专题15：正比例和反比例（期末专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以“考点梳理-例题讲解-专项训练”三段式架构，系统覆盖比与比例核心概念，提炼正反比例辨识“三步法”及应用“五步流程”，强化概念生成与解题迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|8个考点|比与比例性质转化、比例尺换算技巧、正反比例三步判断法|从比到比例到正反比例的概念递进，构建“概念-性质-应用”逻辑链| |例题讲解|8类题型|解比例四步法、图像分析要点|题型与考点一一对应，典例涵盖基础运算到实际应用| |专项训练|8组练习|归一/归总问题比例解法|分层训练强化高频考点，突出模型意识与推理能力|

专题15：正比例和反比例（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、比的意义和基本性质 1 考点二、比例的意义 2 考点三、比例的基本性质 3 考点四、解比例 3 考点五、图上距离与实际距离的换算 4 考点六、正比例和反比例的意义及辨识 5 考点七、正比例图象的认识 6 考点八、正比例和反比例的应用 7 例题讲解 8 题型一、比的意义和基本性质 8 题型二、比例的意义 9 题型三、比例的基本性质 10 题型四、解比例 12 题型五、图上距离与实际距离的换算 15 题型六、正比例和反比例的意义及辨识 16 题型七、正比例图象的认识 17 题型八、正比例和反比例的应用 19 专项训练 20 练习一、比的意义和基本性质 20 练习二、比例的意义 23 练习三、比例的基本性质 26 练习四、解比例 29 练习五、图上距离与实际距离的换算 35 练习六、正比例和反比例的意义及辨识 38 练习七、正比例图象的认识 41 练习八、正比例和反比例的应用 46 考点梳理 考点一、比的意义和基本性质 1. 比的意义 (1)定义：两个数相除又叫做两个数的比。 (2)表示方法： 除以 ( ) 可以写成 ，读作“ 比 ”。 (3)各部分名称： ①　 是前项 ②　“:” 是比号 ③　 是后项 ④　 的结果叫做比值。 (4)比与除法、分数的关系： ①　比的前项 被除数 分子 ②　比号 除号 分数线 ③　比的后项 除数 分母 ④　比值 商 分数值 ⑤　注意：比的后项不能为 0（因为除数不能为0）。 2. 比的基本性质 (1)内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 (2)应用：化简比 ①　目的：把比化成最简整数比（前项和后项互质，即公因数只有1）。 ②　方法： 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。例： 小数比：先同时扩大10倍、100倍……化成整数比，再化简。例： 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。例： 3. 求比值 vs 化简比 (1)求比值：结果是一个数（可以是整数、小数或分数）。 (2)化简比：结果是一个比（形式为 ）。 考点二、比例的意义 1. 比例的定义 (1)定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 (2)判断方法：看两个比的比值是否相等。 ①　例： 和 。 ②　， 。 ③　因为 ，所以 是一个比例。 2. 比例的各部分名称 在比例 中： (1)外项：两端的两项（2.4 和 40）。 (2)内项：中间的两项（1.6 和 60）。 3. 比和比例的区别 项目 比 比例 意义 两个数相除 两个比相等的式子 构成 由两项组成（前项、后项） 由四项组成（两个内项、两个外项） 基本性质 前项后项同乘/除相同数(0除外)，比值不变 两个外项的积等于两个内项的积 考点三、比例的基本性质 1. 内容 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 (2)如果用字母表示比例的四项，即 （或 ），那么 。 2. 应用 (1)判断两个比能否组成比例： ①　方法一：求比值，看是否相等。 ②　方法二：算外项积和内项积，看是否相等。 ③　例：判断 和 能否组成比例。 外项积： 内项积： 因为 ，所以能组成比例。 (2)解比例的基础：利用“内项积=外项积”将比例转化为方程。 考点四、解比例 1. 定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解题步骤 (1)设：根据题意列出比例式，设未知数为 。 (2)转化：根据比例的基本性质，把比例改写成“内项积=外项积”的形式（即转化为方程）。 注意：如果比例写成分数形式 ，可以直接交叉相乘，即 。 (3)求解：解这个简易方程，求出 的值。 (4)检验：口头检验，确保计算无误。 3. 示例思路 (1)解比例 解： （内项积=外项积） 考点五、图上距离与实际距离的换算 1. 比例尺的意义 (1)定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2)公式： 或者： 2. 比例尺的分类 (1)数值比例尺：用数字比的形式表示。 ①　例： 或 。 ②　含义：图上1厘米代表实际距离1000000厘米（即10千米）。 (2)线段比例尺：在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。 例：画一段1cm长的线，下面标“0—50km”，表示图上1cm代表实际50km。 3. 单位换算关键点（易错！） (1)在计算比例尺、图上距离或实际距离时，单位必须统一！ (2)常用进率： ①　 ②　 (3)技巧： ①　千米 厘米：加5个0（或小数点向右移5位）。 ②　厘米 千米：去5个0（或小数点向左移5位）。 4. 三个量的关系变换 已知其中两个量，求第三个量： (1)求图上距离： 注意：实际距离通常较大，计算前先换算成厘米。 (2)求实际距离： 注意：算出的结果单位通常是厘米，最后要根据题目要求换算成米或千米。 (3)求比例尺： 注意：前项通常化为1，且不带单位。 考点六、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例的意义 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)关系式： 是两种相关联的量， 是常数。 (3)特征： ①　同增同减： 扩大， 也扩大； 缩小， 也缩小。 ②　比值恒定。 (4)常见实例： ①　速度一定，路程和时间成正比例。（ ） ②　单价一定，总价和数量成正比例。（ ） ③　圆的周长和直径成正比例。（ ） 2. 反比例的意义 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)关系式： (3)特征： ①　一增一减： 扩大， 反而缩小； 缩小， 反而扩大。 ②　乘积恒定。 (4)常见实例： ①　路程一定，速度和时间成反比例。（ ） ②　工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 ③　长方形面积一定，长和宽成反比例。 3. 如何判断正反比例（三步法） (1)找关联：看两个量是否相关联（一个变，另一个也跟着变）。如果不相关（如人的身高和体重虽然有关联但不是严格的数学比例，或者正方形的边长和面积——比值不固定，积也不固定），则不成比例。 (2)定关系：写出两个量的关系式。 (3)看定量： ①　如果是 （商一定），则是正比例。 ②　如果是 （积一定），则是反比例。 ③　如果商和积都不一定，则不成比例。 (4)易错辨析： ①　正方形的边长和周长： （一定），成正比例。 ②　正方形的边长和面积： （不一定）， 也不一定，不成比例。 ③　圆的半径和面积： （不一定），不成比例。 ④　圆的半径和周长： （一定），成正比例。 考点七、正比例图象的认识 1. 图象形状 (1)正比例关系的图象是一条经过原点 (0,0) 的直线（射线）。 (2)反比例关系的图象是一条曲线（双曲线的一支），不经过原点。 2. 正比例图象的特点 (1)起点：从 开始。 (2)趋势：从左下方向右上方延伸（上升）。 (3)作用： ①　可以根据一个量的值，在图象上找到另一个量的对应值。 ②　直观地看出变化的快慢（直线越陡，变化越快，即比值 越大）。 3. 描点画图步骤 (1)列表：列出几组对应的 和 的值。 (2)描点：在方格纸上找到对应的点 。 (3)连线：用直尺将这些点连起来，并延长经过原点。 考点八、正比例和反比例的应用 1. 用比例知识解决问题的步骤 (1)判断：分析题目中的两种相关联的量，判断它们成什么比例（正比例还是反比例）。 (2)设元：设未知数为 。 (3)列式： ①　若成正比例，列出比值相等的比例式： ②　若成反比例，列出乘积相等的等式： （也可写成比例形式，但乘积形式更直观） (4)求解：解比例或方程。 (5)作答：写出答案并检验。 2. 典型应用场景 （1）归一问题（正比例） ①　场景：单价一定，买更多东西花多少钱？ ②　思路： （2）归总问题（反比例） ①　场景：一批书，每包捆20本需捆18包；如果每包捆30本，需捆多少包？ ②　思路：书的总数不变（积一定）。 （3）比例尺应用（正比例的特例） ①　场景：地图上的距离与实际距离成正比。 ②　思路： 3. 注意事项 (1)单位统一：在列比例式之前，务必检查单位是否一致。如果不一致，必须先换算。 (2)对应关系：分子和分母、前项和后项必须对应同一组数据。不要交叉错位。 (3)合理性检验：算出结果后，结合生活常识判断是否合理（例如人数必须是整数，长度不能为负数等）。 例题讲解 题型一、比的意义和基本性质 【例题1】同时临摹一份字帖，冬冬用了16分钟，明明用了24分钟。冬冬和明明所用时间的比是( )，速度的比是( )。 【答案】 2∶3 3∶2 【分析】（1）根据比的意义，用冬冬所用时间比明明所用时间，再利用比的基本性质化成最简整数比即可； （2）把临摹同一份字帖的工作量看作单位“1”，则冬冬的速度为1÷16＝，明明的速度为1÷24＝，根据比的意义，用冬冬的速度比明明的速度，再利用比的基本性质化成最简整数比即可。 【详解】（1）16∶24 ＝（16÷8）∶（24÷8） ＝2∶3 （2）1÷16＝ 1÷24＝ ∶ ＝（×48）∶（×48） ＝3∶2 因此，同时临摹一份字帖，冬冬用了16分钟，明明用了24分钟。冬冬和明明所用时间的比是2∶3，速度的比是3∶2。 【练习1】将25克盐溶解于75克水中，盐与水的比是( )。盐占盐水的( )。再加入5克盐，这时盐与盐水的比是( )。 【答案】 1∶3 2∶7 【分析】根据比的意义，求盐与水的比，用盐的质量∶水的质量，即25∶75，化简即可；求盐占盐水的分率，用盐的质量÷盐与水的质量和，即25÷（25＋75）；再加入5克盐，这时的盐的质量是（25＋5）克；盐水的质量是（25＋5＋75）克，再用盐的质量∶盐水的质量，即可解答。 【详解】25∶75 ＝（25÷25）∶（75÷25） ＝1∶3 25÷（25＋75） ＝25÷100 ＝ （25＋5）∶（25＋5＋75） ＝30∶（30＋75） ＝30∶105 ＝（30÷15）∶（105÷15） ＝2∶7 【点睛】熟练掌握比的意义、比的性质，以及求一个数占另一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键。 题型二、比例的意义 【例题2】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．15∶3 B．0.2∶0.3 C．30∶5 D．2.7∶1.8 【答案】D 【分析】判断两个比能否组成比例，关键是看它们的比值是否相等。先求出已知比∶的比值，再分别求出各选项中比的比值，通过比较比值是否相等来确定正确选项。 【详解】∶＝×3＝ A．15∶3＝15÷3＝5，5≠，所以不能组成比例，此选项错误； B．0.2∶0.3＝0.2÷0.3＝，≠，所以不能组成比例，此选项错误； C．30∶5＝30÷5＝6，6≠，所以不能组成比例，此选项错误； D．2.7∶1.8＝2.7÷1.8＝，＝，所以能组成比例，此选项正确。 能与∶组成比例的是2.7∶1.8。 【练习2】在6︰( )＝( )︰6比例中，两个比的比值都是0.6，把比例补充完整。 【答案】 10 3.6// 【分析】根据“比值＝比的前项÷比的后项”可知：比的后项＝比的前项÷比值；比的前项＝比的后项×比值。 【详解】6÷0.6＝10 6×0.6＝3.6 所以6∶10＝3.6∶6。 题型三、比例的基本性质 【例题3】在比例8∶14＝4∶b中，如果第一个比的前项加上24，要使比例成立，第二个比的后项要乘( )。 【答案】/0.25 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，根据比例的基本性质，先求出原来第二个比的后项，第一个比的前项变为8加24，也就是32，其他项没有变，根据比例的基本性质求出现在第二个比的后项，再除以原来第二个比的后项即可。 【详解】原来第二个比的后项： 14×4÷8 ＝56÷8 ＝7 现在第一个比的前项： 8＋24＝32 现在第二个比的后项 14×4÷32 ＝56÷32 ＝ ÷7 ＝ 要使比例成立，第二个比的后项要乘。 【练习3】如果3x＝4y，那么x∶y＝( )∶( )；如果＝，那么a∶b＝( )∶( )。 【答案】 4 3 1 5 【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。 ①先确定外项和内项，再写出； ②先将比例改写成内项积等于外项积的形式，再确定外项和内项，最后写出。 【详解】将3和看作比例的外项，4和看作比例的内项，那么； 因为，所以；将15和看作比例的外项，3和看作比例的内项，那么。 题型四、解比例 【例题4】解比例。         ＝          【答案】 ；； 【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。 ①先根据比例的基本性质把方程改写成；再根据等式的性质2，等式两边同时除以8； ②先根据比例的基本性质将方程交叉相乘得到；再根据等式的性质2，等式两边同时除以3； ③先根据比与除法的关系将转换成；再根据等式的性质2，等式两边同时乘2.7。 【详解】 解： 解： 解： 【练习4】解比例。                  【答案】 ；； 【分析】将25%化为分数，根据比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积），将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解； 根据比例的基本性质，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解； 先化简，将左边转化为分数形式，分数形式的比例，分子、分母交叉相乘，积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质求解。 【详解】 解： 解： 解： 题型五、图上距离与实际距离的换算 【例题5】在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得两地间的距离是12厘米，一列火车以每小时80千米的速度从一地出发，几小时才能行完全程？ 【答案】9小时 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地间实际距离，计算时比例尺要写成分数形式，结果的单位要换算成千米。再根据时间＝路程÷速度求出几小时行完全程。 【详解】 （厘米） 72000000厘米＝＝720千米 （小时） 答：9小时才能行完全程。 【练习5】如图为新华社区部分示意图，新华路与育才路将社区分成了A、B、C、D四个区域。 （1）已知两条路的交点处为点O，小明家在交点O的南偏西30°方向400米处，请在图中准确标出小明家的位置。（先计算，后画图） （2）在两条路的交点O正东方向400米处有一条步行街与新华路平行。 【答案】图见解析 【分析】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。据此确定观测点和方向，根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上距离，作图即可。 【详解】400米＝40000厘米 40000×＝2（厘米） 小明家和步行街和O点距离相同，因此图上距离都为2厘米。 作图如下： 题型六、正比例和反比例的意义及辨识 【例题6】下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（    ）。 A．梨的单价一定，妈妈购买梨的总价和重量。 B．圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 C．汽车的速度一定，行驶的路程和时间。 D．当时（a、b都是不为0的量），a和b。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果两个量既不是比值一定，也不是乘积一定，两个量不成比例，据此解答。 【详解】A．妈妈购买梨的总价÷重量＝梨的单价（一定），妈妈购买梨的总价和重量成正比例； B．圆的周长÷π＝圆的直径（一定），π是定值，圆的周长和圆周率不成比例； C．行驶的路程÷时间＝行驶的速度（一定），行驶的路程和时间成正比例； D．10a＝ 20a＝b b÷a＝20（一定），a和b成正比例。 不成正比例关系的是圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 故答案为：B 【练习6】选择正确的答案，将序号填在括号里。 ①成正比例关系             ②成反比例关系             ③不成比例关系 (1)总人数一定，平均每组的人数与组数。( ) (2)一段路，修的米数和未修的米数。( ) (3)单价一定，总价和数量。( ) 【答案】(1)② (2)③ (3)① 【分析】乘积一定的两个量成反比例关系，比值（或商）一定的两个量成正比例关系。 （1）平均每组的人数×组数＝总人数（一定），所以总人数一定，平均每组的人数与组数成反比例关系； （2）修的米数＋未修的米数＝这段路总长，所以一段路，修的米数和未修的米数不成比例； （3）总价÷数量＝单价（一定），所以单价一定，总价和数量成正比例关系。 【详解】（1）总人数一定，平均每组的人数与组数。（  ②  ） （2）一段路，修的米数和未修的米数。（  ③  ） （3）单价一定，总价和数量。（  ①  ） 题型七、正比例图象的认识 【例题7】下面的图像表示实验小学食堂吃大米的质量和时间的关系。 （1）实验小学食堂吃大米的质量和时间是否成正比例？ （2）根据图像判断，实验小学食堂5天吃大米多少吨？2.4吨大米可以吃多少天？ 【答案】（1）成正比例 （2）1.5吨；8天 【分析】正比例关系是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值（也就是商一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。对于本题，我们先判断吃大米的质量和时间是否成正比例，从图像中选取几组数据，如当时间为1天时，吃大米的质量是0.3吨；当时间为2天时，吃大米的质量是0.6吨；当时间为3天时，吃大米的质量是0.9吨等。再根据图像来确定特定时间对应的吃大米质量以及特定质量对应的天数。 【详解】（1）0.3÷1＝0.3 0.6÷2＝0.3 0.9÷3＝0.3 …… 可以发现，吃大米的质量和时间的比值都是0.3，是一个定值。 答：实验小学食堂吃大米的质量和时间成正比例。 （2）从图像中可以看出，5天吃大米1.5吨； 因为每天吃大米的质量是0.3吨（前面已求出比值为0.3），所以用大米的总质量除以每天吃的质量，即2.4÷0.3＝8（天）。 答：实验小学食堂5天吃大米1.5吨，2.4吨大米可以吃8天。 【练习7】如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。 （1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例吗？（写出判断过程） （2）根据图像，计算出行驶75千米耗油多少升？ （3）汽车在市区行驶，每行50千米耗油6升，照这样的耗油量，在上图中描出行驶50千米、100千米……路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来。 【答案】（1）成正比例 （2）6升 （3）见详解 【分析】（1）观察可知，横轴表示路程，纵轴表示耗油量，找出红点对应的耗油量与路程的比，计算比值，根据两种相关联的量如果是比值一定，就成正比例，分析判断； （2）在直线上找出路程是75千米时对应的耗油量，据此解答。 （3）在横轴上找出50千米，纵轴上找到6升描出相交的点，同样在横轴上找出100千米，纵轴上找到6×2升描出相交的点，然后两点连一线。 【详解】（1）4∶50＝8∶100＝12∶150＝16∶200＝0.08（一定），这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例。 答：这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例。 （2）根据图象判断，汽车行驶75千米耗油6升。 答：行驶75千米耗油6升。 （3）6×2＝12（升） 如图： 题型八、正比例和反比例的应用 【例题8】小明身高1.5米，他的影子长2米，同一时刻，一棵松树的影子长10米，它的高度是多少米？（用比例解答） 【答案】 7.5米 【分析】在同一时刻，太阳光线是平行的，物体的高度与影长的比值是一定的，因此物体的高度与影长成正比例关系。根据正比例的意义，可以列出“小明的身高∶小明的影长＝松树的高度∶松树的影长”的比例式，设松树的高度为未知数，再根据比例的基本性质解比例。 【详解】解：设松树的高度是米。 答：松树的高度是7.5米。 【练习8】备受瞩目的高铁“CR450列车”计划在今年运行，最高时速由350千米/时提速到400千米/时，原来4小时的路程，现在要行驶多少小时呢？ 【答案】3.5小时 【分析】由题意可知，路程不变，速度×时间＝路程（一定），则速度和时间成反比例关系，现在的速度×现在需要的时间＝原来的速度×原来需要的时间，据此解答。 【详解】解：设现在要行驶x小时。 400x＝350×4 400x＝1400 x＝1400÷400 x＝3.5 答：现在要行驶3.5小时。 专项训练 练习一、比的意义和基本性质 1．某车间有男职工25人，女职工15人。女职工人数相当于男职工人数的( )，女职工人数与该车间职工总人数的最简整数比是( )，化成后项是100的比是( )。 【答案】 3∶8 37.5：100 【分析】求女职工是男职工的几分之几，用除法计算，即15÷25，写成分数形式为（需要化简）； 女职工人数与该车间职工总人数的最简整数比：要先求出总人数，然后再列比，根据比的基本性质进行化简； 化成后项是100的比是：可以根据比的基本性质，前项后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。 【详解】 15∶（25＋15） ＝15∶40 ＝ ＝3∶8 某车间有男职工25人，女职工15人。女职工人数相当于男职工人数的（ ），女职工人数与该车间职工总人数的最简整数比是（ 3∶8 ），化成后项是100的比是（ 37.5∶100  ）。 2．把50克糖溶解在200克水中，水与糖水的质量比是( )，喝掉一半后，水与糖的质量比是( )。 【答案】 4∶5 4∶1 【分析】先算出糖水的总质量：糖50克，水200克，所以糖水质量是50＋200＝250克。第一步，水与糖水的质量比是200∶250，化简后为4∶5。第二步，喝掉一半后，糖和水的质量都减半，由此得出水与糖的质量比。 【详解】总质量：50＋200＝250（克） 水与糖水的比：200∶250＝4∶5 喝掉一半后，水与糖的质量比： （200÷2）∶（50÷2） ＝100∶25 ＝4∶1 因此，水与糖水的质量比是4∶5，喝掉一半后，水与糖的质量比是4∶1。 【点睛】先求出糖水总质量来计算水与糖水的比，再理解喝掉一半后糖与水的比例不变。 3．两个正方体棱长的比是2∶3，棱长之和的比是( )，表面积的比是( )，体积的比是( )。 【答案】 2∶3 4∶9 8∶27 【分析】正方体棱长之和＝棱长×12，棱长之和的比会消去相同的因数12，因此棱长之和的比与棱长的比相等； 正方体表面积＝棱长2×6，表面积的比会消去相同的因数6，因此表面积的比等于棱长的平方的比； 正方体体积＝棱长3，无相同公共因数，因此体积的比等于棱长的立方的比。 【详解】22∶32＝4∶9 23∶33＝8∶27 两个正方体棱长的比是2∶3，棱长之和的比是2∶3，表面积的比是4∶9，体积的比是8∶27。 4．木木看一本故事书，已经看了全书的，正好看了30页。木木还有( )页没有看，已看的与未看的页数比是( )。 【答案】 50 3∶5 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已经看了全书的，对应的是已看的页数30页。求单位“1”的量，用已看的页数除以其占总页数的分率，就能求出这本书的总页数；再用总页数减去已看的页数，即可求出未看的页数。最后根据比的意义，用已看的页数比未看的页数，再化简，就能得到已看与未看的页数比。 【详解】总页数：30÷ ＝30× ＝80（页） 未看页数：80－30＝50（页） 已看页数∶未看页数＝30∶50 ＝（30÷10）∶（50÷10） ＝3∶5 所以木木还有50页没有看，已看的与未看的页数比是3∶5。 5．＝0.8＝＝（    ）%＝24∶（    ）。 【答案】10；16；80；30 【分析】将0.8转化为分数，再根据分数的基本性质，将分子和分母同时乘2和将分子和分母同时乘4； 先把0.8的小数点向右移动两位，再添上百分号就是80%。 根据分数与比的关系（分子对应前项，分母对应后项），将分数转化为比的形式，再根据比的基本性质将比的前项和后项同时乘6。 【详解】 ＝24∶30 练习二、比例的意义 1．下面第（    ）组中的两个比不能组成比例。 A．7∶8和14∶16 B．0.6∶0.2和3∶1 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据“比值相等的两个比能组成比例”逐项求每个比的比值，再看两个比的比值是否相等即可。 【详解】A．7∶8＝7÷8＝，14∶16＝14÷16＝＝，因为＝，即比值相等，所以7∶8和14∶16能组成比例。 B．0.6∶0.2＝0.6÷0.2＝3，3：1＝3÷1＝3，因为3＝3，即比值相等，所以0.6∶0.2和3∶1能组成比例。 C．＝＝＝，＝9÷10＝，因为＞，即比值不相等，和不能组成比例。 D．2.7：6＝2.7÷6＝0.45，1.8：4＝1.8÷4＝0.45，因为0.45＝0.45，即比值相等，所以和能组成比例。 2．36的因数有( )个，选择其中的四个因数，把它们组成一个比例是( )。 【答案】 9 1∶2＝3∶6 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。表示两个比相等的式子叫比例。在这个数的所有因数中，选出四个数写出两个比值相等的比，组成比例。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个。 1∶2＝1÷2＝0.5，3∶6＝3÷6＝0.5； 选择其中的四个因数，把它们组成一个比例是1∶2＝3∶6。（组成的比例不唯一） 3．如果两个比a∶b与c∶d的比值互为倒数，那么a、b、c、d四个数可组成的一个比例是( )。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，若a∶b与c∶d的比值互为倒数，则×＝1，即ac＝bd。两个内项的积等于两个外项的积，若a为外项，则c也为外项，此时b和d同时为内项。 【详解】已知a∶b与c∶d的比值互为倒数，则×＝1，即＝1，得到ac＝bd，可以写成比例为：a∶b＝d∶c。（答案不唯一） 4．在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是( )。 【答案】16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2 【分析】在比例中，两个比的比值是最小的质数即2。已知一个比例的两个内项分别是8.4和6，要考虑两种排列方式（8.4在前或6在前）；根据比值和已知的内项，求出外项，据此组成比例。 【详解】情况一：当8.4为前一个比的后项，6为后一个比的前项时： 2×8.4＝16.8 6÷2＝3 组成比例为16.8∶8.4＝6∶3 情况二：当6为前一个比的后项，8.4为后一个比的前项时： 2×6＝12 8.4÷2＝4.2 组成比例为12∶6＝8.4∶4.2 所以，这个比例可能是16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2。 5．在一个比例中，一个外项是最大的一位数，另一个外项是最小的合数，且两个比的比值都是0.4。这个比例式是( )或( )。 【答案】 9∶22.5＝1.6∶4 4∶10＝3.6∶9 【分析】最大的一位数是9，最小的合数是4，所以两个外项分别为9和4。如果第一个比的前项是9，比值是0.4，那么根据“后项＝前项÷比值”可求出第一个比的后项，再根据“前项＝后项×比值”求出第二个比的前项，进而写出比例式；如果第一个比的前项是4，比值是0.4，那么同理，先求出第一个比的后项，再求出第二个比的前项，写出另一个比例式。 【详解】9÷0.4＝22.5 4×0.4＝1.6 9∶22.5＝1.6∶4 4÷0.4＝10 9×0.4＝3.6 4∶10＝3.6∶9 练习三、比例的基本性质 1．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，判断下面式子中 （    ）不成立。 A．a∶c＝d∶b B．a∶c＝b∶d C．c∶a＝b∶d D．d∶a＝b∶c 【答案】B 【分析】三角形a边上的高为b，c边上的高为d，结合三角形的面积公式表示出该三角形的面积； 根据三角形的面积计算公式，可得等量关系：ab÷2＝cd÷2，进而由ab＝cd； 接下来根据比例的性质，即可找到成立的比例式。 【详解】A．a∶c＝d∶b，即ab＝cd，成立；      B．a∶c＝b∶d，即ad＝bc，不成立 C．c∶a＝b∶d，即ab＝cd，成立；     D．d∶a＝b∶c，即ab＝cd，成立。 2．一个数能与3、6、12这三个数组成比例，这个数最大是（    ）。 A．1.5 B．6 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知三个数，求第四个数组成比例，若要求这个数最大，则这个数应与已知三个数中最小的数相乘，积等于另外两个较大数的积。 【详解】解：设这个数最大是x。 3x＝6×12 3x＝72 3x÷3＝72÷3 x＝24 这个数最大是24。 3．根据ab＝cd，不能写出的比例是（    ）。 A．c∶d＝a∶b B．d∶a＝b∶c C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，将选项转化为乘积式与ab＝cd对比，判断是否成立。 【详解】A．c∶d＝a∶b：转化为乘积式：c×b＝d×a，即bc＝ad，与ab＝cd不符，不能推出。 B．d∶a＝b∶c：转化为乘积式：d×c＝a×b，即cd＝ab，与ab＝cd一致，可以推出。 C．：先还原为比例：d∶b＝a∶c，转化为乘积式：d×c＝b×a，即cd＝ab，与ab＝cd一致，可以推出。 D．：交叉相乘得：b×a＝c×d，即ab＝cd，与ab＝cd一致，可以推出。 根据ab＝cd，不能写出的比例是c∶d＝a∶b。 4．在比例8∶3＝24∶9中，如果内项3增加6，外项9应增加( )才能组成比例。（另外两项不变）。 【答案】18 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出内项3增加6后的数，进而求出新的比例两内项之积，进而运用除法求出外项9增加后的数，再运用减法即可求出该增加的数． 【详解】3＋6＝9 内项积：9×24＝216 216÷8＝27 27－9＝18 外项9应增加18才能组成比例。 5．如果m＝n（m、n都不等于0），那么m∶n＝( )∶( )。 【答案】 8 15 【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。将和看作比例的外项，和看作比例的内项，据此写出，再根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】将和看作比例的外项，和看作比例的内项； 那么。 6．在一个比例里，已知两个内项的积是，一个外项是6，则另一个外项是( )；在另一个比例中，两个内项分别是6和0.4，这两个比的比值都是5，组成的比例是( )。 【答案】 【分析】根据比的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，用两个外项之积÷一个内项，即可求出另一个内项；再根据比例的意义：假设6是前一个比例的后项，0.4是后一个比例的前项，分别求出前一个比例的前项和后一个比例的后项，写出比例即可（答案不唯一）。 【详解】 假设6是前一个比例的后项，0.4是后一个比例的前项 前一个比例的前项＝5×6＝30 后一个比例的后项＝0.4÷5＝0.08 组成的比例是：30∶6＝0.4∶0.08 在一个比例里，已知两个内项的积是，一个外项是6，则另一个外项是；在另一个比例中，两个内项分别是6和0.4，这两个比的比值都是5，组成的比例是30∶6＝0.4∶0.08（答案不唯一）。 练习四、解比例 1．解比例。      0.25∶＝5∶12      【答案】；； 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 第1题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程；方程两边同时除以4。 第2题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程；方程两边同时除以5。 第3题，根据比例的基本性质，把比例改写成方程；方程两边同时除以7.2。 【详解】 解：   0.25∶＝5∶12    解：5＝0.25×12   5＝3   5÷5＝3÷5 ＝0.6 解： 2．解比例。            【答案】 ；； 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时乘求解； 分数形式的比例，分子、分母交叉相乘，积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以5求解。 分数形式的比例，分子、分母交叉相乘，积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时加上3求解。 【详解】 解： 解： 解： 3．解比例。                         【答案】x＝7.2；；x＝45 【分析】解比例：先根据比例的性质：内项积＝外项积，写成一般形式，再根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立，即可解方程。 【详解】 解：x＝0.4×6 x＝2.4 x＝2.4÷ x＝2.4×3 x＝7.2 解： 解： 4．解比例。                          【答案】；； 【分析】（1）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 5．求未知数的值。          7.5∶x＝6.25∶4                       【答案】x＝；x＝4.8； x＝5；x＝0.125 【分析】根据比例的基本性质把比例化为方程x＝，方程两边再同时除以； 根据比例的基本性质把比例化为方程6.25x＝7.5×4，两边再同时除以6.25； 根据比例的基本性质把比例化为方程10.8x＝6×9，两边再同时除以10.8； 根据比例的基本性质把比例化为方程2x＝0.25×1，两边再同时除以2。 【详解】∶＝x∶ 解：x＝ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 7.5∶x＝6.25∶4 解：6.25x＝7.5×4 6.25x＝30 6.25x÷6.25＝30÷6.25 x＝4.8 解：10.8x＝6×9 10.8x＝54 10.8x÷10.8＝54÷10.8 x＝5 x∶0.25＝ 解：2x＝0.25×1 2x＝0.25 2x÷2＝0.25÷2 x＝0.125 练习五、图上距离与实际距离的换算 1．在一幅比例尺为的地图上量得甲乙两个港口的距离大约为4.5厘米，这两个港口的实际距离为( )千米，一艘每小时行45千米的轮船从甲港出发，需要( )小时才能到达乙港。 【答案】 1350 30 【分析】根据图示，图上1厘米的线段表示实际距离300千米。用4.5×300算出实际距离。根据时间＝路程÷速度算出需要的时间。 【详解】实际距离：4.5×300＝1350（千米） 需要的时间：1350÷45＝30（小时） 2．一块长方形操场长320米，宽240米，在比例尺是1∶8000的图纸上画出这块操场的平面图。（先计算再画图） 【答案】见详解 【分析】根据比例尺的意义，把实际距离的单位换算成厘米，再分别除以8000算出图上距离。据此画图。画长方形时，先画一条长，再用三角尺的一条直角边和长重合，沿另一条直角边画出宽。 【详解】320米＝32000厘米，240米＝24000厘米 长：32000÷8000＝4（厘米） 宽：24000÷8000＝3（厘米） 画一个长是4厘米，宽是3厘米的长方形。   3cm 4cm 3．根据提供的信息，画一画，填一填。 （1）图书馆在学校北偏东（    ）°方向（    ）米处。 （2）体育场在学校南偏西60°方向450米处，画出体育场的位置。 【答案】（1）45；200；（2）见详解 【分析】（1）用量角器测量学校与图书馆连线和正北方向的夹角，可得出是45°（测量可能有细微误差，以实际测量为准），所以图书馆在学校以北为主方向，在北方向的基础上向东偏转45°。比例尺1∶10000表示图上1厘米代表实际距离10000厘米。用直尺量出学校到图书馆的图上距离是2厘米（测量可能有细微误差，以实际测量为准），那么实际距离就是2×10000＝20000厘米，因为1米＝100厘米，所以在20000÷100＝200米处。 （2）已知实际距离450米，因为1米＝100厘米，450米为450×100＝45000厘米。根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，比例尺1∶10000，所以图上距离为45000×＝4.5厘米。所以体育馆在学校以南为主方向，在南方向的基础上向西偏转60°，然后从学校沿这个方向画4.5厘米长的线段，线段端点就是体育场的位置。 【详解】（1）由分析可知：图书馆在学校北偏东45°方向200米处。（答案不唯一） （2）1米＝100厘米 450×100＝45000（厘米） 45000×＝4.5（厘米） 画图如下： 4．在比例尺是1∶200的地图上，量得一块长方形土地的周长是36厘米。已知长和宽的比是5∶4，这块土地的实际面积是多少平方米？ 【答案】320平方米 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺。据此求出土地的实际周长，换算成米为单位后，根据长和宽的比是5∶4，则长和宽分别是周长一半的和，根据长方形面积公式求出实际面积即可。 【详解】实际周长：36÷÷100 ＝36×200÷100 ＝72（米） 长：72÷2× ＝36× ＝20（米） 宽：72÷2× ＝36× ＝16（米） 面积：20×16＝320（平方米） 答：这块土地的实际面积是320平方米。 5．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两地相距15厘米。客车和货车分别从A、B两地同时出发，相向而行，5小时后相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4。客车与货车的速度各是多少？ 【答案】客车100千米/时；货车80千米/时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离； 根据“速度和＝路程÷相遇时间”求出客车和货车的速度和； 已知客车和货车的速度比是5∶4，即客车的速度占两车速度和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用速度和乘，求出客车的速度；从而求出货车的速度。 【详解】A、B两地的实际距离： 15÷ ＝15×6000000 ＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 速度和：900÷5＝180（千米/时） 客车：180× ＝180× ＝100（千米/时） 货车：180－100＝80（千米/时） 答：客车的速度是100千米/时，货车的速度是80千米/时。 练习六、正比例和反比例的意义及辨识 1．用四根木条制作一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，在这个变化过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．不成比例 B．成反比例 C．成正比例 D．无法确定 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】把长方形框架拉成一个平行四边形，则平行四边形的底不变，等于长方形的长；平行四边形的面积随着高的变化而变化。 平行四边形的面积÷高＝底（一定），比值一定，所以平行四边形的面积和高成正比例。 故答案为：C 2．下面各题中两种相关联的量成反比例的是（    ）。 A．长方形的长和宽 B．圆的周长一定，直径和 C．三角形面积一定，它的底和高 D．正方体的表面积和底面积 【答案】C 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。 【详解】A．长方形的长和宽，长方形的长和宽没有乘除关系，所以长和宽不成比例； B．圆的周长一定，直径和π，圆的周长＝直径×π，π是一个固定值，直径和π不成比例； C．三角形面积一定，它的底和高，三角形的面积＝底×高÷2，可得底×高＝三角形的面积×2，三角形面积一定，故底和高的乘积一定，所以它的底和高成反比例；      D. 正方体的表面积和底面积；正方体的表面积＝底面积×6，可得正方体的表面积÷底面积＝6，可得正方体的表面积和底面积的比值一定，所以表面积和底面积成正比例。 3．下面选项中，（    ）成正比例，（    ）成反比例。 ①小红的体重和身高    ②分母一定，分子和分数值     ③汽车油箱内的油量一定，所行的路程和每千米的耗油量    ④圆的面积和半径 A．②；③ B．③；① C．①；② D．②；④ 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】①小红的体重和身高的比值或乘积都不一定，所以小红的体重和身高不成比例关系。 ②分子÷分数值＝分母（一定），商一定，那么分子和分数值成正比例。 ③每千米的耗油量×所行的路程＝汽车油箱内的油量（一定），乘积一定，那么所行的路程和每千米的耗油量成反比例。 ④根据圆的面积公式S＝πr2可知，S÷r＝πr（不一定），那么圆的面积和半径不成比例。 综上所述，（②）成正比例，（③）成反比例。 故答案为：A 4．如果，那么和成( )比例。如果，那么和成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果，则（一定），是x和y的比值一定，所以x和y成正比例； 如果，则，是x和y的积一定，所以x和y成反比例。 5．如表，当x和y成正比例时，空格里应填( )；当x和y成反比例时，空格里应填( )。 x y 0.4 12 【答案】 0.9 0.001 【分析】正比例关系式：＝k（一定），两个变化的量的比值（商）一定，这两个变化的量成正比例关系；反比例关系式：xy＝k（一定），两个变化的量的乘积一定，这两个变化的量成反比例关系；据此分别列出正比例、反比例方程，求出空格里应填的数。 【详解】当x和y成正比例时， 12∶x＝0.4∶ 解：0.4x＝12× 0.4x＝12×0.03 x＝ x＝0.9 当x和y成反比例时 12x＝×0.4 解：12x＝0.03×0.4 x ＝ x＝0.001 练习七、正比例图象的认识 1．下列关于正、反比例的说法中，正确的有（    ）个。 ①正比例图像上的点在同一直线上。 ②因为爸爸的年龄÷小璐的年龄＝3，所以爸爸的年龄与小璐的年龄成正比例。 ③因为3x－2y＝0（x、y均不为0），所以x和y是不成比例的量。 ④下图是甲、乙两车所行路程与时间的关系图，从图中可以看出甲、乙两车所行的路程与时间成正比例。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】如果x÷y＝k（一定），那么x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），那么x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系；正比例图像是一条经过原点的直线。 【详解】①因为正比例图像是一条经过原点的直线，所以正比例图像上的点在同一直线上，说法正确。 ②因为爸爸的年龄÷小璐的年龄＝3，只是这一年两人的年龄是3倍关系，爸爸的年龄－小璐的年龄＝年龄差一定，爸爸的年龄与小璐的年龄不成比例关系，原说法错误。 ③因为3x－2y＝0（x、y均不为0），两边同时＋2y，可得3x＝2y，两边同时÷y÷3，可得，x÷y＝，所以x和y成正比例关系，原说法错误。 ④正比例图像是一条经过原点的直线，从图中可以看出甲、乙两车所行的路程与时间成正比例，说法正确。 正确的有2个。 2．如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 【答案】 60 正 【分析】根据比和除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，统计图可知，用行驶的路程÷行驶的时间，即可求出这辆汽车行驶的路程与时间的比值，也就是这辆车的速度；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 300÷5＝60（千米/时） 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60； 60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），这辆汽车行驶的路程与时间成正比例。 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60，它们成正比例。 3．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 【答案】 小芳 5 840 【分析】表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，所以这个图像成正比例；小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间；小芳3分钟走了210米，用210÷3求出小芳一分钟走多少米，再根据到图书馆用了12分钟，用速度×时间，求出学校到图书馆的距离即可。 【详解】根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例； （分钟） （米） 小芳的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为5分钟，学校到图书馆的距离是840米。 4．一台织布机的织布情况如下表。 工作时间／时 0 1 2 3 4 6 … 织布米数／米 0 6 12 18 30 … (1)把上表填写完整，并判断出这台织布机的工作时间与织布米数成（    ）比例。 (2)根据上表，描出下图中的点，再顺次连接。 (3)妙想说点（12，72）也在这条直线上，你认为她说的对吗？为什么？ 【答案】(1)从上到下：5；24；36；正 (2)见详解 (3)我认为她说得对，因为（定值），所以点（12，72）也在这条直线上。 【分析】（1）观察表格可得，这台织布机每小时织布6米（工作效率固定），根据“织布米数＝效率×工作时间”，“工作时间＝织布米数效率”计算得空缺数值； 因为，比值一定，符合正比例的定义。 （2）在图中依次标出点：，再从原点出发顺次连接这些点即可，最终得到一条过原点的倾斜直线。 （3）指的是当工作时间为12时，织布米数为72，所以我们根据，计算，和这台织布机每小时织布米数比较大小，若相等，则符合正比例关系，点在这条直线上，反之，则不在。 【详解】（1）；；，比值一定，所以这台织布机的工作时间与织布米数成正比例。 （2） （3），和这台织布机每小时织布米数相等， 因此，我认为她说得对，点在这条直线上。 5．下表是同一时间、同一地点丫丫和红红测量的杆高和影长记录表。 杆高（米） 1.5 3 4.5 6 影长（米） 0.75 1.5 2.25 3 (1)将表中的数据在下图的方格纸上画图表示出来。 (2)根据表中的记录，杆高和影长是否成比例？成什么比例？为什么？ (3)根据图象推测，同一时间、同一地点，一座楼房高9米，它的影长是( )米；影长是4米的竹竿，实际长( )米。 【答案】(1)见详解 (2)成正比例，理由见详解 (3) 4.5 8 【分析】（1）根据表格中杆高和影长的数据，直接描点、连线即可； （2）两个相关联的量，比值一定则成正比例，乘积一定则成反比例，据此解答。 （3）根据杆高与影长的比值，代入数据求解即可。 【详解】（1）（1）如图： （2）杆高和影长成正比例。 因为1.5∶0.75＝2，3∶1.5＝2，4.5∶2.25＝2，6∶3＝2，由此可见杆高与影长比值一定，成正比例。 （3）9÷2＝4.5（米） 4×2＝8（米） 即根据图象推测，同一时间、同一地点，一座楼房高9米，它的影长是4.5；影长是4米的竹竿，实际长8米。 练习八、正比例和反比例的应用 1．小明记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下。 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 (1)观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成________比例关系。 (2)当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？ 【答案】(1)正 (2)90千瓦时 【分析】（1）两种相关联的量中相对应的两个数，如果比值一定，就成正比例。根据“每千瓦时可行驶的路程＝行驶的路程÷耗电量”判断； （2）先求每千米的耗电量：每千米的耗电量＝耗电量÷行驶的路程；再求600千米的耗电量：耗电量＝行驶的路程×每千米的耗电量。 【详解】（1）根据表格数据可知： …… 即行驶路程与耗电量的比值一定，所以电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。 （2）15÷100×600 ＝0.15×600 ＝90（千瓦时） 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 2．某城市为推广新能源汽车，计划在市区新建一批充电桩。施工队8天完成了总工程量的40%。按照此施工速度，完成所有的充电桩建设需要几天？（用比例解） 【答案】20天 【分析】根据题干中“按照此施工速度”可知，施工队的工作效率保持不变。当工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例关系。将总工程量看作单位“1”，已完成的40%对应8天，设完成所有建设需要x天，根据工作总量与时间的比值相等列出比例式进行求解。 【详解】解：设完成所有的充电桩建设需要x天。 40%∶8＝1∶x 40%x＝8×1 0.4x＝8 0.4x÷0.4＝8÷0.4 x＝20 答：完成所有的充电桩建设需要20天。 3．为防止雾霾，保护环境，某市掀起了“爱绿护绿”的热潮。六年级同学参加“爱绿护绿”植树活动，如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例解） 【答案】48行 【分析】每行种的棵数与行数的乘积等于总棵数。因为积一定，所以每行种的棵数与行数成反比例关系。设这些树苗要种x行。列比例：18×40＝15x，解比例，即可解答。 【详解】解：设这些树苗要种x行。 18×40＝15x 15x＝720 x＝720÷15 x＝48 答：这些树苗要种48行。 4．王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【答案】4小时 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4，解比例方程即可。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 5．师徒二人合作加工182个零件，师傅加工9个零件的时间和徒弟加工5个零件的时间相同。完成任务时师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【答案】52个 【分析】设师傅加工了x个零件，则徒弟加工了（182－x）个零件，因为两人加工的时间相同，所以师傅与徒弟加工的零件个数之比为9∶5，据此列比例求出师傅加工的零件数，再求出徒弟加工的零件数，最后计算两者的差。 【详解】解：设师傅加工了x个零件。 x∶（182－x）＝9∶5 5x＝（182－x）×9 5x＝1638－9x 5x＋9x＝1638－9x＋9x 14x＝1638 14x÷14＝1638÷14 x＝117 182－117＝65（个） 117－65＝52（个） 答：完成任务时师傅比徒弟多加工52个零件。 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15：正比例和反比例（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、比的意义和基本性质 1 考点二、比例的意义 2 考点三、比例的基本性质 3 考点四、解比例 3 考点五、图上距离与实际距离的换算 4 考点六、正比例和反比例的意义及辨识 5 考点七、正比例图象的认识 6 考点八、正比例和反比例的应用 7 例题讲解 8 题型一、比的意义和基本性质 8 题型二、比例的意义 8 题型三、比例的基本性质 8 题型四、解比例 8 题型五、图上距离与实际距离的换算 9 题型六、正比例和反比例的意义及辨识 10 题型七、正比例图象的认识 10 题型八、正比例和反比例的应用 11 专项训练 12 练习一、比的意义和基本性质 12 练习二、比例的意义 12 练习三、比例的基本性质 12 练习四、解比例 13 练习五、图上距离与实际距离的换算 14 练习六、正比例和反比例的意义及辨识 16 练习七、正比例图象的认识 16 练习八、正比例和反比例的应用 18 考点梳理 考点一、比的意义和基本性质 1. 比的意义 (1)定义：两个数相除又叫做两个数的比。 (2)表示方法： 除以 ( ) 可以写成 ，读作“ 比 ”。 (3)各部分名称： ①　 是前项 ②　“:” 是比号 ③　 是后项 ④　 的结果叫做比值。 (4)比与除法、分数的关系： ①　比的前项 被除数 分子 ②　比号 除号 分数线 ③　比的后项 除数 分母 ④　比值 商 分数值 ⑤　注意：比的后项不能为 0（因为除数不能为0）。 2. 比的基本性质 (1)内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 (2)应用：化简比 ①　目的：把比化成最简整数比（前项和后项互质，即公因数只有1）。 ②　方法： 整数比：前项和后项同时除以它们的最大公因数。例： 小数比：先同时扩大10倍、100倍……化成整数比，再化简。例： 分数比：前项和后项同时乘分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。例： 3. 求比值 vs 化简比 (1)求比值：结果是一个数（可以是整数、小数或分数）。 (2)化简比：结果是一个比（形式为 ）。 考点二、比例的意义 1. 比例的定义 (1)定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 (2)判断方法：看两个比的比值是否相等。 ①　例： 和 。 ②　， 。 ③　因为 ，所以 是一个比例。 2. 比例的各部分名称 在比例 中： (1)外项：两端的两项（2.4 和 40）。 (2)内项：中间的两项（1.6 和 60）。 3. 比和比例的区别 项目 比 比例 意义 两个数相除 两个比相等的式子 构成 由两项组成（前项、后项） 由四项组成（两个内项、两个外项） 基本性质 前项后项同乘/除相同数(0除外)，比值不变 两个外项的积等于两个内项的积 考点三、比例的基本性质 1. 内容 (1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 (2)如果用字母表示比例的四项，即 （或 ），那么 。 2. 应用 (1)判断两个比能否组成比例： ①　方法一：求比值，看是否相等。 ②　方法二：算外项积和内项积，看是否相等。 ③　例：判断 和 能否组成比例。 外项积： 内项积： 因为 ，所以能组成比例。 (2)解比例的基础：利用“内项积=外项积”将比例转化为方程。 考点四、解比例 1. 定义：求比例中的未知项，叫做解比例。 2. 解题步骤 (1)设：根据题意列出比例式，设未知数为 。 (2)转化：根据比例的基本性质，把比例改写成“内项积=外项积”的形式（即转化为方程）。 注意：如果比例写成分数形式 ，可以直接交叉相乘，即 。 (3)求解：解这个简易方程，求出 的值。 (4)检验：口头检验，确保计算无误。 3. 示例思路 (1)解比例 解： （内项积=外项积） 考点五、图上距离与实际距离的换算 1. 比例尺的意义 (1)定义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 (2)公式： 或者： 2. 比例尺的分类 (1)数值比例尺：用数字比的形式表示。 ①　例： 或 。 ②　含义：图上1厘米代表实际距离1000000厘米（即10千米）。 (2)线段比例尺：在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。 例：画一段1cm长的线，下面标“0—50km”，表示图上1cm代表实际50km。 3. 单位换算关键点（易错！） (1)在计算比例尺、图上距离或实际距离时，单位必须统一！ (2)常用进率： ①　 ②　 (3)技巧： ①　千米 厘米：加5个0（或小数点向右移5位）。 ②　厘米 千米：去5个0（或小数点向左移5位）。 4. 三个量的关系变换 已知其中两个量，求第三个量： (1)求图上距离： 注意：实际距离通常较大，计算前先换算成厘米。 (2)求实际距离： 注意：算出的结果单位通常是厘米，最后要根据题目要求换算成米或千米。 (3)求比例尺： 注意：前项通常化为1，且不带单位。 考点六、正比例和反比例的意义及辨识 1. 正比例的意义 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 (2)关系式： 是两种相关联的量， 是常数。 (3)特征： ①　同增同减： 扩大， 也扩大； 缩小， 也缩小。 ②　比值恒定。 (4)常见实例： ①　速度一定，路程和时间成正比例。（ ） ②　单价一定，总价和数量成正比例。（ ） ③　圆的周长和直径成正比例。（ ） 2. 反比例的意义 (1)定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 (2)关系式： (3)特征： ①　一增一减： 扩大， 反而缩小； 缩小， 反而扩大。 ②　乘积恒定。 (4)常见实例： ①　路程一定，速度和时间成反比例。（ ） ②　工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 ③　长方形面积一定，长和宽成反比例。 3. 如何判断正反比例（三步法） (1)找关联：看两个量是否相关联（一个变，另一个也跟着变）。如果不相关（如人的身高和体重虽然有关联但不是严格的数学比例，或者正方形的边长和面积——比值不固定，积也不固定），则不成比例。 (2)定关系：写出两个量的关系式。 (3)看定量： ①　如果是 （商一定），则是正比例。 ②　如果是 （积一定），则是反比例。 ③　如果商和积都不一定，则不成比例。 (4)易错辨析： ①　正方形的边长和周长： （一定），成正比例。 ②　正方形的边长和面积： （不一定）， 也不一定，不成比例。 ③　圆的半径和面积： （不一定），不成比例。 ④　圆的半径和周长： （一定），成正比例。 考点七、正比例图象的认识 1. 图象形状 (1)正比例关系的图象是一条经过原点 (0,0) 的直线（射线）。 (2)反比例关系的图象是一条曲线（双曲线的一支），不经过原点。 2. 正比例图象的特点 (1)起点：从 开始。 (2)趋势：从左下方向右上方延伸（上升）。 (3)作用： ①　可以根据一个量的值，在图象上找到另一个量的对应值。 ②　直观地看出变化的快慢（直线越陡，变化越快，即比值 越大）。 3. 描点画图步骤 (1)列表：列出几组对应的 和 的值。 (2)描点：在方格纸上找到对应的点 。 (3)连线：用直尺将这些点连起来，并延长经过原点。 考点八、正比例和反比例的应用 1. 用比例知识解决问题的步骤 (1)判断：分析题目中的两种相关联的量，判断它们成什么比例（正比例还是反比例）。 (2)设元：设未知数为 。 (3)列式： ①　若成正比例，列出比值相等的比例式： ②　若成反比例，列出乘积相等的等式： （也可写成比例形式，但乘积形式更直观） (4)求解：解比例或方程。 (5)作答：写出答案并检验。 2. 典型应用场景 （1）归一问题（正比例） ①　场景：单价一定，买更多东西花多少钱？ ②　思路： （2）归总问题（反比例） ①　场景：一批书，每包捆20本需捆18包；如果每包捆30本，需捆多少包？ ②　思路：书的总数不变（积一定）。 （3）比例尺应用（正比例的特例） ①　场景：地图上的距离与实际距离成正比。 ②　思路： 3. 注意事项 (1)单位统一：在列比例式之前，务必检查单位是否一致。如果不一致，必须先换算。 (2)对应关系：分子和分母、前项和后项必须对应同一组数据。不要交叉错位。 (3)合理性检验：算出结果后，结合生活常识判断是否合理（例如人数必须是整数，长度不能为负数等）。 例题讲解 题型一、比的意义和基本性质 【例题1】同时临摹一份字帖，冬冬用了16分钟，明明用了24分钟。冬冬和明明所用时间的比是( )，速度的比是( )。 【练习1】将25克盐溶解于75克水中，盐与水的比是( )。盐占盐水的( )。再加入5克盐，这时盐与盐水的比是( )。 题型二、比例的意义 【例题2】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．15∶3 B．0.2∶0.3 C．30∶5 D．2.7∶1.8 【练习2】在6︰( )＝( )︰6比例中，两个比的比值都是0.6，把比例补充完整。 题型三、比例的基本性质 【例题3】在比例8∶14＝4∶b中，如果第一个比的前项加上24，要使比例成立，第二个比的后项要乘( )。 【练习3】如果3x＝4y，那么x∶y＝( )∶( )；如果＝，那么a∶b＝( )∶( )。 题型四、解比例 【例题4】解比例。         ＝          【练习4】解比例。                  题型五、图上距离与实际距离的换算 【例题5】在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得两地间的距离是12厘米，一列火车以每小时80千米的速度从一地出发，几小时才能行完全程？ 【练习5】如图为新华社区部分示意图，新华路与育才路将社区分成了A、B、C、D四个区域。 （1）已知两条路的交点处为点O，小明家在交点O的南偏西30°方向400米处，请在图中准确标出小明家的位置。（先计算，后画图） （2）在两条路的交点O正东方向400米处有一条步行街与新华路平行。 题型六、正比例和反比例的意义及辨识 【例题6】下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（    ）。 A．梨的单价一定，妈妈购买梨的总价和重量。 B．圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 C．汽车的速度一定，行驶的路程和时间。 D．当时（a、b都是不为0的量），a和b。 【练习6】选择正确的答案，将序号填在括号里。 ①成正比例关系             ②成反比例关系             ③不成比例关系 (1)总人数一定，平均每组的人数与组数。( ) (2)一段路，修的米数和未修的米数。( ) (3)单价一定，总价和数量。( ) 题型七、正比例图象的认识 【例题7】下面的图像表示实验小学食堂吃大米的质量和时间的关系。 （1）实验小学食堂吃大米的质量和时间是否成正比例？ （2）根据图像判断，实验小学食堂5天吃大米多少吨？2.4吨大米可以吃多少天？ 【练习7】如图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。 （1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成正比例吗？（写出判断过程） （2）根据图像，计算出行驶75千米耗油多少升？ （3）汽车在市区行驶，每行50千米耗油6升，照这样的耗油量，在上图中描出行驶50千米、100千米……路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来。 题型八、正比例和反比例的应用 【例题8】小明身高1.5米，他的影子长2米，同一时刻，一棵松树的影子长10米，它的高度是多少米？（用比例解答） 【练习8】备受瞩目的高铁“CR450列车”计划在今年运行，最高时速由350千米/时提速到400千米/时，原来4小时的路程，现在要行驶多少小时呢？ 专项训练 练习一、比的意义和基本性质 1．某车间有男职工25人，女职工15人。女职工人数相当于男职工人数的( )，女职工人数与该车间职工总人数的最简整数比是( )，化成后项是100的比是( )。 2．把50克糖溶解在200克水中，水与糖水的质量比是( )，喝掉一半后，水与糖的质量比是( )。 3．两个正方体棱长的比是2∶3，棱长之和的比是( )，表面积的比是( )，体积的比是( )。 4．木木看一本故事书，已经看了全书的，正好看了30页。木木还有( )页没有看，已看的与未看的页数比是( )。 5．＝0.8＝＝（    ）%＝24∶（    ）。 练习二、比例的意义 1．下面第（    ）组中的两个比不能组成比例。 A．7∶8和14∶16 B．0.6∶0.2和3∶1 C．和 D．和 2．36的因数有( )个，选择其中的四个因数，把它们组成一个比例是( )。 3．如果两个比a∶b与c∶d的比值互为倒数，那么a、b、c、d四个数可组成的一个比例是( )。 4．在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是( )。 5．在一个比例中，一个外项是最大的一位数，另一个外项是最小的合数，且两个比的比值都是0.4。这个比例式是( )或( )。 练习三、比例的基本性质 1．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，判断下面式子中 （    ）不成立。 A．a∶c＝d∶b B．a∶c＝b∶d C．c∶a＝b∶d D．d∶a＝b∶c 2．一个数能与3、6、12这三个数组成比例，这个数最大是（    ）。 A．1.5 B．6 C．24 D．48 3．根据ab＝cd，不能写出的比例是（    ）。 A．c∶d＝a∶b B．d∶a＝b∶c C． D． 4．在比例8∶3＝24∶9中，如果内项3增加6，外项9应增加( )才能组成比例。（另外两项不变）。 5．如果m＝n（m、n都不等于0），那么m∶n＝( )∶( )。 6．在一个比例里，已知两个内项的积是，一个外项是6，则另一个外项是( )；在另一个比例中，两个内项分别是6和0.4，这两个比的比值都是5，组成的比例是( )。 练习四、解比例 1．解比例。      0.25∶＝5∶12      2．解比例。            3．解比例。                         4．解比例。                          5．求未知数的值。          7.5∶x＝6.25∶4                       练习五、图上距离与实际距离的换算 1．在一幅比例尺为的地图上量得甲乙两个港口的距离大约为4.5厘米，这两个港口的实际距离为( )千米，一艘每小时行45千米的轮船从甲港出发，需要( )小时才能到达乙港。 2．一块长方形操场长320米，宽240米，在比例尺是1∶8000的图纸上画出这块操场的平面图。（先计算再画图） 3．根据提供的信息，画一画，填一填。 （1）图书馆在学校北偏东（    ）°方向（    ）米处。 （2）体育场在学校南偏西60°方向450米处，画出体育场的位置。 4．在比例尺是1∶200的地图上，量得一块长方形土地的周长是36厘米。已知长和宽的比是5∶4，这块土地的实际面积是多少平方米？ 5．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两地相距15厘米。客车和货车分别从A、B两地同时出发，相向而行，5小时后相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4。客车与货车的速度各是多少？ 练习六、正比例和反比例的意义及辨识 1．用四根木条制作一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动，在这个变化过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．不成比例 B．成反比例 C．成正比例 D．无法确定 2．下面各题中两种相关联的量成反比例的是（    ）。 A．长方形的长和宽 B．圆的周长一定，直径和 C．三角形面积一定，它的底和高 D．正方体的表面积和底面积 3．下面选项中，（    ）成正比例，（    ）成反比例。 ①小红的体重和身高    ②分母一定，分子和分数值     ③汽车油箱内的油量一定，所行的路程和每千米的耗油量    ④圆的面积和半径 A．②；③ B．③；① C．①；② D．②；④ 4．如果，那么和成( )比例。如果，那么和成( )比例。 5．如表，当x和y成正比例时，空格里应填( )；当x和y成反比例时，空格里应填( )。 x y 0.4 12 练习七、正比例图象的认识 1．下列关于正、反比例的说法中，正确的有（    ）个。 ①正比例图像上的点在同一直线上。 ②因为爸爸的年龄÷小璐的年龄＝3，所以爸爸的年龄与小璐的年龄成正比例。 ③因为3x－2y＝0（x、y均不为0），所以x和y是不成比例的量。 ④下图是甲、乙两车所行路程与时间的关系图，从图中可以看出甲、乙两车所行的路程与时间成正比例。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 3．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示，根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例；小明追上小芳所需的时间为( )分钟，学校到图书馆的距离是( )米。 4．一台织布机的织布情况如下表。 工作时间／时 0 1 2 3 4 6 … 织布米数／米 0 6 12 18 30 … (1)把上表填写完整，并判断出这台织布机的工作时间与织布米数成（    ）比例。 (2)根据上表，描出下图中的点，再顺次连接。 (3)妙想说点（12，72）也在这条直线上，你认为她说的对吗？为什么？ 5．下表是同一时间、同一地点丫丫和红红测量的杆高和影长记录表。 杆高（米） 1.5 3 4.5 6 影长（米） 0.75 1.5 2.25 3 (1)将表中的数据在下图的方格纸上画图表示出来。 (2)根据表中的记录，杆高和影长是否成比例？成什么比例？为什么？ (3)根据图象推测，同一时间、同一地点，一座楼房高9米，它的影长是( )米；影长是4米的竹竿，实际长( )米。 练习八、正比例和反比例的应用 1．小明记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下。 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 (1)观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成________比例关系。 (2)当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？ 2．某城市为推广新能源汽车，计划在市区新建一批充电桩。施工队8天完成了总工程量的40%。按照此施工速度，完成所有的充电桩建设需要几天？（用比例解） 3．为防止雾霾，保护环境，某市掀起了“爱绿护绿”的热潮。六年级同学参加“爱绿护绿”植树活动，如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，这些树苗要种多少行？（用比例解） 4．王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 5．师徒二人合作加工182个零件，师傅加工9个零件的时间和徒弟加工5个零件的时间相同。完成任务时师傅比徒弟多加工多少个零件？ 第 2 页 共 42 页 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $