数学终极押题猜想（天津专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情为纲构建15个押题模块，融合解题秘笈与分层训练，实现方法-知识-素养三维突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|5模块32题|待定系数法/铅垂法/增减性比较|从一次函数到二次函数动态综合，构建"性质-图像-应用"逻辑链| |几何变换|4模块28题|旋转全等/构造Rt△/网格作图|以三角形为基，延伸至四边形、圆，形成"变换-推理-计算"体系| |实际应用|3模块18题|建模分析/统计推断/三角测距|聚焦生活情境，强化"抽象-建模-求解"的数学表达能力| |压轴突破|3模块15题|分类讨论/最值转化/动态探究|整合函数与几何，培养逻辑推理与创新意识|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 列一次方程——古代问题 1 押题猜想二 根据一次函数的性质求参数 3 押题猜想三 根据反比例函数的增减性比较大小 5 押题猜想四 二次函数与实际问题——列函数解析式解决问题 7 押题猜想五 利用二次函数解几何动点问题 12 押题猜想六 一次函数的应用——图象信息问题 20 押题猜想七 压轴——二次函数的图象性质与图形综合 28 押题猜想八 根据旋转三角形的性质判断边角关系 43 押题猜想九 根据尺规作图痕迹判断边角关系 49 押题猜想十 四边形与三角形综合—辅助线构造Rt△求线段长 55 押题猜想十一 利用圆的性质作图和计算 64 押题猜想十二 构造Rt△并应用锐角三角函数值测距 69 押题猜想十三 圆综合 74 押题猜想十四 根据统计图读取信息解决问题 81 押题猜想十五 几何动点—图形变换与函数的综合应用 85 押题猜想一 列一次方程——古代问题 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设有人，物品价格为钱， 当每人出8钱，剩余3钱，总出钱数减去剩余钱数等于物价，可得 ， 当每人出7钱，差4钱，总出钱数加上还差的钱数等于物价，可得， ∴可得方程组 ． 分析有理·押题有据 考点趋势：从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题基础题呈现，常选取《九章算术》《算学启蒙》等古籍素材，考查一元一次方程建模，侧重盈亏、行程类古算题型。 押题依据：近年真题连续融入传统文化，是素养考查高频方向。 押题理由：贴合中考立德树人命题导向。 押题秘笈：找准等量关系，将古文题意转化为现代数学等式列式求解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河东·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设人数为人，根据“每人出8钱，会多出3钱”，可得物价为， 又根据“每人出7钱，又差4钱”，可得物价为， 物价固定不变，两个代数式相等， 列方程为 ． 2．（2026·天津北辰·一模）《九章算术》被尊为“算经之首”，其中有一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”意思是：甲从长安出发，5天到齐国；乙从齐国出发，7天到长安．现乙先出发2天，甲才从长安出发，问甲经过几天可以与乙相遇．设甲经过x天可以与乙相遇，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把长安到齐国的总路程看作单位， ∵甲天走完全程，∴甲的速度为，甲走了天，因此甲走的路程为， ∵乙天走完全程，∴乙的速度为，乙先出发天，因此乙一共走了天，乙走的路程为； 相遇时甲乙的路程和等于总路程，因此可列方程： ． 3．（2026·天津·一模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设共有辆车，题目中总人数保持不变， ∵ 每人同乘一车，剩余辆空车， 表示为， ∵ 每人同乘一车，剩余人步行， ∴ 总人数可表示为， ∵ 两种情况总人数相等， ∴ 可列方程． 押题猜想二 根据一次函数的性质求参数 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：由题意，根据一次函数图象平移规则，平移后的解析式为： ， 平移后的直线经过第二、第一、第四象限，一次函数中，只需满足， ， 解得， 的值可以是. 分析有理·押题有据 考点趋势：从近五年的中考情况来看，本部分多以选择、填空题基础题呈现，侧重结合增减性、图象过象限求参数范围。 押题依据：贴合天津考纲，近三年真题连续涉及此类题型。 押题理由：历年必考，衔接初高中知识，命题稳定性强。 押题秘笈：熟记k、b取值与图象性质关系，巧用不等式快速求解，规避取值遗漏陷阱。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 2．（2026·天津河北·一模）已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 【答案】2 【详解】解：直线向上平移个单位后得到的直线解析式为：， 把代入解析式得：， 整理得：， 解得：． 3．（2026·天津南开·一模）将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（）即可 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后， 根据平移规律可得解析式为，即． 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ． ∴k的值可以是（答案不唯一）． 4．（2026·天津和平·一模）若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为， 平移后的直线经过点， 将点代入， 可得：． 押题猜想三 根据反比例函数的增减性比较大小 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】（2026·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数为，且 ∴比例系数 ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，可得 ∵ ∴点、都在第一象限， ∴ ∴． 分析有理·押题有据 考点趋势：本部分常以选择题形式考查，难度属于中档偏低问 题，近年持续稳定出题，侧重结合象限分布与增减性比较函数值。 押题理由：属于函数基础核心考点，是中考必考题。 押题依据：历年天津真题高频考查，契合考纲基础要求。 押题秘笈：先判k定象限，牢记增减性，跨象限点优先根据正负直接比较。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴． 2 ．（2026·天津河东·一模）若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将值分别代入解析式得，，， ∵， ∴． 3．（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数（k为常数）的图象过点． ∴， ∴反比例函数，此函数图象在一、三象限， ， 在第三象限；点在第一象限， ， ． 故答案为：． 押题猜想四 二次函数与实际问题——列函数解析式解决问题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行 的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 分析有理·押题有据 考点趋势：本部分内容属于中档题，近三年考查比较稳定，聚焦列解析式+最值，贴近生活（面积、抛物线模型等），跨学科融合（易与物理的小球运动实验结合）。 押题理由：体现核心素养导向，是中考必考中档点，区分度强。 押题依据：课标强调模型思想，天津真题2023-2025连续考查此类应用。 押题秘笈：抓变量关系列式，定定义域，用顶点/对称轴求最值，注意实际意义 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①根据题意得：和为矩形， ∴， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时， 解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，且最大面积为： ，故③正确； 综上，正确结论有2个 2．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应 ， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 3．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的， ∴， ∴， ∴销售单价可以是60元，故①结论正确； 设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元， 则 ， ∵，且对称轴为直线 ∴当时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1050元，故②结论错误； 由②可知，当时，W随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， ∴当成立时，有且只有一个x的值满足题意，故③结论错误； ∴正确的只有①， 故选：B． 4．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 5．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，表示球与点M之间的水平距离，表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为，“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到，则点A，B之间的距离是（      ） A．20 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点为 ， 点A，B之间的距离为， 故选：A 押题猜想五 利用二次函数解几何动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【典型题】四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考，常将二次函数与几何动点结合作为选择题的压轴高频考点，侧重考查函数解析式、面积最值、特殊位置时的自变量或因变量的值。 押题理由：此类题型能综合数形结合、分类讨论、函数与方程核心思想，区分度高，符合中考选拔要求。 押题依据：近三年天津中考第25题连续考查几何动点与二次函数表达式，命题风格稳定。 押题秘笈：表达出面积（y）与运动时间（t）的函数表达式，依托函数解析式构建方程。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津·一模 ）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 2．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 3．（2026·天津·一模）小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：输入x的值为时，输出y的值为1， ， 解得， 输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6， ， 解得， 故①正确； 画出函数图象，如下： 当时，， 所以当时，这个复杂函数y随x的增大而减小，故②错误； 如图，函数的顶点为， 所以小明设计的函数与直线有两个公共点，则； 故③错误； 令，解得， 令，解得，（舍去）， 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在或处取到，都为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值和最大值都由决定，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 综上，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是或，故④错误； 所以小华的说法中正确的个数是1个． 押题猜想六 一次函数的应用——图象信息问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考常将其置于解答题，多结合行程、费用等实际情境，侧重分段函数图像信息提取，数形结合考查力度逐年加大。 押题理由：近三年真题高频考查，是中考核心必考题型，难度属于中档问题，区分度适中。 押题依据：贴合天津中考命题规律，紧扣课标实际应用要求。 押题秘笈：找准图像拐点、交点坐标，理清分段区间，利用待定系数法求解析式，结合实际意义精准作答。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【难度】0.65 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 2．（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析；②20或65；③； (2)能，追上时兄妹俩离公园还有． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 2分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 52分钟时，小华离家的距离为； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中：， 小华从公园返回的过程中：， 综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店； 妹妹在书店停留15，离开书店的时间：． 哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了， 距离为． 设妹妹离开书店后经过追上哥哥： 解得， 此时总时间为， 小于哥哥到达公园的30，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有． 3．（2026·天津南开·一模）已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)54，540，180； (2)①360；②60；③当时，；当时，；当时， (3) 【难度】0.5 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：小明从家到公园的速度为， ∴当时，； 当时，小明在公园休息，距离不变，； 当时，小明在便利店停留，距离为； ∴填写表格如下， 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 （2）解：①便利店到公园的距离为； ②小明从便利店返回家的速度为； ③当时，； 当时，； 当时，； （3）解：妈妈的分段函数： 去公园，； 回家，； 小明的分段函数： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 1、：，即，无解； 2、：，得，无解； 3、：，得，无解； 4、：，得； 5、：，得； 6、：，得，无解； 综上，x的取值范围为． 4．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4；2.8；2.5 (2)①当时，,当时,；② (3)； 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 押题猜想七 压轴——二次函数的图象性质与图形综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【典型题】已知抛物线（b，c为常数，）． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：当，时，抛物线解析式为， 则抛物线顶点P的坐标为； （2）解：①将点代入抛物线得：， ， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为， 点和点B为抛物线与x轴两个交点， ， ， ， 令得：， ， 、， ， ， 解得；或， ， 的值为； ②将点代入抛物线得： ， ， 由①知，抛物线的对称轴为， 垂直于对称轴， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， 、， 轴与轴互相垂直， 轴垂直平分， ， 将点向左平移个单位长度得到，连接、，即， 垂直于对称轴、， 垂直于对称轴、， 、， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，即， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考必考压轴（第25题），稳定占10-12分，近年强化二次函数+几何综合（相似、特殊四边形、最值），侧重数形结合与动态探究。 押题理由：核心区分题型，衔接高中，新课标强调综合与建模，近5年连续考查，2026年大概率延续。 押题依据：近4年真题聚焦解析式、顶点、面积最值、存在性问题；模考高频铅垂线段、化斜为直等模型。 押题秘笈：熟练三种解析式；掌握铅垂法求面积；分类讨论等腰/直角三角形、平行四边形；强化数形结合与转化思想。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在一点H，使的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为，的最小值为 【详解】（1）解：∵（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点， ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：令，即， 解得或， ∴点坐标为， ∵线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上， ∴为直角等腰三角形， 如图，设对称轴与轴交于点，设，， ∴， 当点在轴下方时， ∵为直角等腰三角形， ∴， ∴, ∴， ∵点在轴下方时， ∴， ∴； 当点在轴上方时，过点作对称轴，垂足为点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵点B的对应点Q恰好落在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， 故， ∴综上，点的坐标为或 ． （3）解：如图，过点作射线，使，过点作垂足为， ∵，， ∴为直角等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取到最小值， ∵抛物线解析式为， ∴时，， 故点坐标为， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， 代入得， 解得， ∴解析式为， 又∵H在线段上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 此时，，， ∴此时的值最小为：． 2．（2026·天津·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； （3）解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又∵， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 3．（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1)①② (2) 【详解】（1）解：①依题意，抛物线与y轴相交于点C， ∴， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，点D落在该抛物线上， ∴， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ②由①得，，， ∴， 连接，与y轴相交于点，如图所示： 当时，则， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，代入， 得， 解得， ∴， 依题意得， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得，， ∵抛物线上的点E的横坐标为m，且， ∴， 故把代入，得， 即； （2）解：∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点， ∴， ∴， 令，则， 解得； ∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C， ∴，， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D， ∴射线的解析式为 过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，， ∵轴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵的最小值为 ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴，（舍去） 4．（2026·天津河北·一模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，． (1)若，，求抛物线顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． ①当时，求点的坐标与拋物线的解析式； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴抛物线为， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴， ∴， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为，抛物线的解析式为； ②由①可知，，， ∵， ∴， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为或， 如图， ∵抛物线过点，图象开口向上， ∴点在抛物线内部， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴直线与抛物线在第一象限只有一个交点， ∴点在点的右侧，即点的坐标为， 将点代入，得： ， 整理，得， ∵， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴． 5．（2026·天津河东·一模）已知抛物线（，，为常数，，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线顶点的坐标为 (2)①点的坐标为；②点的坐标为 【详解】（1）解：，，， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：①点在抛物线上， ，即， 又，点， ，，， 抛物线解析式为， 如图，点在第二象限，过点作轴于点， ， ， ， ， ，又， ， ，， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得，， 解得，， ， ，不合题意，舍去， ， 点的坐标为； ②点和点为抛物线与轴的两个交点， ，，解得，， 点为抛物线与轴的交点， ， ， 点在线段上，且， ， 根据题意，点与点关于直线对称，点与点G关于轴对称， 则， ∵取得最小值为， ∴， 点在直线上，为等边三角形， ∴，，， ∴， ， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 点的坐标为． 押题猜想八 根据旋转三角形的性质判断边角关系 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质知，， ， 故A正确； 过点B作于点H，作于点G， ， ， 、， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 故C正确； 、， ， 在四边形中，， ， ， 故D正确； 若，则或， ， ， 当时，旋转角或， ，不一定为或， 不一定平行于， 故B不一定正确． 分析有理·押题有据 考点趋势：该考点为天津中考选择高频中档（压轴）题，常考查旋转三角形边角等量关系，结合手拉手模型综合设问，难度逐年稳步提升。 押题依据：近五年真题连续考查，紧扣课标几何变换核心要求。 押题理由：侧重考查几何直观与推理能力，是中考素养命题热点。 押题秘笈：紧抓旋转全等不变性，锁定对应边、对应角及旋转角快速解题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，， ∴，， ∴． 2．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵ ∴，故D错误． 3．（2026·天津西青·一模）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，，故A错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即，故C正确； 由题干可知点E是正方形中边上任意一点，所以不一定有，，故B、D错误． 4．（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 5．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 押题猜想九 根据尺规作图痕迹判断边角关系 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 考点趋势：天津中考选择第10题稳定考查，高频为角平分线、垂直平分线、作等角，侧重痕迹判边角关系，难度中档。 押题理由：近5年必考，2024-2025新增作等角，重几何直观与推理。 押题依据：紧扣课标，融合全等/等腰性质，是基础到综合的关键题型。 秘笈：记作图痕迹→联性质→推边角；练三类作图，抓“等距/等角”核心。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·天津·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点，连接并延长交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确，A，C，D 错误． 3．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， 由作图可知，， 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 过点作轴， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 设的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ． 4．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【详解】解：由题意可得：，， ． 5．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：假设，则， 由作图可知， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定成立，故选项A不符合题意； 假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意； ∵在中，， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴，故选项C一定正确，符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵长度可变， ∴的度数会变化， ∴不成立，故选项D不符合题意． 6．（2026·天津河东·一模）如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，， ，， 设，则， （负值舍去），未给出具体边长，无法判断，选项A错误； ， ，选项B错误； ，选项C错误； ， ． 押题猜想十 四边形与三角形综合—辅助线构造Rt△求线段长 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，菱形与正方形边长均为5，连接交于点O．．点M，N分别为的中点，连接． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵点N为的中点， ∴； （2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，再延长交于点， 则四边形为矩形， ∴ ∵四边形是正方形，点M为的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴． 分析有理·押题有据 考点趋势：天津中考填空17题高频以特殊四边形为背景，结合三角形、折叠/旋转，核心是作高构造Rt△，用勾股定理求线段长，近三年考频超80%，2026年仍为热点。 押题理由：此考点为天津填空压轴必出模型，区分度强，能综合考查图形性质、辅助线构造与方程思想，符合“基础综合+能力立意”命题导向。 押题依据：2022–2025年17题均涉及四边形+三角形综合，80%需构造Rt△；模拟题高频复刻，契合新课标几何综合要求。 秘笈：1. 见四边形（矩形/菱形）+求线段，优先作垂线造Rt△； 2. 遇中点/折叠，连中线或对称点，转化为斜边中线/全等； 3. 设未知线段，用勾股定理列方程求解。从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津西青·一模）如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 【答案】 4 【详解】解：①∵，E为边中点， ∴， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴； ②连接， ∵， ∴O为中点， 由①得E为中点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵F是线段中点， ∴， ∴． 2．（2026·天津南开·一模）如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴； （Ⅱ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴，， 如图，作于点， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可得， ∴的周长为． 3．（2026·天津北辰·一模）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，，，． （1）线段的长为____； （2）F为的中点，E为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 4 【详解】解：①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②找中点，连接，过点作垂足为点， ∵E为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴， ∴在直角三角形中，． 4．（2026·天津河西·一模）如图，在四边形中，，点在边上，，，，连接，且．点在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 【答案】3.6 【详解】解：延长和，交于点G，过点D作，于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 设，则， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴． 5．（2026·天津东丽·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 【答案】 2 【详解】解：过点F作与点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，． 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点． （1）线段的长为______； （2）点在边上，，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：（）∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为； （）如图，取中点，连接， ∵为的中点， ∴为中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 押题猜想十一 利用圆的性质作图和计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，以点O为圆心作圆，经过点A，且与网格线交于点C． (1)的半径等于 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点M，N，P，使得为的切线，且．请简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)作图见解析 【详解】（1）解：OA． 故答案为：； （2）解：图形如图所示，先作正方形，与交于点M，N，则点M，N即为所求作，连接交于点D，连接交于点P，则点P即为所求作． 分析有理·押题有据 考点趋势：填空压轴（18题）稳定考查网格无刻度直尺作图，常结合圆（切线、直径、圆心）；圆计算集中在弧长、扇形面积、切线性质，中档高频。 押题理由：近4年必考，作图重逻辑、圆计算重公式应用，区分度高。 押题依据：新课标强化几何直观与推理；天津真题“网格作图+圆”已成特色范式。 秘笈：作图抓切线→直径→圆心逻辑；圆计算熟公式、记“切线连半径垂直”辅助线法。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 【答案】 2 见解析 【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接， 点,C,D均在格点上， , , 是的垂直平分线 ， 又, ． 故答案为：2； （Ⅱ）1：确定圆心 作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心； 2：作圆的切线 延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线； 3：确定点 射线交直线于一点，则此点即为所求作的点． 故答案为：作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 2．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 画图见详解；取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 【详解】解：（1）； （2）如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 3．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 图见解析，取圆与网格线的交点，连接相交于点；取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点；连接并延长，与圆分别相交于点；连接相交于点，则点即为所求 【详解】解：（I）； （II）如图， 取圆与网格线的交点，连接相交于点，即为圆心； 取圆与网格线的交点，连接，，分别与网格线相交于点，如图所示，取格点矩形，，连接，分别与交于点，连接并延长，与圆分别相交于点， ∴点是弦的中点， ∴； 连接相交于点，如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则点即为所求． 押题猜想十二 构造Rt△并应用锐角三角函数值测距 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】58米 【详解】解：由题意得，，，， 设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 又， 解得； ； 答：桥塔塔顶到水面的距离约为58米． 分析有理·押题有据 考点趋势：构造Rt△结合锐角三角函数测距是天津中考解答题高频考点，命题稳中求变，常以仰角、俯角测距为背景，逐步升级为双直角三角形综合模型。 押题依据：近三年天津真题连续考查实际测量建模，贴合课标数学应用要求。 押题理由：侧重考查数学建模与运算能力，难度适中，属于中考必考中档题型。 秘笈：熟练掌握构造直角三角形技巧，利用特殊角三角函数列方程求解，规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 2．（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则根据题意可知，，，，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度为． 3．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】小山的高度约为． 【详解】解：连接并延长，与相交于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由题意得：， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，， ∵设， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 答：小山的高度约为． 押题猜想十三 圆综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 考点趋势：稳定考查垂径定理、圆周角、切线性质，常结合相似、勾股、三角函数；2026年或强化隐圆、旋转/翻折综合与尺规作图融合。 押题理由：近5年高频考点重复率高，切线+圆内计算为必出组合，难度稳定（中档偏上）。 押题依据：真题聚焦“弧弦角关系+切线证明+线段长计算”，贴合新课标几何综合要求。 秘笈：辅助线口诀“见直径连直角，见切线连半径，遇弦作弦心距”；前两问稳拿分，第三问用相似/勾股建模，步骤规范不丢分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的切线，是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， 在中，． 2．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：为的直径， ． ，， ． ． ． ． （2）解：如图，连接，． 与相切， ，即． 为的直径，， ，， ． 为等边三角形． ． ，． ， ． ． ． ， ． 在中，． 3．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，；(2)；． 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 4．（2026·天津·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵，分别与相切于点B，D， ∴，，即， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 押题猜想十四 根据统计图读取信息解决问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【典型题】某学校开展了读书活动，涉及文学、科学、体育、艺术等分类，随机调查了一部分学生喜爱阅读的书籍类别的个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为________，图①中m的值为________； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有2000名学生，试估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为多少？ 【答案】(1)16，12.5 (2)平均数为2.125，众数为2，中位数为2 (3)估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ， ∴； （2）解：， ∴这组数据的平均数为； ∵在这组数据中，2出现了6次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2； ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数为2和2，有， ∴这组数据的中位数为2； （3）解：在所抽取的样本中，该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数占， 估计该校2000名学生中，学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数有． 答：估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为625． 分析有理·押题有据 考点趋势：常结合条形、扇形统计图综合考查，侧重数据读取、补全图表、统计量计算及用样本估计总体。 押题理由：近三年为中考固定基础解答题，命题规律稳定。 押题依据：契合课标数据素养考查要求，贴合天津中考命题风格。 秘笈：理清图表关联，准确计算总数与占比，规范书写统计分析步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）为了响应“书香校园”建设活动，鼓励学生多读书，读好书，某校九年级开展了一次课外阅读时间调查．学校随机抽查了该校九年级a名学生，统计他们每周课外阅读时间（单位：h），并根据调查的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为________，图①中的m值为________，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校九年级共有学生400名，估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为多少？ 【答案】(1)50，24，3，3 (2)统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数为2.88 (3)估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为248人 【详解】（1）解：由条形统计图可知，（人）， ∴， 在统计的这组学生每周课外阅读的时间数据中，共有50人，其中第25、26个人均为， ∴中位数为， 在统计的这组学生每周课外阅读的时间数据中，的人数最多，为16人， ∴众数为3． （2）解：观察条形统计图可知，这组每周阅读时间数据的平均数为， ∴统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数为2.88． （3）解：该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数（人）， ∴估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为248人． 2．（2026·天津南开·一模）某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； (2)求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； (3)若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 【答案】(1)20，35，1，2 (2)2 (3)估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 【详解】（1）解：∵， ； ∵， ∴； 进球数量为1个的人数最多，则定点投篮进球数量数据的众数为1个； 定点投篮进球数量数据的中位数是从小到大排列的第10和11个数， ∴中位数分别是； （2）解：， 这组数据的平均数为2； （3）解：样本中女同学定点投篮进球数量不小于3个的人数为：（人）， ∴， 答：估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为人． 3．（2026·天津河西·一模）某社区为了调查社区居民的用水量情况，随机调查了该社区部分家庭一年的月均用水量（单位：）．根据调查结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的家庭个数为________，图中的值为________；众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组月均用水量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有个家庭，请你估计一下该社区这一年中月均用水量为的家庭约为多少？ 【答案】(1)，；， (2)； (3)． 【详解】（1）解：本次接受调查的家庭个数为（个） ∵， ∴， ∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， 按照月均用水量从小到大的顺序排列，位于中间的两个数都是， ∴中位数为， 故答案为：，，，． （2）解：观察条形统计图， ∵， ∴这组数据的平均数是． （3）解：∵在所抽取的样本中，该社区这一年中月均用水量为的家庭占，有（个）， ∴根据样本数据，估计若该社区3000个家庭中这一年月均用水量为的家庭约为个． 押题猜想十五 几何动点—图形变换与函数的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【典型题】在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：轴， ， ， ，， ， ∵，， ， 在中，， ； （2）解：①当时， 在中，，，，， ，， 根据题意得，和关于直线对称， 则，有，且当时，重叠图形为四边形， 在中，，，，， ，， 记与交于点D，过B点向引垂线，垂足为E，如图，    在中，，， ， ∴， ，， ∴， ∴，其中，； ②当时，，， 则； 同理，当时，； 当时，，此时抛物线开口向下，对称轴为， ∵， ∴时S的值大于，时，S取得最大值，最大值为， 综上，当时，S的取值范围为． 分析有理·押题有据 考点趋势：稳居第24题（10分），以坐标系为载体，矩形/正方形为背景，折叠、平移、旋转交替考查，强化数形结合、分类讨论、最值建模。 押题理由：属于中档偏难问题，区分度高，契合新课标核心素养，近年稳定“变换+函数”递进设问 。 押题依据：近6年平移与折叠交替，偶数年重折叠，2026年或折叠+二次函数最值融合。 秘笈：化动为静抓不变量，建坐标函数关系，分阶段求解析式，重点练折叠对称、平移分段、旋转全等模型 。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在平面直角坐标系中，梯形的位置如图所示．，，点在轴正半轴上，，，． (1)填空：如图①，的长为______，点的坐标为______． (2)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线将梯形折叠，折叠后点的对应点落在轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边交于点，当折叠后四边形与梯形的重叠部分为五边形时，与交于点．试用含的式子表示出线段的长，并直接写出的取值范围． ②设折叠后重叠部分的面积是，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)1； (2)①，；②当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴，点的坐标为； （2）解：①如图， ，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 由题意得， 解得； ②当时， 在中，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值； 当时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值； 综上，当时，的取值范围为． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【详解】（1）解：作轴于点， ∵等边的顶点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：①由（1）得，， 又∵， ∴， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为直角三角形， 在中，，且， ∴，即， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， 由（1）可知， ∴； 当点与重合时，与重叠部分不是五边形，此时； 当点恰好在上时，与重叠部分不是五边形，如图， ，， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，如图， 过作于， 同理可得：,轴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，重叠部分为五边形，如图， 由①得，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，中，， ∴， 由题意得是等边三角形，且边长为， ∴底边上的高为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 当时，如图，记与的交点为， ， ∴， ∴当时，S的取值范围为． 3．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 3．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 4．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且，， ∴，， ∴； 如图，连接，交于点K， ∵四边形是菱形，且，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ②当时，， 由可知，当时，， 当时，如图，设，分别交于点T，S，交于点R， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最小值， ∴S的取值范围是． 5．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【详解】（1）解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵的顶点， ∴， ∵，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； （2）解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 列一次方程——古代问题 1 押题猜想二 根据一次函数的性质求参数 2 押题猜想三 根据反比例函数的增减性比较大小 3 押题猜想四 二次函数与实际问题——列函数解析式解决问题 4 押题猜想五 利用二次函数解几何动点问题 6 押题猜想六 一次函数的应用——图象信息问题 9 押题猜想七 压轴——二次函数的图象性质与图形综合 12 押题猜想八 根据旋转三角形的性质判断边角关系 15 押题猜想九 根据尺规作图痕迹判断边角关系 17 押题猜想十 四边形与三角形综合—辅助线构造Rt△求线段长 19 押题猜想十一 利用圆的性质作图和计算 22 押题猜想十二 构造Rt△并应用锐角三角函数值测距 24 押题猜想十三 圆综合 26 押题猜想十四 根据统计图读取信息解决问题 28 押题猜想十五 几何动点—图形变换与函数的综合应用 30 押题猜想一 列一次方程——古代问题 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少?设有x人，物品的价格为y钱，可列方程（组）为（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 考点趋势：从近五年的中考情况来看，本部分多以选择题基础题呈现，常选取《九章算术》《算学启蒙》等古籍素材，考查一元一次方程建模，侧重盈亏、行程类古算题型。 押题依据：近年真题连续融入传统文化，是素养考查高频方向。 押题理由：贴合中考立德树人命题导向。 押题秘笈：找准等量关系，将古文题意转化为现代数学等式列式求解。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河东·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为人，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·一模）《九章算术》被尊为“算经之首”，其中有一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”意思是：甲从长安出发，5天到齐国；乙从齐国出发，7天到长安．现乙先出发2天，甲才从长安出发，问甲经过几天可以与乙相遇．设甲经过x天可以与乙相遇，则可以列出的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·一模）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每人同乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 押题猜想二 根据一次函数的性质求参数 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 分析有理·押题有据 考点趋势：从近五年的中考情况来看，本部分多以选择、填空题基础题呈现，侧重结合增减性、图象过象限求参数范围。 押题依据：贴合天津考纲，近三年真题连续涉及此类题型。 押题理由：历年必考，衔接初高中知识，命题稳定性强。 押题秘笈：熟记k、b取值与图象性质关系，巧用不等式快速求解，规避取值遗漏陷阱。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 2．（2026·天津河北·一模）已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 3．（2026·天津南开·一模）将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 4．（2026·天津和平·一模）若直线向下平移个单位长度后经过点，则的值为______． 押题猜想三 根据反比例函数的增减性比较大小 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】（2026·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 考点趋势：本部分常以选择题形式考查，难度属于中档偏低问 题，近年持续稳定出题，侧重结合象限分布与增减性比较函数值。 押题理由：属于函数基础核心考点，是中考必考题。 押题依据：历年天津真题高频考查，契合考纲基础要求。 押题秘笈：先判k定象限，牢记增减性，跨象限点优先根据正负直接比较。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2 ．（2026·天津河东·一模）若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津东丽·模拟预测）已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 押题猜想四 二次函数与实际问题——列函数解析式解决问题 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行 的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 分析有理·押题有据 考点趋势：本部分内容属于中档题，近三年考查比较稳定，聚焦列解析式+最值，贴近生活（面积、抛物线模型等），跨学科融合（易与物理的小球运动实验结合）。 押题理由：体现核心素养导向，是中考必考中档点，区分度强。 押题依据：课标强调模型思想，天津真题2023-2025连续考查此类应用。 押题秘笈：抓变量关系列式，定定义域，用顶点/对称轴求最值，注意实际意义 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为；水管的长度为；水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 3．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，表示球与点M之间的水平距离，表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为，“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到，则点A，B之间的距离是（      ） A．20 B．10 C． D． 押题猜想五 利用二次函数解几何动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【典型题】四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考，常将二次函数与几何动点结合作为选择题的压轴高频考点，侧重考查函数解析式、面积最值、特殊位置时的自变量或因变量的值。 押题理由：此类题型能综合数形结合、分类讨论、函数与方程核心思想，区分度高，符合中考选拔要求。 押题依据：近三年天津中考第25题连续考查几何动点与二次函数表达式，命题风格稳定。 押题秘笈：表达出面积（y）与运动时间（t）的函数表达式，依托函数解析式构建方程。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津·一模 ）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·天津·一模）小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 押题猜想六 一次函数的应用——图象信息问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考常将其置于解答题，多结合行程、费用等实际情境，侧重分段函数图像信息提取，数形结合考查力度逐年加大。 押题理由：近三年真题高频考查，是中考核心必考题型，难度属于中档问题，区分度适中。 押题依据：贴合天津中考命题规律，紧扣课标实际应用要求。 押题秘笈：找准图像拐点、交点坐标，理清分段区间，利用待定系数法求解析式，结合实际意义精准作答。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 3．（2026·天津南开·一模）已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 押题猜想七 压轴——二次函数的图象性质与图形综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【典型题】已知抛物线（b，c为常数，）． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 分析有理·押题有据 考点趋势：近几年中考必考压轴（第25题），稳定占10-12分，近年强化二次函数+几何综合（相似、特殊四边形、最值），侧重数形结合与动态探究。 押题理由：核心区分题型，衔接高中，新课标强调综合与建模，近5年连续考查，2026年大概率延续。 押题依据：近4年真题聚焦解析式、顶点、面积最值、存在性问题；模考高频铅垂线段、化斜为直等模型。 押题秘笈：熟练三种解析式；掌握铅垂法求面积；分类讨论等腰/直角三角形、平行四边形；强化数形结合与转化思想。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在一点H，使的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·天津·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 3．（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 4．（2026·天津河北·一模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，． (1)若，，求抛物线顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． ①当时，求点的坐标与拋物线的解析式； ②当时，求的值． 5．（2026·天津河东·一模）已知抛物线（，，为常数，，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标． 押题猜想八 根据旋转三角形的性质判断边角关系 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】如图，中，，，将绕点B逆时针旋转，得到，旋转角为．点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，延长交边于点F，连接，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 考点趋势：该考点为天津中考选择高频中档（压轴）题，常考查旋转三角形边角等量关系，结合手拉手模型综合设问，难度逐年稳步提升。 押题依据：近五年真题连续考查，紧扣课标几何变换核心要求。 押题理由：侧重考查几何直观与推理能力，是中考素养命题热点。 押题秘笈：紧抓旋转全等不变性，锁定对应边、对应角及旋转角快速解题。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津西青·一模）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 5．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 押题猜想九 根据尺规作图痕迹判断边角关系 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【典型题】如图，在中，，，点D在边上，以点C为圆心，小于线段长为半径画弧，分别交线段，于点E，F，连接；以点D为圆心，线段长为半径画弧，交线段于点G；以点G为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段长为半径所画弧于点H，作射线交于点I，则的大小为（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 考点趋势：天津中考选择第10题稳定考查，高频为角平分线、垂直平分线、作等角，侧重痕迹判边角关系，难度中档。 押题理由：近5年必考，2024-2025新增作等角，重几何直观与推理。 押题依据：紧扣课标，融合全等/等腰性质，是基础到综合的关键题型。 秘笈：记作图痕迹→联性质→推边角；练三类作图，抓“等距/等角”核心。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津北辰·一模）如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点，连接并延长交于点．下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 5．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河东·一模）如图，中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，与以点为圆心，的长为半径的弧交于点；连接并延长交延长线于点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 押题猜想十 四边形与三角形综合—辅助线构造Rt△求线段长 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，菱形与正方形边长均为5，连接交于点O．．点M，N分别为的中点，连接． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________． 分析有理·押题有据 考点趋势：天津中考填空17题高频以特殊四边形为背景，结合三角形、折叠/旋转，核心是作高构造Rt△，用勾股定理求线段长，近三年考频超80%，2026年仍为热点。 押题理由：此考点为天津填空压轴必出模型，区分度强，能综合考查图形性质、辅助线构造与方程思想，符合“基础综合+能力立意”命题导向。 押题依据：2022–2025年17题均涉及四边形+三角形综合，80%需构造Rt△；模拟题高频复刻，契合新课标几何综合要求。 秘笈：1. 见四边形（矩形/菱形）+求线段，优先作垂线造Rt△； 2. 遇中点/折叠，连中线或对称点，转化为斜边中线/全等； 3. 设未知线段，用勾股定理列方程求解。从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津西青·一模）如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 2．（2026·天津南开·一模）如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 3．（2026·天津北辰·一模）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，，，，． （1）线段的长为____； （2）F为的中点，E为的中点，则线段的长为_____． 4．（2026·天津河西·一模）如图，在四边形中，，点在边上，，，，连接，且．点在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 5．（2026·天津东丽·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 6．（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点． （1）线段的长为______； （2）点在边上，，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______． 押题猜想十一 利用圆的性质作图和计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【典型题】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，以点O为圆心作圆，经过点A，且与网格线交于点C． (1)的半径等于 ； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点M，N，P，使得为的切线，且．请简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明）． 分析有理·押题有据 考点趋势：填空压轴（18题）稳定考查网格无刻度直尺作图，常结合圆（切线、直径、圆心）；圆计算集中在弧长、扇形面积、切线性质，中档高频。 押题理由：近4年必考，作图重逻辑、圆计算重公式应用，区分度高。 押题依据：新课标强化几何直观与推理；天津真题“网格作图+圆”已成特色范式。 秘笈：作图抓切线→直径→圆心逻辑；圆计算熟公式、记“切线连半径垂直”辅助线法。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 2．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 3．（2025·天津红桥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点均在格点上，且． （I）线段的长等于_____； （II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 押题猜想十二 构造Rt△并应用锐角三角函数值测距 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 分析有理·押题有据 考点趋势：构造Rt△结合锐角三角函数测距是天津中考解答题高频考点，命题稳中求变，常以仰角、俯角测距为背景，逐步升级为双直角三角形综合模型。 押题依据：近三年天津真题连续考查实际测量建模，贴合课标数学应用要求。 押题理由：侧重考查数学建模与运算能力，难度适中，属于中考必考中档题型。 秘笈：熟练掌握构造直角三角形技巧，利用特殊角三角函数列方程求解，规范解题步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 2．（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 3．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 押题猜想十三 圆综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【典型题】已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 分析有理·押题有据 考点趋势：稳定考查垂径定理、圆周角、切线性质，常结合相似、勾股、三角函数；2026年或强化隐圆、旋转/翻折综合与尺规作图融合。 押题理由：近5年高频考点重复率高，切线+圆内计算为必出组合，难度稳定（中档偏上）。 押题依据：真题聚焦“弧弦角关系+切线证明+线段长计算”，贴合新课标几何综合要求。 秘笈：辅助线口诀“见直径连直角，见切线连半径，遇弦作弦心距”；前两问稳拿分，第三问用相似/勾股建模，步骤规范不丢分。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 2．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 3．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 4．（2026·天津·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 押题猜想十四 根据统计图读取信息解决问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【典型题】某学校开展了读书活动，涉及文学、科学、体育、艺术等分类，随机调查了一部分学生喜爱阅读的书籍类别的个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为________，图①中m的值为________； (2)求本次抽测的这组数据的平均数、众数、中位数； (3)若该校有2000名学生，试估计该校学生喜爱阅读的书籍类别的个数大于2的人数约为多少？ 分析有理·押题有据 考点趋势：常结合条形、扇形统计图综合考查，侧重数据读取、补全图表、统计量计算及用样本估计总体。 押题理由：近三年为中考固定基础解答题，命题规律稳定。 押题依据：契合课标数据素养考查要求，贴合天津中考命题风格。 秘笈：理清图表关联，准确计算总数与占比，规范书写统计分析步骤。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·一模）为了响应“书香校园”建设活动，鼓励学生多读书，读好书，某校九年级开展了一次课外阅读时间调查．学校随机抽查了该校九年级a名学生，统计他们每周课外阅读时间（单位：h），并根据调查的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为________，图①中的m值为________，统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每周课外阅读的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校九年级共有学生400名，估计该校九年级学生每周课外阅读的时间大于的人数约为多少？ 2．（2026·天津南开·一模）某中学为了解本校女同学定点投篮水平，从该校女生中随机抽取a名女同学进行测试，每人定点投篮五次．根据进球统计的数据结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的众数和中位数分别是______和______； (2)求统计的这组女同学定点投篮进球数量数据的平均数； (3)若女同学定点投篮五次进球数量不小于3个为“优秀”，该校共有2000名女同学，请估计该校女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为多少？ 3．（2026·天津河西·一模）某社区为了调查社区居民的用水量情况，随机调查了该社区部分家庭一年的月均用水量（单位：）．根据调查结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的家庭个数为________，图中的值为________；众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组月均用水量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该社区共有个家庭，请你估计一下该社区这一年中月均用水量为的家庭约为多少？ 押题猜想十五 几何动点—图形变换与函数的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【典型题】在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 分析有理·押题有据 考点趋势：稳居第24题（10分），以坐标系为载体，矩形/正方形为背景，折叠、平移、旋转交替考查，强化数形结合、分类讨论、最值建模。 押题理由：属于中档偏难问题，区分度高，契合新课标核心素养，近年稳定“变换+函数”递进设问 。 押题依据：近6年平移与折叠交替，偶数年重折叠，2026年或折叠+二次函数最值融合。 秘笈：化动为静抓不变量，建坐标函数关系，分阶段求解析式，重点练折叠对称、平移分段、旋转全等模型 。 终极猜想·精练通关 1．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在平面直角坐标系中，梯形的位置如图所示．，，点在轴正半轴上，，，． (1)填空：如图①，的长为______，点的坐标为______． (2)若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线将梯形折叠，折叠后点的对应点落在轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边交于点，当折叠后四边形与梯形的重叠部分为五边形时，与交于点．试用含的式子表示出线段的长，并直接写出的取值范围． ②设折叠后重叠部分的面积是，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 3．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 5．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $