解】根据分析，画图如下： 【练习3】在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；等腰梯形的两腰相等；直角梯形中存在两个直角。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；高一般用虚线表示，并画上垂足符号；据此作图。 （3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。要想将梯形分成一个平行四边形和一个梯形，则过上底的一个点（两端除外），作腰的平行线即可。 【详解】画图如下： 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例题4】等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 【答案】 上下底互相 两腰 【详解】等腰梯形的上下底互相平行，两腰的长度相等。如下图所示： 【练习4】直角梯形有( )组对边互相平行，有( )组邻边互相垂直。 【答案】 1 2 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形；一条腰垂直于底的梯形叫直角梯形。一个直角梯形中，有一组对边互相平行；由于梯形的一条腰垂直于底，则这条腰与上底和下底都垂直，所以直角梯形中有2个角是直角。据此解答即可。 【详解】直角梯形有1组对边互相平行，有2组邻边互相垂直。 专项训练 练习一、平行四边形和梯形的概念及特点 1．下面四个图形，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有两组对边平行的四边形是平行四边形，正方形是特殊的平行四边形，由五条边围成的封闭图形是五边形，只有一组对边平行的四边形是梯形，据此作答。 【详解】A．正方形是特殊的平行四边形，两组对边分别平行（两组平行线），不符合。 B．平行四边形有两组对边分别平行（两组平行线），不符合。 C．图中的五边形没有平行的线段，不符合。 D．梯形只有一组对边平行，符合。 故答案为：D 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在的直线慢慢往右移动，与点B重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→平行四边形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 【答案】D 【分析】本题考查梯形、平行四边形和三角形的特征知识。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。据此分析解题即可。 【详解】根据题意， 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在直线慢慢往右移动，一开始线段AB与线段CD不相等，图形是梯形；当线段AB与线段CD相等时，图形是平行四边形；点A再继续移动，线段AB和线段CD不相等，图形是梯形；当点A与点B重合后，图形是三角形。所以这个图形的变化过程是“梯形→平行四边形→梯形→三角形”。 故答案为：D 3．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( ) 【答案】× 【详解】已知两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫作梯形，且平行四边形是中心对称图形，其对称点是两条对角线的交点，如果过这个交点，任意画一条线段与一组对边相交（交点不在顶点上），则两边分成的图形一定是相同的梯形（如图）。 【点睛】根据分析可知： 一个平行四边形一定能分成2个相同的梯形。原题说法错误。 故答案为：× 4．只有一组对边平行的四边形是( )形；两组对边分别平行的四边形是( )四边形。 【答案】 梯 平行 【详解】只有一组对边平行的四边形是梯形，平行的两边叫做梯形的底边，其中较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，不平行的两边叫腰。例如：只有上、下两边平行，这个图形是梯形； 两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。例如：上、下两边平行，左、右两边也平行，这个图形是平行四边形； 因此，只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 5．将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是( )形，判断依据是( )。 【答案】 梯 这个四边形只有一组对边平行，符合梯形的特征 【分析】根据梯形只有一组对边互相平行，长方形四个角为直角且对边相等、平行，长方形和一个三角形交叉摆放，重叠部分的四边形上下两条边是长方形的对边，互相平行，由此判断出重叠部分的四边形是梯形。 【详解】将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是梯形，判断依据是这个四边形只有一组对边平行，符合梯形的特征。 6．将下面的梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】图见详解 【分析】把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个平行四边形和一个三角形，就要用原来梯形的一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底的顶点做另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【详解】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 练习二、平行四边形的不稳定性及应用 1．下面物体中，（    ）没有利用平行四边形容易变形的特点。 A． B． C． 【答案】A 【分析】平行四边形易变形，具有不稳定性，生活中人们利用这个特性制作很多实用工具，例如：升降梯、伸缩门、折叠椅等，据此即可解答。 【详解】A．停车位没有利用平行四边形易变形特性，选项符合题意； B．升降机利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意； C．晾衣架利用了平行四边形易变形特性，选项不符合题意。 故答案为：A 2．如图，小刚把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．四条边长度没有变 B．高没有变 C．四个角的度数都变大了 D．周长减少了 【答案】A 【分析】长方形拉成一个平行四边形，周围的四条边没有变，两条对边之间的距离变近，图形的高度变小了；把长方形木框拉成平行四边形，仍然是四边形，四个直角变成2个锐角和2个钝角；把长方形木框拉成平行四边形，4条边的长度不变，所以周长不变。 【详解】A．四条边长度没变，变形后的四边形四条边仍是原长方形的边，所以长度不变。说法正确。 B．两条对边之间的距离变近，即高变小了。说法错误。 C．长方形和平行四边形都是四边形，四个直角变成2个锐角和2个钝角，2个角变大2个角变小。说法错误 D．四条边长度没变，变形后的四边形四条边仍是原长方形的边，所以周长不变。说法错误。 故答案为：A 3．长方形、平行四边形和梯形都具有稳定性。( ) 【答案】× 【分析】根据平面图形的特性，三角形具有稳定性，而平行四边形（包括长方形）和梯形都不具有稳定性。平行四边形容易变形，梯形在边长确定时形状也可能改变。 【详解】长方形是特殊的平行四边形，平行四边形具有不稳定性，即边长确定时形状可以改变。梯形只有一组对边平行，若边长确定，非平行边的角度仍可变化，因此也不稳定。故原题说法错误。 故答案为：× 4．下图的推拉门应用了平行四边形具有( )的特点。 【答案】容易变形/不稳定性 【分析】平行四边形具有容易变形（不稳定性）的特点，图中的推拉门正是利用这一特点实现伸缩开合的，所以这里填“容易变形（或不稳定性）”。 【详解】推拉门应用了平行四边形具有（容易变形（或不稳定性））的特点。 练习三、平行四边形和梯形的高及画法 1．如图中，梯形的高是线段（    ）。 A．DE B．AB C．AD D．EC 【答案】C 【分析】根据梯形的上下底之间的距离叫做梯形的高，找到与上下底垂直的线段就是梯形的高，据此解答即可。 【详解】题图中梯形的高是线段AD。 故答案为：C 2．下图中的虚线（    ）是所在图形的高。 A．②④⑤⑥ B．③④⑤⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】从平行四边形任一顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是平行四边形的高。从梯形的上底任取一点向下底所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段就是梯形的高。据此解题即可。 【详解】由分析可知， ，②是这个平行四边形的高，①不是它的高； ，④是这个梯形的高，③不是它的高； ，⑤和⑥都是这个平行四边形的高。 故答案为：A 3．如图，平行四边形AB边上的高是( )cm，AD边上的高是( )cm。 【答案】 2.4 4 【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；依此即可解答。 【详解】如图中，平行四边形AB边上的高是CF，即2.4cm，AD边上的高是CE，即4cm。 4．如图的梯形（单位：厘米），是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 5 10 【分析】因为这个梯形是由长方形纸折叠而成的，所以可以看到梯形的高就是原来长方形的宽，也就是5厘米； 因为梯形是由长方形折叠而成的，梯形的下底就等于长方形的长。从图中所给信息可知长方形的长是由三部分组成的，一部分是6厘米，另外还有两个2厘米的部分，将它们加总在一起即可。 【详解】6＋2＋2＝10（厘米） 所以这个梯形的高是5厘米，下底是10厘米。 5．在图上找到一个点D，与A、B、C连成一个等腰梯形，接着画出等腰梯形的一条高，最后在旁边画出一个与它等高的平行四边形。 【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；据此画图。 从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高；两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形；据此根据等腰梯形的高的长度，画出一个与等腰梯形等高的平行四边形。 【详解】画图如下： 6．画出下面图形的高。 【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【详解】根据平行四边形和梯形高的画法作图即可，如图： 7．画一画。 把下面的图形补充完整，并画出它们的高。 【答案】见详解 【分析】平行四边形对边分别平行且相等，据此把图形补成平行四边形；根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出指定底边上的高即可。根据梯形的定义：一组对边平行的四边形是梯形，作下底的平行线，作出的平行线为上底，即可作出梯形；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【详解】如图： 8．请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 【答案】见详解 【分析】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）过一条边的另一个端点作与另一条长度相等的平行线段，再把这两条平行线段的另一个端点连接起来即可得到一个平行四边形，再从平行四边形的一个端点作对边的垂线段，即可得到平行四边形的一条高； （3）结合等腰梯形两腰相等的特点，让下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等，再同时两腰长相等。 【详解】（1）根据量角器得使用方法，量出角度为110°，如图： （2）结合平行四边形特点，两组对边分别平行且相等，分别作出与这两条线段长度相等的平行线段，如图： （3）下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形，两腰长相等，如图： （画法不唯一） 9．在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）等腰梯形的上底与下底平行，两腰相等。由题可知，先过点C作出一条与AB平行的线，再在这条线上确定出点D，使AD与BC相等，据此作出等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高。即从点B向边CD作垂线，垂足为E，点E在CD上。 （3）取梯形的一条腰上的一个端点，作另一条腰的平行线，即可截出平行四边形，那么剩余的图形就是三角形。 【详解】如图所示： 练习四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1．一个等腰梯形的腰长为5厘米，这个等腰梯形底边上的高一定不是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．2厘米 【答案】C 【分析】等腰梯形的两条腰相等，上底上一点到下底的垂线段，即为梯形的高，根据点到直线的连线中，垂直线段最短，所以等腰梯形的高小于梯形的腰长，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，等腰梯形底边上的高小于腰长，一个等腰梯形的腰长为5厘米，所以等腰梯形底边上的高一定不是5厘米。 故答案为：C 2．从数学角度写出等腰梯形、平行四边形的一个相同特征和一个不同特征。相同特征：( )，不同特征：( )。 【答案】 都是四边形 等腰梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边分别平行 【分析】（1）根据平行四边形和等腰梯形的概念可知，两个图形都有四条边，都是四边形（答案不唯一） （2）平行四边形两组对边分别平行且相等，等腰梯形只有一组对边平行，另一组对边不平行。（答案不唯一） 【详解】从数学角度写出等腰梯形、平行四边形的一个相同特征和一个不同特征。相同特征：都是四边形，不同特征：等腰梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边分别平行。（答案不唯一） 3．一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是( )厘米。 【答案】7 【分析】根据题意，一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，所以延长后的正方形的边长为4＋3＝7厘米，由正方形的定义可得，正方形的边长等于正方形的高，直角梯形延长后的上底并没有改变原来梯形的高，所以这个梯形的高等于正方形的高，据此解答即可。 【详解】4＋3＝7（厘米） 一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是7厘米。 4．林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是( )厘米，如果他拿走其中( )厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 【答案】 8 13 【分析】直角梯形有一个直角，这意味着其中一条腰与底垂直，这条腰也是直角梯形的高。依此填空； 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【详解】林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是8厘米； 10＋8＝18（厘米），18厘米＜19厘米；19－10＝9（厘米），9厘米＞8厘米，因此如果他拿走其中13厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 5．将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 【答案】(1) 110 等腰 (2)直角 【分析】（1）由图可知，∠1＋∠3＝180°；根据梯形的定义：一组对边平行的四边形是梯形，所以图1重叠的部分是一个梯形，且∠1＝∠2＝70°，说明梯形的两条腰相等； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角；据此解答。 【详解】由分析可知： （1）∠3＝180°－∠1＝180°－70°＝110° ∠1＝180°-∠3＝180°－110°＝70° ∠1＝∠2 所以∠3＝110°，图1重叠的阴影部分是一个等腰梯形； （2）图2重叠的阴影部分中有一个角是直角，所以图2重叠的阴影部分是一个直角梯形。 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12：平行四边形和梯形（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、平行四边形和梯形的概念及特点 1 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 2 考点三、平行四边形和梯形的高及画法 2 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 3 例题讲解 4 题型一、平行四边形和梯形的概念及特点 4 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 4 题型三、平行四边形和梯形的高及画法 4 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 5 专项训练 5 练习一、平行四边形和梯形的概念及特点 5 练习二、平行四边形的不稳定性及应用 6 练习三、平行四边形和梯形的高及画法 7 练习四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 9 考点梳理 考点一、平行四边形和梯形的概念及特点 1. 平行四边形 (1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2)主要特征： ①　对边平行：上下两边平行，左右两边也平行。 ②　对边相等：相对的两条边长度相等。 ③　对角相等：相对的两个角度数相等。 ④　邻角互补：相邻的两个角加起来是 。 (3)特殊关系： ①　长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 ②　因为它们不仅满足“两组对边分别平行”，还满足“四个角都是直角”（长方形）或“四条边都相等且四个角都是直角”（正方形）。 2. 梯形 (1)定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2)各部分名称： ①　底：平行的一组对边叫做梯形的底。通常较短的叫上底，较长的叫下底。 ②　腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 ③　高：从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 (3)重要区分： ①　平行四边形：两组对边平行。 ②　梯形：只有一组对边平行。 ③　一般四边形：没有对边平行。 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 1. 特性：不稳定性 (1)含义：平行四边形容易变形。只要拉动它的一组对角，它的形状就会改变，但四条边的长度保持不变。 (2)对比：三角形具有稳定性（形状固定），而平行四边形具有不稳定性（形状易变）。 2. 生活中的应用 利用平行四边形容易变形的特点，生活中有很多巧妙的设计： (1)伸缩门：学校或小区的电动伸缩门，由许多平行四边形框架组成，可以自由拉伸和收缩，节省空间。 (2)升降机/千斤顶：利用平行四边形的变形原理，实现高度的调节或重物的顶升。 (3)折叠衣架：可以折叠收纳，方便携带。 (4)活动挂架：可以调整宽度和角度。 3. 注意事项 (1)虽然形状变了，但周长不变（因为边长没变）。 (2)但是，面积会改变（因为高随着形状的变化而变短或变长）。 考点三、平行四边形和梯形的高及画法 “高”是几何图形中非常重要的概念，画高必须使用三角尺。 1. 什么是高？ (1)平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高。这条对边是平行四边形的底。 (2)梯形的高：从上底的一点到下底的垂直线段，是梯形的高。 2. 有多少条高？ (1)平行四边形：有无数条高。 ①　同一组对边之间的高长度都相等。 ②　平行四边形有两组不同的高（对应两组不同的底）。 (2)梯形：有无数条高。 ①　所有的高长度都相等（因为上下底平行，平行线间的距离处处相等）。 3. 画高的步骤（通用口诀：一靠、二移、三画、四标） 以画平行四边形或梯形的高为例： (1)一靠：将三角尺的一条直角边与底边重合。 (2)二移：沿底边平移三角尺，直到另一条直角边经过对边上的某一点（通常是顶点，也可以是对边上的任意一点）。 (3)三画：从该点向底边画一条垂直线段。 ①　注意：在图形内部画高时，通常用虚线表示。 (4)四标： ①　在垂足处标上直角符号（ ）。 ②　在旁边写上“高”字。 ③　如果是梯形，确保高画在上下底之间；如果是平行四边形，确保高垂直于选定的底。 4. 易错点提示 (1)高必须与底垂直。 (2)高是一条线段，有两个端点（一个是顶点或边上的点，一个是垂足）。 (3)画梯形的高时，一定要画在上底和下底之间，不能画在腰上。 考点四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 梯形根据“腰”的特点，可以分为两种特殊的梯形：直角梯形和等腰梯形。 1. 直角梯形 (1)定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 (2)特点： ①　一条腰垂直于底：其中一条腰与上底、下底都垂直。 ②　这条腰就是高：垂直于底的那条腰的长度，既是腰长，也是梯形的高。 ③　两个直角：因为上下底平行，同旁内角互补，所以直角梯形通常有两个直角（位于垂直腰的两端）。 2. 等腰梯形 (1)定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (2)特点： ①　两腰相等：左右两条不平行的边长度一样。 ②　底角相等：同一底上的两个角度数相等（即上面的两个角相等，下面的两个角相等）。 ③　轴对称图形：等腰梯形是轴对称图形。 a.对称轴：连接上底中点和下底中点的直线。 b.它有 1条 对称轴。 例题讲解 题型一、平行四边形和梯形的概念及特点 【例题1】四条线段首尾顺次相连围成的图形叫( )；两组对边分别平行的四边形叫( )；只有一组对边平行的四边形叫( )。 【练习1】下面说法正确的是（    ）。 A．正方形相邻的两条边互相平行 B．平行四边形具有稳定性 C．长方形是特殊的平行四边形 D．梯形是特殊的平行四边形 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 【例题2】李阿姨买了一个衣架，这个衣架能伸缩（如图所示），这是应用了平行四边形( )的特性。 【练习2】木匠师傅要加固一个平行四边形木框（如下图），下面加固方式最稳定牢固的是（    ）。 A． B． C． 题型三、平行四边形和梯形的高及画法 【例题3】画出下面图形底边上的一条高。 【练习3】在下面方格中，按要求画图。 （1）在下面方格中画出一个直角梯形和一个等腰梯形。 （2）标出直角梯形的上底、下底和高。 （3）画一条线段，把等腰梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 题型四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例题4】等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 【练习4】直角梯形有( )组对边互相平行，有( )组邻边互相垂直。 专项训练 练习一、平行四边形和梯形的概念及特点 1．下面四个图形，只有一组平行线的图形是（    ）。 A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。如果点A沿着AB所在的直线慢慢往右移动，与点B重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→平行四边形→三角形 C．梯形→三角形→平行四边形→梯形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 3．一个平行四边形不一定能分成2个相同的梯形。( ) 4．只有一组对边平行的四边形是( )形；两组对边分别平行的四边形是( )四边形。 5．将一个长8厘米宽4厘米的长方形和一个三角形交叉摆放（如图），重叠部分的四边形是( )形，判断依据是( )。 6．将下面的梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。 练习二、平行四边形的不稳定性及应用 1．下面物体中，（    ）没有利用平行四边形容易变形的特点。 A． B． C． 2．如图，小刚把一个长方形框架拉成了一个平行四边形，下面说法正确的是（    ）。 A．四条边长度没有变 B．高没有变 C．四个角的度数都变大了 D．周长减少了 3．长方形、平行四边形和梯形都具有稳定性。( ) 4．下图的推拉门应用了平行四边形具有( )的特点。 练习三、平行四边形和梯形的高及画法 1．如图中，梯形的高是线段（    ）。 A．DE B．AB C．AD D．EC 2．下图中的虚线（    ）是所在图形的高。 A．②④⑤⑥ B．③④⑤⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 3．如图，平行四边形AB边上的高是( )cm，AD边上的高是( )cm。 4．如图的梯形（单位：厘米），是由一张长方形纸折叠而成的，这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 5．在图上找到一个点D，与A、B、C连成一个等腰梯形，接着画出等腰梯形的一条高，最后在旁边画出一个与它等高的平行四边形。 6．画出下面图形的高。 7．画一画。 把下面的图形补充完整，并画出它们的高。 8．请你在下面的方格纸上按要求量一量，画一画。 （1）量出方格纸中角的度数，并在图上标出来。 （2）以这个角的两条边为一组邻边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 （3）再画一个下底和高分别与题中平行四边形的底和高相等的等腰梯形。 9．在方格纸上按要求画图形。（温馨提示：不用尺子画图要减分的哦） （1）如图，以AB、BC为梯形的两条边，找到点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为等腰梯形。 （2）过点B画梯形CD边上的高，标出垂足E。 （3）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分为一个平行四边形和一个三角形。 练习四、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1．一个等腰梯形的腰长为5厘米，这个等腰梯形底边上的高一定不是（    ）。 A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．2厘米 2．从数学角度写出等腰梯形、平行四边形的一个相同特征和一个不同特征。相同特征：( )，不同特征：( )。 3．一个直角梯形的上底是4厘米，若延长3厘米，变成正方形，这个梯形的高是( )厘米。 4．林宇用4根麦秆围成一个直角梯形，梯形的高是( )厘米，如果他拿走其中( )厘米长的麦秆，剩下的三根就不能围成三角形。 5．将长方形纸和三角形纸用钉子固定，如图1。 (1)已知∠1＝∠2＝70°，那么∠3＝( )°，图1重叠的阴影部分是( )梯形。 (2)转动三角形，形成图2，图2重叠的阴影部分是( )梯形。 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $