重难点04 动态几何与最值问题（压轴）（重难点专练）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 动态几何与最值问题 内容导航 ◆速度提升 ◆技巧掌握 ◆手感养成 囟重难考向聚焦 锁定目标精街打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 ☑重难考向保分攻略 授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 召重难冲刺练 模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 人重难考向聚焦 锁定司标精准打击 近三年：中考数学中几何常见的问题考点主要考向分为两类： 一、最值问题（每年12道）； 二、模型类问题（每年1~2题）； 考查内容稳定，命题形式多样，多为多结论判断，难度中上。 预测2026年：安徽中考动态几何与最值是必考内容，考题基本确定在选择压轴及几何解答。重点关注4 大模型（将军饮马、垂线段最短、两点之间线段最短、隐圆最值），总结轨迹、辅助线、计算套路。 【题型1】两点之间，线段最短 【题型2】垂线段最短 【题型3】点圆最值 考向一：最值问题 【题型4】线圆最值 【题型5】由相切引起的最值 【题型6】瓜豆模型 动态几何与最值问题 【题型7】利用二次函数解决最值 (解答压轴) 【题型1】中点模型 【题型2】截长补短模型 考向二：模型类问题 【题型3】“手拉手”模型 【题型4】“一线三等角”模型 【题型5】半角模型 们重难考向保分攻酷 授予利器 瓦瓣难点 考向01 最值问题 1/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1两点之间，线段显短 回棉素妙竹 1、找定点：确定两个固定不动的端点A、B; 2、化折线：把【折线段】PA+PB通过对称、平移、等量替换，拼成首尾相连的折线： 3、连线段：直接连接两个远端定点，连线长度=最小值，交点即为取最值时的动点位置。 1.(25-26八年级下·安徽合肥·期中)图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中， 每个小正方形的边长均为1个单位，点A(0,1),B(1,3),C(4,3)都落在网格的格点上. 5 4 3 4 5-4-3-211O12345x 2 图1 图2 (1)线段AC= ;线段AB= (2)以ABC某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶 点落在格点上). (3)点M为x轴上的动点，则AM+CM的最小值为 【答案】(1)25；5 (2)见解析 (3)42 【分析】(1)根据勾股定理即可求解： (2)根据题意以AB为边画正方形，即可求解； (3)作C关于x轴的对称点C,连接AC,进而可得AM+CM的最小值为AC,的长，勾股定理，即可求解。 【详解】(1)解：，A(0,1,B(1,3),C(4,3) AC=V42+(3-12=25,AB=P+(3-12=5; (2)解：：图1为5个边长为1的小正方形组成的图形， .图1中5个小正方形组成的图形面积为5，边长为√5， 又：AB=V5, 以AB为边画正方形， 如图所示，正方形ABEF即为所求， 2/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 T 4 3 E 5-4-3-21 01 45 图2 (3)解：如图，作C关于x轴的对称点C,连接AC,此时AM+CM=AM+CM≥AC 3 B -5-4-3-2-1 2 345 3 5 图2 C(4,3) .C14,-3 又，A0,1 ∴.AM+CM的最小值为AC,=V42+3+1)2=4V2 2.(23-24九年级上·安微·月考)如图，己知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴负半轴交于点A,与y 轴交于点B,若0A=1,OB=3,抛物线的对称轴为直线x=1. B 3/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一动点P,使得△PAB周长最小，求出△PAB最小周长. 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)V10+3V2 【分析】1)由04=山，08=3可得A、B的坐标，再由对称轴为直线x=1,可得-=1，再将A,B代入 2a 抛物线即可求得抛物线的解析式； (2)先判断出点P是直线BC与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线BC的解析式，再求得BC 的长度，最后根据三角形的周长公式即可解答 【详解】(1)解：，0A=1,0B=3, .A-1,0,B(0,-3), 将A,B代入抛物线可得： a-b+c=0 c=-3 女抛物线的对称轴为直线一。 a-b+c=0 .{c=-3,解得：a=1,b=-2,c=-3, b =1 2a .抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)解：如图：设抛物线与x轴右交点为点C, 0A=1,0B=3, .AB=√0A2+0B2=√10， .A-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1, .C(3,0),即0C=3, ,BC=V0B2+0C2=3√2 ,点A,C关于抛物线对称轴直线x=1对称， .'PA=PC, ∴.PA+PB=PC+PB≥BC, 如图：连接BC与对称轴直线x=1的交点即为所求点P, ,△PAB最小周长为AB+PA+PB=AB+PC+PB=AB+BC=I0+3V2 4/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【点睛】本题主要考查了待定系数法、抛物线图像的对称性、最短距离问题等知识点，利用抛物线的对称 性处理最短距离问题是解本题的关键 3.(2026九年级下·吉林长春·专题练习)【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3, BC=2,点D,E分别是AB,AC边上的动点，连接CD,BE,且AE=BD,求CD+BE的最小值. 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段 和的最小值.如图②，将图①中的线段AB绕点B逆时针旋转至点F,使得∠ABF=∠BAC. F 图① 图② 图③ (1)求证：DF=BE; (2)若求CD+BE的最小值，即求CD+DF的最小值.由于点D是AB边上的一个动点，连接CF,则线段 CF的长度即为CD+BE的最小值，这个最小值为，这样做依据的是（填基本事实）； 【类比应用】 (3)如图③，已知线段AB=3,点P在线段AB上，且AP=1.以点P为顶点作等边三角形PQR,连接 AR,BQ.当AR+BQ取得最小值时，PO的最小值为 【答案】(1)见解析 (2)√3；两点之间，线段最短 (3)27 1 【分析】(1)根据旋转的性质得出AB=BF,再根据SAS判定三角形全等，利用其性质即可证明： (2)根据内错角相等，两直线平行得出BF∥CA,确定LFBC=90°，再由勾股定理得出CF=√3，结合图 形即可求解； (3)将线段PB绕点P逆时针旋转60°得到线段PC,连接BC,PC,RC,AC,则△BCP为等边三角形.根 据全等三角形的判定和性质得出BPQ≌aCPR(SAS).BQ=CR,过点C作CD⊥AB,过点P作PE⊥AC ，D、E分别为垂足，得出当P⑨取得最小值时，即得最小值，故当点R与点E重合时，P⑨取得最小 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D、E分别为垂足，得出当PQ取得最小值时，即PR取得最小值，故当点R与点E重合时，PO取得最小值， 结合解三角形求解即可 【详解】(1)证明：·旋转， .AB=BF 在△ABE和△BFD中， BF=AB ∠DBF=∠EAB, BD=AE △ABE≌△BFD(SAS ∴DF=BE. (2)解：：∠ABF=∠BAC, .'BF CA, :∠ACB=90°， .∠FBC=90°， :BF AB =3. 在RtACBF中，CF=VBC2+BF2=V13. :CD+BE=DF+CD2CF, .CF是CD+BE的最小值， 故答案为：√3；两点之间，线段最短 (3)解：将线段PB绕点P逆时针旋转60°得到线段PC,连接BC,PC,RC,AC,则△BCP为等边三角 形 P D B 由于∠BPQ=60°-∠CPQ=∠CPR, 在BPQ和△CPR中， BP=CP ∠BPQ=∠CPR, PO=PR ∴.△BPQ≌aCPR(SAS). ..BO=CR. 由于AR+BQ=AR+RC≥AC,则R在AC上时，AR+BQ取得最小值. 6/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过点C作CD⊥AB,过点P作PE⊥AC,D、E分别为垂足 当PQ取得最小值时，即PR取得最小值，故当点R与点E重合时，PQ取得最小值. CD=PCsin60=PB.AD=AP+PD-AP+PR=2. 2 2 AC=VAD2+CD2=V万. sin∠CAD= EP CD AP AC ..EP= AP.CD√21 AC 7 故答案为： V21 7 型2垂线段晶短 回棉豪妙社 1、定定点、定直线 找出：固定不动的点P+动点所在的定直线I; 2、作垂线：过定点向动点所在直线，作垂线段； 3、算垂线段长度=最小值 用：面积法、勾股定理、三角函数、相似、坐标法求值。 1.(24-25九年级下·吉林长春·期中)【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4.点 D在边AC上运动，连结BD,以BD为边作Rt△BDE,使点A、E在BD同侧，且∠BED=O°，∠BDE=∠C, 连结AE,试探究线段AE长度的最小值. D B C 图① 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段AE的最小值.乐乐利用从特殊到一般的数学 思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹.如图②，过点B作BF⊥AC于 点F,乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点 F一条线段 7/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图② 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，Rt△BDE顶点D在边AC上运动， ,∠BDE=∠C,∠BED=∠BFC=90°， ∴.△BDE∽△BCF 证明过程缺失 ∴.△BEF∽ABDC. ∴.LBFE=∠C, ∴.点E的运动轨迹为过点F一条线段， 【问题解决】如图③，设直线EF交AB于点M. D 图③ (1)△AMF的面积为 (2)线段AE的最小值为 【等案】间题探究：见解断：间题解决：（山：②） 25 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短求最值，等腰三角形的判定等知识点. [间题探究]先由△BDE∽△BCF得到∠EBD:∠PBC,BE=BD, BEBC·再得到∠EBF三∠DBCD=BC·即 可证明相似： [间题解决](1D先证明MA=MB,则Se=2Sr,然后由勾股定理出AC=5,再由等积法得到 ,即可求解BF，再由勾股定理求AF,即可由 ME时，AB取得最小值，由于FMF=M=MBAB,则由E上S 2 【详解】[问题探究] 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：补全过程： BE BD .∠EBD=LFBC, BF BC' :.ZEBF ZDBC, BEBF BD BC [问题解决] (1)解：∠ABC=90°，BF⊥AC, ∴.∠MBF=∠C=90°-∠FBC, ,∠BFE=LC, .∠MBF=∠BFE, .'MB=MF, BF⊥AC, ∴.∠MAF=∠MFA=90°-∠MBF=90°-∠MFB, ∴.MF=MA, ∴.MA=MB, ÷Saue=2S5aar· 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC=V32+42=5, ABxBC=1ACxBF, 1 ..BF=ABx BC 12 AC AF=VAB-FB= 5 1x1×9×12_27 .S=SMBr=XAF×BF=XXx 2 22 225525 (2)解：当AE⊥MF时，AE取得最小值， 3 F=MA=MB=AB字 27 2× ÷AB=2S=x25-36 MF 3 25 2 2.(23-24八年级上·全国·课堂例题)如图，OB平分LM0N,A为OB的中点，AE⊥ON,垂足为 E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值. 9/85 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D B A E 【答案】6 【分析】根据BC‖OM,OA=AB,可以证明△OAD≌△BAC,得到AD=AC继而得到CD=2AD,故线段 CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可. 【详解】，BC‖OM, .∠DOA=LCBA, :点A为OB的中点 ..0A=AB, [∠DOA=∠CBA OA=BA ∠DAO=∠CAB .△OAD≌△BAC(ASA, .AD=AC, .CD=2AD ∴，线段CD的最小值转化为线段DA得最小值， 根据垂线段最短， .DA⊥0M, .AE⊥ON,OB平分∠MON, .AE AD, ,AE=3, .AD=3, .CD=2AD=6, 故答案为：6. 【点晴】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平 分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键 3.(24-25八年级下·吉林长春·期末)【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①， 在正方形ABCD中，AB=2,点M、N分别在边AD、CD上，且DM=CN,试探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运 动路径，进而解决上述几何问题 10/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题解决】如图②，过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P,作射线CP,在【问题呈现】的 条件下，完成下列问题： 图① 图② 图③ (1)求证：NC=NP (2)∠DCP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 【方法运用】(3)如图③，在菱形ABCD中，AB=2,∠A=60°，点E、F分别在边AD、CD上，且 DE=CF,则△DEF周长的最小值为· 【答案】(1)证明见解析；(2)45，√2；(3)2+5 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等 知识，掌握相关知识是解题的关键， (1)过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P,作射线CP,利用平行四边形的判定与性质得到 MN=PD,MD=NP,利用等量代换的性质即可得出结论； (2)利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质 和等腰直角三角形的性质解答即可； (3)过点D、F分别作EF、AD的平行线，并交于点P,作射线CP,利用平行四边形的判定与性质和等式 的性质得到FC=FP,利用菱形的性质和平行线的性质得到∠PFC=60°，则△PFC为等边三角形，利用垂 线段最短的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可求得F的最小值，利用三角形的周长的定义和等 式的性质得到aDEF周长=EF+DE+DF=EF+CF+DF=EF+CD=2+EF，,则结论可求， 【详解】(1)证明：过点D、N分别作MN、AD的平行线，并交于点P,作射线CP,则四边形MWPD为平 行四边形，如图： :MN PD,MD NP, .DM =CN, ∴.NC=NP. (2)解：四边形ABCD为正方形， .∠ADC=90°， MD∥NP, 11/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠DNP=∠ADC=90°， .∠NCP=90°， .NC NP .△NCP为等腰直角三角形， .∠DCP=45°. 由题意：点P为CP上一动点， .当DP⊥CP时，DP取得最小值， 此时CP=DP, 根据勾股定理可得：CP2+DP2=2DP2=CD2=4, 解得：DP=√2， .MN =PD .线段MN长度的最小值为√2， 故答案为：45，√2； (3)解：过点D、F分别作EF、AD的平行线，并交于点P,作射线CP,则四边形EFPD为平行四边形， 如图： ∴PD=EF,DE=FP, DE CF, .FC=FP, :四边形ABCD为菱形，AB=2,∠A=60°， .AB=CD=2,AB∥CD, .∠A+∠ADC=180°， .∴.∠ADC=120°， :DE∥FP, .∠PFD=∠ADC=120°， .∠PFC=60°， ,△PFC为等边三角形， ∴.∠FCP=60°， 由题意：点P为CP上一动点， ∴.当DP⊥CP时，DP取得最小值， 12/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时∠CDP=30°， :.CP=1CD=1, 根据勾股定理可得：DP=VCD2-CP2=√5， PD EF, .EF的最小值为√3， :△DEF周长=EF+DE+DF=EF+CF+DF=EF+CD=2+EF, △DEF周长的最小值为2+√3， 故答案为：2+√5. ◆题型3点圆最值 回棉豪妙计 1、找隐圆：定角对定边、定点定长（旋转、翻折、等线段）、直角对直径； 2、定要素：找出：圆心O、半径r、外部定点P; 3、 算距离+套公式】 先算定点到圆心距离PO,最小值=PO-r,最大值=PO+r。 1.(2025·湖南·模拟预测)我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到， 这就是所谓的“隐圆”问题： 图1 图2 图3 下面让我们一起尝试去解决： (1)如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC, 则线段CP长的最小值为 (2)如图2，在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在边DC,CB上移动， 连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2,则线段CP的最小值是 (3)如图3，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中 点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？ 【答案】(1)2 13/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)5-1 (3)4 【分析】(1)证明∠APB=90°，得到点P在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点O,连接OP,OC,易 得CP≥OC-0P,进行求解即可； (2)先证明△ADE≌△DCF,推出∠APD为90°，取AD的中点O,连接OP,斜边上的中线求出OP的长， 根据两点之间线段最短得C,P,0三点共线时线段CP的值最小，勾股定理求出OC的长，再利用线段之间 的和差关系进行求解即可： (3)易得G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A,连接AD,交BC于P, 交以D为圆心，以1为半径的圆于点G,此时PA+PG的值最小，最小值为A'G的长，勾股定理求出AD的 长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可. 【详解】(1)如图， :∠ABC=90°， ∴.∠ABP+∠PBC=90°， ZPAB ZPBC, .LBAP+∠ABP=90°， .LAPB=90°， .点P在以AB为直径的OO上，连接OC交⊙O于点P,此时PC长度最小， 在Rt△BCO中， LOBC=90,BC=4.OB=1 AB=3, ∴0C=V0B2+BC2=V32+42=5=5, ∴.PC=0C-0P=0C-0B=5-3=2. .PC最小值为2 故答案为：2； (2)如图， 14/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在边DC,CB上移动， ∴.DE=CF, AD=DO 在ADE和aDCF中， ∠ADE=∠DCB=90°， DE=CF .△ADE≌△OCF(SAS), .∠DAE=∠CDF, :∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°， .∠ADF+∠DAE=90°， .∠APD=90°， 取4D的中点0，连接OP,则OP=4AD=x2=1, 1 2 2 根据两点之间线段最短得C,P,O三点共线时线段CP的值最小， 在RtaC0D中，根据勾股定理得，C0VCD2+0D2=0C=V22+12=V5=5, .CP=C0-0P=5-1. 故答案为：√5-1； (3)如图， :EF=2,点G为EF的中点， .DG=1, ,G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于BC的对称点，连接AD,交BC于P,交以D为圆心，以1为半径的圆于点G,此时PA+PG的 15/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值最小，最小值为A'G的长； AB=2,AD=3, .AA'=4, .A'D=√AA2+AD2=5: .A'G=A'D-DG=5-1=4, .PA+PG的最小值为4. 【点晴】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，斜边上的中点等知识点，解题的 关键是确定动点的轨迹，根据轴对称和两点之间线段最短进行求解 2.(2025·广东广州·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=√10，点D是OC上一点， 且CD=1. B (1)AD的最大值为： (2)若AD与OC相切，延长AD,交边BC于点F,过点B作BE⊥AD于点E,求BE的长. 【答案】(1)√10+1 (2)BE=2 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、圆外一点到圆上距离的最值、相似三角形的判 定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、证明三角形相似是解题的关键； (1)根据圆外一点到圆上距离的最值解答即可； (2)证明△ACD∽△AFC,求出CF,进而可得BF,易得CD∥BE,可得△CDF∽△BEF,再利用相似三 角形的性质即可得出答案 【详解】(1)解：：AD≤AC+CD, ,当A、C、D三点共线，且点D是AC的延长线与OC的交点时，AD最大，最大为√0+1： 故答案为：√10+1 (2)解：：AD与OC相切， .CD⊥AD, ·AD=VAC2-CD2=3, ,∠ADC=∠ACF=90°，∠CAD=∠CAF, 16/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ACD∽△AFC, .CD=AD 13 CFAC,即 F=0' 解得CF= 3 BF-BC-cF=o-1020 33 ,CD⊥AF,BE⊥AF, .CD∥BE, ∴.△CDFn△BEF, 10 .CD_CF 1 3 1 BEBF,即 E2102 .BE=2. D F B E 3.(24-25九年级上·云南昆明·期中)如图，在矩形ABCD中，M是AB的中点，F(不与点A重合)是 AD边上的动点，将△AMF沿着MF翻折后得到△EMF,延长FE交BC边于点G,连接MG, F M B---- G (1)求证：FM⊥MG; ②当点F运动到4F=2.5时，点F在点G的左边，am∠DFG=子CG=2求BC的长： (3)在(2)问AB,BC的长度下，在点F的运动过程中，求C、E两点之间距离的最小值 【答案】(1)见解析 (2)12 (3)8 17/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)根据矩形和折叠的性质得AF=EF,∠AMF=∠EMF,∠A=∠MEF=90°，证明 RtABMG≌RtAEMG(HL),得∠BMG=∠EMG,进而可以解决问题； (2)过点F作FH⊥BC于点H,得矩形AFHB,得tan∠FGB= H=:tanLDFG,所以设FH=4x, HG HG=3x,根据勾股定理得FG=5x,然后证明BG=EG,，根据线段的和差求出x,进而可以解决问题： (3)根据题意得点E的运动轨迹是以M为圆心，MA为半径的圆，点M,E,C三点共线时，C、E两点 之间距离的最小，根据勾股定理求出CM,进而可以解决问题， 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，LA=∠B=90°， :△AMF沿着MF翻折后得到△EMF, ·AF=EF,，∠AMF=∠EMF,∠A=∠MEF=90°， .∠GEM=∠B=90°， M是AB的中点， :AM =BM, :EM BM MG=MG, ∴.Rt△BMG≌RtAEMG(HL, ∠BMG=LEMG, 2∠FME+2∠EMG=180°， :∠FME+∠EMG=90°， ∠FMG=90°， .FM⊥MG; (2)解：如图，过点F作FH⊥BC于点H,得矩形AFHB, D :BH AF =2.5,AB=FH, B H G :四边形ABCD是矩形， :AD∥BC, ∴.∠DFG=∠FGB, tan∠FGB=fF G =tan∠DFG=4 3 设FH=4x,HG=3x, ·FG=VFH2+HG2=5x 18/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :RtABMG≌RtAEMG, :BG=EG, :FG=EF +EG=AF BG, :HG=BG-BH =BG-AF, :FG-HG=AF +BG-(BG-AF=2AF, ∴.5x-3x=5, x=2.5, :AB=FH=4x=10,HG=3x=7.5, BC=BG+CG=BH+HG+CG=2.5+7.5+2=12: (3)解：如图，连接CM, B G 当点F的运动过程中， ME =MA=5, ·点E的运动轨迹是以M为圆心，MA为半径的圆， 点M,E,C三点共线时，C、E两点之间的距离最小， :BM=1AB=5. 2 :CM=VBM2+CB2=V52+122=13, CE=CM-ME'=13-5=8, .C、E两点之间距离的最小值为8 【点晴】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数， 解决本题的关键是理解点E的运动轨迹. 。型4线圆晶值 1.（2023·吉林长春·疾拟预）如图。在菱形48CD中，4B=25,m∠1-号，点0是D边的中点， 连结BD,点P是折线AB-BD上一点，连接OP,点A关于OP的对称点为. 19/85 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)对角线BD的长为； (2)当点A落在△ABD的边上（点不与点A、D重合）时，求AP的长； (3)连结A'C,求线段A'C的长的最小值； (4)当OA'所在的直线垂直于AB时，直接写出线段BP的长， 【答案】(1)30 (3)157-25 2 ④治我药 14 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，确定圆的条件轴对称的性质，角平分线的性质等知识， 解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形 (1)作BE⊥AD,求得AE和BE的长，进而求得BD的值； (2)先求得cosA的值，进而解直角三角形AOP求得AP的值； (3)可得出点的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆的一部分，连接OC,交O0于A,此时AC 最小： (4)先求得OA'垂直于AB时的AP的长：根据角平分线的性质求得AP的长，进而求得BP的长及 tanZOPG,进而求得当A'O与AB垂直时BP的值 【详解】(1)解：如图1，作BE⊥AD于点E, B C :AB=25.tan∠A=24 图1 AE=7,BE=24. :DE AD -AE =18. BD=VBE2+ED2=30· 20/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图2，当点A落在AB上时，作BE⊥AD于点E, B C D E O 图2 由(1)得：AE=7, 7 ∴.cosA= 25 OP⊥AA', 2577 .AP OACOSA= 22521 如图，当点落在BD上时， B C 0A=0D=0A', D .∠0AA'=∠0A'A,∠OA'D=∠ODA'. ∠AA'D=L0A'A+∠0A'D=90°. 由折叠知，AP=A'P, ∠AA'B=90°， AP=BP-2 48-25 2 (3)解：如图3， 0A=0A=25 .点在以0为圆心， 为半径的圆上运动，连接0C,交00于点A,此时4C 如图3，作CF⊥AD,交AD的延长线于点F, 21/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图3 得：DF=7,CF=24, :0F=0D+DF-25+7-39 2 0C=V0F2+CF-15v 2 ÷4'C=0C-0Ar=1517-25 2 (4)解：如图4，作BE⊥AD于点E,作P'H⊥AD于点H,设OA'交AB于点G, B M C P :OP平分∠A0A', E 图4 .点P到OA和0A'的距离相等，设为a, 设点O到AB的距离为h, .Sop=APh=二OAa' S GOP=PGh=OGa. AP OA 25 PG OG 24 由(2)得AG=2” 7 ∴PG= 24712 AP= 25725 24+25^27 24+252141 BP=AB-AP=25-25_325 7a=,4,an∠OPG=C=7 PG 22/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当点A运动到AO的延长线A时，延长OP交BC于点M,作MH⊥AD于点H. tan∠M0H=tan∠OPG=7,MH=BE=24, 0H=24 ∴BM=EH=AH-AE=0A+0H-AB=25+24-7=125 27-7=14 :BM∥OD, BP'BM P'D OD 125 BP P'D-25 7 2 ∴.BP'= 7+5*30=2 宗上所述BP=4金酸25 2 2.(24-25九年级下·湖北武汉·月考)问题背景(1)如图1，在ABC与ADE中，∠ABC=∠ADE, ∠BAC=LDAE,连结BD,CE,证明：△ABD~△ACE; C D 图1 图2 图3 迁移变式(2)如图2，AB⊥BC,∠ADB=∠BAC=60°，连接CD,求BD、CD、AD之间的数量关系并 证明； 拓展应用(3)如图3，在矩形ABCD中，AD=4AB,点P为射线CB上的动点，求最小时，直接写出 3 PD sin ZAPD的值 【答案】(1)见解析(2)4BD2+34D2=DC2(3)213 13 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题 的关键， (1)先根据两角分别相等得到△ADE∽aABC,即可得到4D=4B AE AC 然后根据两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似得到结论即可； 23/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点B作BE1BD,过点D作DE⊥AD交BE于点B,连接AB,即可得到BE=4B 进而得到 BD BC 4 EBA&DBC,求出EA=5DC,根据余弦的定义得到DE=25BD,然后根据勾股定理得到 3 ED2+AD2=AE2,代入整理解答即可； (3)过点D作∠DAE=∠PAB,过点D作DE⊥AF于点E,连接BE,则点E在以AB为直径的半圆O上， 然后证明&APBADE,即可得到片-4D BFAE,然后根据两组对边成比例日夹角相等得到△APD∽△ABE声 即可得到AP=AB PD-BE 进而可知当E最大时，最小，这时BE过点0，再根据勾股定理和正弦的定义解 答即可 【详解】(1)证明：：∠ABC=∠ADE,∠BAC=LDAE, .△ADEn△ABC, 店即 AD_AE AE AC :LBAC=∠DAE, .∠CAE=LBAD, .△ABD~△ACE; (2)4BD2+3AD2=DC2,理由为： 过点B作BE⊥BD,过点D作DE⊥AD交BE于点E,连接AE, 则∠EBD=∠CBA=∠EDA=90°， 又：LADB=∠BAC=60°， .∠BDE=∠ACB=30°， :86-48=an30=5 BD BC 3 又：∠EBD=∠CBA=90°， .∠EBA=∠DBC, ∴.△EBA∽aDBC, .EA BE3 DC BD 3 ·EA=5 DC, 3 又：BD √5 DE =Cos∠DBE=cos30°= 2 DE=2 -BD 24/85 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠EDA=90°， ..ED2+AD2=AE2, f9如jo-停cj 整理得4BD2+3AD2=DC2: D (3)如图，过点D作∠DAE=∠PAB，,过点D作DE⊥AF于点E,连接BE,则点E在以AB为直径的半 圆0上， :ABCD是长方形， .LABP=∠AED=90°， .△APB∽△ADE, 器即特 AB AE' 又：∠DAE=∠PAB, .∠PAD=∠BAE, ∴.△APD∽△ABE, 那 ， ∠APD=∠ABE, 即当BE最大时， 最小，这时BE过点0 PD 设AB=3a,则AD=4a,A0=2a, B0=VA02+AB2=V2a2+(3a)2=13a, 2a2V13 .sin∠APD=sin∠ABE= V13a13 故答案为： 2V13 13 25/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆题型5由相切起的晶值 1.(24-25九年级上·江苏无锡·期中)如图1，在矩形ABCD中，AB=43cm,BC=4cm,点P以 √3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以1cm/s的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为s ,⊙0是△PQB的外接圆 D D B 图1 图2 (1)当t=1时，⊙0半径是 cm,O0与边CD的位置关系是 (2)连接CO,则C0长的取值范围是 (3)如图2，连接AC,当⊙0与线段AC相切时，求t的值 【答案】(1)3cm,相交 (2)2V3≤C0≤4 (3)82-5 【分析】(1)由勾股定理计算PQ的长即可求出半径；过点O作直线0H⊥CD于H,交AB于G,求出OH的 长与半径比较大小即可得出答案； (2)先求出0H、CH的长，然后用勾股定理求得C0=t-2?+12,再根据0≤1<4，求C0的取值范围 即可； (3)过点P作PE⊥AC于E,如图2所示，先证PQ∥AC,得PE=PQ,由此即可解出t的值， 2 【详解】(1)解：当t=1时，AP=√5cm,CQ=lcm, .PB =33cm,BO=3cm 26/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P0=V33+32=6 00的半径是PQx6=3cm: 过点O作直线0H⊥CD于H,交AB于G,如图1所示， H C O :矩形ABCD中，∠DCB=∠ABC=90°， P G B 图1 BCHG是矩形， OG∥BC,HG=BC=4cm, △GOAPBO, OG PO PG 1 BO PO PB2· 1 3 0m-42 <3, :OO与边CD的位置关系：相交； 故答案为：3cm;相交； (2)解：如图1所示，连接C0, 则AP=√5t,CQ=t :PB=3(4-t,BQ=4-t,0≤t<4 P0=3(4-t2+(4-t)2=2(4-t), OG PG PO1 BO PB PO 2' 0c-0=4号68=p6-cH-8=340, 0H=4-4-14+t 22 4-+34--P-4+16=-2+12: 0C=N0H+HC2=44 27/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0≤1<4， :当t=2时，C0取最小值2√3： 当t=0时，C0取最大值4： .2V3≤C0≤4； 故答案为：2√3≤C0≤4； (3)解：过点P作PE⊥AC于E,如图2所示， D E :AB=4V3,BC=4, B 图2 AC=V45+42=8, 车R△ABC中BC)AC :∠BAC=30°，∠ACB=60°， 4P=5-‘-cg AB 43 4 BC ∴.PQ∥AC, ∴.∠QPB=30°，∠PQB=60° :⊙0与线段AC相切， :.PE=PQ. 2 4P=4-, 解得，t=82-5. 【点晴】此题是矩形与圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理、 圆周角定理的推论、直角三角形的性质、定点与圆上动点距离的最小值问题等知识，熟练掌握相关的性质 与定理是解答此题的关键， 2.(2023·河北·模拟预测)已知直线1上有两点AD,且AD=10,作∠DAB=60°，长为10的线段 DE⊥1于点D,以DE为直径向右作半圆O. 28/85 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D A (1)若点M为半圆O上一点，则AM的最小值为 (2)将半圆O向右平移得到半圆0'，D,E的对应点分别为D',E',当半圆O与AB相切时，求平移距离 【答案】(1)5√5-5 (2)10-5V5 【分析】(1)如图所示，连接OA交半圆O于M,此时AM的值最小，利用勾股定理求出OA=5√5，则AM 的最小值为5√5-5； (2)如图所示，设半圆0与AB相切与点，连接0'4,0H,由切线长定理可得∠0AD=∠DAB=30°， 解直角三角形得到4D=ODD-55,侧平移的距离为10-55. tan∠O'AD' 【详解】(1)解：如图所示，连接OA交半圆O于M,此时AM的值最小， DE⊥1，DE=10, .0D=0M=5,∠0DA=90°， 又AD=10, .0A=V0D2+AD2=5V5, .AM=0A-0M=5V5-5, ,AM的最小值为5√5-5， 故答案为：5√5-5 E B M D D' A (2)解：如图所示，设半圆O与AB相切与点H,连接O'A,O'H, ,0'D'是半径，O'D⊥D'A, ,D'A是半圆O的切线， ,∠D'AB=60°，AB是半圆O的切线 29/85 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠OAD=I ∠DAB=30°， O'D ∴.AD'= =55, tan∠O'AD' ∴.平移的距离为10-5√5. E' B D 【点晴】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，切线长定理，切线的判定，解直角三角形等等， 正确作出辅助线是解题的关键 ◆题型6瓜豆模型 回棉豪妙社 1.找定点 找出唯一不动的公共顶点（瓜豆旋转中心）。 2.定轨迹 看主动点在什么图形上运动： ·主动点在直线上→从动点轨迹也是直线 ·主动点在圆上→从动点轨迹也是圆 3.找特殊点，确定从动轨迹 取主动点2个特殊位置（起点、终点、中点）， 画出对应从动点，连线/画圆，锁定轨迹， 再用：垂线段最短、两点线段最短、点圆最值求最值。 1.(2024·黑龙江大庆·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,点M是AB边的中点，点 N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为 () AND N A.15 B.5+5V5 C.10+5√2 D.18 30/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N'的轨迹是解题的关键.由旋转的性质 结合AAS证明△AMN≌△GMN',推出MG=AM=5,得到点N'在平行于AB,且与AB的距离为5的直线 上运动，作点M关于直线EF的对称点M',连接MB交直线EF于点N',此时△MBN'周长取得最小值， 由勾股定理可求解. 【详解】解：过点N'作EF∥AB,交AD、BC于E、F,过点M作MG⊥EF垂足为G, ANED M ,矩形ABCD, .AB∥CD, .ABI EF II CD, ∴.四边形AMGE和BMGF都是矩形， .∠A=∠MGN'=90°， 由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN', .∠AMN=90°-NMG=∠GMN', ∴.△AMN≌△GMN'AAS), ..MG=AM=5, .点N'在平行于AB,且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M',连接MB交直线EF于点N',此时△MBN'周长取得最小值，最小值为 BM BM', :8M=4B=5,Mw=5+5=10, .BM+BM'=5+V52+102=5+5V5, 故选：B. 2.(2O23·四川宜宾·中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP, 线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BO,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 31/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】210-1 【分析】连接BM,将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E,由P的运动轨迹是以M为圆 心，1为半径的半圆，可得：Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任 一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M、?、E三点共线 时，MQ的值最小，可求ME=√2BM=2V10,从而可求解 【详解】解，如图，连接BM,将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E, B D M :P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆， ·Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆， 如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小， :四边形ABCD是正方形， CD=AB=BC=4,∠C=90°， :M是CM的中点， CM=2, :BM =CM2+BC2 =√22+42=25， 由旋转得：BM=BE, .ME=√2BM=2V10, ∴.MQ=ME-Eg =210-1, :MQ的值最小为210-1. 32/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案：210-1. 【点晴】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质， 根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键， 。型7利用二次函数解决最值 回棉豪妙什 步骤1：设变量 设动点线段长/运动时间/边长为×（带上取值范围） 步骤2：列关系式 用：勾股、相似、三角函数、面积公式、线段和差 把所求最值量（面积、周长、线段长）表示为y关于×的二次函数 步骤3：化成顶点式/一般式 y=ax2+bx+c 步骤4：分两种情况求最值 1.顶点在自变量取值范围内 x=号时，取最大/最小值 2.顶点不在取值范围内 利用增减性，在区间端点取最值 1.(2026·四川南充·一装)如图.经过42.0,85-引c( 的抛物线与y轴交于D,点E在第四 象限抛物线上，点F在线段CD上. 图1 图2（备用） (1)求抛物线的解析式： (2)当EF与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形AEBF的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E,F的坐标？若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=。x2-4x+6 33/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③)四边形4BF的面积存在最大值，此时：仔，） ,此时F为CD上任意一点. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)求出直线CD的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出EF的长，利用二次函数 的性质求解即可； (3)可证明AB∥CD，则S△4BF为定值，则可证明当S。ABE有最大值时，S四边形4EBF有最大值；根据 SA能=Sam+SA,推出SAe=EH,仿照(2)求出EH取得最大值时点E的坐标即可得到答案 2 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=axr2+bx+c(a≠0)， 4a+2b+c=0 由题意得， 25a+5b+c=- 3 2 49a+7b+c=2 解得b=4, c=6 ÷抛物线的解析武为y=，x2-4x+6: 2 A在4红+6中，当x0时 .D(0,6: 设直线CD的解析式为y=c+b',则 7k+b=5 2, b'=6 k三 解得 2 b=6 .直线CD的解析式为y=-。x+6; 34/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .EF--e +6- e2-4e+6 7 172.49 -2e-2+8 + <0, 当e=时，F有最大值 此时c2-4e+6- 2+6=-15 4× 2 (3)解：如图所示，连接AB,过点E作EH∥y轴交AB于点H, VA 同理可得直线AB的解析式为y=2x+1, 由(2)得直线CD的解式为y=)x+6】 .AB∥CD, 点F到AB的距离为定值， .S△Br为定值， ,S四边形AEBF=S△4BF+S△HBE, ∴.当S。ABE有最大值时，S四边形AEBF有最大值； 设-4+则mm+小 .EH =1 +1- 1 7 2 m2+ 5 35/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =-m729 2m-2)+8 .S△ABE=S△HEH+S△BEH H+号m。-刻 1 1EH-(xa-xA) =3EH Γ 37227 =- 1m- 4 216 -<0 ÷当m=时，S,能有最大值，即此时Sr有最大值， 由2)可如，此时仔》 ∴四边形4P的面积布在最大值，此时E子)， 此时F为CD上任意一点. 2.(2026·河南周口·一模)如图1，己知抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,直线y=。x+b与抛物线交于AD两点（点A在点D的左下方），其中点B的坐标为(6,0). D D B O 图1 图2 (1)求该抛物线的表达式： (2)直线1为抛物线的对称轴， ①在直线1上找到一点P,使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标； ②如图2，E是抛物线上的动点（在线段AD上方），求四边形ABDE面积的最大值. 【答案】0y=宁女++3 ②0P2,2,® 36/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)由抛物线与直线都经过x轴上的点A,可得A-2b,0),再由B(6,0)可得6和-2b是 ax2+bx+3=0的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； (2)①由点B,点D是定点，可得当PB+PD取得最小值时，△PBD周长取得最小值，利用点A与点B关 于抛物线的对称轴对称，连接AD即可得P点的坐标； ②过点E作EF⊥x轴，交AD于点F,先求得EF的最大值，再由四边形ABDE面积=S。ABD+S.ADE即可得 四边形ABDE面积的最大值 【详解】(1)解：，点A既是抛物线y=ax2+bx+3与x轴的交点，又是直线y=。x+b与抛物线 y=ax2+bx+3的交点， “点A是直线y=x+6与x轴的交点， 令y=0,则三x+b=0, 解得x=-2b, .A-2b,0, ,点B(6,0)在抛物线y=ax2+bx+3的图象上， 令y=0,则ax2+bx+3=0, .6和-2b是ax2+bx+3=0的两个根， 6+(-2b)=-6 a 6--2b=3 a 1 1 4=- 4=- 6 解得 4或 (舍去)， 3 b=1 b=- 2 抛物线的表达式为y=-寻式+x+3. (2)解：①由题意可得，当PB+PD取得最小值时，△PBD周长取得最小值， :点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴.直线AD与I的交点即为点P,此时△PBD的周长最小， 由(1)知，抛物线的表达式为y=-2+x+3,对称轴为直线x=2,直线AD的解析式为y=,x+1, 把x=2代入y=分+1得，y=2×2+1=2, .P2,2. 37/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ②联立 y=2+1 y=- x=-2 [x=4 解得 或 y=0 y=31 D点坐标为4,3， 设点E的坐标为m,2+m+3-2<m<,过点E作EF上，交D于点P,测Fmm+ EF=- 1 =一 m+m+3- -m-1 4 1 2m+2 =m-2m++号 4m-+9 = 当m=1时，EF取得最大值， ÷40E面积最大值=分子[4(-2]=头 四边形A80E面积的最大值=5an+5能[6(-2x3+=12+-5 4 44 D D 考向02模型类问题 。题型1电点模型 38/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回棉豪妙社 遇中点，四套路：倍长中线、斜边中线、中位线、三线合一 1.(2026·甘肃庆阳·一模)如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取 FD的中点G,连接EG,CG, G 图1 (1)写出线段EG和CG的数量关系和位置关系，并说明理由. (2)如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出 你的猜想 G B 图2 (3)如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你 的猜想，并说明理由， A D G 图3 【答案】(1)EG=CG,EG⊥CG,理由见解析 (2)EG=CG,EG⊥CG (3)EG=CG,EG⊥CG,理由见解析 【分析】(1)延长EG和AD交于点H,连接CE、CH,根据正方形的性质得到LABD=45°，进而证明 △BEF是等腰直角三角形，通过证明△EFG≌△HDG(ASA),得到EG=HG,EF=HD,进而证明 △BCE≌△DCH(SAS),得到CE=CH,∠ECH=90°，推出△CEH是等腰直角三角形，再利用三线合一性 39/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 质以及斜边中线定理即可得出结论： (2)延长EG和CD交于点H,同理(1)的方法证明△EFG≌△HDG(ASA),得到CE=CH,推出△CEH是 等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论： (3)延长EG交AD于点H,连接CE、CH,同理(1)的方法证明△EFG≌aHDG(ASA)以及 △BCE≌△DCH(SAS),进而推出△CEH是等腰直角三角形，即可得出结论. 【详解】(1)解：EG=CG,EG⊥CG,理由如下： 如图1，延长EG和AD交于点H,连接CE、CH, D H G 图1 正方形ABCD, ∴.BC=DC,∠A=∠EBC=∠BCD=∠ADC=∠HDC=90°，∠ABD=45°， :EF⊥AB, .∠BEF=90°， ,△BEF是等腰直角三角形，BE=EF, ,∠BEF=∠A=90°， .EF∥AH, .∠EFG=∠HDG, ,点G是FD的中点， .FG=DG, 又，∠EGF=∠HGD, .△EFG≌△HIDG(ASA), .EG=HG,EF=HD, ∴.BE=HD, 又，LEBC=∠HDC=90°，BC=DC, ∴.aBCE≌aDCH(SAS, .CE=CH,∠BCE=∠DCH, ∴.LBCE+LDCE=LDCH+∠DCE, 即∠BCD=LECH=90°， ∴.△CEH是等腰直角三角形， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EG=HG, .CG-EH-EG,CGLE 即EG=CG,EG⊥CG; (2)解：如图2，延长EG和CD交于点H, H D G B 图2 由(1)得，△BEF是等腰直角三角形， .BE=EF,∠BEF=90°， ,正方形ABCD, ,LABC=∠BCD=90°，BC=DC, 由旋转的性质得，∠ABE=90°， .LABE+∠ABC=180°， .E,B,C三点共线， .∠BEF+∠BCD=90°+90°=180°， .EF∥CH, .LEFG=∠HDG, ,点G是FD的中点， ..FG=DG, 又，∠EGF=∠HGD, .△EFG≌HDG(ASA), .EG=HG,EF HD, .BE =HD, .BE BC HD DC,CE CH, ∠ECH=90°， ∴，△CEH是等腰直角三角形， .EG=HG, cG-H-BG,cG⊥EW, 41/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即EG=CG,EG⊥CG: (3)解：EG=CG,EG⊥CG,理由如下： 如图3，延长EG交AD于点H,连接CE、CH, H A D G 图3 由(1)得，△BEF是等腰直角三角形， ,BE=EF,∠BEF=90°， 正方形ABCD, .∠A=∠ABC=∠BCD=90°，BC=DC, 由旋转的性质得，A,B,E三点共线， ∴.∠EBC=90°， ,∠BEF=∠A=90°， .EF∥AD, ∴.∠EFG=∠HDG, ,点G是FD的中点， ..FG=DG, 又，∠EGF=∠HGD, .△EFG≌△IDG(ASA), .EG=HG,EF HD, ∴.BE=HD, 又，∠EBC=∠HDC=90°，BC=DC, .△BCE≌aDCH(SAS, .CE=CH,∠BCE=LDCH, ∴.LBCE+∠BCH=∠DCH+∠BCH, 即∠ECH=∠BCD=90°， ∴.△CEH是等腰直角三角形， .EG=HG, 42/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷CG=EH=EG,cG1EH, 即EG=CG,EG⊥CG, 2.(2025·山东济宁·一模)(1)如图①，在ABC中，若AB=10,AC=6,则BC边上的中线AD的取 值范围是； (2)如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F, 连接EF,求证：BE+CF>EF; (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角， 角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. 图① 图② 图③ 【答案】(1)2<AD<8;(2)见解析；(3)BE+DF=EF,证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作 辅助线，构造两个全等三角形是解题关键 (1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE≌△CDA(SAS),得出BE=AC=6,再利用三角形 三边关系即可得出答案； (2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,同(1)得，△BMD≌aCFD(SAS),得出BM=CF 再证明△EDM≌AEDF(SAS),得出EM=EF,最后再利用三角形三边关系即可得出答案； (3)延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证明△NBC≌△FDC(SAS)得出CN=CF,∠NCB=∠FCD, 再证明△NCE≌△FCE(SAS),得出EN=EF,即可得证， 【详解】(1)解：延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图1所示： :AD是BC边上的中线， .BD=CD, 在BDE和△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA DE =AD .△BDE≌△CDA(SAS), .'BE =AC=6, 43/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE, .10-6<AE<10+6,即4<AE<16, .2<AD<8: 故答案为：2<AD<8; (2)证明：延长FD至点M,使DM=DF,，连接BM,EM,如图所示， 同(1)得，△BMD2aCFD(SAS), :BM=CF :DE⊥DF,DM=DF,DE=DE ∴.△EDM≌EDF(SAS), :EM=EF 在△BME中，由三角形的三边关系得BE+BM>EM, :BE +CF EF (3)BE+DF=EF, 证明如下：延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示， :LABC+∠D=180°，∠NBC+LABC=180° :∠NBC=∠D 在△NBC和△FDC中， BN=DF ∠NBC=∠D, BC=DC ∴.aNBC≌aFDC(SAS), .CN=CF,∠NCB=∠FCD :LBCD=140°，∠ECF=70° ∠BCE+∠FCD=70°， :∠ECN=70°=∠ECF 44/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△NCE和△FCE中， CM=CF ∠ECN=∠ECF BC=DC .△NCE≌△FCE(SAS, :EN EF. :BE +BN EN :BE DF=EF ◆题型2截长补短模型 回棉豪妙 策略1：截长法（优先用） 适用：长线段明确，要证「和等于长」 1.在最长边BC上，取一点M,使BM=AB 2.连接辅助线，证剩余段MC=CD 3.常用：全等三角形、角平分线性质、等角对等边 策略2：补短法 适用：短线段分散，不好截取 1.延长短边，如延长AB至N,使BN=CD 2.转化证明整条线段AN=BC 3.适合角度复杂、有外角、旋转类图形 1.(2025·江苏宿迁·二模)综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边。 小明的探究方法如下： 如图1，在ABC中，如果AB>AC,作∠BAC的角平分线交BC于点E,在AB边上截取AD=AC,连接 DE,进而证明△ADE≌△ACE,则LC=LADE,“LADE>LBLC>∠B.这说明“在三角形中，大边对 大角”. 如图2，在ABC中，如果LC>∠B,作EF垂直平分BC交AB于点F,则FB=FC, :AB=AF+FB=AF+FC>AC,AB>AC.这说明“在三角形中，大角对大边”. 45/85 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B E 图1 图2 图3 【尝试探究】 (1)如图3，在ABC中，LC>LB,AE为∠BAC的角平分线交BC于点E,试证明：BE-CE<AB-AC; 【进阶思考】 (2)如图4，在ABC中，LACB=2LB,AE、CD分别为∠BAC、LACB的角平分线，求证： CD+AD=AC+CE; 【拓展运用】 (3)如图5，在ABC中，D为AB上一点，且LACB=LCDA>90°，比较CD+AB和CA+CB的大小关系， 并说明理由. D B 图4 图5 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CD+AB>CA+CB,见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明三角形的相似和全 等是解题的关键， (1)在三角形中，在AB边上截取AD=AC,连接DE,证明△ADE≌△ACE(SAS),得到DE=CE,利用三 角形的三边关系即可得到答案； (2)延长AC至F,使得AF=AB,连接EF,证明△BAE≌△FAE(SAS),进一步得到CE=CF.即可证明 结论成立： ③)证明△4C8=△0C,待到6投8品·设6把S-k,进-步速行都答即时。 【详解】(1)解：在三角形中，在AB边上截取AD=AC,连接DE, y :AE平分∠BAC, B :∠BAE=LCAE 46/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在ADE和△ACE中， AD=AC ∠DAE=∠CAE. AE=AE △ADE≌△ACE(SAS), :DE =CE, :AB-AC=AB-AD BD, BE-CE=BE-DE<BD, :BE-CE<AB-AC (2)证明：延长AC至F,使得AF=AB,连接EF,如图所示， :∠ACB=2LB,AE、CD分别为∠BAC、∠ACB的角平分线， :ZBAE ZCAE,ZB=ZDCB=ZACD :BD =CD. 在△BAE和△FAE中， (AB=AF ∠BAE=∠CAE AE=AE ∴△BAE≌△FAE(SAS), LF=LB=LDCB=∠ACD, LCEF+∠F=LACB=2LF, 故∠CEF=∠F, .CE=CF. CD+AD BD+AD AB=AF=AC+CF AC+CE, 即CD+AD=AC+CE, (3)证明：CD+AB>CA+CB,理由如下： :∠ACB=LCDA,LA=LA, △ACBn△ADC, AC AB BC AD AC CD 设4C=ABBC AD AC CD =k 47/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=kAD,AB kAC,BC kCD .AB=k2AD .CD+AB=CD+k2AD,CA+CB=kAD+kCD, .CD+AB-(CA+CB)=CD+k'AD-kAD-kCD =(1-k)CD+kAD(k-1) =(1-k)(CD-kAD) =(1-k)(CD-AC). ∠CDA>∠A, .AC>CD.CD-AC<0.k=4C>1, AD 1-k<0, ∴.(1-k)(CD-AC)>0, 即CD+AB-(CA+CB)>0,故CD+AB>CA+CB. 2.(24-25八年级上·贵州遵义·期末)小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： B D E 图① 图② 图③ (1)【问题背景】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,且AB=AC+CD,求∠B的度 数 解：在AB上截取一点E,使得AE=AC,证明△ACD≌△AED,得到CD=DE=BE… 请把上面的步骤补充完整. (2)【问题解决】如图②，在ABC中，AD平分∠BAC,∠C=2∠B,判断线段AB,AC,CD之间的数 量关系，并说明理由 (3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AD=AB,∠B+∠D=I80°，AE⊥CD于点E,直接写出线 段CD,BC,DE之间的数量关系： 【答案】(1)45° (2)AB=AC+CD,理由见解析 (3)CD=BC+2DE 【分析】(1)在AB上截取一点E,使得AE=AC,可证△ACD≌aAED(SAS),得到LC=LAED=90°， 48/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD=ED,即得∠BED=90°，又由AB=AC+CD,AB=AE+EB可得CD=EB,进而得到ED=EB,据 此即可求解， (2)在AB上截取一点E,使得AE=AC,同理(1)可得△ACD≌△AED(SAS),得到∠C=∠AED, CD=ED,进而得到∠AED=2∠B,再根据三角形外角性质可得∠EDB=∠B,即可得ED=EB,得到 CD=EB,据此即可求证； (3)如图，过点作AF⊥CB的延长线于点F,可证△AED≌△AFB(AAS),得到4E=4P,DE=BP,进而 证明RtAACE≌RtAACF(HL),得到CE=CF,即得到CD=CE+DE=CF+DE=BC+BF+DE=BC+2DE 【详解】(1)解：在B上截取一点E,使得AE=AC, AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠EAD, 又：AD=AD, ∴.△ACD≌△AED(SAS), ∴.∠C=∠AED=90°，CD=ED, ∴.BED=90°， AB=AC+CD,AB=AE+EB, ∴.CD=EB, ∴.ED=EB ÷∠B=∠C=180,90=45°， B D (2)解：AB=AC+CD,理由如下： 在B上截取一点E,使得AE=AC, 同理(1)可得△ACD≌△AED(SAS), ∴.∠C=∠AED,CD=ED, .∠C=2∠B, ∴.∠AED=2∠B, 又：B+∠EDB=∠AED=2B, 49/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :LEDB=4B. ∴.ED=EB, .CD=EB, .AB=AE+EB=AC+CD: D (3)解：如图，过点作AF⊥CB的延长线于点F, ,ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABF=180°， ∴.D=∠ABF, :AF⊥CF,AE⊥CD, .∠AED=∠AFB=90°， 又：AD=AB ,△AED≌△AFB(AAS), .AE AF D E B F, 在Rt△ACE和Rt△ACF中， AE=AF AC=AC' ∴.RtAACE≌RtAACF(HL), ..E=CF, .CD=CE+DE=CF+DE=BC+BF+DE=BC+2DE, 即CD=BC+2DE, 故答案为：CD=BC+2DE. A F B D E 【点晴】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角 性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键 50/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3“手拉手”模型 回棉豪妙什 1.找公共顶点，确认双等腰、顶角相等 2.导角：同时减去/加上中间公共角，证夹角相等 3.证SAS全等，得边等、角等，解决线段、角度、最值 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)在△ACB和△DCE中，CB=CA,CD=CE,点A、D、E在同 一直线上，E和BC交于点N,连接BE. MN (I)如图，若∠ACB=DCE,求证：AD=BE: (2)如图，若∠ACB=∠DCE=90°，CM为△DCE的高，若点N是ME的中点，且S4r=24,求DN的长： 在(2)的条件下，延长@M交B于点R,连接F,若F=,求M的长 【答案】()见解析 (2)6 o月 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式，添加适 当的辅助线构造全等三角形是解题的关键 (1)利用SAS证明△CAD≌ACBE,再利用全等三角形的性质即可证明； (2)根据等腰直角三角形的性质得到∠CDE=∠CED=45°，则有∠ADC=180°-45°=135°，根据三线合 性质，结合CM为△DCE的高，得到DM=ME=CM,再证明△CMN≌BEN,得到CM=BE,设 BE=a,利用三角形的面积公式列出方程，求出a的值即可求解： (3)过点B作GB⊥CB,交CF的延长线于点G,先证明△BCG≌CAW,得到CG=AN,BG=CN,由(2) 得CM=AD=4,DN=6,CN=BN,则CG=AN=4+6=10,BG=BN,再证明△BFG2ABN,得到 G配F,最后利用线段的和差即可求出M的色 【详解】(1)证明：：∠ACB=DCE, 51/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=∠BCE, 又：CB=CA,CD=CE, △CAD≌△CBE(SAS), :AD=BE: (2)解：DCE=90°，CD=CE, .∠CDE=∠CED=45°， :.∠ADC=180°-45°=135°， 由(1)得，△CAD≌ACBE, :.∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE, .∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°， :CM为△DCE的高，CD=CE, ·∠QE=90°，DM=ME, :∠CED=45°， ∴.△CME是等腰直角三角形，CM=ME, :点N是E的中点， .N=N, 又：∠CMN=∠BEN=90°，∠CMM=BNE, △CMN≌aBEN(ASA), .CM=BE,CN=BN, :DM=ME=CM=BE=AD, 设BE=a,则DM=ME=AD=a, .AE=AD+DM+ME=3a, :S号4B8E=24, 62:3aa=241 解得a=4(负值己舍去)， ∴.DM=ME=AD=4, :.MN=-ME=2, DN=DM+MN=4+2=6: (3)解：如图，过点B作GB⊥CB,交CF的延长线于点G, 52/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G 则∠CBG=90°， ∴.∠BCG+∠G=90°， :∠0E=90°， ∴.∠BCG+∠ANC=90°， :∠G=∠ANC, 又：∠CBG=∠ACN=90°，CB=CA, △BCG≌aCAN(AAS), .CG=AN,BG=CN, 由(2)得，CM=AD=4,DN=6,CN=BN, .CG=AN=4+6=10,BG=BN, :CA=CB,∠ACB=90°， :∠ABC=45°，即FBN=45°， .∠FBG=90°-45°=45°， .∠FBG=∠FBN, 又：FB=FB, .△BFG≌△BFN(SAS), GF=NF=10 FM=CG-CM-FG=10-4-10_8 331 :M长为 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考)已知：ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE,连接CE. 53/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (I)如图1，求证BD=CE; (②)如图2，若∠ACE=60°，点D为C的中点，∠CAE的平分线交C的延长线于点F,在不添加任何辅 助线的情况下，请直接写出图2中等于线段的√倍的四条线段， 【答案】()见解析 2 AD,AE,DE,DF 【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE,利用全等三角形的性质即可得出BD=CE (2)由全等三角形的性质得出AD=AE,∠ACE=∠ABD=6O°，∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE,分别 证明ABC和ADE是等边三角形，再由含30度直角三角形的性质以及勾股定理得出 AD=DE=AE=√5BD,再证明△ADF为等腰直角三角形，即可得出AD=DF=√3BD. 【详解】(1)证明：∠BAC=∠DAE, :.∠BAC-∠DCA=∠DAE-∠DCA,即∠ABD=∠ACE, 又AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE. (2)解：△ABD≌△4CE, ·AD=AE,∠ACE=∠ABD=6O°，∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE, :.ABC是等边三角形， 又，点D为BC的中点， :.∠ADB=∠AEC=90°，AD平分BAC, :∠BAD=∠DAC=∠BAC=30°， .∠BAD=∠CAE=30°， ∴.∠DAE=60°， :ADE为等边三角形， :AD=DE=AE, 在Rt△4DB中，∠BAD=30°，则AB=2BD, :AD=√AB2-BD2=5BD, 54/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=DE=AE=√5BD, :4F平分∠CAE, ZCAF三∠CAE=15 ·.∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°， :∠ADC=90°， ∴∠DFA=45°， AD =DF =3BD, 综上：等于线段BL的√倍的四条线段分别为AD,E,DE,DF 《◆题型4“一线三等角”模型 包佛豪妙计 1.找直线：找出三个角共有的那条直线 2.导余角/补角：利用平角、直角互余，证一组角相等 3.证相似（或全等)》 有等边→AAS/ASA全等 无等边→AA相似，求边长、比例、最值 1.(2024黑龙江佳木斯一模)ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，M是BC的中点，D为射线BC上一点 (不与点B,C重合)、连接AD并延长到点E,使得DE=AD,连接BE·过点B作aE的垂线交直线 AC于点F. B B D C B M D M E 图① 图② 图③ 55/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图①，点D在线段：M上，线段C①，DB,CF之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段D,DB,F之 间的数量关系，不需证明. 【答案】(I)图①的猜想：CD=DB+CF,证明见解析 (2)图②：DB=CD+CF,图③：CF=DB+CD 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； (I)作EG⊥CB交CB的延长线于G,证明△ACD≌AEGD得到CD=DG,AC=EG,从而得到EG=BC ,证明△CBF≌AGEB得到CF=BG,即可得证； (2)如图，作EG⊥CB交CB于G,证明△ACD≌AEGD得到CD=DG,AC=EG,从而得到EG=BC, 证明△CBF≌AGEB得到CF=BG,即可得证；如图，作EG⊥CB交BC的延长线于G,证明 △ACD≌AEGD得到CD=DG,AC=EG,从而得到EG=BC,证明ACBF≌AGEB得到CF=BG,即可得 证 【详解】(I)CD=DG=BD+CF, 证明：如图，作EG⊥CB交CB的延长线于G, 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， [∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG, AD=ED △ACD≌△EGD(AAS), ..CD=DG,AC=EG, .AC=BC, ∴.EG=BC, BF⊥BE, ∴.∠EBF=90°， 56/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CBF+∠EBG=90°， ,∠BEG+∠EBG=90°， ∴.BEG=∠CBF, 在CBF和△GEB中， I∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB, BC=EG .△CBF≌△GEB(AAS, ∴.CF=BG, ..CD=DG=BD+BG=BD+CF: (2)如图，作EG⊥CB交CB于G, DM产 B 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和△EGD中， [∠ACD=∠EGD ADC=∠EDG, AD=ED △ACD≌△EGD(AAS), ..CD=DG,AC=EG, .AC=BC, ∴EG=BC, BF⊥BE, .∠EBF=90°， ∴.∠CBF+∠EBG=90°， .'∠BEG+∠EBG=90°， ∴.∠BEG=∠CBF, 57185 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在CBF和AGEB中， ∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB, BC=EG .△CBF≌△GEB(AAS), ..CF=BG, ∴.CD=DG=BD-BG=BD-CF,即DB=CD+CF; 如图，作EG⊥BC交BC的延长线于G, GD B E 则∠ACD=∠EGD=90°， 在△ACD和AEGD中， [∠ACD=∠EGD ∠ADC=∠EDG, AD=ED △ACD≌aEGD(AAS), ..CD=DG,AC=EG, .AC=BC, ∴.EG=BC, BF⊥BE, .∠EBF=90°， ∴.∠CBF+∠EBG=90°， .'∠BEG+∠EBG=90°， .∠BEG=∠CBF, 在CBF和AGEB中， 58/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠FCB=∠BGE ∠CBF=∠GEB, BC=EG .△CBF≌△GEB(AAS), ∴.C℉=BG, ..CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD; 2.(25-26八年级上湖北随州期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7Cm,求aE的长.” 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解， D G 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于L,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和CB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC,连 DC交QB延长线于点L.猜想AO与8：的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以ABC的B,AC边向外作 等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)O4=2BE(成BE=0A):见解析；(3)60 【分析】(1)因为AD⊥DE于D,∠ACB=90°，所以DAC=∠BCE,因为AC=BC,即可通过AAS证明 △ADC≌△CEB作答： (2)过点D作DT⊥OB于点T,连接CT.证明aDTB≌aBOA(AAS),推出DT=OB,BT=OA,再证明 △BCE≌aTDE(AAS),即可得结论； (3)作辅助线，过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,利用角度等量变 换，得到∠ABG=∠DAM,进而推导证明△ABG≌△DAM,同样证得△AGC2么ENA,得到DM=EN=AG, 59/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 最后△DAE的面积为：4H、△E面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解 【详解】(1)证明：：AD⊥DE于D,∠ACB=90°， ∴.∠ADC=90°，∠DAC+DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°， ∴.DAC=∠BCE, BE⊥DE, .∠BEC=∠ADC=90°， AC=BC, .△ADC≌△CEB(AAS), .CD=BE,AD=CE, DE=CE+CD=AD+BE (2)解：结论：OA=2BE.理由如下： 如图，过点D作DT⊥OB于点T,连接CT. :∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°， :.∠TBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠TBD=∠BAO, BD=DA, .△DTB≌△BOA(AAS), .DT=OB,BT=OA, :△BOC是等腰直角三角形， ∴OB=BC=DT, 又：∠BEC=∠TED,∠CBE=∠DTE=90°， △BCE≌aTDE(AAS), :BE=TE, :BT=2BE, :.OA=2BE: (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作N⊥AH于点N,如图所示： 60/85 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G :AG⊥BC, ∴∠AGB=∠M=90°， ∠ABG+∠BAG=90°， :∠BAD=90°， .∠BAG+∠DAM=90°， .∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， I∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD △ABG≌aDAM(AAS), .D M A G 同理可证明：△AGC≌AENA, :EN=AG. .DM=EN=AG, s=OF·HF=N☒·HV-+WO·IF二=S+S=3 ·ADE的面积等于60 【点晴】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即 三个直角)时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形，还考查了等腰三角形的性质，会 作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键 ◆型5半角模型 回棉豪妙社 1.旋转 绕半角的顶点，旋转含邻边的小三角形，使两条等长边重合： 2.证全等 利用旋转得：边相等+公共半角一SAS全等； 61/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.代换结论 线段和差、周长、角度、最值直接秒杀。 1.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE外角的平分线交于点A, 过点A分别作直线CE,CF的垂线，B,D为垂足 B C (1)求∠EAF的度数： (2)①求证：四边形ABCD是正方形： ②若AB=8,求(BE+8)(DF+8)的值. 【答案】(1)4 (2)①见解析；②128 【分析】(1)先推导出∠DFE+BEF=360°-90°=270°，然后根据角平分线的定义得到 ∠AEF+∠AFE=∠DFE+∠BEF),结合三角形内角和定理，即可解谷： (2)①过点A作AG⊥EF于G,推导出B=D=90=∠C,得到四边形ABCD为矩形，然后根据角平分线 性质定理推导出AB=AD=AG,即可证得结论； ②由①得四边形ABCD为正方形，推导出RtAAEG≌RtAAEB(HL),得到EG=BE,同理可得FG=DF, 再根据勾股定理，得到EC2+FC2=EF2,化简得BEDF+8(BE+DF)=64,然后展开式子(BE+8)(DF+8), 即可解答 【详解】(1)解：∠C=90°， ∴.∠CFE+∠CEF=90°， .∠DFE+∠BEF=360°-90°=270°， :AF平分∠DFE,AE平分BEF, ∠APE=DFE,AEF-BEF, ∠AEr+∠AFE-∠DFE+∠BEF)-x270=I35, :.∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=45°： 62/85 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)①证明：过点A作AG⊥EF于G, a D F B▣ 图 则∠AGE=∠AGF=90°， :AB⊥CE,AD⊥CF, ∴.∠B=D=900=∠C, :四边形ABCD为矩形， :∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A, .AB=AG,AD=AG, :AB=AD, :四边形ABCD为正方形 ②解：如图 A ◇ O G E 图1 由①得四边形ABCD为正方形 .BC=CD=AB=8, :AE=AE,AB=AG,∠B=∠AGE=90°， .RtAAEGRtAAEB(HL), .EG=BE, 同理可得FG=DF, .CE=BC-BE=8-BE,CF=CD-DF=8-DF,EF=EG+GF=BE+DF, EC2+FC2=EF2, (8-BE2+(8-DF2=(BE+DF)2, 化简，得BEDF+8(BE+DF)=64, :.(BE+8)(DF+8)=BE·DF+8(BE+DF)+64=128 63/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25八年级下·四川成都月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC=2,∠B=60°.将一个60的 ∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与B交于点M,CQ同时与AD交于点N,连接AC. N D M (1)求平行四边形ABCD的面积： (2)求证：△ANC≌△BMC; (3)求△AMN的周长的最小值. 【答案】(1)2√5 (2)见解析 (3)2+V5 【分析】(I)易得ABC是等边三角形，过点A作E⊥BC于点E,求出的长，利用平行四边形的面积公 式可得出结论； (2)先证四边形ABCD是菱形，则可得DAC=∠B,由ABC是等边三角形，可得AC=BC,又由 ∠MCN=∠ACB可得∠ACN=∠BCM,根据ASA即可证明NC≌BMC: (3)结合(2)得△CMN是等边三角形，利用当QM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形，MN也 是最短的，CM是边长为2等边ABC的高，即可得出△AMN周长的最小值. 【详解】(1)解：在ABC中，AB=BC=2,∠B=60°， :.ABC是等边三角形， :AC=AB=2, 如图，过点A作AE⊥BC于点E, D B ∠AEB=90°，BAE=30°， BE=1,AE=3, :平行四边形ABCD的面积为2x√3=2√3 (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC, 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是菱形， :∠BAC=∠DAC= ∠BAD,AD∥BC, .∠B+∠BAD=180R, :∠B=60°， .∠BAD=120°， ∴.∠BAC=∠DAC=60°， ∴DAC=B, ABC是等边三角形， ·AC=BC,∠ACB=60° 又：MCN=60°， ∴MCN=∠ACB, ∴.∠ACN=∠BCM, ∠DAC=∠B 在△4NC和△BMC中 AC=BC ∠ACN=∠BCM .△ANC≌△BMC(ASA): (3)解：△ANC≌△BMC, ·NC=MC,∠ACN=∠BCM, :.∠ACN+∠ACM=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°， ·.△CMN是等边三角形， 当QM⊥AB时CM最短， :MN也是最短的 :CM是边长为2等边ABC的高， .CM=V5,MN=√5， 所以AM+AN+MN=AM+BM+MN=AB+MN=2+5. .△AMN周长的最小值为2+√5 【点晴】此题主要考查了菱形的性质与判定以及等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意得 出MN最小时则△AMN的周长最小得出是解题关键， 宝重难冲刺练 模拟实武 麓战顶尖 》 65/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (建议用时：30分钟) 1.(25-26八年级上·安微阜阳·期末)如图，己知∠AOB=45°，∠AOC=15°，点M,N分别在OC,CB 上，且OM=ON=6,点P为QA上的动点，则PM+PW的最小值为() B A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】本题考查动点最值-将军饮马问题，涉及对称性质、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质 等知识，熟记动点最值问题将军饮马题型的解法是解决问题的关键 作点M关于直线QA的对称点M,连接OM、PM、MN,如图所示，由对称性质得到PM=PM, OM=OM,∠AOM'=∠AOC=15°，从而确定PM+PN=PM'+PW,则由两点之间线段最短可知，当点 P为N与QA的交点时，PM'+PN最小，即PM+PN的值最小为线段N,然后由等边三角形的判定与 性质求解即可得到答案 【详解】解：作点M关于直线QA的对称点M,连接OM、PM、MN,如图所示： M 、M C由对称性质可得PM=PM,OM=OM',∠AOM'=∠AOC=15, B 则PM+PN=PM'+PN, 由两点之间线段最短可知，当点P为N与QA的交点时，PM'+PN最小， 即PM+PN的值最小为线段MN, .OM=ON=6, ..OM=ON=6, .'∠NOM'=∠M'OA+∠AOB=60° ∴.△OMN为等边三角形， 则MW=ON=6, ·PM+PN的最小值为， 66/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 2.(25-26八年级下·河北唐山·月考)如图，L,F是正方形ABCD的边B的三等分点，P是对角线AC上 的动点，若AD=6,则PE+PF的最小值是 D P 【答案】25 【分析】作点关于AC的对称点E,连接EF交AC于点P,当E,P,F三点共线时，PE+PF的值最 小，最小值为EF的长，再根据勾股定理求出EF的长即可 【详解】解：作点关于AC的对称点E,连接EF交AC于点P,如图， D P E E F 由对称性得，PE=PE, ∴.PE+PF=PE+PF≥EF 当E,P,F三点共线时，PE+PF的值最小，最小值为EF的长， :AD=AB=6,且L,F是正方形ABCD的边B的三等分点， AE=2,AF=4, ·AE=2, 在RtAAEF中，E'F=√AE2+AF2=√22+42=2√5. 3.(2026山东济南一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E是CD边上一点，连接E,将 ADE沿直线E折叠得到△ADE,连接DD交E于点F,连接CF,则线段CF的最小值为 67/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】2√0-2 【分析】根据题意得出点F在以AD为直径的半圆O上运动，确定当点QCF在一条直线上时，CF的长 度最小，即C℉=OC-OF,然后利用勾股定理结合图形求解即可. 【详解】解：如图所示，取AD的中点O,连接OF, B 由折叠的性质可得4E100‘, ∴.∠AFD=90°， :.点F在以AD为直径的半圆O上运动， :当点QCF在一条直线上时，CF的长度最小，此时C℉=OC-OF, :在矩形ABCD中，AB=6,AD=4, :0D=0F=AD=2,CD=AB=6,∠ADC=90°， 0C=√0D2+CD2=√22+62=210， CF最小值=OC-0F=2V10-2. 4.(25-26九年级下·辽宁抚顺月考)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在CB的延长线上，连接E ，点M在DE上，且DM=DEA,则的最小值为 D M B 68/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5-1 2 【分析】如图，连接CM,根据四边形ABCD正方形，得出AD=DC=AB=4,∠ECD=90°，证明 4M0O·则-M △DEADAM.得出1E-DE-AD 则DE4,得出当AM最小时，最小.证明 △CDMAEDC,得出∠CMD=∠ECD=90:如图，取CD的中点O,连接MO,则M0=CD=2,即可 得点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动.当点A,M,O共线时，AM最小，在Rt△AOD中，由勾 股定理求出40，即可求出4M=25-2,即可得出能的最小值为5 2 【详解】解：如图，连接CM, D E C :四边形ABCD正方形， ∴AD=DC=AB=4,ECD=90°， ·.A=△，DAM=DEA, .△DEAADAM. AE DE AD AM AD DM AE AMAM DE AD 4 当AM最小时，是最小， .DM AD AD=DC, AD DE DM DC DC DE 2=∠2， .∴ACDMEDC, ∴.∠CMD=∠ECD=90°； 如图， 69/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M 取CD的中点O,连接MO,则M0=CD=2, :.点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动. 当点A,M,O共线时，AM最小. 在Rt△AOD中，AD:4,OD=2, 由勾股定理，得A0=√AD2+0D2=√42+22=2√5， .OM=2, .AM=2V5-2, AE-AM-25-2-5-1, DE 4 4 2 的最小值为5 DE 2 5.(25-26九年级上陕西延安·期末)如图，是边长为6的正方形ABCD内一动点，且∠AED=90°，将线 段DE绕点D逆时针旋转90P得到线段DF,点G是C的中点，连接G,则G的最大值为 D G 【答案】3+3√2/3√2+3 【分析】连接CF,证明aADE≌aCDF(SAS),则∠CFD=∠AED=90°，则点F在以CD为直径的圆H上，当 G、H、F共线时，G最大，即可求解. 【详解】解：连接F,取CD的中点H, G 由旋转的性质知，∠CDF=∠ADE, 70/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=CD,DE=DF, .△ADE≌aCDF(SAS), ∴∠CFD=∠AED=90°， 则点F在以CD为直径的圆H上，连接GH、H, 当G、H、F共线时，G最大， 圆F=,CD=3,GH=2CG=3V2 则FG的最大值为3+32 6.(2022·贵州黔东南模拟预测)顺次连接一矩形场地ABCD的边B、BC、CD、DA的中点E、F、G、H, 得到四边形EFGH,M为边H的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米， BC=10V5米，当PM+PH的和为最小值时，P的长为· D M G D 【答案】10v5 3 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间 距离最短解决，同时考查了含③的直角三角形的三边关系，菱形的判定与性质，解决本题的关键是确定点 P的位置 先得到四边形EFGH为菱形，再根据当PM+PH的和为最小值，确定点P的位置，再由勾股定理计算EH 的长度，再得到△FH为等边三角形，则有FM⊥EH,再根据含30心的直角三角形的三边关系求解即可. 【详解】解：连接F交EG于点O,连接M交EG于点P,如图， H D M G :点E、F、G、H分别为矩形ABCD的边B、BC、CD、DA的中点， “四边形EFGH为菱形，且F与EG互相垂直平分， :点F为点H关于EG的对称点，即PH=PF, :当动点P运动到点P的位置时，PM+PH的和为最小值， 71/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=10米，BC=10N5米， .AE=5米，AH=55米， 在RtAAEH中，EH=VAH+AE =53+5=10米. 在RtAAEH中，AE=5米，H=10米， ∠AHE=30°， ∴.EHF=60°， △H为等边三角形， HE0=30°， :M为边EH的中点，即EM=5, FM⊥EH,即EMP=90°， 在RtAEMP中，MEP=30°， tan∠MEp'=MP_MP'-5 EM 5 ，可得Mp= 3 EP=2Mp-105米， 3 ÷当PM4PH的和为最小值时，F的长为105米。 3 7.(25-26八年级下·四川泸州月考)如图，在等边ABC中，4B=?,AD⊥BC于点D,点P,E分别为 AD,AB上的动点，则PB+PE的最小值为· 【答案】 【分析】连接CP,CE,过点（作CT⊥AB,先证明AD是BC的垂直平分线，得到PB=PC,根据等边三角 形的性质得BC=2,BT=1,再结合PB+PE=PC+PE≥EC,EC≥TC,得PB+PE的最小值是TC,最后 根据勾股定理即可作答. 【详解】解：连接CP,CE,过点（作CT⊥AB,如图所示： 72/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B :在等边ABC中，AB=2, .AB=AC=BC=2, :AD⊥BC,CT⊥AB, :BD=CD.AT=BT=1AB=1x2=1, 2 ·AD是BC的垂直平分线， .PB=PC. .PB+PE=PC+PE≥EC, :点P,E分别为AD,AB上的动点， .EC≥TC, 当点与点重合，C,P,T三点共线时，则PB+PE有最小值TC, :BC=2,BT=1,CT⊥AB, :TC=√BC2-BT2=4-1=5. PB+PE的最小值为V5, 8.(24-25九年级下.安徽合肥期中)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,P是射线BC上一点，是 4P上一点，且∠APB=∠ABE. (1)AEAP的值为： (2)连接DE,当DE取最小值时，E的长为· 【答案】 36 65 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最 值问题，证明△4PB∽△ABE是解题的关键 73/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1）可证明△MPB∽△BE得到C-=4B 则AE·AP=AB2=36: AB AE (2)由矩形的性质可得∠ABP=∠BAD=90°，则由相似三角形的性质可得∠AEB=∠ABP=90°；以B为直 径作⊙O,连接OD,当点为OD与AB的交点时，DE的值最小.作EF⊥AB于点F,可证明 △OFE∽△O4D,根据相似三角形的性质可得F=5,OF=、,再利用勾股定理即可得到4E=6V5 5 【详解】解：(1)~LAPB=∠ABE,BAE=∠PAB, .△APB△ABE, AP AB AB AE ·AE·AP=AB2=36, 故答案为：36 (2):四边形ABCD是矩形， ∠ABP=∠BAD=90°， '△4PB∽△ABE, ∴.∠AEB=∠ABP=90°， :点E在以仍为直径的圆上运动， 如图，以B为直径作⊙O,连接OD,当点为OD与AB的交点时，DE的值最小， D 作EF⊥AB于点F, .∠OFE=∠OAD=90°， 又：∠FOE=∠AOD ∴.△OFE△OAD, EF EO OF OE DA DO OA OD 74/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、、F=○·DA12,C DO 故答案为： 65 9.(25-26九年级上江西景德镇期末)如图，己知四边形ABCD为正方形，AB=3√2，点E为对角线AC上 一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. G B F (1)求证：矩形DEFG是正方形. (②)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)直接写出DG的最小值. 【答案】(1)见解析 2)是定值，6 3)DG=3 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助 线是解题的关键。 (1)过作EM⊥BC于M点，过作EN⊥CD于N点，可证四边形EMCN是正方形，得EM=EN,进而 证明aFEM≌aDEN(ASA),得到EF=ED,即可求证； (2)证明△ADE≌aCDG(SAS),可得AE=CG,即得CE+CG=CE+AE=AC=√2AB,即可求解； (3)由矩形DEFG为正方形，得到DG=DE,根据垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE取得最小值， 最小值为二AC,此时，DG有最小值，即可解答， 【详解】(1)证明：如图，过作EM⊥BC于M点，过作N⊥CD于N点， D :四边形ABCD为正方形， M .BCD=90°， :EM⊥BC,EN⊥CD, 75/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EMF=∠ENC=∠ENWD=90°， :.四边形EMCN是矩形， .tMEN=909, :是正方形ABCD对角线的一点， .∠MCE=45, ∴.MCE=∠CEM=45°， .EM=CM, :四边形EMCN是正方形， :EM=EN, :四边形DEFG为矩形， ∴.∠FED=90°， ∴.∠MEN-FEN=FED-∠FEN, 即∠MEF=NED, 在△FEM和ADN中， ∠EMF=∠END EM=EN ∠MEF=∠NED .△FEM≌aDEN(ASA), ·EF=ED, .矩形DEFG为正方形： (2)解：CE+CG是定值，定值为，理由如下： :矩形DEFG为正方形， DE=DG,∠EDG=90°， :四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADC=90°， .∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC, 即∠ADE=∠CDG, AD=DG 在ADE和△CDG中， ∠ADE=∠CDG, DE=DG △ADE≌aCDG(SAS), .AE=CG, .CE+CG=CE+AE=AC=2AB=6, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CE+CG是定值，定值为E (3)解：矩形DEFG为正方形， .DG=DE, 由垂线段最短可知，当DE上AC时，DE取得最小值，最小值为AC, 此时，DG有最小值， 由(2)知AC=6, :.DG的最小值为三AC=3 10.(25-26八年级上·河南三门峡期中)如图，AB℃是等边三角形，AB=8,AD是边BC上的高，点E在 边AD上，连接BE,在其下方作等边三角形BEF,连接DF,CF, (I)当BDE是等腰三角形时，∠DEF= (2)求证：△ABE≌△CBF; (3)求DF的最小值. 【答案】(1)15： (2)证明见解析： (3)DF的最小值为2. 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度直角 三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键。 (1)由ABC是等边三角形，则AB=AC,又AD是边BC上的高，所以∠ADB=90°，由BDE是等腰三 角形，则LBED=45°，然后通过角度和差即可求解： (2)由ABC是等边三角形，△BEF是等边三角形，得AB=CB,EB=FB,∠ABC=∠EBF=60°，然 后通过“SAS”即可求证； (3》由等边三角形性质可得BD=CD=BC=4,∠B1D=∠B1C=30P,又4D是边BC上的高，所以 BD=CD=BC=4,∠BAD=∠BAC=30,由全等三角形性质可得∠BAE=∠BCF=30°，故有当 DF⊥CF时，DF最小，最后通过含30度直角三角形的性质即可求解. 77/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， .AB=AC, :AD是边BC上的高， ∠ADB=90°， :BDE是等腰三角形， .∠BED=45°， :△BEF是等边三角形， LBEF=60°， .∠DEF=∠BEF-∠BED=60°-45°=15°， 故答案为：15； (2)证明：：ABC是等边三角形，△BEF是等边三角形， AB=CB,EB=FB,LABC=∠EBF=60°， :ZABC-ZEBC ZEBF-ZEBC, ∠ABE=LCBF, 在△ABE和CBF中， AB=CB ∠ABE=∠CBF EB=FB .△ABE≌△CBF(SAS): (3)解：：ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC=8,∠BAC=60°， :AD是边BC上的高， :BD=CD=BC=4,∠BAD=∠BAC=30°， 2 由(2)得，△ABE≌△CBF, LBAE=LBCF=30°， 当DF⊥CF时，DF最小，最小值为)CD=2, :DF的最小值为2. 11.(25-26八年级上河北衡水·期末)如图，在ABC中，∠ABC=LACB=60°，AP⊥BC,垂足为P, M为线段AP上一动点，连接BM,在BM的下方作等边△BMN,连接CN. 78/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (I)求证：△ABM≌△CBN. (2)若AB=8,△BCN的面积为4，求AM的长. (3)如图2，连接PN,当△BPN的周长最小时，直接写出BM和PM之间的数量关系. 【答案】（①）见解析 (2)AM=2 3)BM=2PM 【分析】(1)先证明△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠ABC=LMBN=60°，AB=BC, BM=BN,进而证明LABM=∠CBN,从而可证得△ABM≌aCBN(SAS), (2)过点M作MQ⊥AB于点Q,根据全等的性质可得△ABM的面积为4，根据三角形的面积公式可求得 MQ的长，由AP⊥BC,得到∠BAP=)∠CAB=30°，再根据含30°直角三角形的性质即可得解。 2 (3)作点P关于CN的对称点G,连接CG,PG,NG,则PN=NG,当B、N、G三点共线时， BN+PN的值最小，最小值为BG的长，此时△BPN的周长最小，由全等的性质可得∠BCN=∠BAP=30°， 由轴对称的性质可得∠NCG的度数，进而可得∠GBC、∠MBP的度数，最后根据含30°直角三角形的性质 即可得证 【详解】(1)证明：：∠ABC=∠ACB=60°， ∠CAB=60°， △ABC是等边三角形 :△ABC,△BMN是等边三角形， :∠ABC=∠MBN=60°，AB=BC,BM=BN. ·∠ABM+∠MBP=∠CBN+∠MBP=60°， LABM=∠CBN, △ABM≌CBN(SAS) (2)解：如图，过点M作MQ⊥AB于点Q. 79/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 M :△BCN的面积为4，△ABM≌aCBN, △ABM的面积为4， 2BM0=4,即)×8xM0=4, 2 ∴.Mg=1. :AP⊥BC, 1 ∴.∠BAP=∠CAB=30°， ∴.AM=2MQ=2. (3)解：BM=2PM. G 如图，作点P关于CN的对称点G,连接CG,PG,NG, 则PN=NG, :当B、N、G三点共线时，BN+PN的值最小，最小值为BG的长，此时△BPN的周长最小. :△ABM≌△CBN,∠BAP=30°， ∠BCN=∠BAP=30°， :∠NCG=∠BCN=30°， LPCG=2LBCN=60°. :∠BNM=60°， .∠PNG=120°， ∴∠GC=!∠PNG=60, .∠NGC=180°-∠GNC-∠NCG=90°， 80/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠GBC=90°-∠BCG=30°， .∠MBP=∠MBN-∠CBN=30°， ·BM=2PM. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，两点之 间线段最短，作出合理的辅助线，灵活应用相关性质定理是解题的关键. 12.(辽宁抚顺市2026模拟)在矩形0ABC中，0C=4,0A=2,分别以OC,OA所在直线为x轴和y轴 建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 y=k(x>O)的图象与AB边交于点E,连接OE,OF,EF, VA (1)若tan∠COF= 4,求反比例函数的解析式， (2)当点F在BC上移动时，△OEF与△EBF的面积差记为S,求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 【答案】(y=4 (②)当k=4时，S有最大值，最大值是2 【分析】1)由OC的长可确定出c的坐标，由a∠COF=!C二可求出CP=1,得出点F4,l,根据点 40C F在反比例函数图象上，即可求出k=4,求出反比例函数解析式： (2)先表示出点E 合F4),接若表示出5.w8BF,3g=5oac-Som-5m-5a SS,一S8P+k8k-4+2,最后利用二次函数求出最值 【详解】(1)解：：四边形0ABC是矩形，OC=4,OA=2, BC=0A=2,AB=0C=4,∠0CB=∠CBA=∠BA0=90°， tanLCOF= 1 CF 1 0C4' CF=1, F(4,1, :函数y=(x>0)的图象过F点 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=4×1=4, :反比例函数解析式为y=4, (2)解：：反比例函数y=《过点E, 片当y=2时，2=k, 解得x= 2 6 2 BE=4-k 当x=4时，y-女 41 :CF= -4' “BF=2-k 5m-EBF-4-2-4】 :SOEF=S矩形OHBC-SOHE-SA0CP-S,EBP =224-2- 8以- =8-402-》 面积差S=S0er-5e0=-2+k=-k-42+2, 8 8 1 <0， 8 :当k=4时，S有最大值，S的最大值为2. 13.(2025山东济宁.一模)(1)如图①，在ABC中，若AB=10,AC=6,则BC边上的中线AD的取值 82/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 范围是； (2)如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F, 连接EF,求证：BE+CF>EF: (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角， 角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. 图① 图② 图③ 【答案】(1)2<AD<8;(2)见解析；(3)BE+DF=EF,证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作 辅助线，构造两个全等三角形是解题关键. (1)延长AD至E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE≌△CDA(SAS),得出BE=AC=6,再利用三角形 三边关系即可得出答案； (2)延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,同(I)得，△BMD≌△CFD(SAS),得出BM=CF 再证明△EDM≌△EDF(SAS),得出EM=EF,最后再利用三角形三边关系即可得出答案； (3)延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证明△NBC≌aFDC(SAS)得出CN=CF,∠NCB=∠FCD, 再证明△NCE≌△FCE(SAS),得出EN=EF,即可得证， 【详解】(1)解：延长AD至E,使DE=AD,连接BE,如图1所示： :AD是BC边上的中线， .BD CD, 在BDE和△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=AD :.△BDE≌△CDA(SAS, .BE=AC=6, 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE, 10-6<AE<10+6,即4<AE<16, .2<AD<8; 故答案为：2<AD<8; 83/85 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示， M B 同(1)得，△BMD≌△CFD(SAS), :BM =CF :DE⊥DF,DM=DF,DE=DE .△EDM≌△EDF(SAS), ∴EM=EF 在△BME中，由三角形的三边关系得BE+BM>EM, :BE +CF EF (3)BE+DF=EF, 证明如下：延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示， :∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180° ·∠NBC=∠D 在△NBC和△FDC中， BN=DF ∠NBC=∠D, BC=DC △NBC≌△FDC(SAS, .CN=CF,∠NCB=∠FCD :∠BCD=140°，∠ECF=70° .∠BCE+∠FCD=70°， :LECN=70°=∠ECF 在△NCE和△FCE中， CM=CF ∠ECN=∠ECF BC=DC ∴△NCE≌△FCE(SAS), 84/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EN EF :BE +BN EN ∴.BE+DF=EF. 85/85 专题04 动态几何与最值问题 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中几何常见的问题考点主要考向分为两类： 一、最值问题（每年1~2道）； 二、模型类问题（每年1~2题）； 考查内容稳定，命题形式多样，多为多结论判断，难度中上． 预测2026年：安徽中考动态几何与最值是必考内容，考题基本确定在选择压轴及几何解答。重点关注4大模型（将军饮马、垂线段最短、两点之间线段最短、隐圆最值），总结轨迹、辅助线、计算套路。 考向01 最值问题 题型1 两点之间，线段最短 1、找定点：确定两个固定不动的端点A、B； 2、化折线：把【折线段】PA+PB通过对称、平移、等量替换，拼成首尾相连的折线； 3、连线段：直接连接两个远端定点，连线长度=最小值，交点即为取最值时的动点位置。 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． (1)线段__________；线段__________； (2)以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． (3)点为轴上的动点，则的最小值为_______． 2．（23-24九年级上·安徽·月考）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若，抛物线的对称轴为直线.    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，使得周长最小，求出最小周长． 3．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）【问题原型】如图①，在中，，，．点分别是边上的动点，连接，且，求的最小值． 【问题解决】求两条线段和的最小值问题，可以通过全等变换，将两条线段进行拼接，进而求出两条线段和的最小值．如图②，将图①中的线段绕点逆时针旋转至点，使得． (1)求证：； (2)若求的最小值，即求的最小值．由于点是边上的一个动点，连接，则线段的长度即为的最小值，这个最小值为______，这样做依据的是______（填基本事实）； 【类比应用】 (3)如图③，已知线段，点在线段上，且．以点为顶点作等边三角形，连接．当取得最小值时，的最小值为______． 题型2 垂线段最短 1、 定定点、定直线 找出：固定不动的点P +动点所在的定直线l； 2、作垂线：过定点向动点所在直线，作垂线段； 3、算垂线段长度=最小值 用：面积法、勾股定理、三角函数、相似、坐标法求值。 1．（24-25九年级下·吉林长春·期中）【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，平分为的中点，，垂足为为上的一个动点，是的延长线与的交点，求线段的最小值．    3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 题型3 点圆最值 1、找隐圆：定角对定边、定点定长（旋转、翻折、等线段）、直角对直径； 2、定要素：找出：圆心O、半径r、外部定点P； 3、算距离+套公式】 先算定点到圆心距离PO，最小值=PO-r，最大值=PO+r。 1．（2025·湖南·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题： 下面让我们一起尝试去解决： (1)如图1，中，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________； (2)如图2，在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是_______； (3)如图3，矩形中，，点E，F分别为边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为多少？ 2．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在矩形中，是的中点，(不与点重合)是边上的动点，将沿着翻折后得到延长交边于点，连接， (1)求证∶ (2)当点运动到时，点在点的左边，求的长； (3)在(2)问，的长度下，在点的运动过程中，求、两点之间距离的最小值． 题型4 线圆最值 1．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在菱形中，，，点是边的中点，连结，点是折线上一点，连接，点关于的对称点为． (1)对角线的长为______； (2)当点落在的边上（点不与点、重合）时，求的长； (3)连结，求线段的长的最小值； (4)当所在的直线垂直于时，直接写出线段的长． 2．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）问题背景（1）如图1，在与中，，，连结，．证明：； 迁移变式（2）如图2，，，连接，求、、之间的数量关系并证明； 拓展应用（3）如图3，在矩形中，，点为射线上的动点，求最小时，直接写出的值______________． 题型5 由相切引起的最值 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图1，在矩形中，，，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，半径是__________，与边的位置关系是__________． (2)连接，则长的取值范围是__________． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求的值． 2．（2023·河北·模拟预测）已知直线上有两点，且，作，长为10的线段于点，以为直径向右作半圆．    (1)若点为半圆上一点，则的最小值为__________； (2)将半圆向右平移得到半圆的对应点分别为，当半圆与相切时，求平移距离． 题型6 瓜豆模型 1. 找定点 找出唯一不动的公共顶点（瓜豆旋转中心）。 2. 定轨迹 看主动点在什么图形上运动： • 主动点在直线上 ➜ 从动点轨迹也是直线 • 主动点在圆上 ➜ 从动点轨迹也是圆 3. 找特殊点，确定从动轨迹 取主动点2个特殊位置（起点、终点、中点）， 画出对应从动点，连线/画圆，锁定轨迹， 再用：垂线段最短、两点线段最短、点圆最值求最值。 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________．    题型7 利用二次函数解决最值 步骤1：设变量 设动点线段长 / 运动时间 / 边长为 x（带上取值范围） 步骤2：列关系式 用：勾股、相似、三角函数、面积公式、线段和差 把所求最值量（面积、周长、线段长）表示为 y 关于 x 的二次函数 步骤3：化成顶点式/一般式 步骤4：分两种情况求最值 1. 顶点在自变量取值范围内 时，取最大/最小值 2. 顶点不在取值范围内 利用增减性，在区间端点取最值 1．（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 2．（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 考向02 模型类问题 题型1 中点模型 遇中点，四套路：倍长中线、斜边中线、中位线、三线合一 1．（2026·甘肃庆阳·一模）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 2．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 题型2 截长补短模型 策略1：截长法（优先用） 适用：长线段明确，要证「和等于长」 1. 在最长边 BC 上，取一点 M，使 BM=AB 2. 连接辅助线，证剩余段 MC=CD 3. 常用：全等三角形、角平分线性质、等角对等边 策略2：补短法 适用：短线段分散，不好截取 1. 延长短边，如延长 AB 至 N，使 BN=CD 2. 转化证明整条线段 AN=BC 3. 适合角度复杂、有外角、旋转类图形 1．（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下： 如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】 （1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】 （2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】 （3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 题型3 “手拉手”模型 1. 找公共顶点，确认双等腰、顶角相等 2. 导角：同时减去/加上中间公共角，证夹角相等 3. 证SAS全等，得边等、角等，解决线段、角度、最值 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）已知：和都是等腰三角形，，，，连接． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，点为的中点，的平分线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 题型4 “一线三等角”模型 1. 找直线：找出三个角共有的那条直线 2. 导余角/补角：利用平角、直角互余，证一组角相等 3. 证相似（或全等） ◦ 有等边 → AAS/ASA 全等 ◦ 无等边 → AA 相似，求边长、比例、最值 1．（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 2．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 题型5 半角模型 1. 旋转 绕半角的顶点，旋转含邻边的小三角形，使两条等长边重合； 2. 证全等 利用旋转得：边相等+公共半角 全等； 3. 代换结论 线段和差、周长、角度、最值直接秒杀。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在平行四边形中，，．将一个的的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当与交于点M，同时与交于点N，连接． (1)求平行四边形的面积； (2)求证：； (3)求的周长的最小值． （建议用时：30分钟） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，点，分别在，上，且，点为上的动点，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，若，则的最小值是______． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 4．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在正方形中， ，点E在的延长线上，连接，点M在上，且，则的最小值为__________． 5．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是边长为6的正方形内一动点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为___________． 6．（2022·贵州黔东南·模拟预测）顺次连接一矩形场地的边、、、的中点E、F、G、H，得到四边形，M为边的中点，点P为小明在对角线上走动的位置，若米，米，当的和为最小值时，的长为_____． 7．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 8．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，，是射线上一点，是上一点，且． （1）的值为______； （2）连接，当取最小值时，的长为______． 9．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 10．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 11．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，，垂足为，为线段上一动点，连接，在的下方作等边，连接． (1)求证：． (2)若，的面积为，求的长． (3)如图，连接，当的周长最小时，直接写出和之间的数量关系． 12．（辽宁抚顺市2026模拟）在矩形中，，，分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，． (1)若，求反比例函数的解析式； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少? 13．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $