专题13：☆ 多边形的内角和（期末专项训练）四年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以分割转化法为核心，系统构建从三角形到多边形内角和的推导逻辑，通过正逆向公式应用实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|2考点（含表格推导）|分割法（顶点连线）、公式推导（n-2）×180°|三角形内角和→多边形分割→规律总结→公式生成| |例题讲解|1例题（含辨析）|错误分割分析、画图验证法|通过反例强化分割原理的理解| |专项训练|16题（选择/判断/填空/解答）|公式正逆向应用、多种分割策略辨析|从基础计算到实际问题，覆盖内角和计算全场景|

专题13：☆ 多边形的内角和（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、探究多边形内角和的方法（核心思想） 1 考点二、多边形内角和公式 2 例题讲解 2 题型一、多边形的内角和 2 专项训练 3 练习一、多边形的内角和 3 考点梳理 考点一、探究多边形内角和的方法（核心思想） 我们已知三角形的内角和是 。探究其他多边形内角和的核心思想是：分割法（也叫转化法），即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和来求解。 1. 分割策略：从一个顶点出发 这是最常用、最规范的方法。 (1)操作步骤： ①　选定多边形的一个顶点。 ②　从这个顶点向所有不相邻的顶点画对角线。 ③　观察多边形被分成了几个三角形。 2. 具体案例推导 多边形名称 边数 ( ) 从一个顶点出发的对角线条数 分割成的三角形个数 内角和计算过程 内角和度数 三角形 3 0 1 四边形 4 1 2 五边形 5 2 3 六边形 6 3 4 七边形 7 4 5 ... ... ... ... ... ... 边形 3. 规律总结 (1) 三角形个数与边数的关系：分割成的三角形个数 = 边数 。 (2) 为什么减2？ 因为选定的那个顶点本身不能和自己连线，也不能和相邻的两个顶点连线（那是边，不是对角线），所以剩下的顶点数是 ，加上原本包含该顶点的两个边构成的三角形区域，总共形成 个三角形。 考点二、多边形内角和公式 基于上述推导，我们可以得出通用的计算公式。 1. 通用公式 (1)公式：多边形内角和 = (2)字母表示：若边数为 ，则内角和 。 2. 公式的应用方向 (1)正向应用：已知边数，求内角和。 ①　例：求十二边形的内角和。 ②　解： 。 (2)逆向应用：已知内角和，求边数。 ①　步骤： a.用内角和除以 ，得到三角形的个数。 b.将三角形个数加 2，得到边数。 ②　公式变形： 。 ③　例：一个多边形的内角和是 ，它是几边形？ ④　解： （个三角形）， （边形）。所以是八边形。 例题讲解 题型一、多边形的内角和 【例题1】在探究五边形的内角和时，小丽把五边形分成了5个三角形（如图），所以她认为：五边形的内角和是900°。小丽说得( )（填“对”或“不对”）。因为( )。 【练习1】根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 专项训练 练习一、多边形的内角和 1．计算五边形内角和，符合算式“180°×4－180°”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面的图形中内角和是360°的是（    ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．五边形 3．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 4．聪聪应用三角形内角和的知识研究六边形内角和，他画出了思考图（如图），根据图示，下面（    ）算式能正确算出六边形的内角和。 A．1 B．1 C．1 D．1 5．下面是三位同学在数学实践课上探索六边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 ① ② ③ 像这样分，算出4个三角形的内角和。 像这样分，算出6个三角形的内角和，再减去360°。 像这样分，算出2个四边形的内角和。 A．① B．①② C．①③ D．①②③ 6．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 7．一个多边形的内角和是720°，这是一个六边形。( ) 8．七边形的内角和是900°。( ) 9．任意一个四边形的四个角剪下来都可以拼成一个( )角，四边形的内角和是( )。 10．梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 11．航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 12．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成( )个三角形，得出六边形的内角和是( )。 13．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 14．求下图中未知角的度数。 15．计算下面图形中未知角的度数。 16．蜂巢的秘密。如图是科学课上老师展示的蜂巢图片。小琳发现蜂巢由许多六边形组成，但其中藏着一个特殊的七边形蜂巢。 （1）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（    ）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（    ）个三角形，所以四边形的内角和是（    ）°。 （2）请你利用本学期学习的方法，先在图中画一画，再计算出特殊七边形蜂巢的内角和。 第 2 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13：☆ 多边形的内角和（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、探究多边形内角和的方法（核心思想） 1 考点二、多边形内角和公式 2 例题讲解 2 题型一、多边形的内角和 3 专项训练 4 练习一、多边形的内角和 4 考点梳理 考点一、探究多边形内角和的方法（核心思想） 我们已知三角形的内角和是 。探究其他多边形内角和的核心思想是：分割法（也叫转化法），即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和来求解。 1. 分割策略：从一个顶点出发 这是最常用、最规范的方法。 (1)操作步骤： ①　选定多边形的一个顶点。 ②　从这个顶点向所有不相邻的顶点画对角线。 ③　观察多边形被分成了几个三角形。 2. 具体案例推导 多边形名称 边数 ( ) 从一个顶点出发的对角线条数 分割成的三角形个数 内角和计算过程 内角和度数 三角形 3 0 1 四边形 4 1 2 五边形 5 2 3 六边形 6 3 4 七边形 7 4 5 ... ... ... ... ... ... 边形 3. 规律总结 (1) 三角形个数与边数的关系：分割成的三角形个数 = 边数 。 (2) 为什么减2？ 因为选定的那个顶点本身不能和自己连线，也不能和相邻的两个顶点连线（那是边，不是对角线），所以剩下的顶点数是 ，加上原本包含该顶点的两个边构成的三角形区域，总共形成 个三角形。 考点二、多边形内角和公式 基于上述推导，我们可以得出通用的计算公式。 1. 通用公式 (1)公式：多边形内角和 = (2)字母表示：若边数为 ，则内角和 。 2. 公式的应用方向 (1)正向应用：已知边数，求内角和。 ①　例：求十二边形的内角和。 ②　解： 。 (2)逆向应用：已知内角和，求边数。 ①　步骤： a.用内角和除以 ，得到三角形的个数。 b.将三角形个数加 2，得到边数。 ②　公式变形： 。 ③　例：一个多边形的内角和是 ，它是几边形？ ④　解： （个三角形）， （边形）。所以是八边形。 例题讲解 题型一、多边形的内角和 【例题1】在探究五边形的内角和时，小丽把五边形分成了5个三角形（如图），所以她认为：五边形的内角和是900°。小丽说得( )（填“对”或“不对”）。因为( )。 【答案】 不对 五边形的内角和是540°，不是900° 【分析】根据多边形内角和公式（n－2）×180°算出五边形的内角和，对比小丽说的：五边形的内角和是900°可判断说法是否正确。 【详解】根据多边形内角和公式（n－2）×180°，当n＝5时， （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的内角和是540°，不是900° 故小丽说得不对，因为五边形的内角和是540°，不是900°。 【练习1】根据以上的分析，六边形的内角和是多少度呢？在图上画一画，表示出自己的想法。 【答案】作图见详解；720° 【分析】求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角之和。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，这个六边形可以分成4个三角形。 180°×4＝720° 答：六边形的内角和是720°。 专项训练 练习一、多边形的内角和 1．计算五边形内角和，符合算式“180°×4－180°”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的内角和是180°，先用180°×4则先将五边形分成了四个三角形，再减去180°则代表多算了180°，据此选择即可。 【详解】A．将五边形分成了三个三角形，用180°×3即可求出五边形的内角和，不符合题意； B．将五边形分成了一个四边形和一个三角形，用360°＋180°即可求出五边形的内角和，不符合题意； C．将五边形分成了四个三角形，但是多算了180°，所以用180°×4－180°即可求出五边形的内角和，符合题意； D．将五边形分成了五个三角形，但是多算了360°，所以用180°×5－360°即可求出五边形的内角和，不符合题意； 因此，符合思考方式的是。 故答案为：C 2．下面的图形中内角和是360°的是（    ）。 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】C 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的内角和为180°。求多边形的内角和，可以把它分成几个三角形。把多边形分成了几个三角形，多边形的内角和就等于几个三角形的内角和。据此解答。 【详解】A．直角三角形是三角形的一种，它的内角和为180°。不满足题意。 B．等腰三角形是三角形的一种，它的内角和为180°。不满足题意。 C． 由图可知，平行四边形可以分成两个三角形，它的内角和为：180°×2＝360°。满足题意。 D． 由图可知，五边形可以分成三个三角形，它的内角和为：180°×3＝540°。不满足题意。 故答案为：C 3．已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝（    ）。 A．90° B．135° C．270° D．235° 【答案】C 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180度，先根据直角三角形的性质，求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1＋∠2的值。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： ∠B＝90° ∠A＋∠C＝90° ∠A＋∠C＋∠1＋∠2＝360° ∠1＋∠2＝360°－90°＝270° 已知三角形ABC为直角三角形，∠B＝90°。若沿图中虚线减去∠B，则∠1＋∠2＝270°。 故答案为：C 4．聪聪应用三角形内角和的知识研究六边形内角和，他画出了思考图（如图），根据图示，下面（    ）算式能正确算出六边形的内角和。 A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，我们观察图示发现聪聪把六边形分成了6个小三角形，因为三角形的内角和是180°，那么先算出6个小三角形内角和，再减去中间的圆周角的360°，即等于六边形的内角和。 【详解】根据分析可得： 六边形的内角和为： 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 故答案为：C 5．下面是三位同学在数学实践课上探索六边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 ① ② ③ 像这样分，算出4个三角形的内角和。 像这样分，算出6个三角形的内角和，再减去360°。 像这样分，算出2个四边形的内角和。 A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据题意，方法①通过将六边形从一个顶点向其它顶点连线，分成4个三角形，其内角和为4×180°＝720°。方法②若从六边形中心连线分成6个三角形，这6个三角形的内角和为6×180°＝1080”，但这些三角形在中心处重复了一个周角360°，需减去360°后得到720°方法③将六边形沿一条对边的连线分成两个四边形，每个四边形的内角和为360°，二者相加也得到720°。因此三种方法都正确。以此答题即可。 【详解】根据分析，下面是三位同学在数学实践课上探索六边形内角和的思考过程，正确的是①②③。 故答案为：D 6．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 【答案】× 【分析】放大镜只改变物体的视觉大小，不改变其角度大小。四边形的内角和恒为360°，与是否放大无关。因此，即使用放大镜观察，内角和也不会变为3600°。 【详解】用一个10倍的放大镜看四边形，只是将图形放大到原来的10倍，但每个角的大小不变，因此四个内角的和仍然是360°，而不是3600°。 故答案为：× 7．一个多边形的内角和是720°，这是一个六边形。( ) 【答案】√ 【分析】根据多边形内角和＝（边数－2）×180°，将边数6代入公式，看内角和是否为720°即可。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 因此，内角和为720°的多边形是六边形，判断正确。 故答案为：√ 8．七边形的内角和是900°。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，多边形的内角和公式为（n－2）×180°，其中n为边数。七边形的边数为7，代入公式计算即可判断正误。 【详解】根据分析可知： 七边形的内角和为： （7－2）×180° ＝5×180° ＝900° 七边形的内角和是900°。原题说法正确。 故答案为：√ 9．任意一个四边形的四个角剪下来都可以拼成一个( )角，四边形的内角和是( )。 【答案】 周 360°/360度 【分析】已知任意三角形的内角和为180°，利用过多边形一个顶点向与它不相邻的顶点依次画线段，把多边形分割成三角形的办法，将分成的几个三角形的内角和相加，就是多边形的内角和。多边形内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【详解】连接四边形的一条对角线，将其分为两个三角形，每个三角形的内角和为180°，所以四边形内角和为2×180°＝360°。四个角拼合后总度数为360°，正好形成一个周角。 任意一个四边形的四个角剪下来都可以拼成一个（周）角，四边形的内角和是（360°）。 10．梯形的一条对角线把它分成( )个三角形，每个三角形的内角和是( )°，所以梯形的内角和是( )°。 【答案】 2 180 360 【分析】梯形是四边形，连接其一条对角线，可将其分割为2个三角形；三角形的内角和固定为180°，梯形的内角和等于这2个三角形的内角和之和。 【详解】对角线分割的三角形数量：2个； 每个三角形的内角和：180°； 梯形的内角和： 梯形的一条对角线把它分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以梯形的内角和是360°。 11．航航在折纸课上，将一个等边三角形沿如图虚线位置剪掉一个角（如下图），此时∠2＋∠3＝( )°。 【答案】240 【分析】等边三角形的三个角相等，都是60°。三角形内角和是180°，∠1是60°，等边三角形剩下的两个角的度数和是180°－60°＝120°。而剪去一个三角形，剩下的是一个四边形。四边形的内角和＝（边数－2）×180°。用四边形的内角和减去120°就是∠2＋∠3的度数之和。 【详解】180°－60°＝120° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－120°＝240° 所以，∠2＋∠3＝240°。 12．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成( )个三角形，得出六边形的内角和是( )。 【答案】 4 720° 【分析】从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，每个三角形的内角和是180°，所以计算六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和。据此解答。 【详解】6－2＝4（个） 4×180°＝720° 所以在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成4个三角形，得出六边形的内角和是720°。 13．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 【答案】1080°/1080度 【分析】把一个正八边形通过中心连线分割成八个三角形，三角形内角和为180°，求正八边形的内角和可以用分割成的三角形的内角和减去中间的360°。 【详解】180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 因此这个正八边形的内角和是1080°。 14．求下图中未知角的度数。 【答案】55° 【分析】 直角是90°，三角形的内角和是180°，如图所示：，此时梯形的内角和是180°×2，也就是360°，所以用360°减去已知3个角的度数即为未知角的度数。 【详解】180°×2＝360° 360°－90°－90°－125° ＝270°－90°－125° ＝180°－125° ＝55° 未知角的度数是55°。 15．计算下面图形中未知角的度数。 【答案】115° 【分析】 如图，这个图形的内角和相当于两个三角形的内角和，即这个四边形的内角和是360°，还有一个角是直角90°；则用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数； 据此解答。 【详解】180°×2＝360° 360°－40°－90°－115° ＝320°－90°－115° ＝230°－115° ＝115° 则图中未知角的度数是115°。 16．蜂巢的秘密。如图是科学课上老师展示的蜂巢图片。小琳发现蜂巢由许多六边形组成，但其中藏着一个特殊的七边形蜂巢。 （1）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（    ）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（    ）个三角形，所以四边形的内角和是（    ）°。 （2）请你利用本学期学习的方法，先在图中画一画，再计算出特殊七边形蜂巢的内角和。 【答案】（1）180；2；360； （2）画图见详解；900° 【分析】（1）三角形的内角和是180°，任何一个四边形都能被分成2个三角形，则四边形的内角和是2个180°，依此解答。 （2）从一个顶点出发，此图能被分成几个三角形，则它的内角和就是几个180°，依此画图并计算。 【详解】（1）180°×2＝360° 本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（180）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（2）个三角形，所以四边形的内角和是（360）°。 （2）画图如下： 180°×5＝900° 答：七边形蜂巢的内角和是900°。 第 2 页 共 10 页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $