专题14：式与方程（期末专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以“概念-技能-应用”为逻辑主线，系统整合式与方程全考点，通过分级提炼方法与典型例题，培养符号意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|6大考点|字母表示规范、等式性质应用、方程建模步骤|从字母表示到方程求解，构建“概念-解法-应用”链条| |例题讲解|6类题型|和差倍设元技巧、相遇问题等量关系|题型与方法一一对应，突出解题关键步骤| |专项训练|6组练习|分层训练（基础-变式-综合）|强化运算能力与应用意识，覆盖期末高频考法|

专题14：式与方程（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、含有字母式子的化简与求值 2 考点三、解方程 3 考点四、列方程解和差倍问题 4 考点五、列方程解相遇问题 5 考点六、列方程解其他问题 6 例题讲解 7 题型一、用字母表示数 7 题型二、含有字母式子的化简与求值 8 题型三、解方程 9 题型四、列方程解和差倍问题 11 题型五、列方程解相遇问题 12 题型六、列方程解其他问题 13 专项训练 14 练习一、用字母表示数 14 练习二、含有字母式子的化简与求值 17 练习三、解方程 20 练习四、列方程解和差倍问题 27 练习五、列方程解相遇问题 30 练习六、列方程解其他问题 33 考点梳理 考点一、用字母表示数 1. 字母表示数的意义 (1)表示具体的数：字母可以代表任意一个数。 (2)表示数量关系：用含有字母的式子表示两个数量之间的关系，更加简洁、通用。 例：速度 ，时间 ，路程 。 (3)表示计算公式： ①　正方形周长： ②　正方形面积： ③　长方形周长： ④　长方形面积： 2. 书写规范（重要） 在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“ ”，或者省略不写。 (1)数字与字母相乘：数字写在字母前面，省略乘号。 例： 写作 （不能写成 ）。 例： 写作 ； 写作 。 (2)字母与字母相乘：省略乘号，通常按字母表顺序排列。 例： 写作 。 例： 写作 。 (3)相同字母相乘：写成平方的形式。 例： 写作 ，读作“a的平方”，表示2个a相乘。 注意区分： 表示 或 ； 表示 。当 时， ；但当 时， 。 (4)加减法运算：加号、减号、除号不能省略。 例： 不能写成 。 3. 代入求值的基础 (1)当字母表示具体的数时，含有字母的式子也就表示一个具体的数。 (2)注意：在特定情境下，字母的取值范围可能受限。 例：表示人数时，字母必须是自然数；表示边长时，字母必须大于0。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用运算定律对含有字母的式子进行整理，使其更简洁。 (1)乘法分配律的应用： ①　 ②　例： ③　例： (2)去括号法则（初步感知）： ①　括号前是加号，去掉括号，符号不变： ②　括号前是减号，去掉括号，符号改变： 2. 式子的求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：把字母替换成具体的数字。注意：如果代入的是负数或分数，通常需要加上括号。 (3)计算结果：按照四则运算顺序计算出最终结果。 (4)写上单位：如果题目有单位，结果后面要带上单位。 示例格式： 当 时，求 的值。 解： 考点三、解方程 1. 基本概念 (1)方程：含有未知数的等式叫做方程。 ①　判断依据：① 必须是等式（有等号）；② 必须含有未知数（如 ）。 ②　例： 是方程； 不是方程（无未知数）； 不是方程（不是等式）。 (2)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 (3)解方程：求方程的解的过程。 2. 解方程的依据——等式的性质 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 用于解形如 或 的方程。 (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 用于解形如 或 的方程。 3. 常见方程类型及解法思路 （1）基本类型 ①　 ②　 ③　 ④　 （2）稍复杂类型（先化简，再求解） ①　形如 ： 先把 看作一个整体。 第一步：两边同时加减 ，化为 。 第二步：两边同时除以 ，求出 。 ②　形如 ： 先利用乘法分配律合并同类项，化为 。 再求解。 例： 。 ③　形如 ： 方法一：先把 看作一个整体，两边同时除以 。 方法二：先去括号（利用乘法分配律），再求解。 4. 解方程的规范格式 (1)开头写“解：”。 (2)等号要对齐。 (3)每一步只做一个运算动作。 (4)最后得出 。 (5)检验（口头或书面）：把求出的值代入原方程，看左边是否等于右边。 考点四、列方程解和差倍问题 1. 核心思路 (1)找出题目中的关键句，确定单位“1”（标准量）。 (2)通常设**单位“1”**的量为 ，这样另一个量可以用含 的式子表示，便于列出加法或减法关系的方程。 2. 常见数量关系模型 （1）和倍问题 ①　特征：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系。 ②　设句：设较小数（1倍量）为 ，则较大数为 。 ③　等量关系：较小数 + 较大数 = 总和 ④　方程： （2）差倍问题 ①　特征：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系。 ②　设句：设较小数（1倍量）为 ，则较大数为 。 ③　等量关系：较大数 - 较小数 = 差 ④　方程： （3）和差问题 ①　特征：已知两个数的和以及它们的差。 ②　设句：设其中一个数为 ，则另一个数为 或 。 ③　等量关系：根据题目中隐含的倍数或其他条件列方程；若仅知和差，通常直接用算术法，但若要求列方程，可设大数为 ，小数为 ，则 。 3. 解题步骤 (1)审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题。 (2)设元：设未知数 （通常设标准量为 ）。 (3)找关系：找出能连接已知量和未知量的等量关系。 (4)列方程：根据等量关系列出方程。 (5)解方程。 (6)检验并作答。 考点五、列方程解相遇问题 1. 基本概念 (1)相遇问题：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间在途中相遇。 (2)核心要素：速度、时间、路程。 (3)基本公式： ①　速度和 相遇时间 = 总路程 ②　甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程 2. 列方程策略 策略一：利用“路程和”列方程 (1)设：设相遇时间为 小时（或分钟）。 (2)等量关系：甲的速度 + 乙的速度 = 总路程 (3)方程： (4)化简： 策略二：利用“剩余路程”或“特定条件” (1)如果题目问的是“还相距多少千米”或“相遇后又拉开距离”，需结合线段图分析。 (2)注意：相遇问题的关键是时间相同。 3. 易错点 (1)单位统一：速度单位（如千米/时）与时间单位（如分）不一致时，必须先换算。 (2)出发时间：如果是“不同时出发”，需要先计算先出发者走过的路程，再从总路程中减去，或者调整时间变量。 考点六、列方程解其他问题 1. 几何图形问题 (1)周长问题： ①　长方形： ②　正方形： ③　圆： 或 (2)面积问题： ①　三角形： 设底或高为 ，列方程 。 ②　梯形： 。 (3)关键点：熟记公式，将已知数值代入，设未知量为 。 2. 年龄问题 (1)核心规律：两人的年龄差永远不变；两人的年龄倍数关系随时间变化。 (2)解题技巧：抓住“年龄差不变”这一隐含条件列方程。 ①　例：今年爸爸年龄是儿子的4倍，5年后爸爸比儿子大24岁。 ②　设儿子今年 岁，爸爸 岁。 ③　方程： （利用年龄差）。 3. 鸡兔同笼问题（方程法） (1)设：设鸡有 只，则兔有 只。 (2)等量关系：鸡脚总数 + 兔脚总数 = 总脚数 (3)方程： (4)优势：相比假设法，方程法思维更直接，不易出错。 4. 购物与价格问题 (1)基本关系：单价 数量 = 总价 (2)找零问题：付出的钱 - 花去的钱 = 找回的钱 (3)折扣问题：原价 折扣 = 现价 ①　例：一件衣服打八折后是160元，求原价。 ②　设原价为 元， 。 5. 列方程解应用题的通用检查清单 (1)设是否明确？（带单位吗？设句完整吗？） (2)找的等量关系是否正确？（是否符合生活常识？左右两边单位是否一致？） (3)列的方程是否平衡？ (4)解的过程是否准确？ (5)答是否完整？（是否回答了所有问题？是否符合实际意义？例如人数不能是小数。） 例题讲解 题型一、用字母表示数 【例题1】一本书有页，李小华每天看13页，天看了( )页，还剩( )页没有看。 【答案】 13b a －13b 【分析】每天看的页数×天数＝已经看的页数，总页数－已经看的页数＝剩余页数。 【详解】b天看了13b页，还剩a－13b。 【练习1】笔记本每本a元，王老师买了6本笔记本应付( )元。他付出100元，营业员应找回( )元。 【答案】 6a 100－6a 【分析】笔记本单价×买的本数＝应付钱数；付的钱数－应付钱数＝找回的钱数。 【详解】应付：a×6＝6a（元） 找回：（100－6a）元 题型二、含有字母式子的化简与求值 【例题2】水果店上午售出a千克苹果，下午售出的苹果是上午的1.3倍，这一天一共售出苹果( )千克，下午比上午多售出( )千克。 【答案】 2.3a 0.3a 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，所以下午售出1.3a千克苹果。将上午和下午售出的苹果质量相加即可求出一天一共售出的苹果质量；用下午售出的苹果质量减去上午售出的苹果质量即可求出下午比上午多售出的苹果质量。 【详解】a＋1.3a＝2.3a（千克） 1.3a－a＝0.3a（千克） 【练习2】建筑工地用货车运土，每车运a吨。一天上午运4车，下午运36吨。一天共运土( )吨；当a＝4.5时，这天一共运土( )吨。 【答案】 4a＋36 54 【分析】用每车运土的重量×上午运的车次，求出上午运土的重量，再用上午运土的重量＋下午运土的重量，据此求出一天运土的重量。 当a＝4.5时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【详解】a×4＋36＝（4a＋36）吨 当a＝4.5时： 4×4.5＋36 ＝18＋36 ＝54（吨） 建筑工地用货车运土，每车运a吨。一天上午运4车，下午运36吨。一天共运土（4a＋36）吨；当a＝4.5时，这天一共运土54吨。 题型三、解方程 【例题3】解方程。            【答案】；； 【分析】（1）方程两边同时除以。 （2）方程两边同时减去9，方程两边再同时除以。 （3）先算，方程两边再同时除以0.85。 【详解】 解：   解：    解： 【练习3】解方程。                 【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解； （2）先计算等式的左边，即，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以80%，求出方程的解； （3）先计算等式的左边，即，再根据等式的性质，给方程的两边同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 题型四、列方程解和差倍问题 【例题4】学校小记者站今年有学生40人，比去年人数的2.5倍少10人。去年小记者站有学生多少人？（用方程解） 【答案】20人 【分析】分析题目，设去年小记者站有学生x人，根据等量关系：去年小记者站的人数×2.5－10＝今年小记者站的人数，列出方程2.5x－10＝40，最后解出方程即可。 【详解】解：设去年小记者站有学生x人。 2.5x－10＝40 2.5x－10＋10＝40＋10 2.5x＝50 2.5x÷2.5＝50÷2.5 x＝20 答：去年小记者站有学生20人。 【练习4】地球七大洲中亚洲面积最大，大约比欧洲面积的4倍还多400万平方千米。亚洲面积约4400万平方千米，欧洲面积约多少万平方千米？（列方程解答） 【答案】1000万平方千米 【分析】根据题意可得出等量关系：欧洲面积×4＋400＝亚洲面积，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设欧洲面积约万平方千米。 4＋400＝4400 4＋400－400＝4400－400 4＝4000 4÷4＝4000÷4 ＝1000 答：欧洲面积约1000万平方千米。 题型五、列方程解相遇问题 【例题5】两地间的公路长445千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行41千米。经过几小时两车相遇？（用方程解） 【答案】5小时 【分析】把相遇时间设为未知数，等量关系式：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝两地之间的总路程，据此列方程解答。 【详解】解：设经过小时两车相遇。 答：经过5小时两车相遇。 【练习5】甲乙两车同时从两地相对开出，两地相距315千米，5小时后相遇。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】33千米 【分析】设乙车每小时行x千米，根据“总路程＝速度和×相遇时间”，结合等量关系（甲车每小时行的路程＋乙车每小时行的路程）×相遇时间＝总路程，列出方程（30＋x）×5＝315，利用等式的性质求解。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 （30＋x）×5＝315 （30＋x）×5÷5＝315÷5 30＋x＝63 30＋x－30＝63－30 x＝33 答：乙车每小时行33千米。 题型六、列方程解其他问题 【例题6】某苗圃培育了480棵松树苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？（先把下面的线段图补充完整，并标出已知条件和问题，再列方程解答） 【答案】图见详解：400棵 【分析】把原计划线段上标出“？，再在实际的右边画一条线段，比原计划多一些，标出多20%，再标出480棵，据此画图。 设原计划培育松树苗x棵；实际培育松树苗是原计划的（1＋20%），用原计划培育松树苗的棵数×（1＋20%）＝实际培育松树苗棵数，列方程：x×（1＋20%）＝480，解方程，即可解答。 【详解】如图： 解：设原计划培育松树苗x棵。 x×（1＋20%）＝480 1.2x＝480 x＝480÷1.2 x＝400 答：原计划培育松树苗400棵。 【练习6】小明在读一本《科普知识大全》，第一天读了30页，第二天又读了全书的30%，两天正好看了全书的。这本《科普知识大全》共多少页？（用方程解） 【答案】100 页 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，设全书共有页。根据题意可知，第一天读的页数＋第二天读的页数＝两天一共读的页数。第二天读了全书的，即页；两天一共读了全书的，即页。据此列出方程求解即可。 【详解】解：设这本《科普知识大全》共页。 答：这本《科普知识大全》共100页。 专项训练 练习一、用字母表示数 1．把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 【答案】C 【分析】长方体高增加2厘米后，表面积的变化仅与前后、左右四个面相关。每个前面的面积增加量为2a，每个左面的面积增加量为2b，共有两个前面和两个左面，再将前面×2＋左面×2即可。 【详解】2×2a＋ 2×2b ＝4a＋4b ＝ 4（a ＋ b） 则这个长方体的表面积会增加4（a＋b）平方厘米。 故答案为：C 2．小刚今年x岁，小红今年（x＋2）岁，再过10年后，他们相差（    ）岁。 A．10 B．x＋2 C．2 D．x 【答案】C 【分析】年龄差永不变，小红今年的年龄－小刚今年的年龄＝两人年龄差。 【详解】x＋2－x＝2（岁） 再过10年后，他们相差2岁。 3．女生有x人，男生比女生的3倍少9人，男生有( )人。 【答案】3x－9 【分析】男生比女生的3倍少9人，则男生人数＝女生人数×3－9人，据此用含有字母的式子表示出男生人数。 【详解】分析可知，女生有x人，男生比女生的3倍少9人，男生有（3x－9）人。 4．周二上午医院口腔科有a名病人，比皮肤科病人多5名，那么皮肤科有( )名病人。口腔科与皮肤科一共有( )名病人。 【答案】 a－5 2a－5 【分析】已知口腔科有a名病人，比皮肤科病人多5名，数量关系：口腔科病人的人数－5＝皮肤科病人的人数，据此用含字母的式子表示数量关系。 数量关系：口腔科病人的人数＋皮肤科病人的人数＝口腔科与皮肤科病人的总人数，据此用含字母的式子表示数量关系。 【详解】皮肤科有（a－5）名病人； 口腔科与皮肤科一共有病人：a＋a－5＝（2a－5）名 5．三个连续自然数，中间一个数是n，其他两个数分别是( )和( )，和是( )。 【答案】 （n－1） （n＋1） 3n 【分析】相邻的两个自然数之间相差1，中间自然数－1＝较小自然数，中间自然数＋1＝较大自然数，中间自然数×3＝三个自然数的和。 【详解】三个连续自然数，中间一个数是n，中间一个数分别减1和加1，是另外两个自然数，其他两个数分别是（n－1）和（n＋1），n×3＝3n，和是3n。 6．某长方形的长是宽的2倍。如果宽是x米，那么长应是( )米，周长是( )米。 【答案】 2x 6x 【分析】已知长方形的长是宽的2倍，宽为x米，根据“求一个数的几倍是多少，用乘法”，求出长。再根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数值，即可解答。 【详解】长：x×2＝2x（米） 周长：（2x＋x）×2 ＝3x×2 ＝6x（米） 7．用若干张边长是1厘米的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层……的图形。如果摆4层，需要( )个正方形纸片，摆成的图形的周长是( )厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是( )厘米。 【答案】 16 22 6n－2 【分析】根据图示可知： 摆1层需要的正方形个数：1个，周长为4厘米； 摆2层需要的正方形个数：4个，4＝1＋3＝22，周长为4＋6×1＝10（厘米）； 摆3层需要的正方形个数：9个，9＝1＋3＋5＝32；周长为4＋6×2＝16（厘米）； 摆4层需要的正方形个数：16个，16＝1＋3＋5＋7＝42；周长为4＋6×3＝22（厘米）； … 摆n层需要的正方形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2（个）；周长为4＋6×（n－1）＝6n－2（厘米）。 据此解答。 【详解】摆n层需要的正方形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2（个）；周长为4＋6×（n－1）＝6n－2（厘米）。 当n＝4时，n2＝42＝16（个） 6n－2＝6×4－2＝22（厘米） 如果摆4层，需要16个正方形纸片，摆成的图形的周长是22厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是（6n－2）厘米。 练习二、含有字母式子的化简与求值 1．小明把6x－8错写成6（x－8），结果比原来（    ）。 A．多8 B．少8 C．少40 D．多40 【答案】C 【分析】先根据乘法分配律将化简，然后比较大小（被减数相同，减数越大，差越小），再将减数作差。 【详解】 8＜48，即＞； 48－8＝40 所以结果比原来少40。 2．故事书比科普书的2倍还多12本，如果科普书有x本，那么故事书有( )本，当x＝18时，故事书和科普书一共有( )本。 【答案】 2x＋12 66 【分析】根据题意可知，等量关系：故事书的数量＝科普书的数量×2＋12，把科普书的数量用x表示，代入等量关系得到故事书的数量为（2x＋12）本；当x＝18时，先将x的值代入式子求出故事书的具体数量，再把故事书的数量与科普书的数量相加，求出两种书一共的本数。 【详解】2×x＋12＝（2x＋12）本 当x＝18时 2×18＋12 ＝36＋12 ＝48（本） 18＋48＝66（本） 3．已知华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，那么当摄氏温度＝20℃时，华氏温度是( )°F；当华氏温度＝32°F时，摄氏温度是( )℃。 【答案】 68 0 【分析】由华氏温度＝摄氏度×1.8＋32，可知，摄氏度＝（华氏温度－32）÷1.8；分别把摄氏度＝20℃，华氏温度＝68°F代入对应的华氏温度和摄氏度，即可解答。 【详解】当摄氏温度＝20℃时： 20×1.8＋32 ＝36＋32 ＝68（°F） 当华氏温度＝32°F时： （32－32）÷1.8 ＝0÷1.8 ＝0（℃） 4．学校科技组有人，合唱组的人数是科技组的2.6倍，合唱组有( )人，科技组和合唱组一共有( )人。当时，合唱组比科技组多( )人。 【答案】 48 【分析】①求一个数是另一个数的几倍，用乘法计算。合唱组的人数＝科技组的人数×倍数； ②科技组和合唱组的总人数＝科技组的人数＋合唱组的人数； ③合唱组比科技组多的人数＝合唱组的人数－科技组的人数；再将代入求解。 【详解】合唱组的人数有：（人）； 科技组和合唱组的总人数为：（人）； 合唱组比科技组多的人数为：（人） 当时，（人） 5．今年江苏开展“绿美乡村”建设，某村购买树苗A棵，每棵12.5元，购买花苗B盆，每盆8元，一共要付( )元；当，时，一共要付( )元。 【答案】 12.5A＋8B 370 【分析】树苗A的单价×棵数＋花苗B的单价×盆数＝总钱数；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】12.5×A＋8×B＝（12.5A＋8B）元 12.5A＋8B ＝12.5×20＋8×15 ＝250＋120 ＝370（元） 6．《中华人民共和国国旗法》规定，国旗的长应是宽的1.5倍。如果国旗的宽是x米，那么国旗的长是( )米，周长是( )米。一面国旗的长是1.44米。它的宽是( )米。 【答案】 1.5x 5x 0.96 【分析】根据一个数的几倍是多少，用乘法。先求出国旗的长，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出周长的表达式；最后根据“已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法”，求出当国旗的长为1.44米时，宽的值。 【详解】如果国旗的宽是x米，那么国旗的长是1.5×x＝1.5x（米）。 周长为：（x＋1.5x）×2 ＝2.5x×2 ＝5x（米） 当长为1.44米时，宽为：1.44÷1.5＝0.96（米）。 7．一辆汽车每小时行驶a千米，上午行驶了2小时，下午行驶了200千米。 (1)这辆汽车一共行驶了多少千米？（用含有字母的式子表示） (2)当a＝70时，这辆汽车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)（2a＋200）千米 (2)340千米 【分析】（1）根据“速度×时间＝路程”，先求出上午行驶的路程；再加上下午行驶的200千米，即可用含有字母的式子表示这辆汽车一共行驶的路程。 （2）将a＝70代入（1）中求出的含有字母的式子，按照运算顺序计算出结果即可。 【详解】（1）上午行驶的路程：2×a＝2a（千米） 一共行驶的路程：（2a＋200）千米 答：这辆汽车一共行驶了（2a＋200）千米。 （2）把a＝70，代入2a＋200中，可得： 2a＋200 ＝2×70＋200 ＝140＋200 ＝340（千米） 答：这辆汽车一共行驶了340千米。 练习三、解方程 1．解方程，带☆的要检验。 x－12.5＝3.08       x－2.4＋0.6＝32      9.8－3x＝4.1        ☆x－0.3x＝1.05 【答案】x＝15.58；x＝33.8； x＝1.9；x＝1.5 【分析】根据等式的性质1，方程两边同时加上12.5即可。 根据等式的性质1，方程两边同时加上2.4，再同时减去0.6即可。 根据等式的性质1，方程两边同时加上3x，再同时减去4.1，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可。 先化简方程左边含有x的算式，即求出1－0.3的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－0.3的差即可。检验方法：把方程的解代入原方程，如果方程的左边等于右边，就说明是原方程的解 【详解】x－12.5＝3.08 解：x－12.5＋12.5＝3.08＋12.5 x＝15.58 x－2.4＋0.6＝32 解：x－2.4＋0.6＋2.4－0.6＝32＋2.4－0.6 x＝34.4－0.6 x＝33.8 9.8－3x＝4.1 解：9.8－3x＋3x－4.1＝4.1－4.1＋3x 3x＝9.8－4.1 3x＝5.7 3x÷3＝5.7÷3 x＝1.9 x－0.3x＝1.05 解：0.7x＝1.05 0.7x÷0.7＝1.05÷0.7 x＝1.5 检验：把x＝1.5代入原方程； 左边＝1.5－0.3×1.5 ＝1.5－0.45 ＝1.05 右边＝1.05 左边＝右边，所以x＝1.5是方程的解。 2．求未知数。                                【答案】 ；； 【分析】①根据等式的性质2，等式两边先同时乘，再同时除以4； ②先根据等式的性质1，等式两边同时减去；再根据等式的性质2，等式两边同时除以； ③先计算等式左边；再根据等式的性质2，等式两边同时除以。 【详解】 解： 解： 解： 3．解方程。            【答案】 x＝16；x＝；x＝20 【分析】第一题：根据等式的性质，方程两边同时减去 8，再同时除以 25%。 第二题：根据等式的性质，方程两边同时乘 ，化简后再同时除以 2。 第三题：根据等式的性质，方程两边同时减去 1，再同时除以 45%。 【详解】 解：0.25x＋8＝12 0.25x＋8－8＝12－8 0.25x＝4 0.25x÷0.25＝4÷0.25 x＝16 解：2x÷×＝12× 2x＝ 2x÷2＝÷2 x＝× x＝ 1＋45%x＝10 解：1＋0.45x＝10 1＋0.45x－1＝10－1 0.45x＝9 0.45x÷0.45＝9÷0.45 x＝20 4．解方程。                     【答案】；； 【分析】（1）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 5．解方程。                              【答案】；；； 【分析】（1）先将75%化成分数，将方程左边化简，再利用等式性质2，两边同时除以。 （2）先利用等式性质1，方程两边同时加24，再利用等式性质2，两边同时除以。 （3）将看作一个整体，先利用等式性质2，方程两边同时除以，再利用等式性质1，两边同时减去1.2。 （4）先计算方程左边的，利用等式性质1，方程两边同时减去，再利用等式性质2，两边同时除以。 【详解】 解： 解： 解： 解： 练习四、列方程解和差倍问题 1．小红身高1.56米，是她妹妹身高的1.2倍。小红妹妹身高多少米？（列方程解答） 【答案】1.3米 【分析】根据题意可列出等量关系式：小红妹妹身高×1.2＝小红身高，将小红身高代入等量关系式，小红妹妹身高未知，则设为x米，解方程可得小红妹妹身高。 【详解】解：设小红妹妹身高x米。 1.2x＝1.56 1.2x÷1.2＝1.56÷1.2 x＝1.3 答：小红妹妹身高1.3米。 2．为丰富同学们的校园生活，学校开设了合唱、陶艺等多个特色社团。其中，参加合唱社团的有56人，是陶艺社团的2倍多8人。参加陶艺社团的有多少人？（列方程解答） 【答案】24人 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设参加陶艺社团的有x人，根据参加陶艺社团的人数×2＋8人＝参加合唱社团的人数，列出方程解答即可。 【详解】解：设参加陶艺社团的有x人。 2x＋8＝56 2x＋8－8＝56－8 2x＝48 2x÷2＝48÷2 x＝24 答：参加陶艺社团的有24人。 3．神舟十三号三位宇航员在太空停留的时间又一次刷新了历史，约达到183天，比神舟十二号宇航员在太空驻留时间的1.5倍还多48天。那么神舟十二号宇航员在太空停留了多少天呢？（列方程解答） 【答案】90天 【分析】将神舟十二号宇航员在太空停留的天数设为未知数，再根据“神舟十二号宇航员在太空停留的天数×1.5＋48天＝神舟十三号宇航员在太空停留的天数”列方程解方程即可。 【详解】解：设神舟十二号宇航员在太空停留了x天。 1.5x＋48＝183 1.5x＋48－48＝183－48 1.5x＝135 1.5x÷1.5＝135÷1.5 x＝90 答：神舟十二号宇航员在太空停留了90天。 4．2025年5月29日1时31分，天问二号探测器成功发射，正式开启中国首次小行星采样返回与彗星伴飞探测任务。于2020年7月23日成功发射的天问一号探测器则是中国首个火星探测器，总重量约5吨，比天问二号探测器总重量的3倍少1.3吨，你知道天问二号探测器的总重量是多少吨吗？（列方程解答） 【答案】2.1吨 【分析】根据题意可知，天问二号探测器的总重量×3－1.3吨＝天问一号探测器的总重量，假设天问二号探测器的总重量为x吨，由此可列方程：3x－1.3＝5。解方程即可求出x的值。 【详解】解：假设天问二号探测器的总重量为x吨。 3x－1.3＝5 3x－1.3＋1.3＝5＋1.3 3x＝6.3 3x÷3＝6.3÷3 x＝2.1 答：天问二号探测器的总重量是2.1吨。 5．2022年4月16日，“摘星星的妈妈回来啦”。神舟十三号中的三位宇航员在太空驻留的时间约达183天，比神舟十二号的宇航员在太空驻留时间的1.5倍处多48天。神舟十二号的宇航员在太空驻留了多少天？（列方程解答） 【答案】90天 【分析】设神舟十二号的宇航员在太空驻留x天，再根据神舟十二号的宇航员在太空驻留时间×1.5＋48天＝神舟十三号中的三位宇航员在太空驻留的时间，列出方程解答即可。 【详解】解：设神舟十二号的宇航员在太空驻留x天。 答：神舟十二号的宇航员在太空驻留了90天。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是找到题中的等量关系。 6．学校组织学生参观某实践基地。请根据右表中信息，先提出一个数学问题，再列方程进行解答。（问题写在横线上） 参观人数 所付费用 四年级132人 五年级145人 五年级比四年级多用65元 问题：_______________？ 【答案】每个人的参观费用是多少元；5元 【分析】根据表中信息，可提出：每个人的参观费用是多少元？因为五年级比四年级多用65元，可得等量关系式：五年级的费用－四年级的费用＝65元，设每个人的参观费用是元，则五年级的费用为，四年级的费用为，根据等量关系式可列方程：，解出方程，即可求出每个人的参观费用是多少元，据此解答。 【详解】问题：每个人的参观费用是多少元？ 解：设每个人的参观费用是元。 答：每个人的参观费用是5元。 练习五、列方程解相遇问题 1．一列客车和一列货车从相距465千米的甲、乙两地同时出发，相向而行。客车每小时行90千米，货车每小时行65千米，几小时后两车相遇？ 【答案】3小时 【分析】把相遇时间设为未知数，等量关系式：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两车行驶的总路程，故设两车的相遇时间为x小时，据此列方程解答。 【详解】解：设x小时后两车相遇。 （90＋65）x＝465 155x＝465 155x÷155＝465÷155 x＝3 答：3小时后两车相遇。 2．小明和小刚骑车同时从相距5000米的两地相向而行，小明的速度是200米/分，小刚的速度是300米/分。多长时间后，两人距离相遇只剩1000米？（列方程解决问题） 【答案】8分钟 【分析】两人同时从两地相向而行，此时两人尚未相遇，中间相距1000米。依据，可以得出小明骑行的路程加上小刚骑行的路程就等于总路程减去剩下的1000米。设经过的时间为分钟，利用速度乘时间等于路程，表示出两人骑行的路程，再根据前面的等量关系列出方程求解。 【详解】解：设分钟后，两人距离相遇只剩1000米。 答：8分钟后，两人距离相遇只剩1000米。 3．两辆AI物流车从A、B两地同时出发相向送货。甲车时速54千米/时，乙车时速60千米/时。相遇时乙车比甲车多行驶18千米，正好行了多少小时？（用方程解） 【答案】3小时 【分析】设两车行驶了x小时；根据题意可得等量关系：乙车行驶的路程－甲车行驶的路程＝18千米；据此列出方程： 60x－54x＝18 ；解方程即可解答。 【详解】解：设行了x小时。 60x－54x＝18 6x＝18 6x÷6＝18÷6 x＝3 答：正好行了3小时。 4．甲、乙两辆汽车从相距360千米的两地相向而行，3小时后两车相距60千米（已经相遇但未走完全程），甲车每小时行75千米，求乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】65千米 【分析】根据题意，两车相向而行，3小时后已经相遇且相距60千米，说明两车行驶的总路程等于两地间的距离加上相遇后继续行驶相距的60千米。设乙车每小时行千米，根据“速度和×时间＝总路程”的等量关系列出方程求解。 【详解】解：设乙车每小时行千米。 答：乙车每小时行65千米。 5．复兴号高铁列车与和谐号高铁列车同时从A城和B城相对开出，和谐号平均每小时行驶270千米，复兴号的速度是和谐号速度的1.2倍。已知A、B两城相距1485千米，两车开出后，经过多长时间相遇？（列方程解答） 【答案】2.5小时 【分析】和谐号速度×1.2＝复兴号速度，设经过x小时相遇，根据和谐号速度×相遇时间＋复兴号速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设经过x小时相遇。 270x＋270×1.2x＝1485 270x＋324x＝1485 594x＝1485 594x÷594＝1485÷594 x＝2.5 答：经过2.5小时相遇。 6．甲、乙两地间的铁路长496千米。一列客车从甲地开往乙地，每小时行驶92千米。客车开出半小时后，一列货车从乙地开往甲地，每小时行驶88千米。货车开出多长时间后与客车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】根据题意和相遇问题的公式“速度和×相遇时间＝路程”可得出等量关系：客车的速度×先行驶的时间＋（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】半小时＝0.5小时 解：设货车开出小时后与客车相遇。 92×0.5＋（92＋88）＝496 46＋180＝496 46＋180－46＝496－46 180＝450 180÷180＝450÷180 ＝2.5 答：货车开出2.5小时后与客车相遇。 练习六、列方程解其他问题 1．某镇今年参加农村合作医疗的人数达到了15.2万人，比去年参加农村合作医疗的人数多4.9万人。这个镇去年有多少万人参加了农村合作医疗？ 【答案】10.3万人 【分析】根据题意，可找出​​数量关系：去年人数＋增加人数＝今年人数，​​依据数量关系，设这个镇去年有x万人参加了农村合作医疗。可建立方程 x＋4.9＝15.2，解答出方程结果即可。 【详解】解：设这个镇去年有x万人参加了农村合作医疗。 x＋4.9＝15.2   x＋4.9－4.9＝15.2－4.9 x＝10.3 答：这个镇去年有10.3万人参加了农村合作医疗。 2．亚太经合组织（PEC）第二十二次领导人非正式会议在北京召开，中国邮政发行纪念邮票1枚。邮票面积1800平方毫米，长60毫米。邮票宽多少毫米？（列方程解决） 【答案】30毫米 【分析】分析题目，设邮票宽x毫米，根据长方形的面积＝长×宽列出方程60x＝1800，进一步解出方程即可。 【详解】解：设邮票宽x毫米。 60x＝1800 60x÷60＝1800÷60 x＝30 答：邮票宽30毫米。 3．某热电厂有600吨煤，烧了5个月还剩15吨，平均每月烧煤多少吨？（列方程解决） 【答案】117吨 【分析】分析题目，设平均每月烧煤x吨，根据等量关系：平均每月烧煤的吨数×5＋剩下的吨数＝这吨煤的总吨数列出方程5x＋15＝600，最后解出方程即可。 【详解】解：设平均每月烧煤x吨。    5x＋15＝600 5x＋15－15＝600－15 5x＝585 5x÷5＝585÷5 x＝117 答：平均每月烧煤117吨。 4．某快餐店某天共接了160个外卖订单，其中A种电子支付的订单数是B种电子支付订单数的1.5倍。A种电子支付订单和B种电子支付订单各有多少个？（用方程解） 【答案】A 种96个；B种64 个 【分析】根据“A种电子支付的订单数是B种电子支付订单数的1.5倍”可以设B种电子支付订单有个，则A种电子支付订单有1.5个； 根据“共接了160个外卖订单”可得出等量关系：A种订单数＋B种订单数＝总订单数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设B种电子支付订单有个，则A种电子支付订单有1.5个。 1.5＋＝160 2.5＝160 2.5÷2.5＝160÷2.5 ＝64 A种：64×1.5＝96（个） 答：A种电子支付订单有96个，B种电子支付订单有64个。 5．扬州城市书房运来一批文学类书籍和经济类书籍，文学类书籍比经济类书籍少300本，文学类书籍的本数是经济类书籍的，文学类、经济类书箱各有多少本？ 【答案】文学类600本；经济类900本 【分析】根据“文学类书籍的本数是经济类书籍的”，可以设经济类书籍有本，则文学类书籍有本； 根据“文学类书籍比经济类书籍少300本”可得出等量关系：经济类书籍－文学类书籍＝文学类书籍比经济类书籍少的本数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经济类书籍有本，则文学类书籍有本。 －＝300 ＝300 ÷＝300÷ ＝300×3 ＝900 文学类：900×＝600（本） 答：文学类书籍有600本，经济类书籍有900本。 6．甲、乙两辆汽车同时从南京开往上海，3小时后甲车落后于乙车48千米。已知乙车每小时行76千米，甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】60千米 【分析】分析题目，设甲车每小时行x千米，根据等量关系式：（乙车的速度－甲车的速度）×时间＝48列出方程3（76－x）＝48，再进一步解出方程即可。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 3（76－x）＝48 3（76－x）÷3＝48÷3 76－x＝16 x＝76－16 x＝60 答：甲车每小时行60千米。 7．国家标准《住宅设计规范》中规定：普通住宅层高宜为2.80米（除一层外）。幸福小区一幢20层的楼高57米，除一层高度是3.8米外，其余每层的高度都相等，其余每层的高度符合国家标准吗？（列方程解答） 【答案】符合国家标准 【分析】根据题意，可知数量关系：（楼层数－1）×除一层外的每层高度＋一楼的高度＝一幢的高度；设其余每层的高度都是x米，然后根据数量关系列方程，运用等式的性质解方程即可。 【详解】解：设其余每层的高度都是x米。 （20－1）x＋3.8＝57 19x＋3.8＝57 19x＝57－3.8 19x＝53.2 x＝53.2÷19 x＝2.8 2.8米＝2.80米 答：其余每层的高度符合国家标准。 8．临近毕业，同学们和自己的好朋友互赠礼物。酷爱集卡的小华和小明互赠卡片。两人共有112张，小华拿出自己拥有卡片的送给小明，现在两人的卡片张数就同样多。原来小华和小明各有多少张卡片？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】小华72张；小明40张 【分析】根据题意，设小华有张，则小明有（112－）张卡片；小华拿出自己拥有卡片的送给小明，即送给小明张，那么小华还剩张，小明则有张，现在两人的卡片张数就同样多，所以可以列出方程，解出未知数即是小华卡片的张数，再用两人卡片的总张数减去小华的张数，求出小明卡片的张数。 【详解】如图： 解：设小华有张，则小明有（112－）张卡片。 ＝72 112－72＝40（张） 答：小华有72张卡片，小明有40张卡片。 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14：式与方程（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、含有字母式子的化简与求值 2 考点三、解方程 3 考点四、列方程解和差倍问题 4 考点五、列方程解相遇问题 5 考点六、列方程解其他问题 6 例题讲解 7 题型一、用字母表示数 7 题型二、含有字母式子的化简与求值 7 题型三、解方程 8 题型四、列方程解和差倍问题 8 题型五、列方程解相遇问题 9 题型六、列方程解其他问题 9 专项训练 10 练习一、用字母表示数 10 练习二、含有字母式子的化简与求值 10 练习三、解方程 11 练习四、列方程解和差倍问题 12 练习五、列方程解相遇问题 14 练习六、列方程解其他问题 15 考点梳理 考点一、用字母表示数 1. 字母表示数的意义 (1)表示具体的数：字母可以代表任意一个数。 (2)表示数量关系：用含有字母的式子表示两个数量之间的关系，更加简洁、通用。 例：速度 ，时间 ，路程 。 (3)表示计算公式： ①　正方形周长： ②　正方形面积： ③　长方形周长： ④　长方形面积： 2. 书写规范（重要） 在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“ ”，或者省略不写。 (1)数字与字母相乘：数字写在字母前面，省略乘号。 例： 写作 （不能写成 ）。 例： 写作 ； 写作 。 (2)字母与字母相乘：省略乘号，通常按字母表顺序排列。 例： 写作 。 例： 写作 。 (3)相同字母相乘：写成平方的形式。 例： 写作 ，读作“a的平方”，表示2个a相乘。 注意区分： 表示 或 ； 表示 。当 时， ；但当 时， 。 (4)加减法运算：加号、减号、除号不能省略。 例： 不能写成 。 3. 代入求值的基础 (1)当字母表示具体的数时，含有字母的式子也就表示一个具体的数。 (2)注意：在特定情境下，字母的取值范围可能受限。 例：表示人数时，字母必须是自然数；表示边长时，字母必须大于0。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用运算定律对含有字母的式子进行整理，使其更简洁。 (1)乘法分配律的应用： ①　 ②　例： ③　例： (2)去括号法则（初步感知）： ①　括号前是加号，去掉括号，符号不变： ②　括号前是减号，去掉括号，符号改变： 2. 式子的求值步骤 (1)写出原式：抄写含有字母的式子。 (2)代入数值：把字母替换成具体的数字。注意：如果代入的是负数或分数，通常需要加上括号。 (3)计算结果：按照四则运算顺序计算出最终结果。 (4)写上单位：如果题目有单位，结果后面要带上单位。 示例格式： 当 时，求 的值。 解： 考点三、解方程 1. 基本概念 (1)方程：含有未知数的等式叫做方程。 ①　判断依据：① 必须是等式（有等号）；② 必须含有未知数（如 ）。 ②　例： 是方程； 不是方程（无未知数）； 不是方程（不是等式）。 (2)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 (3)解方程：求方程的解的过程。 2. 解方程的依据——等式的性质 (1)性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 用于解形如 或 的方程。 (2)性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 用于解形如 或 的方程。 3. 常见方程类型及解法思路 （1）基本类型 ①　 ②　 ③　 ④　 （2）稍复杂类型（先化简，再求解） ①　形如 ： 先把 看作一个整体。 第一步：两边同时加减 ，化为 。 第二步：两边同时除以 ，求出 。 ②　形如 ： 先利用乘法分配律合并同类项，化为 。 再求解。 例： 。 ③　形如 ： 方法一：先把 看作一个整体，两边同时除以 。 方法二：先去括号（利用乘法分配律），再求解。 4. 解方程的规范格式 (1)开头写“解：”。 (2)等号要对齐。 (3)每一步只做一个运算动作。 (4)最后得出 。 (5)检验（口头或书面）：把求出的值代入原方程，看左边是否等于右边。 考点四、列方程解和差倍问题 1. 核心思路 (1)找出题目中的关键句，确定单位“1”（标准量）。 (2)通常设**单位“1”**的量为 ，这样另一个量可以用含 的式子表示，便于列出加法或减法关系的方程。 2. 常见数量关系模型 （1）和倍问题 ①　特征：已知两个数的和以及它们之间的倍数关系。 ②　设句：设较小数（1倍量）为 ，则较大数为 。 ③　等量关系：较小数 + 较大数 = 总和 ④　方程： （2）差倍问题 ①　特征：已知两个数的差以及它们之间的倍数关系。 ②　设句：设较小数（1倍量）为 ，则较大数为 。 ③　等量关系：较大数 - 较小数 = 差 ④　方程： （3）和差问题 ①　特征：已知两个数的和以及它们的差。 ②　设句：设其中一个数为 ，则另一个数为 或 。 ③　等量关系：根据题目中隐含的倍数或其他条件列方程；若仅知和差，通常直接用算术法，但若要求列方程，可设大数为 ，小数为 ，则 。 3. 解题步骤 (1)审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题。 (2)设元：设未知数 （通常设标准量为 ）。 (3)找关系：找出能连接已知量和未知量的等量关系。 (4)列方程：根据等量关系列出方程。 (5)解方程。 (6)检验并作答。 考点五、列方程解相遇问题 1. 基本概念 (1)相遇问题：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间在途中相遇。 (2)核心要素：速度、时间、路程。 (3)基本公式： ①　速度和 相遇时间 = 总路程 ②　甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程 2. 列方程策略 策略一：利用“路程和”列方程 (1)设：设相遇时间为 小时（或分钟）。 (2)等量关系：甲的速度 + 乙的速度 = 总路程 (3)方程： (4)化简： 策略二：利用“剩余路程”或“特定条件” (1)如果题目问的是“还相距多少千米”或“相遇后又拉开距离”，需结合线段图分析。 (2)注意：相遇问题的关键是时间相同。 3. 易错点 (1)单位统一：速度单位（如千米/时）与时间单位（如分）不一致时，必须先换算。 (2)出发时间：如果是“不同时出发”，需要先计算先出发者走过的路程，再从总路程中减去，或者调整时间变量。 考点六、列方程解其他问题 1. 几何图形问题 (1)周长问题： ①　长方形： ②　正方形： ③　圆： 或 (2)面积问题： ①　三角形： 设底或高为 ，列方程 。 ②　梯形： 。 (3)关键点：熟记公式，将已知数值代入，设未知量为 。 2. 年龄问题 (1)核心规律：两人的年龄差永远不变；两人的年龄倍数关系随时间变化。 (2)解题技巧：抓住“年龄差不变”这一隐含条件列方程。 ①　例：今年爸爸年龄是儿子的4倍，5年后爸爸比儿子大24岁。 ②　设儿子今年 岁，爸爸 岁。 ③　方程： （利用年龄差）。 3. 鸡兔同笼问题（方程法） (1)设：设鸡有 只，则兔有 只。 (2)等量关系：鸡脚总数 + 兔脚总数 = 总脚数 (3)方程： (4)优势：相比假设法，方程法思维更直接，不易出错。 4. 购物与价格问题 (1)基本关系：单价 数量 = 总价 (2)找零问题：付出的钱 - 花去的钱 = 找回的钱 (3)折扣问题：原价 折扣 = 现价 ①　例：一件衣服打八折后是160元，求原价。 ②　设原价为 元， 。 5. 列方程解应用题的通用检查清单 (1)设是否明确？（带单位吗？设句完整吗？） (2)找的等量关系是否正确？（是否符合生活常识？左右两边单位是否一致？） (3)列的方程是否平衡？ (4)解的过程是否准确？ (5)答是否完整？（是否回答了所有问题？是否符合实际意义？例如人数不能是小数。） 例题讲解 题型一、用字母表示数 【例题1】一本书有页，李小华每天看13页，天看了( )页，还剩( )页没有看。 【练习1】笔记本每本a元，王老师买了6本笔记本应付( )元。他付出100元，营业员应找回( )元。 题型二、含有字母式子的化简与求值 【例题2】水果店上午售出a千克苹果，下午售出的苹果是上午的1.3倍，这一天一共售出苹果( )千克，下午比上午多售出( )千克。 【练习2】建筑工地用货车运土，每车运a吨。一天上午运4车，下午运36吨。一天共运土( )吨；当a＝4.5时，这天一共运土( )吨。 题型三、解方程 【例题3】解方程。            【练习3】解方程。                 题型四、列方程解和差倍问题 【例题4】学校小记者站今年有学生40人，比去年人数的2.5倍少10人。去年小记者站有学生多少人？（用方程解） 【练习4】地球七大洲中亚洲面积最大，大约比欧洲面积的4倍还多400万平方千米。亚洲面积约4400万平方千米，欧洲面积约多少万平方千米？（列方程解答） 题型五、列方程解相遇问题 【例题5】两地间的公路长445千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行41千米。经过几小时两车相遇？（用方程解） 【练习5】甲乙两车同时从两地相对开出，两地相距315千米，5小时后相遇。甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 题型六、列方程解其他问题 【例题6】某苗圃培育了480棵松树苗，比原计划多20%。原计划培育松树苗多少棵？（先把下面的线段图补充完整，并标出已知条件和问题，再列方程解答） 【练习6】小明在读一本《科普知识大全》，第一天读了30页，第二天又读了全书的30%，两天正好看了全书的。这本《科普知识大全》共多少页？（用方程解） 专项训练 练习一、用字母表示数 1．把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 2．小刚今年x岁，小红今年（x＋2）岁，再过10年后，他们相差（    ）岁。 A．10 B．x＋2 C．2 D．x 3．女生有x人，男生比女生的3倍少9人，男生有( )人。 4．周二上午医院口腔科有a名病人，比皮肤科病人多5名，那么皮肤科有( )名病人。口腔科与皮肤科一共有( )名病人。 5．三个连续自然数，中间一个数是n，其他两个数分别是( )和( )，和是( )。 6．某长方形的长是宽的2倍。如果宽是x米，那么长应是( )米，周长是( )米。 7．用若干张边长是1厘米的正方形纸片，像如图这样依次摆出1层、2层、3层……的图形。如果摆4层，需要( )个正方形纸片，摆成的图形的周长是( )厘米；如果摆出n层，摆成的图形的周长是( )厘米。 练习二、含有字母式子的化简与求值 1．小明把6x－8错写成6（x－8），结果比原来（    ）。 A．多8 B．少8 C．少40 D．多40 2．故事书比科普书的2倍还多12本，如果科普书有x本，那么故事书有( )本，当x＝18时，故事书和科普书一共有( )本。 3．已知华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，那么当摄氏温度＝20℃时，华氏温度是( )°F；当华氏温度＝32°F时，摄氏温度是( )℃。 4．学校科技组有人，合唱组的人数是科技组的2.6倍，合唱组有( )人，科技组和合唱组一共有( )人。当时，合唱组比科技组多( )人。 5．今年江苏开展“绿美乡村”建设，某村购买树苗A棵，每棵12.5元，购买花苗B盆，每盆8元，一共要付( )元；当，时，一共要付( )元。 6．《中华人民共和国国旗法》规定，国旗的长应是宽的1.5倍。如果国旗的宽是x米，那么国旗的长是( )米，周长是( )米。一面国旗的长是1.44米。它的宽是( )米。 7．一辆汽车每小时行驶a千米，上午行驶了2小时，下午行驶了200千米。 (1)这辆汽车一共行驶了多少千米？（用含有字母的式子表示） (2)当a＝70时，这辆汽车一共行驶了多少千米？ 练习三、解方程 1．解方程，带☆的要检验。 x－12.5＝3.08       x－2.4＋0.6＝32      9.8－3x＝4.1        ☆x－0.3x＝1.05 2．求未知数。                                3．解方程。            4．解方程。                     5．解方程。                              练习四、列方程解和差倍问题 1．小红身高1.56米，是她妹妹身高的1.2倍。小红妹妹身高多少米？（列方程解答） 2．为丰富同学们的校园生活，学校开设了合唱、陶艺等多个特色社团。其中，参加合唱社团的有56人，是陶艺社团的2倍多8人。参加陶艺社团的有多少人？（列方程解答） 3．神舟十三号三位宇航员在太空停留的时间又一次刷新了历史，约达到183天，比神舟十二号宇航员在太空驻留时间的1.5倍还多48天。那么神舟十二号宇航员在太空停留了多少天呢？（列方程解答） 4．2025年5月29日1时31分，天问二号探测器成功发射，正式开启中国首次小行星采样返回与彗星伴飞探测任务。于2020年7月23日成功发射的天问一号探测器则是中国首个火星探测器，总重量约5吨，比天问二号探测器总重量的3倍少1.3吨，你知道天问二号探测器的总重量是多少吨吗？（列方程解答） 5．2022年4月16日，“摘星星的妈妈回来啦”。神舟十三号中的三位宇航员在太空驻留的时间约达183天，比神舟十二号的宇航员在太空驻留时间的1.5倍处多48天。神舟十二号的宇航员在太空驻留了多少天？（列方程解答） 6．学校组织学生参观某实践基地。请根据右表中信息，先提出一个数学问题，再列方程进行解答。（问题写在横线上） 参观人数 所付费用 四年级132人 五年级145人 五年级比四年级多用65元 问题：_______________？ 练习五、列方程解相遇问题 1．一列客车和一列货车从相距465千米的甲、乙两地同时出发，相向而行。客车每小时行90千米，货车每小时行65千米，几小时后两车相遇？ 2．小明和小刚骑车同时从相距5000米的两地相向而行，小明的速度是200米/分，小刚的速度是300米/分。多长时间后，两人距离相遇只剩1000米？（列方程解决问题） 3．两辆AI物流车从A、B两地同时出发相向送货。甲车时速54千米/时，乙车时速60千米/时。相遇时乙车比甲车多行驶18千米，正好行了多少小时？（用方程解） 4．甲、乙两辆汽车从相距360千米的两地相向而行，3小时后两车相距60千米（已经相遇但未走完全程），甲车每小时行75千米，求乙车每小时行多少千米？（列方程解） 5．复兴号高铁列车与和谐号高铁列车同时从A城和B城相对开出，和谐号平均每小时行驶270千米，复兴号的速度是和谐号速度的1.2倍。已知A、B两城相距1485千米，两车开出后，经过多长时间相遇？（列方程解答） 6．甲、乙两地间的铁路长496千米。一列客车从甲地开往乙地，每小时行驶92千米。客车开出半小时后，一列货车从乙地开往甲地，每小时行驶88千米。货车开出多长时间后与客车相遇？ 练习六、列方程解其他问题 1．某镇今年参加农村合作医疗的人数达到了15.2万人，比去年参加农村合作医疗的人数多4.9万人。这个镇去年有多少万人参加了农村合作医疗？ 2．亚太经合组织（PEC）第二十二次领导人非正式会议在北京召开，中国邮政发行纪念邮票1枚。邮票面积1800平方毫米，长60毫米。邮票宽多少毫米？（列方程解决） 3．某热电厂有600吨煤，烧了5个月还剩15吨，平均每月烧煤多少吨？（列方程解决） 4．某快餐店某天共接了160个外卖订单，其中A种电子支付的订单数是B种电子支付订单数的1.5倍。A种电子支付订单和B种电子支付订单各有多少个？（用方程解） 5．扬州城市书房运来一批文学类书籍和经济类书籍，文学类书籍比经济类书籍少300本，文学类书籍的本数是经济类书籍的，文学类、经济类书箱各有多少本？ 6．甲、乙两辆汽车同时从南京开往上海，3小时后甲车落后于乙车48千米。已知乙车每小时行76千米，甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 7．国家标准《住宅设计规范》中规定：普通住宅层高宜为2.80米（除一层外）。幸福小区一幢20层的楼高57米，除一层高度是3.8米外，其余每层的高度都相等，其余每层的高度符合国家标准吗？（列方程解答） 8．临近毕业，同学们和自己的好朋友互赠礼物。酷爱集卡的小华和小明互赠卡片。两人共有112张，小华拿出自己拥有卡片的送给小明，现在两人的卡片张数就同样多。原来小华和小明各有多少张卡片？（先把线段图补充完整，再解答） 第 2 页 共 31 页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $