专题13：数的运算（期末专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 聚焦数的运算全维度能力，构建“基础运算-混合简算-问题解决”三阶体系，提炼四大解题方法，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|口算/竖式各5练|整数/小数/分数运算法则，凑整/小数点对齐技巧|从单一运算到多位数/小数/分数竖式，形成运算技能链| |混合运算及简算|8组梯度练习|运算顺序+5大定律（含逆用），去括号变号规则|以定律为核心，实现从步骤计算到简算策略的提升| |解决问题|4类方法各5例|画图（线段图直观量率）、列表（有序枚举筛选）、转化（复杂→简单）、假设（鸡兔同笼公式模型）|从直观表征到逻辑推理，构建问题解决方法体系|

专题13：数的运算（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、口算 1 考点二、竖式计算 2 考点三、四则混合运算及简算 3 考点四、用画图法解决问题 4 考点五、用列表法解决问题 4 考点六、用转化法解决问题 5 考点七、用假设法解决问题 6 例题讲解 7 题型一、口算 7 题型二、竖式计算 7 题型三、四则混合运算及简算 9 题型四、用画图法解决问题 12 题型五、用列表法解决问题 14 题型六、用转化法解决问题 16 题型七、用假设法解决问题 17 专项训练 18 练习一、口算 18 练习二、竖式计算 20 练习三、四则混合运算及简算 23 练习四、用画图法解决问题 39 练习五、用列表法解决问题 44 练习六、用转化法解决问题 50 练习七、用假设法解决问题 54 考点梳理 考点一、口算 1. 整数加减法 (1)法则：相同数位对齐，从低位算起。 (2)进位与退位：加法满十进一，减法不够减向前一位借一当十。 (3)技巧：凑整法（如 看作 ）。 2. 小数加减法 (1)核心：小数点对齐（即相同数位对齐）。 (2)注意：得数的小数部分末尾有0，一般要去掉（化简）。 (3)易错：整数减小数时，整数的小数点在个位右下角，需补0占位后再减。 例： （看作 ）。 3. 分数加减法 (1)同分母：分母不变，分子相加减。 (2)异分母：先通分，化成同分母分数，再按同分母法则计算。 (3)结果：必须化成最简分数。 4. 乘除法口算 (1)整数乘法：利用乘法口诀，注意末尾0的个数（因数末尾共有几个0，积的末尾就添几个0）。 (2)小数乘法：先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 (3)分数乘法：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母；能约分的先约分再计算。 (4)分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 考点二、竖式计算 1. 整数乘除法 (1)多位数乘两位数：用第二个因数的每一位去乘第一个因数，哪一位乘得的积，末位就和那一位对齐，最后把两次乘得的积相加。 (2)除数是两位数的除法： ①　从被除数的高位除起，先看前两位；如果前两位比除数小，就看前三位。 ②　除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面。 ③　每次除后余下的数必须比除数小。 2. 小数乘除法 (1)小数乘法竖式： ①　末位对齐（不需要小数点对齐）。 ②　计算出整数积后，根据因数小数位数总和点小数点。 ③　若位数不够，用0补足。 (2)小数除法竖式： ①　除数是整数：商的小数点要和被除数的小数点对齐。 ②　除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够补0）；然后按除数是整数的除法计算。 3. 分数乘除法 (1)通常不列传统竖式，而是采用横式约分的方法。 (2)步骤： ①　除法变乘法（乘倒数）。 ②　分子和分母之间交叉约分（找最大公因数）。 ③　分子乘分子，分母乘分母。 ④　检查结果是否为最简分数。 考点三、四则混合运算及简算 1. 运算顺序 (1)同级运算：从左往右依次计算（如只有加减，或只有乘除）。 (2)两级运算：先算乘除，后算加减。 (3)有括号：先算小括号 () 里面的，再算中括号 [] 里面的，最后算括号外面的。 2. 运算定律与性质（简算核心） （1）加法 ①　交换律： ②　结合律： ③　应用：凑整（如 ）。 （2）乘法 ①　交换律： ②　结合律： ③　分配律： ④　常见凑整组合：；； （3）减法性质 ①　 ②　应用：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 （4）除法性质 ①　 ②　应用：连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 3. 简算易错点 ①　乘法分配律逆用： 。注意提取公因数后，不要漏掉隐含的“1”。 例： 。 ②　去括号变号：括号前是减号或除号，去掉括号后，括号内的运算符号要改变（减变加，除变乘）。 考点四、用画图法解决问题 1. 线段图 (1)适用场景：分数、百分数应用题，倍数关系，相差关系。 (2)画法要点： ①　先画单位“1”的量（标准量）。 ②　再画比较量，注意长度比例要与分率对应。 ③　标注已知条件和所求问题。 (3)作用：直观展示数量间的倍比关系，帮助确定是用乘法还是除法。 2. 示意图/面积图 (1)适用场景：行程问题（相遇、追及），长方形面积变化，植树问题。 (2)画法要点： ①　行程问题：画出路线图，标出起点、终点、相遇点、方向、速度。 ②　几何问题：画出图形变化前后的状态，标注边长变化。 3. 解题步骤 (1)读题：理解题意，找出关键信息。 (2)画图：根据题意画出相应的图形。 (3)分析：在图中寻找数量关系。 (4)列式：根据图形反映的关系列出算式。 考点五、用列表法解决问题 1. 适用场景 (1)信息量大、条件复杂、需要整理归类的问题。 (2)搭配问题、逻辑推理问题、周期性规律问题。 2. 列表策略 (1)枚举法：将所有可能的情况一一列出，不重复、不遗漏。 (2)筛选法：在列表中根据限制条件剔除不符合的情况。 3. 操作步骤 (1)设计表格：确定表头（如：名称、数量、单价、总价等）。 (2)有序列举：按照一定的顺序（如从大到小、从少到多）填入数据。 (3)计算验证：对每一行数据进行计算，看是否符合题目要求。 (4)得出结论：找到符合所有条件的答案。 4. 注意事项 (1)列举时要有序，避免混乱。 (2)对于“至少”、“最多”等问题，列表法能有效防止漏解。 考点六、用转化法解决问题 1. 核心思想 (1)将陌生的问题转化为熟悉的问题。 (2)将复杂的问题转化为简单的问题。 (3)将未知的问题转化为已知的问题。 2. 常见转化类型 （1）图形面积的转化 ①　不规则图形 规则图形：通过平移、旋转、割补，将不规则图形转化为长方形、正方形或三角形。 ②　例子：求阴影部分面积，常通过“总面积 - 空白面积”或“割补拼合”来转化。 （2）分数/百分数应用的转化 ①　统一单位“1”：当题目中出现多个不同的单位“1”时，尝试将其转化为同一个标准量。 ②　量率对应：将具体的数量转化为对应的分率，或反之。 例：“男生比女生多 ” 转化为 “男生是女生的 ”。 （3）计算中的转化 ①　小数转分数：某些小数计算困难时，转化为分数可能更简便（如 ）。 ②　除法转乘法：除以一个数等于乘这个数的倒数。 3. 解题关键 (1)观察题目特征，寻找“变”与“不变”的量。 (2)灵活运用平移、旋转、代数替换等手段。 考点七、用假设法解决问题 1. 适用场景 (1)鸡兔同笼类问题（已知总头数和总脚数，求鸡兔各多少）。 (2)两种物品混合，已知总数量和总价值（或总分、总重量等），求各物品数量。 2. 基本步骤 (1)假设：假设全部是其中一种物品（如假设全是鸡，或假设全是大船）。 (2)计算：算出假设情况下的总量（如假设全是鸡，算出总脚数）。 (3)比较：比较假设总量与实际总量的差。 (4)调整：分析产生差异的原因（每替换一只动物，脚数变化多少），用总差除以单个差，求出另一种物品的数量。 (5)求解：求出第一种物品的数量。 3. 公式模型（以鸡兔同笼为例） (1)假设全是鸡： ①　兔的只数 = ②　鸡的只数 = 总只数 - 兔的只数 (2)假设全是兔： ①　鸡的只数 = ②　兔的只数 = 总只数 - 鸡的只数 4. 拓展应用 (1)得分扣分问题：假设全做对，算出总分，减去实际得分，差值除以（做对得分+做错扣分），即为做错题数。 (2)运输破损问题：假设全部完好，算出总运费，减去实际运费，差值除以（单件运费+赔偿费），即为破损件数。 5. 注意事项 (1)找准“总差”和“单位差”。 (2)明确假设的是哪一种对象，求出的第一个结果通常是未假设的那种对象。 例题讲解 题型一、口算 【例题1】直接写出得数。 568－199＝    10÷0.05＝    ＝    ∶6＝    2.4×2÷2.4×2＝     3.04＋2.6＝    0.25×0.4＝    ＝    0.82＝    4÷＝ 【答案】369；200；；；4 5.64；0.1；；0.64；72 【详解】略 【练习1】直接写得数。 8.2＋2＝    ＝    2.8×0.5＝    ＝    ＝ ＝    6÷2%＝    ＝    0.23＝    3－5÷7＝ 【答案】10.2；；1.4；；0 ；300；1；0.008；2 【详解】略 题型二、竖式计算 【例题2】竖式计算。（带※号的题要验算） 62.9＋17＝       9÷3.6＝       ※42.98÷14＝ 【答案】79.9；2.5；3.07 【分析】根据小数加法、小数除法的竖式计算方法进行解答；除法用商×除数＝被除数进行验算。 【详解】62.9＋17＝79.9               9÷3.6＝2.5                  42.98÷14＝3.07   验算： 【练习2】列竖式计算，带△的算式要验算。 39×72＝         △20－1.8＝         720÷5＝         △614÷6＝ 【答案】2808；18.2； 144；102……2 【分析】两位数乘两位数的竖式计算方法：先用下面因数个位的数去乘上面因数，得数的末位和下面因数的个位对齐，再用下面因数十位上的数去乘上面的因数，得数的末位和下面因数的十位对齐，然后把两次乘得的数加起来； 小数减法竖式计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数减法的计算方法进行计算，从低位算起，如果哪一位上的数不够减，就向前一位退1当10； 减法验算方法：减数＋差＝被减数，被减数－差＝减数； 三位数除以一位数的竖式计算方法：从百位数开始除，如果百位上的数不够除，就用被除数前两位数除，当除不尽有余数的时候，把余数和被除数下一位上的数合在一起除以除数，每次除得的余数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：商×除数＋余数＝被除数；据此计算。 【详解】39×72＝2808                        △20－1.8＝18.2                          验算： 720÷5＝144                         △614÷6＝102……2                       验算： 题型三、四则混合运算及简算 【例题3】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。                    【答案】380；5； 【分析】“”根据乘法分配律的逆运算a×b－a×c＝a×（b－c），将3.8提出来，再计算； “”将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律的逆运算将提出来，再计算； “”先计算小括号内的加法，再计算中括号内的减法，最后计算括号外的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【练习3】计算下面各题，能简算的要简算。 905－（148＋627÷3）             42.5÷2.5×32－44             25×1.6×12.5                                   【答案】548；500；500 ；； 【分析】905－（148＋627÷3），先算括号内的除法，再算括号内的加法，最后算括号外的减法。 42.5÷2.5×32－44，先算除法，再算乘法，最后算减法。 25×1.6×12.5，把1.6拆分成（0.2×8），然后利用乘法结合律进行计算。 ，把除法转化为乘法，然后利用乘法分配律逆运算进行计算。 ，把除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算。 ，先算小括号内的减法，再计算中括号的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】905－（148＋627÷3） ＝905－（148＋209） ＝905－357 ＝548 42.5÷2.5×32－44 ＝17×32－44 ＝544－44 ＝500 25×1.6×12.5 ＝25×0.2×8×12.5 ＝（25×0.2）×（8×12.5） ＝5×100 ＝500 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型四、用画图法解决问题 【例题4】学校音乐社团男生人数占总人数的，后又有8名男生加入了音乐社团，这时男生人数与女生人数相等，音乐社团原来有多少人？（可以在图中画一画） 【答案】图见详解；32人 【分析】根据题意，把总人数看作单位“1”，男生人数＝总人数×，加入的8名男生占女生人数的（1−），音乐社团原来人数＝女生人数÷（1−），由此解答本题。 【详解】 （1） （2）1−＝ 8÷ ＝8× ＝20（人） 1−＝ 20÷ ＝20× ＝32（人） 答：音乐社团原来有32人。 【练习4】果园里有桃树240棵，比梨树的棵数多，桃树和梨树一共多少棵？（根据题意，先把线段图补充完整，再计算。） 【答案】线段图见详解；440棵 【分析】把梨树的棵数看作单位“1”，把单位“1”平均分成5份，桃树的棵数比梨树的棵数多1份，桃树的棵数占梨树的（1＋），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出梨树的棵数，最后加上桃树的棵数求出两种树的总棵数，据此解答。 【详解】分析可知：    240÷（1＋）＋240 ＝240÷＋240 ＝240×＋240 ＝200＋240 ＝440（棵） 答：桃树和梨树一共440棵。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，确定题目中的单位“1”并根据量和对应的分率求出梨树的棵数是解答题目的关键。 题型五、用列表法解决问题 【例题5】水果店运来6箱苹果、8箱橙子和5箱梨。每箱苹果20个，每箱橙子18个，每箱梨28个。运来的苹果比梨少多少个？（根据问题，先在表中整理需要的条件，再解答） 苹果 梨 【答案】表格见详解；20 个 【分析】根据题意，将苹果和梨的箱数和每箱个数整理到表格中即可。用各自的箱数乘各自每箱的个数分别计算出苹果和梨的总个数，最后用梨的总个数减去苹果的总个数即可得出结果。 【详解】整理条件填表如下： 苹果 6箱 每箱20个 梨 5箱 每箱28个 28×5－20×6 ＝140－120 ＝20（个） 答：运来的苹果比梨少20个。 【练习5】小芳、小红和小丽买同一种蛋糕，小芳买了8块用去72元，小红买了12块，小丽用去90元。小红用去多少元？小丽买了多少块？（先列表整理，再解答） 小芳 （    ）块 （    ）元 小红 （    ）块 （    ）元 小丽 （    ）块 （    ）元 【答案】 填表见详解 108元；10块 【分析】将题中已有的数据填入对应的括号里，未知的，需要求的数据用问号表示。 先根据小芳买8块蛋糕用去72元，算出每块蛋糕的价格，用总价除以数量，即72÷8＝9元/块。小红买了12块，用每块蛋糕的价格乘小红买的数量，就能得出小红用去的钱数，即9×12元。小丽用去90元，用小丽用去的钱数除以每块蛋糕的价格，可算出小丽买的蛋糕块数，即90÷9块。 【详解】 小芳 （8）块 （72）元 小红 （12）块 （？）元 小丽 （？）块 （90）元 单价：72÷8＝9（元/块） 小红：12×9＝108（元） 小丽：90÷9＝10（块） 答：小红用去108元，小丽买了10块。 题型六、用转化法解决问题 【例题6】某手机店进了一批手机，卖出的数量与剩下的数量比是4∶5，如果再卖出20部，就卖出了这批手机总数的，这批手机共多少部？ 【答案】360部 【分析】卖出的数量与剩下的数量比是4∶5，把卖出的数量看作4份，剩下的数量看作5份，则一共有份，卖出的占总数量的，如果再卖出20部，就卖出了这批手机总数的则这20部手机占总数量的，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用20除以即可。 【详解】 （部） 答：这批手机共360部。 【练习6】学校组织同学们布置元宵节猜灯谜活动场地，已挂的是未挂的灯谜条数的，又挂了15条灯谜后，已挂的和未挂的灯谜条数比是5∶3，一共要挂多少条灯谜？ 【答案】600条 【分析】把要挂灯谜的总数看作单位“1”，已挂的是未挂的灯谜条数的，已挂的是3份，未挂的是2份；则此时已挂的灯谜条数是总数的；又挂了15条灯谜后，已挂的和未挂的灯谜条数比是5∶3，则此时已挂的灯谜条数是总数的；那么15条灯谜占总数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出灯谜的总数。 【详解】15÷（－） ＝15÷（－） ＝15÷（－） ＝15÷ ＝15×40 ＝600（条） 答：一共要挂600条灯谜。 题型七、用假设法解决问题 【例题7】两位老师带领42名同学去公园划船，租9只船正好坐满，每只大船坐6人，每只小船坐4人。租的大船和小船各有多少只？ 【答案】大船4只；小船5只 【分析】两位老师带领42名同学一共有44人，假设租的9只船全部是小船，一共坐了9×4＝36（人），而实际人数是44人，求出实际人数与9只小船的人数差，再除以每只大船比每只小船多坐的人数求出大船的数量，小船的数量＝船的总数量－大船的数量。 【详解】42＋2＝44（人） 大船的数量：（44－9×4）÷（6－4） ＝（44－36）÷2 ＝8÷2 ＝4（只） 小船的数量：9－4＝5（只） 答：租的大船有4只，小船有5只。 【练习7】下边架子上的药水共有1230毫升，每个大瓶里的药水比每个小瓶多130毫升。每个大瓶里的药水有多少毫升？每个小瓶呢？ 【答案】大瓶250毫升；小瓶120毫升 【分析】由图可知，3个大瓶的容量＋4个小瓶的容量＝1230毫升。假设3个大瓶都是小瓶。每个大瓶里的药水比每个小瓶多130毫升，那么一共多（130×3）毫升。用（1230－130×3）是现在毫升数。用（3＋4）算出现在瓶数。现在毫升数除以现在瓶数，就是小瓶里的药水毫升数。小瓶加130毫升就是大瓶的药水的毫升数。 【详解】假设3个大瓶都是小瓶。 （1230－130×3）÷（3＋4） ＝（1230－390）÷7 ＝840÷7 ＝120（毫升） 120＋130＝250（毫升） 答：每个大瓶里的药水有250毫升，每个小瓶有120毫升。 专项训练 练习一、口算 1．直接写得数。 125%×4＝    1－1÷9＝    0.073＋7.3＝    4.5÷0.09＝ 60×80%＝    3.14×6＝         【答案】5；；7.373；50 48；18.84；7； 2．直接写出得数。 ＝         ＝         0.12＝              ＝ ＝           ＝         ＝         【答案】；；0.01；； ；；； 3．直接写出得数。                                                                       【答案】 2100；0.125；3.6a；2 9450；1.2；； 4．直接写出得数。 2.4×0.5＝    ＝    10.05－9.5＝    ＝ ＝    ＝    0.253＝    ＝ 【答案】1.2；；0.55；6； ；；； 5．口算。 40×125%＝    ＝    ＋40%＝    9÷45%＝    10－0.01＝ 2.56÷0.6＝    ＝    0.6a×5a＝    ＝    ＝ 【答案】50；；；20；9.99； ；；3a2；0.6； 练习二、竖式计算 1．竖式计算，带※号的算式要验算。 345×26＝         207×46＝         ※552÷78＝ 【答案】8970；9522；7……6 【分析】笔算三位数乘两位数，相同数位对齐，分别用两位数的个位、十位去乘三位数的每个数字，用哪位上的数去乘，所得结果末尾就对齐哪位，最后再把两次相乘得到的结果相加。 笔算除数是两位数的除法，先用除数去除被除数的前两位，如果不够除，再用除数去除被除数的前三位，除到哪位，商就写在哪位上，哪位不够商1，就商0占位，除的过程中要注意，余数总比除数小。有余数的除法可以用商×除数＋余数＝被除数来验算。 【详解】345×26＝8970                207×46＝9522                     ※552÷78＝7……6                                 验算： 2．列竖式计算。 4.2×1.58＝              2.835÷2.7＝           6.72÷28＝ 【答案】6.636；1.05；0.24 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】4.2×1.58＝6.636 2.835÷2.7＝1.05 6.72÷28＝0.24               3．列竖式计算。 100－18.75＝         35.94＋12.7＝         23.7×1.6＝         6.08×25＝ 【答案】81.25；48.64；37.92；152 【分析】计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。 计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉。 【详解】                                       4．用竖式计算。（带※号的保留两位小数） 1.05×0.26＝          5÷0.25＝          ※2.4÷0.26≈ 【答案】0.273；20；9.23 【分析】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。 【详解】1.05×0.26＝0.273 5÷0.25＝20     ※2.4÷0.26≈9.23             5．列竖式计算。（带※的要验算） 55.82＋18.5＝            18.72－6.43＝            ※30－7.62＝ 【答案】74.32；12.29；22.38 【分析】小数加减法竖式计算：小数点对齐，确保相同数位上下对齐；位数较少的小数末尾补零，使所有数的小数位数相同；逐位运算，从最低位开始加减，满十进一或借一当十，整数部分按整数加减法处理。化简结果，小数末尾的零可省略。 减法验算方法：减数＋差＝被减数，被减数－差＝减数；据此计算。 【详解】55.82＋18.5＝74.32      18.72－6.43＝ 12.29                  ※30－7.62＝22.38 验算： 练习三、四则混合运算及简算 1．用你喜欢的方法计算。                         【答案】；； 【分析】先把除法变为乘法，即÷9＝×，再根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式化为×（＋）进行简算； 先算除法，再算乘法，最后算减法； 先把分数、百分数化成小数，原式变为2.8×0.375＋6.2×0.375＋0.375，再根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式化为（2.8＋6.2＋1）×0.375进行简算。 【详解】 ＝10×0.375 2．下面各题，怎样算简便就怎样算。                  8.57－（2.57＋4.38）－0.62             【答案】；62.5 1； 【分析】，根据乘法交换律和乘法结合律，转化成，同时算出两边小括号里的乘法，再算括号外的乘法； ，将百分数和分数都化成小数，逆用乘法分配律，先算（76＋25－1），再与0.625相乘； 8.57－（2.57＋4.38）－0.62，去括号，括号里的加号变减号，前两个数相减，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，先算加法，再算除法，最后算乘法。 【详解】 8.57－（2.57＋4.38）－0.62 ＝8.57－2.57－4.38－0.62 ＝（8.57－2.57）－（4.38＋0.62） ＝6－5 ＝1 3．计算下面各题，能简算的要简算。                                          【答案】19；100000 ；48 【分析】（1）根据减法的性质：从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，，进行运算； （2）把32拆分为，根据乘法结合律：，进行运算； （3）把百分数25%化为分数，再计算小括号里的减法，然后计算中括号里的除法，最后计算括号外的乘法； （4）根据乘法分配律：的逆运算，进行计算。 【详解】（1） ＝20－（） ＝20－1 ＝19 （2） ＝25×（4×8）×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝4.8×10 ＝48 4．计算下面各题（能简便计算的要简便计算）。 12.5×3.9×8                    0.9＋9.9＋99.9＋999.9                                          【答案】 390；1110.6；； 7；2；41 【分析】12.5×3.9×8，根据乘法交换律，交换后边两个乘数的位置，再从左往右算； 0.9＋9.9＋99.9＋999.9，给每个加数都加上0.1，转化成1＋10＋100＋1000，这样多加了4个0.1，最后再减去0.4即可； ，将拆成、拆成、拆成、拆成，中间抵消，最后只算即可； ，交换中间减法和加法，将两个小数结合，根据减法的性质，将两个分数加起来再计算； ，将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算，再与相乘； ，根据乘法分配律，36分别与小括号里的数相乘，再相加减。 【详解】12.5×3.9×8 ＝12.5×8×3.9 ＝100×3.9 ＝390 0.9＋9.9＋99.9＋999.9 ＝1＋10＋100＋1000－0.4 ＝1111－0.4 ＝1110.6 5．递等式计算，能简算的要简算。 0.37＋5.49＋0.63         6.8÷（0.5＋0.3×4）                                      【答案】6.49；4； ；； 【分析】0.37＋5.49＋0.63，根据加法交换律进行简算； 6.8÷（0.5＋0.3×4），先算小括号里的乘法，再算小括号里的加法，最后算括号外的除法； ，除法转化成乘法，再根据乘法交换律进行简算； ，根据乘法分配律逆用进行简算； ，把看作，看作，看作，原式变为，进一步变形可得，然后先计算括号内的加法，再计算括号外的乘法即可。 ，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】0.37＋5.49＋0.63 ＝0.37＋0.63＋5.49 ＝1＋5.49 ＝6.49 6.8÷（0.5＋0.3×4） ＝6.8÷（0.5＋1.2） ＝6.8÷1.7 ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ 6．计算下面各题，能简算的要简算。 756－192÷16         6.4－2.77＋4.6－7.23                              【答案】744；1；； 1；；8 【分析】（1）先算除法，再算减法； （2）先交换“2.77”和“4.6”，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把6.4＋4.6－2.77－7.23变成（6.4＋4.6）－（2.77＋7.23），再按顺序进行计算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先算除法，算式变成，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式变成，再按顺序进行计算； （5）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序进行计算； （6）先根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，计算乘法后算式变成，根据加法交换律a＋b＝b＋a把算式变成，再按顺序进行计算。 【详解】（1）756－192÷16 ＝756－12 ＝744 （2）6.4－2.77＋4.6－7.23 ＝6.4＋4.6－2.77－7.23 ＝（6.4＋4.6）－（2.77＋7.23） ＝11－10 ＝1 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 7．递等式计算，能简算的要简算。                                                         【答案】7376；3.2； 26；18； 【分析】“”先计算乘法和除法，再计算减法； “”先计算除法，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）计算； “”先计算括号内的乘法、加法，再计算括号外的减法； “”根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），将提出来，再计算； “”先计算小括号内的减法，再计算括号外的除法、乘法； “”先计算小括号内的加法，再计算中括号内的乘法，最后计算中括号外的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 8．能简便计算的简便计算。                                【答案】29；；8； 83.8；（或）；1 【分析】利用乘法分配律a×（b－c＋d）＝a×b－a×c＋a×d进行简便计算； 先根据去括号法则a－（b＋c）＝a－b－c去掉小括号，先计算，同分母分数相减，再计算中括号内的值，最后将分数除法转化成乘法计算； 将和80%都化为小数0.8，把最后一个0.8转化为0.8×1，再利用乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＋d×c＝（a＋b＋d）×c进行简便计算； 根据去括号法则a－（b－c）＝a－b＋c进行简便计算，先计算87.58－7.58得到整数80，再计算80＋3.8； 先利用乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c计算，得到，然后根据加法交换律和结合律，先计算，同分母分数相加，再计算1＋； 先算小括号内的加法，再算中括号内的乘法，最后算括号外的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 练习四、用画图法解决问题 1．江南小学六年级社团人数的信息如下： ① ② ③男生的是48人 ④女生比男生少40人 ⑤六年级社团共有200人 要求出男、女生各有多少人，我选择的信息是（    ）（填序号）。 我的解答： 【答案】③④ 见详解 【分析】通过不同组合的信息来求出男生和女生的人数。比如选择能先求出男生人数再结合其他条件求出女生人数的信息组合，可以选择③④或②⑤（答案不唯一），我选择③④，把男生人数看作单位“1”，单位“1”未知，求单位“1”，用对应的数量除以对应的分率，据此用48÷列式求出男生人数，再由女生比男生少40人，求女生人数，用男生人数减去女生比男生少的人数即可。 【详解】要求出男、女生各有多少人，我选择的信息是③④。（答案不唯一） 48÷＝48×＝120（人） 120－40＝80（人） 答：男生有120人，女生有80人。 2．某小学六年级3个班学生参加以“科技改变生活”为主题的创新实践作品征集活动。已知六（1）班提交了48件作品，六（2）班提交的作品件数比六（1）班多。 （1）六（2）班提交了多少件作品？（先把线段图补充完整，再解答） （2）求六（3）班提交的作品件数列式为“48÷（1－20%）”。根据这个算式，需要补充的条件是：____________ 【答案】（1）60件；线段图见详解 （2）见详解 【分析】（1）把六（1）班提交作品数看作单位 “1”，平均分成4份，线段长度表示48件 ；因为六（2）班比六（1）班多，即六（2）班比六（1）班多1份，因此六（2）班的作品数画4＋1＝5份（和六（1）班每份长度相同），且标注“比六（1）班多”；已知六（1）班提交48件，六（2）班比六（1）班多，那么六（2）班作品数是六（1）班的1＋＝，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，据此列式解答。 （2）算式“48÷（1－20%）”中48是六（1）班的作品数，（1－20%）表示六（1）班作品数占六（3）班作品数的分率，所以补充条件为：六（1）班提交的作品件数比六（3）班少 20% ，此时把六（3）班作品数看作单位 “1”，六（1）班作品数占六（3）班作品数的分率就是（1－20%），求六（3）班提交的作品数就用“48÷（1－20%）”（具体数量÷对应分率＝单位“1”的数量）。 【详解】（1） 48×（1＋） ＝48× ＝60（件） 答：六（2）班提交了60件作品。 （2）求六（3）班提交的作品件数列式为“48÷（1－20%）”。根据这个算式，需要补充的条件是：六（1）班提交的作品件数比六（3）班少 20% 。 3．工人师傅修一条路，已经修了全长的，还有240米没有修，工人师傅已经修了多少米？（先把线段图补充完整，再解答。） 【答案】图见详解；320米 【分析】根据题意，补充完整线段图；把这条路的全长看作单位“1”，已经修了全长的，还剩下全长的（1－）没修，对应的是240米，求单位“1”，用240÷（1－），求出这条路的全长，再乘，即可求出工人师傅已经修的长度。 【详解】 240÷（1－）× ＝240÷× ＝240×× ＝560× ＝320（米） 答：工人师傅已经修了320米。 【点睛】解答本题的关键明确已知单位“1”的几分之几是多少，求出单位“1”，用除法；求单位“1”的几分之几用乘法。 4．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜（简称FAST），它的球面口为圆形，其直径是曾经世界上最大单口径射电望远镜美国阿雷西博（Arecibo）望远镜球面口直径的。已知，中国FAST比美国Arecibo的直径长150米。中国和美国射电望远镜的球面口直径分别长多少米？（先在线段图中将条件和问题补充完整，再列式计算。） 【答案】作图见详解；中国500米；美国350米 【分析】将美国射电望远镜的球面口直径看作单位“1”，根据分数的意义，将表示美国射电望远镜的球面口直径的线段平均分成7份，则中国射电望远镜的球面口直径有这样的10份，据此画出线段图，中国比美国射电望远镜的球面口直径多（－1），多出来的长度÷对应分率＝美国射电望远镜的球面口直径，美国射电望远镜的球面口直径＋150米＝中国射电望远镜的球面口直径。 【详解】 150÷（－1） ＝150÷ ＝150× ＝350（米） 350＋150＝500（米） 答：中国和美国射电望远镜的球面口直径分别长500米、350米。 5．甲、乙两个仓库共有货物112吨，如果从甲仓库取出的货物运到乙仓库，则两个仓库的货物就同样多。原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答。） 【答案】画图见详解；72吨；40吨 【分析】如果从甲仓库取出的货物运到乙仓库，则两个仓库的货物就同样多。据此可知，把甲仓库的吨数看作单位“1”，则乙仓库比甲仓库少的吨数相当于2个甲仓库吨数的，即乙仓库的吨数相当于甲仓库的1－×2＝，那么两个仓库一共有的吨数就相当于甲仓库吨数的（1＋），再根据两仓库一共有112吨货物，求出甲仓库的吨数，进而求出乙仓库的吨数。 【详解】线段图如下： 1－×2 ＝1－ ＝ 112÷（1＋） ＝112÷ ＝112× ＝72（吨） 112－72＝40（吨） 答：原来甲仓库有货物72吨，乙仓库有货物40吨。 练习五、用列表法解决问题 1．用24个边长为1厘米的小正方形拼成一个长方形（边的长度为整厘米数），有多少种不同的拼法？拼成的长方形周长最小是多少厘米？（先列表再解答） 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 答：有（    ）种不同的拼法，拼成的长方形周长最小是（    ）厘米。 【答案】列表见详解 4；20 【分析】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，因此用24个边长为1厘米的小正方形拼成一个长方形，长方形的面积是24平方厘米，根据长方形面积＝长×宽，据此确定长方形的长和宽，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，分别计算出周长。 【详解】24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4 （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） （12＋2）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） （8＋3）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 长/厘米 24 12 8 6 宽/厘米 1 2 3 4 周长/厘米 50 28 22 20 答：有4种不同的拼法，拼成的长方形周长最小是20厘米。 2．小磊逛书店，买了13本工具书，10本连环画，8本故事书。已知每本工具书18元， 每本连环画13元，每本故事书15元。（先整理条件，再列式解答） 工具书 （    ）本 每本（    ）元 连环画 （    ）本 每本（    ）元 故事书 （    ）本 每本（    ）元 （1）买工具书和故事书共用去多少元？ （2）买连环画比工具书少用去多少元？ 【答案】 见详解 （1）354元； （2）104元 【分析】（1）根据题目信息，完成统计表即可；13本工具书，每本工具书售价18元，用18乘13即为工具书的总价；8本故事书，每本故事书售价15元，用8乘15即为故事书的总价，最后把两个积相加即可； （2）在（1）中已经求出工具书的总价，再用10乘13求出连环画的总价，用工具书的总价减连环画的总价即可解答。 【详解】 工具书 13本 每本18元 连环画 10本 每本13元 故事书 8本 每本15元 （1）18×13＝234（元） 8×15＝120（元） 234＋120＝354（元） 答：买工具书和故事书共用去354元。 （2）234－13×10 ＝234－130 ＝104（元） 答：买连环画比工具书少用去104元。 3．社区举办春节年货义卖活动，志愿者采购了28千克红枣、72千克花生和88千克桂圆。红枣每千克8元，花生每千克6元，桂圆每千克7元。买红枣和桂圆一共用了多少元？（先用自己喜欢的方式整理条件，再解答） 【答案】表格见详解；840元 【分析】根据总价＝单价×数量，分别求出购买28千克红枣和88千克桂圆的钱数。再将两个钱数加起来，即为购买这两件商品花费的钱数。 【详解】 红枣 28千克 每千克8元 花生 72千克 每千克6元 桂圆 88千克 每千克7元 8×28＋7×88 ＝224＋616 ＝840（元） 答：买红枣和桂圆一共用了840元。 4．24名学生去公园游船，大船每条可坐3人，小船每条可坐2人。如果规定每条船都坐满，一共有多少种不同的坐船方案？请在表中列举出所有不同的坐船方案。 大船/条 小船/条 【答案】5种；列表见详解 【分析】根据大船每条可坐人数×大船条数＋小船每条可坐人数×小船条数＝总人数，先确定大船条数，3×2＝6（人），大船减少2条，小船就要增加3条，据此列举出所有不同的坐船方案即可。 【详解】3×8＝24（人） 3×6＋2×3 ＝18＋6 ＝24（人） 3×4＋2×6 ＝12＋12 ＝24（人） 3×2＋2×9 ＝6＋18 ＝24（人） 2×12＝24（人） 大船/条 8 6 4 2 0 小船/条 0 3 6 9 12 答：一共有5种不同的坐船方案。 5．为了检测不同跳绳的性能，学校购买了两种不同价位的跳绳，分别是每根6元的普通跳绳和每根10元的计数跳绳。检测组计划一共买8根，且总预算不超过60元。请你用列举的策略填写下表，并回答问题。 6元/根 10元/根 总价/元 （1）符合要求的购买方案有（    ）种。 （2）正好用完60元，可以买6元的普通跳绳（    ）根和10元的计数跳绳（    ）根。 【答案】填表见详解； （1）3 （2）5；3 【分析】总共买8根跳绳，所以6元普通跳绳和10元计数跳绳的数量之和始终为8。从普通跳绳的数量为1开始，依次增加1根，直到数量为7，列举所有可能的组合。分别根据“6×普通跳绳数量＋10×计数跳绳数量”计算出每组的总价。 （1）筛选出总价不超过60元的组合，即为符合要求的购买方案。 （2）在所有组合中，找出总价恰好等于60元的那一组，即可得到对应的两种跳绳数量。 【详解】6×1＋10×7 ＝6＋70 ＝76（元） 6×2＋10×6 ＝12＋60 ＝72（元） 6×3＋10×5 ＝18＋50 ＝68（元） 6×4＋10×4 ＝24＋40 ＝64（元） 6×5＋10×3 ＝30＋30 ＝60（元） 6×6＋10×2 ＝36＋20 ＝56（元） 6×7＋10×1 ＝42＋10 ＝52（元） 填表如下： 6元/根 1 2 3 4 5 6 7 10元/根 7 6 5 4 3 2 1 总价/元 76 72 68 64 60 56 52 （1）76＞60，72＞60，68＞60，64＞60，60＝60，56＜60，52＜60 所以符合要求的购买方案有3种。 （2）正好用完60元，可以买6元的普通跳绳5根和10元的计数跳绳3根。 练习六、用转化法解决问题 1．一捆电线，第一次用去35米，第二次用去全长的，这时已用米数与剩下米数的比是2∶3。原来这捆电线长多少米？ 【答案】150米 【分析】把这根电线的全长看作单位“1”，根据“这时已用米数与剩下米数的比是2∶3”，把这时已用的看作2份，把这时剩下的看作3份，总份数为2＋3＝5份，那么两次一共用去全长的分率为2÷5＝；用两次一共用去全长的分率减去第二次用去全长的分率，得到第一次用去全长的分率；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，用第一次用去的长度除以第一次用去的占全长的分率，得出电线的全长。 【详解】2÷（2＋3） ＝2÷5 ＝ － ＝－ ＝ 35÷ ＝35× ＝150（米） 答：原来这捆电线长150米。 2．有三堆红、黄颜色的球，每堆有120个。第一堆里的红球和第二堆里的黄球同样多，第三堆有是黄球。这三堆球里共有黄球多少个？（先画图，再解答） 【答案】160个 【分析】第一堆里的红球和第二堆里的黄球同样多；第一堆里的黄球和第二堆里的红球交换一下，那第一堆全部是红球，第二堆全部是黄球，这两堆球里黄球和红球各120个；第三堆球也有120个，其中是黄球，利用乘法求出黄球；再加上前面两堆球里的黄球即可。 【详解】 答：这三堆球里共有黄球160个。 3．国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 【答案】720米；思考过程见下图 【分析】把枪炮科到弹药科的全程看作单位“1”。全程的中点即全程的。明明一家走了全程的，距离中点的距离占全程的－＝。已知这部分距离为120米，即全程的是120米，要求全程长度，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除法计算 【详解】见下图 120÷（－） ＝120÷（－） ＝120÷ ＝120×6 ＝720（米） 答：枪炮科到弹药科共有720米。 【点睛】关键点是找准单位“1”，计算出已知距离所对应的全程的分率，再用除法求出全程。 4．为了弘扬中华优秀传统文化，某校在“非遗进校园”活动中设置了剪纸、陕北秧歌和榆林小曲这三种技艺的比拼（每人只能参加一项）。活动期间，参加剪纸的人数是参加陕北秧歌、榆林小曲人数总和的，参加陕北秧歌的人数是参加剪纸、榆林小曲人数总和的。已知参加榆林小曲的人数有44人。该活动中参加这三种技艺比拼的一共有多少人？ 【答案】 140人 【分析】把三种技艺的总人数看作单位“1”。参加剪纸的人数是参加陕北秧歌、榆林小曲人数总和的，则剪纸人数与（秧歌＋榆林小曲）人数的比是2∶3，总份数为2＋3＝5份，因此剪纸人数占总人数的；参加陕北秧歌的人数是参加剪纸、榆林小曲人数总和的，则秧歌人数与（剪纸＋榆林小曲）人数的比是2∶5，总份数为2＋5＝7份，因此秧歌人数占总人数的。用单位“1”减去剪纸人数和秧歌人数的占比，得到榆林小曲人数的占比​；最后用榆林小曲的人数除以对应占比即可求出总人数。 【详解】1－－ ＝1－－ ＝－ ＝－ ＝ 44÷＝44×＝140（人） 答：该活动中参加这三种技艺比拼的一共有140人。 5．某新型复合材料汽车零部件制造厂设有第一、第二两个核心车间，第一车间与第二车间的人数比是9∶4，为了扩大生产规模，该制造厂从外地研发中心调配40名技术专员加入第二车间，这时第一车间与第二车间的人数比是7∶4。完成调配后第二车间有多少人？ 【答案】180人 【分析】由题意可知，调配技术专员前后第一车间的人数不变，把第一车间的人数看作单位“1”，原来第一车间与第二车间的人数比是9∶4，则原来第二车间的人数占第一车间人数的，现在第一车间与第二车间的人数比是7∶4，则现在第二车间的人数占第一车间人数的，那么调配的40名技术专员占第一车间人数的（－），第一车间的人数＝调配到第二车间的人数÷（－），再根据第一车间的人数求出7∶4中每份的人数，最后乘现在第二车间的人数占的份数，据此解答。 【详解】40÷（－） ＝40÷ ＝40× ＝315（人） 315÷7×4 ＝45×4 ＝180（人） 答：完成调配后第二车间有180人。 【点睛】本题主要考查分数除法和比的应用，分析题意找出题目中的不变量“第一车间的人数”是解答题目的关键。 练习七、用假设法解决问题 1．篮球比赛中，李明投中了16个球，其中有3分球和2分球，总共得了41分。李明投中的3分球和2分球各有多少个？ 【答案】 3 分球 9 个，2 分球 7 个 【分析】本题属于“鸡兔同笼”类型的问题。已知投球的总数量和总得分，以及两种球各自的分值，可以采用假设法进行求解。假设投中的球全是 2 分球，计算出假设情况下的总得分，求出与实际总得分的差值，再除以每个 3 分球与 2 分球的分值差，即可求出 3 分球的数量，进而求出 2 分球的数量。 【详解】假设 16 个球均为 2 分球。 假设总得分：（分） 与实际总得分的差：（分） 每个 3 分球与 2 分球的分值差：（分） 3 分球的数量：（个） 2 分球的数量：（个） 答：李明投中的 3 分球有 9 个，2 分球有 7 个。 2．五（3）班44名同学向西部贫困地区捐书。在这活动中一共捐书218本，其中男生平均每人捐书4本，女生平均每人捐书6本。五（3）班男生和女生各有多少人？ 【答案】男生23人；女生21人 【分析】假设全是女生，若44人都是女生，每人捐6本，则共捐书：44×6＝264（本）。比实际多捐的数量：264－218＝46（本），女生比男生每人多捐：6－4＝2（本），因此多捐的46本是因为把男生当作女生计算导致的。所以用多捐的总数除以每人多捐的数量，就是男生的人数，再用总人数减去男生人数，即可求出女生的人数。 【详解】44×6＝264（本） 264－218＝46（本） 6－4＝2（本） 46÷2＝23（人） 44－23＝21（人） 答：五（3）班男生有23人，女生有21人。 3．六1班两位老师带42名学生去划船，租10条船正好坐满。每条大船坐5人，每条小船坐3人。租的大船、小船各有多少条？ 【答案】大船7条；小船3条 【分析】两位老师带42名学生去划船，一共有2＋42＝44（人）。假设租的10条船都是大船，一共可以坐10×5＝50（人），比实际人数多50－44＝6（人）。这是因为把小船当作大船来算，每条小船多算了5－3＝2（人），那么用6除以2即可求出小船的条数。再用10减去租小船的条数，即可求出租大船的条数。 【详解】假设租的10条船都是大船。 42＋2＝44（人） 10×5＝50（人） 小船：（50－44）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（条） 大船：10－3＝7（条） 答：租大船7条，小船3条。 4．为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【答案】7道；3道 【分析】根据“答对1题得5分，答错1题得﹣8分”可以知道答对一题与答错一题相差了13分，假设10道题都答对，就应该得（5×10）分，现在只得11分，相差了（50－11）分，用（50－11）除以13，就是答错的题数，再用10减去答错的题数即可。 【详解】5＋8＝13（分） 答错：（5×10－11）÷13 ＝（50－11）÷13 ＝39÷13 ＝3（道） 答对：10－3＝7（道） 答：答对7道，答错3道。 5．剪纸是中国最古老的民间艺术之一。为了迎接新年的来临，琳琳和聪聪准备做一些福字剪纸。他们用15张大彩纸和9张小彩纸一共剪了180个福字剪纸。已知每张大彩纸所剪个数比每张小彩纸多4个。每张大彩纸和每张小彩纸各可以剪多少个福字剪纸？ 【答案】9个；5个 【分析】先假设所有彩纸都是小彩纸，这样总个数就会减少，再用减少后的总个数除以彩纸总数，得到每张小彩纸能剪的个数，最后用小彩纸能剪的个数加4即可求出大彩纸的个数。 【详解】假设15张大彩纸也是小彩纸： 15×4＝60（个） 180－60＝120（个） 15＋9＝24（张） 每张小彩纸可剪的个数：120÷24＝5（个） 每张大彩纸可剪的个数：5＋4＝9（个） 答：每张大彩纸可以剪9个，每张小彩纸可以剪5个福字。 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13：数的运算（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、口算 1 考点二、竖式计算 2 考点三、四则混合运算及简算 3 考点四、用画图法解决问题 4 考点五、用列表法解决问题 4 考点六、用转化法解决问题 5 考点七、用假设法解决问题 6 例题讲解 6 题型一、口算 6 题型二、竖式计算 7 题型三、四则混合运算及简算 7 题型四、用画图法解决问题 8 题型五、用列表法解决问题 9 题型六、用转化法解决问题 9 题型七、用假设法解决问题 10 专项训练 10 练习一、口算 10 练习二、竖式计算 11 练习三、四则混合运算及简算 12 练习四、用画图法解决问题 15 练习五、用列表法解决问题 17 练习六、用转化法解决问题 19 练习七、用假设法解决问题 20 考点梳理 考点一、口算 1. 整数加减法 (1)法则：相同数位对齐，从低位算起。 (2)进位与退位：加法满十进一，减法不够减向前一位借一当十。 (3)技巧：凑整法（如 看作 ）。 2. 小数加减法 (1)核心：小数点对齐（即相同数位对齐）。 (2)注意：得数的小数部分末尾有0，一般要去掉（化简）。 (3)易错：整数减小数时，整数的小数点在个位右下角，需补0占位后再减。 例： （看作 ）。 3. 分数加减法 (1)同分母：分母不变，分子相加减。 (2)异分母：先通分，化成同分母分数，再按同分母法则计算。 (3)结果：必须化成最简分数。 4. 乘除法口算 (1)整数乘法：利用乘法口诀，注意末尾0的个数（因数末尾共有几个0，积的末尾就添几个0）。 (2)小数乘法：先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 (3)分数乘法：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母；能约分的先约分再计算。 (4)分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 考点二、竖式计算 1. 整数乘除法 (1)多位数乘两位数：用第二个因数的每一位去乘第一个因数，哪一位乘得的积，末位就和那一位对齐，最后把两次乘得的积相加。 (2)除数是两位数的除法： ①　从被除数的高位除起，先看前两位；如果前两位比除数小，就看前三位。 ②　除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面。 ③　每次除后余下的数必须比除数小。 2. 小数乘除法 (1)小数乘法竖式： ①　末位对齐（不需要小数点对齐）。 ②　计算出整数积后，根据因数小数位数总和点小数点。 ③　若位数不够，用0补足。 (2)小数除法竖式： ①　除数是整数：商的小数点要和被除数的小数点对齐。 ②　除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够补0）；然后按除数是整数的除法计算。 3. 分数乘除法 (1)通常不列传统竖式，而是采用横式约分的方法。 (2)步骤： ①　除法变乘法（乘倒数）。 ②　分子和分母之间交叉约分（找最大公因数）。 ③　分子乘分子，分母乘分母。 ④　检查结果是否为最简分数。 考点三、四则混合运算及简算 1. 运算顺序 (1)同级运算：从左往右依次计算（如只有加减，或只有乘除）。 (2)两级运算：先算乘除，后算加减。 (3)有括号：先算小括号 () 里面的，再算中括号 [] 里面的，最后算括号外面的。 2. 运算定律与性质（简算核心） （1）加法 ①　交换律： ②　结合律： ③　应用：凑整（如 ）。 （2）乘法 ①　交换律： ②　结合律： ③　分配律： ④　常见凑整组合：；； （3）减法性质 ①　 ②　应用：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 （4）除法性质 ①　 ②　应用：连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 3. 简算易错点 ①　乘法分配律逆用： 。注意提取公因数后，不要漏掉隐含的“1”。 例： 。 ②　去括号变号：括号前是减号或除号，去掉括号后，括号内的运算符号要改变（减变加，除变乘）。 考点四、用画图法解决问题 1. 线段图 (1)适用场景：分数、百分数应用题，倍数关系，相差关系。 (2)画法要点： ①　先画单位“1”的量（标准量）。 ②　再画比较量，注意长度比例要与分率对应。 ③　标注已知条件和所求问题。 (3)作用：直观展示数量间的倍比关系，帮助确定是用乘法还是除法。 2. 示意图/面积图 (1)适用场景：行程问题（相遇、追及），长方形面积变化，植树问题。 (2)画法要点： ①　行程问题：画出路线图，标出起点、终点、相遇点、方向、速度。 ②　几何问题：画出图形变化前后的状态，标注边长变化。 3. 解题步骤 (1)读题：理解题意，找出关键信息。 (2)画图：根据题意画出相应的图形。 (3)分析：在图中寻找数量关系。 (4)列式：根据图形反映的关系列出算式。 考点五、用列表法解决问题 1. 适用场景 (1)信息量大、条件复杂、需要整理归类的问题。 (2)搭配问题、逻辑推理问题、周期性规律问题。 2. 列表策略 (1)枚举法：将所有可能的情况一一列出，不重复、不遗漏。 (2)筛选法：在列表中根据限制条件剔除不符合的情况。 3. 操作步骤 (1)设计表格：确定表头（如：名称、数量、单价、总价等）。 (2)有序列举：按照一定的顺序（如从大到小、从少到多）填入数据。 (3)计算验证：对每一行数据进行计算，看是否符合题目要求。 (4)得出结论：找到符合所有条件的答案。 4. 注意事项 (1)列举时要有序，避免混乱。 (2)对于“至少”、“最多”等问题，列表法能有效防止漏解。 考点六、用转化法解决问题 1. 核心思想 (1)将陌生的问题转化为熟悉的问题。 (2)将复杂的问题转化为简单的问题。 (3)将未知的问题转化为已知的问题。 2. 常见转化类型 （1）图形面积的转化 ①　不规则图形 规则图形：通过平移、旋转、割补，将不规则图形转化为长方形、正方形或三角形。 ②　例子：求阴影部分面积，常通过“总面积 - 空白面积”或“割补拼合”来转化。 （2）分数/百分数应用的转化 ①　统一单位“1”：当题目中出现多个不同的单位“1”时，尝试将其转化为同一个标准量。 ②　量率对应：将具体的数量转化为对应的分率，或反之。 例：“男生比女生多 ” 转化为 “男生是女生的 ”。 （3）计算中的转化 ①　小数转分数：某些小数计算困难时，转化为分数可能更简便（如 ）。 ②　除法转乘法：除以一个数等于乘这个数的倒数。 3. 解题关键 (1)观察题目特征，寻找“变”与“不变”的量。 (2)灵活运用平移、旋转、代数替换等手段。 考点七、用假设法解决问题 1. 适用场景 (1)鸡兔同笼类问题（已知总头数和总脚数，求鸡兔各多少）。 (2)两种物品混合，已知总数量和总价值（或总分、总重量等），求各物品数量。 2. 基本步骤 (1)假设：假设全部是其中一种物品（如假设全是鸡，或假设全是大船）。 (2)计算：算出假设情况下的总量（如假设全是鸡，算出总脚数）。 (3)比较：比较假设总量与实际总量的差。 (4)调整：分析产生差异的原因（每替换一只动物，脚数变化多少），用总差除以单个差，求出另一种物品的数量。 (5)求解：求出第一种物品的数量。 3. 公式模型（以鸡兔同笼为例） (1)假设全是鸡： ①　兔的只数 = ②　鸡的只数 = 总只数 - 兔的只数 (2)假设全是兔： ①　鸡的只数 = ②　兔的只数 = 总只数 - 鸡的只数 4. 拓展应用 (1)得分扣分问题：假设全做对，算出总分，减去实际得分，差值除以（做对得分+做错扣分），即为做错题数。 (2)运输破损问题：假设全部完好，算出总运费，减去实际运费，差值除以（单件运费+赔偿费），即为破损件数。 5. 注意事项 (1)找准“总差”和“单位差”。 (2)明确假设的是哪一种对象，求出的第一个结果通常是未假设的那种对象。 例题讲解 题型一、口算 【例题1】直接写出得数。 568－199＝    10÷0.05＝    ＝    ∶6＝    2.4×2÷2.4×2＝     3.04＋2.6＝    0.25×0.4＝    ＝    0.82＝    4÷＝ 【练习1】直接写得数。 8.2＋2＝    ＝    2.8×0.5＝    ＝    ＝ ＝    6÷2%＝    ＝    0.23＝    3－5÷7＝ 题型二、竖式计算 【例题2】竖式计算。（带※号的题要验算） 62.9＋17＝       9÷3.6＝       ※42.98÷14＝ 【练习2】列竖式计算，带△的算式要验算。 39×72＝         △20－1.8＝         720÷5＝         △614÷6＝ 题型三、四则混合运算及简算 【例题3】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。                    【练习3】计算下面各题，能简算的要简算。 905－（148＋627÷3）             42.5÷2.5×32－44             25×1.6×12.5                                   题型四、用画图法解决问题 【例题4】学校音乐社团男生人数占总人数的，后又有8名男生加入了音乐社团，这时男生人数与女生人数相等，音乐社团原来有多少人？（可以在图中画一画） 【练习4】果园里有桃树240棵，比梨树的棵数多，桃树和梨树一共多少棵？（根据题意，先把线段图补充完整，再计算。） 题型五、用列表法解决问题 【例题5】水果店运来6箱苹果、8箱橙子和5箱梨。每箱苹果20个，每箱橙子18个，每箱梨28个。运来的苹果比梨少多少个？（根据问题，先在表中整理需要的条件，再解答） 苹果 梨 【练习5】小芳、小红和小丽买同一种蛋糕，小芳买了8块用去72元，小红买了12块，小丽用去90元。小红用去多少元？小丽买了多少块？（先列表整理，再解答） 小芳 （    ）块 （    ）元 小红 （    ）块 （    ）元 小丽 （    ）块 （    ）元 题型六、用转化法解决问题 【例题6】某手机店进了一批手机，卖出的数量与剩下的数量比是4∶5，如果再卖出20部，就卖出了这批手机总数的，这批手机共多少部？ 【练习6】学校组织同学们布置元宵节猜灯谜活动场地，已挂的是未挂的灯谜条数的，又挂了15条灯谜后，已挂的和未挂的灯谜条数比是5∶3，一共要挂多少条灯谜？ 题型七、用假设法解决问题 【例题7】两位老师带领42名同学去公园划船，租9只船正好坐满，每只大船坐6人，每只小船坐4人。租的大船和小船各有多少只？ 【练习7】下边架子上的药水共有1230毫升，每个大瓶里的药水比每个小瓶多130毫升。每个大瓶里的药水有多少毫升？每个小瓶呢？ 专项训练 练习一、口算 1．直接写得数。 125%×4＝    1－1÷9＝    0.073＋7.3＝    4.5÷0.09＝ 60×80%＝    3.14×6＝         2．直接写出得数。 ＝         ＝         0.12＝              ＝ ＝           ＝         ＝         3．直接写出得数。                                                                       4．直接写出得数。 2.4×0.5＝    ＝    10.05－9.5＝    ＝ ＝    ＝    0.253＝    ＝ 5．口算。 40×125%＝    ＝    ＋40%＝    9÷45%＝    10－0.01＝ 2.56÷0.6＝    ＝    0.6a×5a＝    ＝    ＝ 练习二、竖式计算 1．竖式计算，带※号的算式要验算。 345×26＝         207×46＝         ※552÷78＝ 2．列竖式计算。 4.2×1.58＝              2.835÷2.7＝           6.72÷28＝ 3．列竖式计算。 100－18.75＝         35.94＋12.7＝         23.7×1.6＝         6.08×25＝ 4．用竖式计算。（带※号的保留两位小数） 1.05×0.26＝          5÷0.25＝          ※2.4÷0.26≈ 5．列竖式计算。（带※的要验算） 55.82＋18.5＝            18.72－6.43＝            ※30－7.62＝ 练习三、四则混合运算及简算 1．用你喜欢的方法计算。                         2．下面各题，怎样算简便就怎样算。                  8.57－（2.57＋4.38）－0.62             3．计算下面各题，能简算的要简算。                                          4．计算下面各题（能简便计算的要简便计算）。 12.5×3.9×8                    0.9＋9.9＋99.9＋999.9                                          5．递等式计算，能简算的要简算。 0.37＋5.49＋0.63         6.8÷（0.5＋0.3×4）                                      6．计算下面各题，能简算的要简算。 756－192÷16         6.4－2.77＋4.6－7.23                              7．递等式计算，能简算的要简算。                                                         8．能简便计算的简便计算。                                练习四、用画图法解决问题 1．江南小学六年级社团人数的信息如下： ① ② ③男生的是48人 ④女生比男生少40人 ⑤六年级社团共有200人 要求出男、女生各有多少人，我选择的信息是（    ）（填序号）。 我的解答： 2．某小学六年级3个班学生参加以“科技改变生活”为主题的创新实践作品征集活动。已知六（1）班提交了48件作品，六（2）班提交的作品件数比六（1）班多。 （1）六（2）班提交了多少件作品？（先把线段图补充完整，再解答） （2）求六（3）班提交的作品件数列式为“48÷（1－20%）”。根据这个算式，需要补充的条件是：____________ 3．工人师傅修一条路，已经修了全长的，还有240米没有修，工人师傅已经修了多少米？（先把线段图补充完整，再解答。） 4．“中国天眼”是目前全球最大的球面射电望远镜（简称FAST），它的球面口为圆形，其直径是曾经世界上最大单口径射电望远镜美国阿雷西博（Arecibo）望远镜球面口直径的。已知，中国FAST比美国Arecibo的直径长150米。中国和美国射电望远镜的球面口直径分别长多少米？（先在线段图中将条件和问题补充完整，再列式计算。） 5．甲、乙两个仓库共有货物112吨，如果从甲仓库取出的货物运到乙仓库，则两个仓库的货物就同样多。原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答。） 练习五、用列表法解决问题 1．用24个边长为1厘米的小正方形拼成一个长方形（边的长度为整厘米数），有多少种不同的拼法？拼成的长方形周长最小是多少厘米？（先列表再解答） 长/厘米 宽/厘米 周长/厘米 答：有（    ）种不同的拼法，拼成的长方形周长最小是（    ）厘米。 2．小磊逛书店，买了13本工具书，10本连环画，8本故事书。已知每本工具书18元， 每本连环画13元，每本故事书15元。（先整理条件，再列式解答） 工具书 （    ）本 每本（    ）元 连环画 （    ）本 每本（    ）元 故事书 （    ）本 每本（    ）元 （1）买工具书和故事书共用去多少元？ （2）买连环画比工具书少用去多少元？ 3．社区举办春节年货义卖活动，志愿者采购了28千克红枣、72千克花生和88千克桂圆。红枣每千克8元，花生每千克6元，桂圆每千克7元。买红枣和桂圆一共用了多少元？（先用自己喜欢的方式整理条件，再解答） 4．24名学生去公园游船，大船每条可坐3人，小船每条可坐2人。如果规定每条船都坐满，一共有多少种不同的坐船方案？请在表中列举出所有不同的坐船方案。 大船/条 小船/条 5．为了检测不同跳绳的性能，学校购买了两种不同价位的跳绳，分别是每根6元的普通跳绳和每根10元的计数跳绳。检测组计划一共买8根，且总预算不超过60元。请你用列举的策略填写下表，并回答问题。 6元/根 10元/根 总价/元 （1）符合要求的购买方案有（    ）种。 （2）正好用完60元，可以买6元的普通跳绳（    ）根和10元的计数跳绳（    ）根。 练习六、用转化法解决问题 1．一捆电线，第一次用去35米，第二次用去全长的，这时已用米数与剩下米数的比是2∶3。原来这捆电线长多少米？ 2．有三堆红、黄颜色的球，每堆有120个。第一堆里的红球和第二堆里的黄球同样多，第三堆有是黄球。这三堆球里共有黄球多少个？（先画图，再解答） 3．国庆那天，明明一家为了重温革命记忆来到了兵工厂兴国官田兵工厂。他们想要从枪炮科步行到弹药科，走了全程的后，发现距离两地中点还有120米，枪炮科到弹药科共有多少米？（请用你喜欢的方式把你的思考过程表示出来） 4．为了弘扬中华优秀传统文化，某校在“非遗进校园”活动中设置了剪纸、陕北秧歌和榆林小曲这三种技艺的比拼（每人只能参加一项）。活动期间，参加剪纸的人数是参加陕北秧歌、榆林小曲人数总和的，参加陕北秧歌的人数是参加剪纸、榆林小曲人数总和的。已知参加榆林小曲的人数有44人。该活动中参加这三种技艺比拼的一共有多少人？ 5．某新型复合材料汽车零部件制造厂设有第一、第二两个核心车间，第一车间与第二车间的人数比是9∶4，为了扩大生产规模，该制造厂从外地研发中心调配40名技术专员加入第二车间，这时第一车间与第二车间的人数比是7∶4。完成调配后第二车间有多少人？ 练习七、用假设法解决问题 1．篮球比赛中，李明投中了16个球，其中有3分球和2分球，总共得了41分。李明投中的3分球和2分球各有多少个？ 2．五（3）班44名同学向西部贫困地区捐书。在这活动中一共捐书218本，其中男生平均每人捐书4本，女生平均每人捐书6本。五（3）班男生和女生各有多少人？ 3．六1班两位老师带42名学生去划船，租10条船正好坐满。每条大船坐5人，每条小船坐3人。租的大船、小船各有多少条？ 4．为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 5．剪纸是中国最古老的民间艺术之一。为了迎接新年的来临，琳琳和聪聪准备做一些福字剪纸。他们用15张大彩纸和9张小彩纸一共剪了180个福字剪纸。已知每张大彩纸所剪个数比每张小彩纸多4个。每张大彩纸和每张小彩纸各可以剪多少个福字剪纸？ 第 2 页 共 51 页 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $