题号猜押03 辽宁中考数学22题（几何综合压轴）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦辽宁中考数学23题，以几何综合为核心，通过6大考点20余道分层例题，系统覆盖构造中位线、相似三角形、旋转变换等高频考法，构建从基础证明到综合探究的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构造中位线与倒角证明|2题|含3问递进式证明与计算|中位线性质→倒角推理→中点关联线段比| |平行四边形与相似三角形|2题|矩形/平行四边形中三角板放置探究|平行性质→相似判定→线段比计算| |旋转变换与相似三角形|2题|菱形/等边三角形旋转综合题|旋转性质→全等/相似构造→动态线段计算| |折叠变换与相似三角形|2题|平行四边形折叠探究|折叠对称性→角等量转化→相似应用| |新定义与几何综合|2题|“直角等距四边形”等新定义问题|新定义理解→模型转化→几何性质应用| |几何综合与最值问题|6题|含旋转、折叠的动态最值题|几何变换→轨迹分析→最值模型构建|

题号猜押03 辽宁中考数学23题 （几何综合压轴题） 考点1 构造中位线与倒角证明 1．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，D，E是边上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是内一点，，． ①求证：； ②与相交于点G；且G是的中点，求的值； ③如图3，在②的条件下，当时，求的长． 2．（2026·辽宁大连·一模）【问题引入】 （1）在中，点在上，连接，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，交于点，． ①如图1，直接写出与之间的数量关系 ； ②如图2，若，求证： 【变式研探】 （2）在中，，为延长线上一动点，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转一定的角度得到线段，，连接，取中点，连接， ①如图3，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，若请直接写出线段的长度 ． 考点2 平行四边形与相似三角形 1．（2026·辽宁本溪·一模）【问题情境】如图1，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？直接写出结论：________（不用证明）． 【变式探究】如图2，小明把三角板（，）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，求的长． 【拓展应用】如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别在、、边上，若，，，求出的值． 2．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 考点3 旋转变换与相似三角形 1．（2026·湖北十堰·一模）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)如图①，若点与线段的中点重合，求并说明线段与线段的位置关系； (2)如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在等边三角形中，点D在上，点E在上，与交于点P，． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，在（2）的条件下，将绕点B顺时针旋转，使与重合，点P的对应点为Q，的延长线交的延长线于点F． ①求证：． ②求的面积． 考点4 折叠变换与相似三角形 1．（2026·辽宁沈阳·一模）点为所在平面内一点，满足，与交于点． (1)【问题探究】 如图1，将沿着所在直线对折，得到． ①求证：； ②试探究与的数量关系，并说明理由； (2)【问题拓展】 如图2，取的中点，在内部取一点，使，，连接，若，，，当最小时，直接写出的长． 2．（2026·河南周口·一模）综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 考点5 新定义与几何综合 1．（2026·广西贵港·二模）新定义：如图1，对于平面内的一个四边形，Y是上一点，连接，，存在点Y，使得且，我们称四边形是“直角等距四边形”，点Y是四边形的“等垂点”． 【初步探索】 (1)如图2，矩形是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则和的数量关系是______； 【类比探究】 (2)如图3，四边形是“直角等距四边形”，Q是它的“等垂点”，分别过点J，K作的垂线，垂足分别为M和N． ①求证：； ②若，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，，点U，V为中不在同一边上的两点，且点U为所在边的中点，若以R，U，V，T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求的长． 2．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 考点6 几何综合与最值问题 1．（2026·广东深圳·二模）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】（1）如图1，在中，点为上一点，，求证：． 【内化迁移】（2）如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点，若，求的长． 【综合拓展】 （4）如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值_____． 2．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． (2)若，，直接写出点与点距离的最大值． 1．（2026·辽宁阜新·一模）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； (3)【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，，将绕点C旋转得到，点A对应点D落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当，时，求的长； (3)如图2，求证：； (4)如图2，过点E作的平行线交的延长线于点F，过点B作的平行线交于点G，与交于点H．当，时，直接写出的值． 3．（2026·辽宁本溪·一模）几何综合探究： (1)如图1，将沿对角线剪开，将绕着点A逆时针旋转度得到，，分别延长，交于点G． ①求证：； ②如图2，当时，，，，求的面积 (2)如图3，在中，，D是边的中点，点E在上，过点E作交的平行线于点F，若，，求的值． 4．（2026·广东深圳·一模）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长.    5．（2026·湖北孝感·一模）如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； (3)如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 6．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）中，，，，为中点，连接． (1)如图，当点在的延长线上时，求证：，； (2)如图，绕点旋转到图中位置，求证：，； (3)若，（A、D、E顺时针排列）绕点旋转，当时，直接写出的面积． 7．（2026·辽宁鞍山·一模）根据所学知识，解答以下问题 (1)如图1，在中，延长至点，使，点为边上一点，连接，使，延长至点，连接，使，求证：． (2)如图2，在中，，，，分别为，，边上三点，且，，求证：． (3)如图3，在中，，点为边上一点，连接，，延长至点，使得，连接，以为底边在其上方作，使，若，，，求的长． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： (1)如图1，在正方形中，E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，求的度数． 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： (2)如图2，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点E作，点F在的上方并满足，连接，求的值． 【学以致用】 小组同学想进一步对图中进行变换，于是提出下面的问题： (3)如图3，在边长为的菱形中，，E为边上一点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，，交于点G，若G为边的三等分点，求的面积． 9．（2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 10．（2026·山西晋中·一模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． (1)猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押03辽宁中考数学23题 (几何综合压轴题) 押题预测 考点1构造中位线与倒角证明 1.(2026辽宁大连一模)如图，在ABC中，AB=AC,D,E是边BC上的点，BD=CE. (图1) (图2) (图3) (I)如图1，求证：△ABE≌△ACD; (2)如图2，点F是ABC内一点，∠BAD=2∠ACF-45°，∠AED=2∠ACF. ①求证：∠BAC=90°； ②F与AD相交于点G,且G是F的中点，求4C的值， AC ③如图3，在②的条件下，当BF=CF=2时，求AC的长， 【答案】(1)见解析 20见解析：②2，③1+5 【分析】(I)由等边对等角得到∠B=∠C,再证明BE=CD,即可利用SAS证明△ABE≌aACD; (2)①由全等三角形的性质得到∠ADC=LAEB;由等边对等角得到∠ABC=∠ACB;由三角形外角的性 质得到LADC=LABC+2∠ACF-45°，则可证明2∠ACF=∠ABC+2∠ACF-45°，据此得到 ∠ABC=∠ACB=45°，则LBAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°；②过点A作AH⊥BC于点H,连接GH,可 证明GH为BCF的中位线，得到GH∥CF,则∠BHG=∠BCF;可证明∠AGH=∠AHG,得到AG=AH; 证明△ACH是等腰直角三角形，得到AH=CH,则可证明AC=√2AH,进而得到AC=√2AG,则 4C-5,③过点F作FN1AC于点N,证明AH垂直平分BC,则可证明点F在AH上：证明GH=GF, AC 2 进而证明△AGH∽△GFH,得到AG·FH=GH=1,则可推出AF.FH+FH=1;由勾股定理得 BH+FH2=BF2=4,同理可证明AH=BH,则可得到(AF+FH)+FH=4,据此求出AF=√2；证明 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ANF是等腰直角三角形，推出AN=FN=1,则CN=VCF?-FN?=√万，即可得到AC=AN+CN=1+√3 【详解】(1)证明：AB=AC, .∠B=∠C, .BD=CE, ∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD, :△ABE≌△ACD(SAS; (2)解：①△ABE≌△ACD, LADC=∠AEB; AB=AC, ∠ABC=LACB; :∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠BAD=2LACF-45°， .∠ADC=∠ABC+2∠ACF-45°， :∠AED=2∠ACF, .∠ADC=2∠ACF, .2LACF=∠ABC+2∠ACF-45°， .∠ABC=45°， .∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAC=180°-LABC-LACB=90°； ②如图所示，过点A作AH⊥BC于点H,连接GH, B AB=AC, ∴点H为BC的中点，∠AHB=∠AHC=90°； :点G为BF的中点， .GH为BCF的中位线， ∴.GH∥CF, .∠BHG=∠BCF; 由(2)①可知，∠ACB=∠ABC=45°， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BHG=∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°-∠ACF, :∠AHG=∠AHB-∠BHG=45°+∠ACF; :LADE=LABC+∠BAD=45°+2∠ACF-45°=2∠ACF, .∠AGH=∠ADH+∠DHG=45°+∠ACF, .∠AGH=∠AHG, .AG=AH 在△AHC中，∠AHC=90°，∠ACH=45°， ∴.△ACH是等腰直角三角形， .AH =CH, .AC=√AH2+CH2=√2AH, AC=2AG, AG AC 2 ③如图所示，过点F作FN⊥AC于点N, B D :AB=AC,AH⊥BC, .BH=CH, AH垂直平分BC, BF=CF, :.点F在BC的垂直平分线上， .点F在AH上； :BF=CF=2,点G为BF的中点，且GH是BCF的中位线， .GHI-CF-1,GF-F-1 ..GH=GF, :ZGHF ZGFH, 又：∠AGH=∠AHG, .∠GFH=∠AGH, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△AGH∽△GFH, GH FH AG GH' .AG.FH=GH2=1, .AH.FH=GH2=1, .(AF +FHFH =1, ∴AF.FH+FH2=1: 在Rt△FBH中，由勾股定理得BH+FH2=BF2=22=4, 同理可证明AH=BH, .AH2+FH=4, （AF+FH2+FH2=4, AF2+2AF.FH+FH2+FH2=4, .AF2+2AF.FH+FH2）=4, AF2+2=4, ·AF=√2或AF=-√2（舍去）； :FN⊥AC, ∠ANF=∠CNF=90°： :AB=AC,AH⊥BC, :∠CAH=∠BAC=45°， .△ANF是等腰直角三角形， .AN FN, .AF=VAN2+FN2=V2FN=√2， :AN FN =1, ∴.CN=VCF2-FN2=5, .AC=AN +CN=1+. 2.(2026辽宁大连一模)【问题引入】 (1)在ABC中，点D在BC上，连接AD,以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转一定的角度得到线 段DN,DN交AC于点E,∠ADN=∠ABC. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图1，直接写出∠BAD与LCDE之间的数量关系_： ②如图2，若AB=AC,求证：△AED∽△ADC; B D 图1 图2 【变式研探】 (2)在ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一动点，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转一定 的角度得到线段DN,∠ADN+∠BAC=180°，连接NB,取NB中点H,连接DH, ①如图3，若∠BAC=60°，探究线段CD与DH之间的数量关系，并说明理由： ②如图4，若∠BAC=90°，∠CDN=105°，DH=√6，请直接写出线段CD的长度_ H B C D C D 图3 图4 【答案】(1)①∠BAD=∠CDE;②证明见详解； (2)①CD=2DH,理由见详解；②6-2√5 【分析】(I)①利用三角形外角的性质，将∠ADC拆分为∠ABC+∠BAD和∠ADN+∠CDE,结合己知 ∠ADN=∠ABC的等量关系，直接推导出∠BAD=∠CDE; ②由AB=AC得到等腰三角形底角相等，结合已知代换得到∠ADN=∠ACB,再结合公共角 ∠DAE=∠CAD,利用两角分别相等的三角形相似完成证明. (2)①先由AB=AC和∠BAC=60°判定△ABC为等边三角形，结合∠ADN+∠BAC=180°求出∠ADN的 度数，利用旋转构造全等三角形△ADC≌△AD'B,推导出△ADD'为等边三角形并证得D'、D、N三点共线， 结合H是NB中点，利用三角形中位线定理推导出CD=2DH; ②则用倍长中线法构造全等三角形△BHE≌△NHD,结合旋转性质代换得到BE=DA,通过角的和差计算证 得∠ABE=∠CAD,进而证出△ABE≌△CAD,得到AE=CD与相关角的度数，延长EA交BD于G,推得 △EGD为等腰直角三角形，得出∠AED=45°，作AP⊥DE构造特殊直角三角形，设CD=EA=x,用x表 示PE和PD,结合DE=2DH的等量关系建立方程，求解即可得到CD的长度， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)①解：：∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADN+∠CDE,∠ADN=∠ABC, ∠BAD=∠CDE, 故答案为：∠BAD=∠CDE; ②解：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :∠ADN=∠ABC, .∠ADN=∠ACB, 又：∠DAE=∠CAD, .△AEDAADC; (2)①解：CD=2DH,理由如下： :AB=AC,∠BAC=60°， :△ABC是等边三角形， AB=AC,∠ACB=60°， ∠ACD=180°-60°=120°， :∠ADN+∠BAC=180°， ∠ADN=120°， 由旋转的性质得DA=DN，将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使AC与AB重合，得到△AD'B,如图， H W AADC≌△AD'B, D D .AD'=AD,BD'=CD,∠DAD'=60°， AADD是等边三角形， ∠ADD'=60°，AD=DD', :DA=DN, :DD'=DN :∠ADD'+∠ADN=60°+120°=180°， D'、D、N三点共线，即D是DN的中点， 又H是NB的中点， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DH是△BD'N的中位线， :DH=BD', 2 :BD'=CD, 8DH)CD,即CD=2DH9 ②解：延长DH至点E,使HE=DH,连接BE, E B G :H是NB的中点， .BH =NH 又：∠BHE=∠NHD, :.△BHE≌△NHD(SAS), BE=DN,∠BEH=∠NDH, .BE l DN BE DN 由旋转的性质得DA=DN,∠ADN=90°， ∴BE=DA,∠EBD+∠BDN=I80°， .AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°， ∠ACD=180°-45°=135°， :∠ADN+∠BAC=180°， .∠ADN=90°， ∠CDN=105°， ∠ADC=∠CDN-∠ADN=105°-90°=15°， 在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°， BE I DN .∠EBD=180°-∠BDN=180°-105°=75°， .∠ABE=∠EBD-∠ABC=75°-45°=30°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ABE=∠CAD=30°， 又：AB=AC,BE=AD, △ABE≌aCAD(SAS), AE=CD,∠BAE=∠ACD=I35°， ∴∠EAD=360°-∠BAE-∠BAC-∠CAD=360°-135°-90°-30°=105°， 延长EA交BD于点G,则∠BAG=45°， ∠EGD=∠ABC+∠BAG=90°， :∠ABC=∠ACB=45°， .∠GAC=45°， :AG=GC, ∴：AG+AE=GC=CD,即EG=GD, :△EGD是等腰直角三角形， .∠AED=45°， 过点A作AP⊥DE于点P,则△APE是等腰直角三角形，AP=PE, 设CD=EA=x,则P=PE=5 :∠ADE=180°-∠EAD-∠AED=180°-105°-45°=30°， .在RtAAPD中，AD=2AP, PD=JAD-APE-54P= -x, 2 :HE=DH,DH=√6， DE=DH+HE=2DH=2√6， 又：DE=PE+PD, 2x+6x=26,解得x=6-25, -x+ 2 2 即CD=6-2V5, 【点晴】本题考查三角形外角性质、等腰与等边三角形的判定和性质、相似与全等三角形的判定和性质、 三角形中位线定理、倍长中线法及含30°和45°特殊角的直角三角形边角关系，关键是巧用旋转、倍长中线 的几何变换构造全等三角形，结合特殊三角形性质完成角与线段的等量代换，灵活运用相似、全等判定定 理和三角形中位线定理，搭建已知条件与所求线段的数量关系. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。考点2平行四边形与相似以三角形 1.(2026辽宁本溪一模)【问题情境】如图1，小明把三角板EFG(∠FGE=30°，∠EFG=90°)放置到 矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在AB、BC、CD上，你发现线段CF与BE有什么数量关系？直 接写出结论： （不用证明). 【变式探究】如图2，小明把三角板EFG(∠FGE=30°，∠EFG=90°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、 F、G分别在AB、BC、AD边上，若BE=3,BF=5,求AE的长. 【拓展应用】如图3，小明把三角形EFG放置到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AB、BC 、AD边上，若AB4,BF3 BC5’BC10 ∠EFG三LABC,求出EO的值 D G G F B F 图1 图2 图3 【答案】【问题情境】CF=√3BE 【变式探究】5√5-3 【拓展应用】 【分析】问题情境：先根据特殊三角形勾股定理得出EF。 ,再证明△BEF∽aCFG,根据相似三角形对 FG 3 应边成比例可得BE=EF,V5 CF FG3 变式探究：过点G作GH⊥AD,同(1)可证△EBF△FHG,根据相似三角形对应边成比例可得 BF EF 3 ，求出GH,再证四边形ABHG是矩形，即可求解； GH FG 3 拓展应用：过点G作∠DGM=LABC交BC的延长线于点M,交CD于点P,结合平行四边形的性质、平行 线的性质，得到∠DGM=∠D=∠M=∠DCM=∠B,证明GM=CD=AB,再证△EBF∽△FMG,推出 EF BF ,即可求解. 【详解】解：问题情境：CF=√3BE, 理由如下：：四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°， ∴∠BEF+∠EFB=90°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△EFG中，∠EFG=90°，∠FGE=30°， :EG=2EF EG2=EF2+FG2, FG=VBEF,即EF=5, FG 3 :∠EFG=90°， .∠CFG+∠EFB=90°， .∠BEF=LCFG, .△BEF∽ACFG, BE EF3 CF FG 3 .CF=3BE; 变式探究： 如图2，过点G作GH⊥BC于H, 则∠GHF=90°， ·.∠FGH+∠GFH=90°， :∠EFG=90°， ∠EFB+∠GFH=90°， :ZEFB=ZFGH, :四边形ABCD是矩形， .LA=∠B=90°， .∠B=∠GHF=90°， .△EBF∽△FHG, BF EF GH FG' 在Rt△EFG中，∠EFG=90°，∠FGE=30°， .EG=2EF,EG2=EF2+FG2, ·FG=5EF,即EF=5 FG3 :BF=5, 55 GH3 .GH=55, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠A=∠B=∠GHB=90°， :.四边形ABHG是矩形， :AB=GH=53, .AE AB-BE =53-3; G D HC 图2 拓展应用： 如图3，过点G作∠DGM=∠ABC交BC的延长线于点M,交CD于点P, :四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=∠D, .∠B=∠DCM,∠DGM=∠M, :∠DGM=LABC, .∠DGM=∠D=∠M=DCM=∠B, .PD=PG,PC=PM, :PG+PM=PC+PD,GM =CD=AB, ZEFG =ZB ∠EFG=LB=∠M, .∠EFM=∠B+∠BEF,∠EFM=∠EFG+∠GFM, ∴.BEF=∠GFM, .△EBFn△FMG, EF BF FG-GM' AB 4 BF 3 BC=5'BC=10' :.设AB=4k,BC=5k,则BF= .GM=CD=AB=4k, :EF BF=2 3 FG GM 4k 8 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图3 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通 过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键， 2.(2026四川成都一模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： 【拓展延伸】 3)如图2，当cB=2BE时，点P在BC题上，若D说，求CC 的值.（用含的代数式表示） DG 【答案】(1)见解析；2)4：(3)2m+! 6n+6 【分析】(I)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE,再结合平行四边形的性质可得∠PCG=∠QFG,然 后根据三角形内角和定理可得∠CQE=∠P,即可求证： (2)根据全等三角形的性质可得EQ=EP,从而得到FQ=CP,可证明△FQG≌ACPG,从而得到 FG=CG=3,GQ=GP=5,再由折叠的性质得：AF=AB,再根据△CGP∽△BAP,可得AB=12,即可求解： (3)延长AD,EQ交于点M,设CQ=a,BE=b,证明△DQM∽aCQE得出DM=2bn,证明△FEP∽△CEQ 得出PF-4,证明。4Mr0:PEF得出EP-法受，进而求得CP-2n),根据PC∥4D得出 2n+2 2n+2 △GPC∽△GAD,根据相似三角形的性质，即可求解， 【详解】解：(I)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .LB=∠PCG, .∠AFE=LPCG, :∠AFE=∠QFG, ∴.∠PCG=∠QFG, :∠FGQ=∠CGP, ∠CQE=∠P, CE=BE,BE=EF :EF EC, 又：∠CEQ=∠FEP, .△EFP≌△ECQ(AAS； (2):△EFP≌△ECQ, :EO=EP, EF=EC, .FO=CP, :∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, .△FQG≌△CPG, ∴FG=CG=3,GQ=GP=5, 由折叠的性质得：AF=AB, :四边形ABCD是平行四边形， :AB∥CD,AB=CD, ∴△CGPn△BAP, CG PG ·ABAP' 3 5 BB中3+5，解得：B=12, .CD=12, ...DO=CD-CG-OG=4; (3)解：如图，延长AD,EQ交于点M, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M G 图2 设CQ=a,BE=b .C91 DO n CE=2BE :DO=an,EC=2b, .AB=CD=(n+1)a,AD=3b “折叠， 、AF=AB=(n+1)a :AD∥BC,即DM∥EC ∴.△DQM∽aCQE DM=D9即DM-am=n ·ECC0 2b a :DM =2bn :四边形ABCD是平行四边形， :∠B=∠ADQ 又：折叠， .∠AFE=∠B :∠AFQ+∠AFE=180° ∴.∠AFQ+∠ADQ=180° .∠DAF+∠DQF=180° :∠EQC+∠DQF=180° .∠EQC=∠DAF :AD∥BC ∠DAF=∠FPE :.∠EQC=∠FPE 又.∠FEP=∠CEQ .△FEPOACEO 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF FP b FP c0即ba PFTe :AB∥CD .△AMF∽aPEF EP PF AMAF EP 2a (3+2n)b(n+1)a 解得：EP=3+20b 2n+2 :CP=EC-EP=26-3+2nb= 2n+1b 2n+2 2n+2 又：PC∥AD ∴.△GPC∽△GAD (2n+1b .CG CP 2n+2 2n+1. DG AD 3b6n+6 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质， 熟练掌握以上知识是解题的关键 ●考点3旋转变换与相似以三角形 1.(2026湖北十堰一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线 BP上的一点（点E与点B不重合） 图① 图② 备用图 (I)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，求LPBC并说明线段BP与线段AC的位置关系； (②)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的 数量关系，并说明理由； (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长， 【答案】(I)∠PBC=30°，BP⊥AC 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)CE=2BE,理由见解析； 6AP的长为2或10 3 【分析】(1)根据菱形的性质证明ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； (2)把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE, BE=E0,求解∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，∠EQC=150°-60°=90°，可得 ∠ECQ=90°-60°=30°，进一步可得结论； (3》如图，当P在线段O1上，记BP与AD交于点H,证明HABABEG,可得H-B AB EG ,设FG=x, 则EF=BE=2x,可得AH=10 ，证明。PH0aCPB,再进一步解答即可；如图，当P在线段OC上时，延 长AD交BP于H,同理可得：△BAH∽△GEB,设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m,可得 AH=I0,证明△APHACPB,再进一步可得答案. 【详解】(1)解：在菱形ABCD中， ∴.AB=BC=CD=AD, :∠ABC=60°， ·ABC为等边三角形， :点P与线段AC的中点0重合， :∠PBC=∠ABC=30°，BP1AC; (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, D B Q .BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, :△BEQ为等边三角形， .∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴∠AEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， :.∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， .∠EQC=150°-60°=90°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ECQ=90°-60°=30°， .CE=2EO=2BE; (3)解：如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H D :AH∥BC, ∠AHB=∠CBH, .∠ABC=60°， ∴∠BAD=120°=∠BEG, △HABn△BEG, AH BE ·ABEG 设FG=x,则EF=BE=2x, :EG=3x, 2x=-4 3x5 10 :AH= 3, .AD∥BC, ∴△APH∽aCPB, AHAP BC PC 10 40-3-2 PC 5 3 :ABC为等边三角形， .AC=AB=5, 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， ∴△BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, AB_EG m1 AH BE 2m 2' .AH=10, 同理：△APH∽△CPB, P_AH=2, 、 PBC 210 .AP=5× 33 综上：4P的长为2或10 3 2.(2026辽宁抚顺一模)如图1，在等边三角形ABC中，点D在AC上，点E在BC上，AE与BD交于点 P,∠APB=120°. D A B D B 图1 图2 (I)求证：△ABD≌△CAE. (2)若AD=1,CD=2,求AE的长 (3)如图2，在(2)的条件下，将△ABP绕点B顺时针旋转，使BA与BC重合，点P的对应点为Q,CQ的 延长线交AB的延长线于点F. ①求证：BD∥CF. ②求CBF的面积. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)V万 30见解析：②9 2 【分析】(1)根据ABC为等边三角形，得出AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°，则 ∠CAE+∠BAP=60°，根据∠APB=120°，得出∠BAP+∠ABD=60°，则LABD=∠CAE,即可证明 △ABD≌ACAE. (2)如图1，过点E作EH⊥AC于点H,根据aABD≌ACAE,得出AD=CE=I.在RtACEH中，解直角 三角形求出CH,EH,即可得出DH,AH,最后在Rt△AEH中，由勾股定理求解即可. (3)①由旋转的性质，知LBAP=LBCQ,由(1)，知∠ABD=∠CAE,LABC=∠BAC=60°，则 ∠BAP=∠CBD,等量代换得出LCBD=LBCQ,即可证明BD∥CF, ②证明△ABD∽△AFC,如图2，过点B作BM⊥AC于点M.根据AD=1,CD=2,得出AC=BC=3.在 0C业中，解直角三角形求出BM,从面求出S,m,S,很赛ABDAFC,得出二) 求出S△4Fc,再根据ScBF=SFc-S4Bc求解即可。 【详解】(1)证明：：ABC为等边三角形， .AB=AC=BC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°， .∠CAE+∠BAP=60°， :∠APB=120°， ∠BAP+∠ABD=60°， .∠ABD=∠CAE. .△ABD≌△CAE(ASA. (2)解：如图1，过点E作EH⊥AC于点H. D E 图1 :△ABD≌△CAE, .AD=CE =1. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtACEH中，∠CHE=90°，∠C=60°， .CH-CE.eosc= 2.EH=CE.sinc= 2 :CD=2, 13 ∴.DH=CD-CH=2- 22 AH=AD+DH=1+3=5, 22 2 在RIAAEH中，由勾股定理，得AE=√AH+EH (3)①证明：由旋转的性质，知LBAP=∠BCQ. 由(1)，知∠ABD=∠CAE,∠ABC=∠BAC=60°， .∠BAP=LCBD. ∴LCBD=LBCQ. .BD∥CF. ②：BD∥CF, △ABDn△AFC. 如图2，过点B作BM⊥AC于点M. A B F 图2 .AD=1,CD=2, .AC=BC=3. 在RtABCM中，∠BMC=90°，∠BCM=60°， BM=BC-sin∠BCM=3V5 2 1 1 S4BD=ADBM=×1× 2 2 2 2 4 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△ABDn△AFC, 1 SAFC -9' S.4FC =9S.4BD= 27V5 4 27N59V59√5 S.CBF =S.AFC-S.ABC= 4 4 2 考点4折叠变换与相似三角形 1.(2026辽宁沈阳一模)点D为ABC所在平面内一点，满足LADB=LACB,AD与BC交于点E. 图1 图2 ()【问题探究】 如图1，将BDE沿着BC所在直线对折，得到△BFE. ①求证：∠EAC=∠EBF; ②试探究∠BFC与∠BAC的数量关系，并说明理由： (2)【问题拓展】 如图2，取AC的中点H,在ABC内部取一点K,使∠KEB=∠HEA,∠KBE=∠HAE,连接AK,若 ∠BAC=90°，∠ADB=30°，BC=8,当AK最小时，直接写出BK的长 【答案】(I)①证明见解析；②LBFC+∠BAC=180°，理由见解析 (2)22 【分析】(I)①由LADB=∠ACB和∠BED=LAEC可得∠DBE=∠EAC,由折叠的性质可得 ∠DBE=∠EBF,因此LEAC=LEBF; ②由折叠的性质可得，∠DBE=∠EBF,BD=BF,容易证明△BCD≌△BCF(SAS),则∠BFC=∠BDC.由 ∠BED=LAEC，LADB=LACB,可判定△AEC∽△BED,则BE-DE EE,结合LAEB=LCED可得 △AEB∽△CED,则∠ABC=∠ADC,由三角形的内角和定理结合等量代换可得∠BAC+∠BDC=180°，因 此∠BFC+∠BAC=180°； (2)作ABC的外接圆，圆心为O,连接OK、OA,作OF⊥BD于点F,取OB的中点G,连接GK、 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG、CD,容易判断A、B、C、D四点共圆，由∠BAC=90°可得，BC为圆O的直径.容易证明 △K△MR和△4E0O△BED,则，能，C,结合的AC可得，BKBD,由垂径定围 可得，BF=)BD,则BF=BK,从而证明A0BK≌aOBF(SAS),则∠BK0=∠BF0=90°，进一步得到 2 GK=二OB=BC=2为定值，因此点K在以点G为圆心，2为半径的圆弧上，当A、K、G三点共线时， 2 4 AK最小.容易判断△ABO是等边三角形，则AG⊥OB,在Rt△BGK中，使用勾股定理计算出BK的长即可. 【详解】(I)解：①证明：：LBED=LAEC,LADB=LACB, ∴.180°-∠ADB-∠BED=180°-∠ACB-∠AEC,即∠DBE=∠EAC, 由折叠的性质可得，∠DBE=∠EBF, .∠EAC=LEBF; ②∠BFC+∠BAC=180°，理由如下： 如图，连接CD, 0 由折叠的性质可得，∠DBE=∠EBF,BD=BF, 在△BCD和BCF中， BD=BF ∠DBE=∠EBF, BC=BC △BCD≌△BCF(SAS), ∠BFC=∠BDC, ∠BED=LAEC,∠ADB=LACB, ∴△AEC∽△BED, BE DE ·AECE' BE AE ·DECE' 又：∠AEB=∠CED, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AEB∽△CED, :ZABC =ZADC, .∠BDC=∠ADC+∠ADB, 又：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， .∠BAC+∠BDC=180°， ZBFC=ZBDC, .∠BFC+∠BAC=180°： (2)解：如图，作ABC的外接圆，圆心为O,连接OK、OA,作OF⊥BD于点F,取OB的中点G, 连接GK、AG、CD, 由(1)可知，∠BAC+∠BDC=180°， 点D也在圆O上， :∠BAC=90°， :.BC为圆O的直径，即点O为BC的中点， :∠KEB=∠HEA,∠KBE=∠HAE, ·△KBE∽△HAE, AH AE BK=BE :∠BED=LAEC,∠ADB=LACB, ∴△AEC∽△BED, AEAC BEBD ∠HAE=∠DBC, . A=AC,即=A ·BKBD BD AC :点H为AC的中点， 1 、SK一AH=,即BK三2BD BD=AC OF⊥BD, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BF0=90°，BF=BD, 2 .BF BK :∠HAE=∠DBC,∠KBE=∠HAE, ∴∠DBC=∠KBE, 在△OBK和aOBF中， BK=BE ∠DBC=∠KBE, OB=OB .△OBK≌△OBF(SAS, .∠BK0=∠BF0=90°， :点G为OB的中点， ÷G欲=20B=4BC=2为定值， :点K在以点G为圆心，2为半径的圆弧上， :当A、K、G三点共线时，AK最小， 如图， D :∠BAC=90°，点O为BC的中点， :0A=0B=0C=1BC=4, :∠ACB=∠ADB=30°， .∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=60°， :△ABO是等边三角形， :点G为OB的中点， AG 10B.BG-OB= 在RIBGK中，BK=VBG2+GR2=V22+22=22. 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026河南周口一模)综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同 学们分三个小组进行探究活动. 勤学小组的探究：我们将如图(1)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E ,点A的对应点为F,延长EF交BC于点G 图(1) 图(2) 图(3) 备用图 (1)任务1：初步探究. 求证：GB=GE. (2)创新小组的探究：我们将如图(2)所示的平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点 E,点A的对应点恰好落在BD的中点O处· 任务2：猜想与验证. 猜想AE,DE之间的数量关系，并加以证明. (3)开拓小组的探究：我们将如图(3)所示的平行四边形纸片ABCD(AB=6,∠A=60°)沿过点B的直线 折叠，折痕交AD于点E,点A的对应点为F,直线BF与直线AD交于点M,直线EF与直线BC交于点 N. 任务3：求两线段的比值.过点B作BP⊥AD于点P,若EP=2,请直接写出 的值， 【答案】(1)见解析 4E=IDE ⊙9或5 4 【分析】(I)根据平行四边形的性质可得AD∥BC,则∠AEB=∠EBG,根据折叠得出LAEB=∠GEB,等量 代换得出∠EBG=∠GEB,等边对等角即可得证； (2)取ED的中点F,连接OF,则OF是△BED的中位线，得出EF=EO,即可得证； (3)分两种情况讨论：当点E在点P右侧时，当点E在点P左侧时，分别画出图形，根据相似三角形的判 定和性质，勾股定理，求出结果即可。 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEB=∠EBG :平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点A的对应点为F,延长EF交BC于 点G :ZAEB ZGEB .∠EBG=LGEB .GB=GE (2)解：AE=DE, 2 如图，取ED的中点F,连接OF, Ar- D 图(2) :O是BD的中点， :.OF是△BED的中位线， .OF∥BE, .∠3=∠4，∠1=∠2 “折叠， ∠1=∠3，AE=E0, ∠2=∠4， .EF =EO, AE=EF=二ED: 2 (3)解：如图，当点E在点P右侧时，过点E作EG⊥BC于点G, M B G C 图(3) 同理(1)可得EN=BN, :AB=6,∠A=60°，BP⊥AD, AP=3, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PE=2, :AE EF=5, :四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC,则EM∥BN, .△EFM∽aNFB, EM EF BN FN' 设FN=a,则BN=EF+FN=5+a, :BP⊥AD,EG⊥BC,AD∥BC, .∠PBG=LBGE=LBPE=90°， :.四边形PBGE是矩形， :.BG=PE=2,EG=PB=AB2-AP2=33, .GN=5+a-2=3+a, 在Rt△EGN中，EN2=EG+GN2, (5+a)2=(35+3+a2, 11 解得：a=4 EM520 BNIT-II: 4 如图，当点E在点P左侧时，过点E作EG⊥CB,交CB的延长线于点G, r N B 同理可得：四边形BPEG为矩形， .BG EP=2,EG=BP=33, 根据折叠可得：∠AEB=∠FEB,EF=AE=AP-EP=3-2=1, 180°-∠AEB=180°-∠FEB, 即∠PEB=∠BEN, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD∥BC, ∠NBE=∠PEB, .∠BEN=∠NBE, :EN BN, 设NG=b,则EN=BN=NG+BG=b+2, 根据勾股定理得：EW2=NG2+EG2, 即(b+22=b+33, 解得：b=23 EN=23 2=3 .NF-EN+EF-31+1=35 4 :AD∥BC, △FEM∽aFNB, EM EF 1 4 :BN=NF=3535, 4 综上， 的值为9或 EM BN 351 考点5新定义与几何综合 1.(2026广西贵港二模)新定义：如图1，对于平面内的一个四边形ABCD,Y是AD上一点，连接BY, CY,存在点Y,使得YB=YC且YB⊥YC,我们称四边形ABCD是“直角等距四边形”，点Y是四边形ABCD 的“等垂点”. 【初步探索】 图1 图2 图3 图4 备用图 (1)如图2，矩形EFGH是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”，则EH和EF的数量关系是； 【类比探究】 (②)如图3，四边形JKL是“直角等距四边形”，Q是它的等垂点”，分别过点J,K作L的垂线，垂足分别为 M和N. ①求证：JM=OW; 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②若J=QJ=KL=√5，IQ=2,求QL的长； 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt△RST中，RT=16,TS=20,∠TRS=90°，点U,V为Rt△RST中不在同一边上的两点， 且点U为所在边的中点，若以R,U,V,T为顶点的四边形是“直角等距四边形”，求VT的长. 【答案】(I)EH=2EF (2)①见解析；②4 （⑧7=2w6丽或9 【分析】(1)过点P作PO⊥FG,证明aFPG是等腰直角三角形，得到OP=FG,即可得到结论： (2)①根据题意证明∠MQJ=∠NKQ,即可证明△JMQ≌△QNK,即可得到结论； ②根据题意证明△lJQ△QKL为等腰三角形，得到点M为Q的中点，求出IM=MQ=1,根据勾股定理求出 JM=2,再证明故点N为OL中点，求出QN=NL=2,即可得到答案： (3)分点U是RS中点和点U是ST中点两种情况进行讨论即可. 【详解】(1)解：EH=2EF,证明如下： 过点P作PO⊥FG,则四边形EFOP是矩形， .OP=EF, “矩形EFGH是“直角等距四边形”，P是它的“等垂点”， .FP=GP,FP⊥GP, :△FPG是等腰直角三角形， oro. :矩形EFGH, ∴.OP=EF,FG=EH, .EH =2EF: 图2 (2)解：①证明：：JQ=KQ,JQ⊥KQ, .∠MQJ+∠KQN=90°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :KN⊥J, .∠KQN+∠QKN=90°， ∴.∠MQJ=∠NKQ, 在△JMQ和△QNK中， I∠JMQ=∠QNK ∠MQJ=∠NKQ, JO=KO ∴.△JMQ≌△QNK, ∴.JM=QN; ②J=QJ=KL=√5，IQ=2,四边形JKL是“直角等距四边形”， .K0=J0=5, ∴.△WQ△QKL为等腰三角形，JM⊥IQ, :点M为Q的中点， .IM MO=1, 在RtAJMO中，JM=VJQ2-MQ=V(N5)2-12=2, 由①知M=QN, ..JM=ON=2, △QKL是等腰三角形，KN⊥OL, 故点N为QL中点， ..ON NL=2, ..OL=ON+NL=4: (3)解：：在Rt△RST中，RT=16,TS=20, :RS=V202-162=12, 当点U是RS中点，RU=US=6,四边形RUVT是“直角等距四边形”，设点Y是四边形RUVT的等垂点”. S M 过V作VM⊥RT于M, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△RTSAMTV, TM TV MV ·TR TS RS TM TV MV 162012’ 设TM=4x,TV=5x,MW=3x, 由“等垂点”可得YU=p,∠UYV=90°， .∠RUY=∠VYT=90°-∠RYU,、 :∠R=∠MY=90°， △RYU≌aMVY, :RU=YM =6,RY=MV =3x, .RT =RY+YM +MT, 10 16=3x+6+4x,解得x= 7 :T=5x=79 50 当点U是TS中点，TU=US=10,四边形RUT是“直角等距四边形”，设点Y是四边形RVUT的等垂点”. R 过U作UM⊥RT于M, .△RTSn△MTU, TM_TU_MU TRTS RS TM 10 MU 162012 解得TM=8,MU=6, 由“等垂点可得YU=YV,UYV=90°，同理可得aRYV≌△MUY, :RV=YM RY=MU=6, RT=RY+YM +MT, .16=6+YM+8, .RV =YM =2, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.VT=VRV2+RT2=V22+162=2√65； 综上所述，T=2v6丽或90， 2.(2026广东深圳一模)【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成 两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”. D 图1 图2 悠图3 备用图 ()【理解定义】 如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，D是线段BC上一点，连接AD,若AD=BD,那么线段 AD_(填“是”或不是”)ABC的“奇妙分割线”. (2)【运用定义】 如图，在平行四边形ABCD中，AB=√5，BC=5,连接AC,若∠BAC=90°，E是线段BC上一点， CE=3,连接DE交AC与点F.求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”， (3)【拓展提升】 如图，在1BC中，48=5，BC=,sm∠ABC-号点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合， 连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,点B的对应点为点E,连接BE、CE,当ED是△BCE的“奇 妙分割线”时，求线段BD的长。 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或7-2√6 【分析】(1)根据“奇妙分割线”的定义即可判断； (2)根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AB∥CD,AD=BC=5,CD=AB=√5，则 △ADF∽△CEF,∠DCF=LBAC=90°，得到CDF为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理 求出CF和EF的长，进而推出△CEF是等腰三角形，即可证明； (3)由翻折可知，BD=DE,AE=AB=5,∠ADB=∠ADE,则BDE是等腰三角形，根据ED是△BCE的 “奇妙分割线”，可知△DCE为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段BD的长即可. 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：AB=AC,∠BAC=120°， .∠B=∠C=30°， AD =BD, .∠BAD=∠B=30°， ·.∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°，即△ADC为直角三角形， AD BD, .△ABD为等腰三角形， AD是△ADC的“奇妙分割线”； (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,AD=BC=5,CD=AB=V5, :△ADF∽△CEF,∠DCF=∠BAC=90°， DF AF AD 5 EF CF CE3 CDF为直角三角形， :∠BAC=90°， ·AC=VBC2-AB=52-(5=25, .CF= 8 4 8 :∠DCF=90°， DF=CD2+CF2= FDF5-CF 5 :△CEF是等腰三角形， ∴.CF是△DCE的奇妙分割线”； (3)解：由翻折可知，BD=DE,AE=AB=5,∠ADB=∠ADE, ·BDE是等腰三角形， 又：DE是△BCE的“奇妙分割线”， :.△DCE为直角三角形 ①当∠EDC=90°时，∠BDE=90°， :∠ADB+∠ADE+∠BDE=360° ·.∠ADB=∠ADE=135°， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADC=45°， 如图，过点A作AF⊥BC交BC的延长线于F,则LAFB=90°， F :AB=5,sin∠ABC=3 .AF=AB sin∠ABC=3, BF=AB2-AF2=4, :∠ADC=45°， :DF=AF=3, :BD=BF-DF =1; ②当∠DCE=90°时， 如图，作AF⊥BC交BC的延长线于F,过E作EG⊥AF交AF的延长线于G, F D C ! E 则∠G=LCFG=∠ECF=90°， .四边形CEGF是矩形， .EG=CF,CE =FG, 由①可知，AF=3,BF=4, .EG=CF =BF-BC=4-3=1, :AE=AB=5,EG⊥AG, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AG=AE2-EG2=52-1=26, CE=FG=AG-AF=26-3, 设BD=DE=x,则CD=3-x, 在Rt DCE中，∠DCE=90°， ÷CD2+CE2=DE2,即(3-x2+(2W6-3=x2, 解得x=7-2V6, .BD=7-2V6; ③当∠CED=90°时，不存在满足题意的图形，舍去： 综上，BD的长为1或7-2√6 摩考点6几何综合与最值问题 1.(2026广东深圳·二模)某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研 究. 【合作探究】(1)如图1，在ABC中，点D为AB上一点，LACD=∠B,求证：AC2=AD·AB. 图1 【内化迁移】(2)如图2，在口ABCD中，点E为边BC上一点，点F为BA延长线上一点，∠CFE=∠D,若 CF=3,CE=2,求AD的长. 图2 【学以致用】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=23,点E是BC延长线上一点，连接EA,将EA绕点 A逆时针旋转30°得到EA,过点E作EF∥BD交AE"的延长线于点F,若EF=BD,求BE的长. 3 试卷第1页，共3页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C 图3 【综合拓展】 (4)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点C在射线BP上，∠CAD=60°，且AC·AD=AB2,过 点D作DE1BP于点E.当MB=2时，请直接写出DE+5BE的最大值 3 P C B C 图4 备用图 答案】()见解析：2)：3)3+V15,④DE+E的最大值为22酒 3 【分析】(1)证明△ACD∽△ABC,列出比例式即可得出结论： (2)平行四边形的性质，得到∠B=∠D,AD=BC,证明△FCE∽△BCF,得到CF2=BCCE,求出BC的 值即可； (3)连接AC交BD于点O,延长EF与AD的延长线交于点G,证明四边形BDGE为平行四边形，得到 ∠DGE=∠DBE=30°，BD=EG,旋转，得到LEAF=30°，证明△AEG∽△FEA,得到AE2=EF.EG,求出 AE2,过点A作AH⊥BE,三角函数求出AH,BH的长，勾股定理求出EH的长，再根据BE=BH+HE, 进行求解即可. (4)作DG∥AC和AG∥BC交于点G,作DF⊥AC于点F,连接BG、CG,利用平行线的性质和三角 形面积公式可Sm号4CDF=5,得到1G:5:作△1DG的外接，记心为O,连按 OA、OD、OG,利用外接圆的性质得到圆O的半径为1，进而得到OB=√3；作0N⊥BC于点N, E于点M,设设DE=x,BE=,则DE士3BE=x+y,利用勾股定理和三角函数的 V5y-5+x-31,令x+=1,则=1x,整理方程得46x+373+2=0,再利用一元日 次方程的判别式和一元二次不等式求出t的范围即可解答， 【详解】(1)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ACD∽△ABC, AC AD AB AC .AC2=AD·AB; (2)解：：平行四边形ABCD, .AD=BC,∠B=∠D, :∠CFE=∠D, :ZCFE ZB, :∠ECF=∠BCF, ∴.△FCE∽aBCF, BC-CF CF CE' .CF2=BC.CE, CF=3,CE=2, c号 AD=BC-2 (3)连接AC交BD于点O,延长EF与AD的延长线交于点G, A D E :菱形ABCD,∠ABC=60°，AB=2V3, ∠ABD=∠CBD=30°，AD∥BC,AC⊥BD,BD=2OB, DG/BE,0B=4AB:c0s30=25×5-3, 2 :EF∥BD,BD=6, 四边形BDGE为平行四边形， ∴∠DGE=∠DBE=30°，BD=EG, :旋转， .∠EAF=30°， .∠EAF=∠AGE, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AEF=∠AEG, .△AEGn△FEA, AE EG EF=AE' ·AE2=EF.EG, EF =BD,EG=BD 4B=2BD=2x62=24, 3 3 过点A作AH1BE于H,则：4H=4Bin60°=25x5-3,BH=4B,cos60°=AB=5, 在Rt△AHE中，HE=√AE2-AH2=5, ∴BE=BH+HE=V5+V5 (4)DE+5BE的最大值为2+25 3 3 如图，作DG∥AC和AG∥BC交于点G,作DF⊥AC于点F,连接BG、CG, D :DF⊥AC, B ∠DFA=90°， :.DF=AD.sin∠DAC=AD sin60°， 4C.DF-C.A4D.sin604Bsin60-, 2 :DG∥AC,AG∥BC, SDc=S.4Gc=S,4Bc=V5,LGAB=LABC=90°，LADG=180°-∠DAC=120°， AG=2S0=5, AB 作△ADG的外接圆，记圆心为O,连接OA、OD、OG, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E C 则∠A0G=2x360°-乙ADGj=120 <04G-180-∠aG1=30. ∠0AB=∠GAB-∠0AG=60°， 设圆0与AB交于A,则OA=OA', △OAA'是等边三角形， ∠A0A'=LAA'0=60°， LA0A'+∠A0G=180°，△0AA'是等边三角形， .A',O,G三点共线，即AG是圆O的直径， AG 5 .A'G= =2, sin∠A'AG sin60° :圆0的半径为1， :△OAA'是等边三角形， AA'=0A=0A'=1, :A'B=AB-AA'=1, .AB=0A, AB05∠AA0手30 ∠0BC=∠ABC-∠AB0=60°，∠A0B=180°-∠AB0-∠0AB=90°， 0B=VAB2-0A2=V5, 作0N⊥BC于点N,OM⊥DE于点M,则∠ONB=∠OMD=90°， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A G N E C 则ON=OBsin.∠OBN=V5sin60°=3 BN=OBcOs Z0BN=cs60 :∠ONE=∠DEB=∠OME=90°， 四边形ONEM是矩形， OM -EN,EM=ON=3 设DE=,BE:5,则DE+5BE=x+y, 3 .OM-EN-EN DM-DE-ME= 2 在Rta0DM中，OM2+DM2=OD2, 91 令x+y=1,则y=1-x, -- 整理得：4x2-6x+3t2-3t+2=0, :△=(-6t-4×4×312-3t+2≥0， 整理得312-12t+8≤0， 令3t2-121+8=0, 则4=2-2V5 4=2+25 3 3 3-121+850的解集为2-2551≤2+25 3 3 的最大值为2+25， 3’ 试卷第1页，共3页 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即DE+V 2BE的最大值为2+2V5 3 【点晴】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的 性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键， 2.(2026河北张家口一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD是中线，ADEF是等边 三角形，点E,F分别在直线CD,AB的上方，∠CDE=∠ADF=a(0°<a<180°，且a≠60°)，G是 DE的中点，连接BG并延长至点H,使GH=BG,连接EH. B (1)若0°<a<60°. ①判断EH与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接FC,FH,求证：FC=FH. (2)若BC=3,DE=1,直接写出点C与点H距离的最大值. 【答案】(I)①EH=BD,且EH∥BD,理由见解析；②证明见解析 (2)V5+1. 【分析】(1)①容易证明△BDG≌△HEG(SAS),则EH=BD,∠DBG=∠EHG,进而证明EH∥BD; ②由直角三角形的性质可得CD=AD=BD,根据题意容易判断△ACD是等边三角形，则∠ADC=60°， ∠BDC=120°.由①可知△BDG≌△HEG,则∠HEG=∠BDG=120°+a,EH=BD=CD.结合△DEF是 等边三角形可得DF=EF，,∠FDC=∠FEH=60°+a,从而证明△FDC≌AFEH(SAS),因此FC=FH; (2)连接CH,由△FDC≌△FEH和aDEF是等边三角形，容易证明△CFH也是等边三角形，则CH=CF.由 直角三角形的性质和三角函数计算得CD=√5，由线段公理可知，DF+CD≥CF,，当F、D、C三点共线 时，CF取得最大值√5+1，因此CH的最大值为√5+1. 【详解】(1)解：①EH=BD,且EH∥BD,理由如下： :G是DE的中点， .DG=EG, 在△BDG和△HEG中， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BG=GH ∠BGD=∠HGE, DG=EG :.△BDG≌△HEG(SAS), .EH=BD,∠DBG=∠EHG, ∴.EH∥BD; ②证明：：∠ACB=90°，CD是中线， .CD AD BD, :∠ABC=30°， :.∠A=180°-∠ACB-∠ABC=60°， :△ACD是等边三角形， ∠ADC=60°， .∠BDC=180°-∠ADC=120°， :∠BDG=∠BDC+∠CDE=120°+a, 由①可知，△BDG≌△HEG, .∠HEG=∠BDG=120°+Q,EH=BD=CD, :aDEF是等边三角形， ∴.∠FDE=∠DEF=60°，DF=EF, .∠FDC=∠FDE+∠CDE=60°+a,∠FEH=∠HEG-∠DEF=60°+a, .∠FDC=∠FEH, 在△FDC和△FEH中， DF=EF ∠FDC=∠FEH, CD=EH :△FDC≌△FEH(SAS), .FC=FH; (2)解：如图，连接CH, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)可知，△FDC≌△FEH, .ZDFC=LEFH,FC=FH, :△DEF是等边三角形， ∴∠DFE=∠DFC+∠CFE=60°，DF=DE=1, .∠CFH=∠CFE+∠EFH=∠CFE+∠DFC=60°， :.△CFH是等边三角形， .CH=CF, 在RIAABC中，AC=BC·tan∠ABC=3×tan30°=√3， :△ACD是等边三角形， CD=AC=√5， :DF+CD≥CF, :.当F、D、C三点共线时，CF取得最大值√5+1，此时a=180°-∠FDE=120°，符合题意， :CH的最大值为√3+1. 通关特训 1.(2026辽宁阜新一模)解答下列问题： 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B C(E) E 图1 图2 备用图 (I)【问题发现】：如图1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠CBD=90°，∠A=∠DEB=30°， BC=BE=2,Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，判断BH与AE的数 量关系和位置关系，并说明理由； (②)【问题证明】：在Rt△BDE绕点B逆时针旋转的过程中，当AE经过点H时，(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由： (3)【拓展应用】：在Rt△BDE绕点B逆时针旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出△ACE的面积. 【答案】(I)AE=2V3BH,BH⊥AE (②)(1)中的结论仍然成立，理由见解析 (3)4+2V3或4-2V5 【分析】(1)解直角三角形求出AC,BH即可判断， (2)延长BH到F使得HF=BH,连接CF,证明△ABE∽△BCF即可解决问题； (3)分两种情形：①当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F;②当DE在BC的上方时，结合相似三角 形的判定和性质即可解决问题， 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°， .AE=2BC=4, 在Rt△CDB中，∠DCB=30°，BC=BE=2, ∴CD=BC-45 cos30°3 .CH=DH 1 25 ∴.BH=二CD= 2 3 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE 4 BH2√5 =2√5 3 :AE =23BH 在Rt△CDB中，点H是CD的中点， :BH=CH =DH, .∠DHB=2∠DEB, ·∠DEB=30°， .∠DHB=60°， ∴△BDH是等边三角形， ∠DBH=60°， .∠ABH+∠A=90°， BH⊥AE; (2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下： 延长BH到F使得HF=BH,连接CF,如图2， A CH =DH,BH HF,CHF ZBHD, 图2 ACHF≌△DHB(SAS), ·BD=CF,∠F=∠DBH, .CF∥BD, :∠BAC=∠DEB=30°， BCBC AB= tan∠BAC5 =3BC BE=- BD BD =3BD, tan∠BED tan30° 3 ·BE=V3CF, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB BE=3. BCCF :CF∥BD, .LBCF+∠CBD=180°， ·∠ABC+∠DBE=∠ABD+LCBD+LCBD+∠CBE=LCBD+∠ABE=I80°， LBCF=∠ABE, △ABE∽△BCF, ∠CBF=LBAE, AE=AB=3, BE BC :AE =3BF =23BH, :∠CBF+∠ABF=90°， .∠BAE+∠ABF=90°， LAHB=90°， BH⊥AE; (3)解：如图，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F,设CE,AF交于点P, DE∥BC, B H ∠ABC=LBFD=90°， 由题意得：BC=BE=2,AB=25,BD-25 ，DE=4 3 :Se=号BD-BE=DEBr, 2 14 -×2= -x BF, 23 23 .BF=1, ∴EF=V√BE2-BF2=VF, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE∥BC, △BCP∽a△FEP, BC BP BP EFPE 即5-P' 解得：BP=4-23, .AP =AB+BP=4, △1cE的面积=5+5m方4PxC+号4PxF-4x2+分x45=425: 如图，当DE在BC的上方时，设AB交DE于F,CE,BA的延长线交于点P, I I 同理BF=1,EF=√3， AF=3, :DE∥BC, △BCPAFEP, BC_BP 2 BP EFPR BP-1' 即- 解得：BP=4+25, .AP BP-AB=4, △4CE的面积=8g-5m方4PxBc-4PxF-方4x2-×45=425: 综上所述，△ACE的面积为4+25或4-2√5. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2026辽宁沈阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A对应点D落 在边AB上，连接BE. B 图1 图2 (I)如图1，求证：△BCE∽△ACD: (2)如图1，当AB=√5，BC=2时，求BE的长； (3)如图2，求证：AC=CF; (4)如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交 于点H.当AB=I0,BG=12时，直接写出HE:HD的值. 【答案】(1)见解析 (2)BE= 45 5 (3)见解析 6号 【分析】1)根据旋转可得4C=CD,CB=CE,LACD=∠BCE,则AC=CP 即可证明△BCE∽△ACD CB CE (2)求出AC=l,an∠A=BC-2,过D作DH1AC,则an∠A AC DH=2,即DH=2AH,在△CDH中 A 勾股定是求出h-子，则DH=2H-膏在：0m中匀股定理米4D,根搭△8CE7△4CD,得出 BE BC AD AC 即可求出BE=45, 5 (3)设旋转角为a,则∠ACD=∠BCE=α，AC=CD,CB=CE,根据等腰三角形的性质和三角形内角和 理即可组CD4=∠A=0=90°-)，2CEB=2C6E=2—=90°-。a，根据∠ACB=90 2 2 得出LBCF=90°，∠DCB=90°-a,∠ECF=90°-a,即可得∠DCB=∠ECF,根据GF∥AB,得出 ∠F+∠A=180°，即可得LCDB=LF,证明△BCD≌△ECF,得出CD=CF,结合CD=AC,得出 AC=CF; ②证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB=GF=10,AF=BG=12,∠G=∠A,由(3)得 4C=CP6,在Rt心ABC中，勾股定理得出BC=8,则∠ADC=∠CEB三90 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 60C+2c08=80,证明上B=90,∠8E0=0,则m2G-8能号果出8E-袋， 证出点C, D,B,E四点共圆，根据圆周角定理得出LBED=∠BCD,证明BEH△DCH,得出 DH CH CD 6 5 BHEHBE488,DH =5x,BH =8x,CH=5y,EH=8y,BC=BH+CH =8x+5y=81 5 根据旋转可得DE=AB=10则DE=DH+EH=5x+8y=10②，联立①②求出x,y,再根据即可求解. 【详解】(1)证明：将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上， .AC=CD,CB=CE,ZACD=ZBCE, :4C、CD CB CE .△BCE∽△ACD; (2)解：：AB=√5，BC=2,∠ACB=90°， .AC=√AB2-BC2=1, :an∠A=B =2, C 过D作DH⊥AC,如图， B AHC :tan∠A=Dg=2, AH ·DH=2AH, 在△CDH中，由勾股定理得CH+DH=CD, 即(1-AH)+2AH)2=1P, 2 解得：H=行，H=0（舍去)， DH =2AH= 在Rt ADH中，AH2+DH2=AD2, AD=+DH-25 5 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△BCE∽△ACD, BE BC AD AC BE2 即251， 5 ·BE=45 5 (3)证明：设旋转角为C,则LACD=∠BCE=a,AC=CD,CB=CE, 6∠CDA=LA180°-aE9090,CB=∠CBE=180a90°1 a, 2 2 2 :∠ACB=90°， .∠BCF=90°，LDCB=90°-W, .LECF=90°-a, .∠DCB=∠ECF, :GF∥AB, ∠F+∠A=180°， ∠CDA+∠CDB=180°， .AC=CD, .∠CDA=∠A, :ZCDB=ZF .∠DCB=∠ECF,∠CDB=∠F,CB=CE, :.△BCD≌△ECF(AAS, :CD=CF, CD=AC, ..AC=CF; (4)解：：GF∥AB,BG∥AF, .四边形ABGF是平行四边形， AF=BG,AB=GF,∠G=∠A, .AB=10,BG=12,AC=AF, :AC=4=BG=6, 2 2 BC=VAB2-AC2=V102-62=8, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CD=AC=CF=6, sin∠G=sin∠A=BC=4 AB 5' :△CBD≌△CEF, .∠CBD=∠CEF, :GF∥AB, .∠FEB+∠ABE=180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD=180°， 即2LCEF+LCEB)=2LFEB=180°， .∠FEB=90°，则∠BEG=90°， “sin∠G=BE-4 BG 5' 即距4 1251 BE=48 由(3》可得，∠ADC=∠CEB=90-a,LADC+LCD8=180, ∠CEB+∠CDB=180°， 点C,D,B,E四点共圆， .LBED=∠BCD, .∠BEH=∠HCD,∠BHE=∠DHC, .△BEH∽aDCH, DH CH CD 6 5 :BH EH BE 48 8, 5 DH =5x,BH =8x,CH=5y,EH=8y, 则BC=BH+CH=8x+5y=8①， 根据旋转可得DE=AB=10, :DE=DH+EH=5x+8y=10②， 联立①②可得，x= 39 40 HE 8× =39-32 HD 147 5× 39 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2026辽宁本溪一模)几何综合探究： D 图1 图2 图3 (I)如图1，将口ABCD沿对角线AC剪开，将△ACD绕着点A逆时针旋转a度得到△AEF,(0°<a<LABC) ,分别延长EF,BA交于点G. ①求证：∠G=∠CAE; ②如图2，当BC∥EG时，∠G=60°，AB=2,BC=4,求△AGE的面积 (2)如图3，在ABC中，∠B=∠C,D是BC边的中点，点E在AC上，过点E作EF⊥DE交BC的平行线 AF于点F,若am∠B=2,AF=BC,求CE的值， AE 【答案】(1)①见解析；②6√5 2CE、3 AE-T 【分析】(I)①因为△ACD旋转得到△AEF,所以∠E=∠BAC，再根据三角形内角和、平角的定义和利 用三角形外角性质，结合上述角的等量关系，推导∠G与∠CAE的相等关系 ②因为BC∥EG,结合平行四边形性质和旋转性质，可推出相关角为60°，得到等边三角形和特殊直角三 角形.利用己知边长并结合特殊三角形的性质，先求出△AGE的底和高，再用三角形面积公式计算面积. (2)因为AF∥BC,∠B=∠C,可先构造辅助线，过A作AG⊥BC,过E作EM1BC,EN⊥AF.因为 an∠B=2,D是BC中点，AF=BC,结合EF1DE,利用相似三角形的判定定理，证明相关三角形 4 相似，再结合线段比例关系求出CE的值.】 AE 【详解】(1)①证明：由题意可知，△ABC≌△EFA, ∠E=∠BAC, 在△AEF中，∠E+∠EAF+∠EFA=180°， ∠BAC+∠EAF+LEFA=180°， :LGAF+∠EAF+∠EAC+∠BAC=180°， ∴.∠EFA=∠FAG+LEAC, :LEFA是△AFG的外角， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ZEFA=ZFAG+ZG, .∠G=LEAC: E D G A B ②解：过点A作AN⊥EG于点N, :BC∥EG,∠G=∠CAE=60°， .∠ABC=180°-∠G=120°， ABCD ∴∠ADC=∠ABC=120°，AB=CD=2,AD=BC=4, :△ACD绕着点A逆时针旋转O度得到△AEF, .△AEF≌aACD, AD=AF=4,∠ADC=∠EFA=120°， ∠GFA=180°-∠EFA=60°， ∠GFA=∠G=60°， .△AFG是等边三角形， .AG=AF=FG=4, :EG=EF+FG=2+4=6, 在RIAAGN中，∠ANG=90°，∠G=60°， sinG=AN AG sin60°=4W、V5 4 2 AN=25, 5号G4N=×6x26=65, D B 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：过点E作EM⊥BC于点M,交AF于点N,连接AD, D MO :LB=∠C, .AB=AC, :D是BC边的中点， AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, ∠ADC=90°， :AF∥BC, .∠FAD=∠ADC=90°， :EF⊥DE, .∠FED=90°， :LAGF=∠EGD, ∴△AGF∽△EGD, AG FG EGDG' DG FG EG AG' 又：∠FGD=LAGE, .△FGD∽△AGE, ∴.∠EFD=∠CAD, :90°-∠EFD=90°-∠CAD,即∠FDE=∠C, 在RtADEF中，∠FED=90°，tan ZEDF=tan∠B=2, EF =2, 又：∠FED=90°， ∠DEM+∠FEN=90°， :∠NFE+LFEN=90°， ∴.∠NFE=∠DEM, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△EFN∽△EMD, EF_NE-FN-2. DE DM ME AF=IBC, 4 设AF=a,EM=x,则BC=4a，,NF=2x, .BD=DC=2a, :tan∠B=4D =2, BD :AD =4a, .NE 4a-x, 、.DM三NE=2二，AN=2x-a， 易得四边形ADMN是矩形， .AN =DM 4a-x=2x-a, 2 6 ∴x=-a, 5 ·EM=6a EN=4a- 6a_14 55a, :AF∥BC, 6 CE EM AE EN 14 > 4.(2026广东深圳一模)【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线交于点O,E是AD边上一点，作 OF⊥OE交AB于点F;学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与△BOF恒全等请你证 明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线交于点O,∠ABD=30°，E是BA延长线上一点，将OE绕点O 逆时针旋转60°得到0F,点F恰好落在D4的延长线上，求E的值， AF 【拓展提升】如图3，等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，BC=12,点E是BC边上一点，以BE为边在 BC的上方作等边△BEF,连接CF,取CF的中点M,连接AM,当AM=√万时，直接写出BE的长 试卷第1页，共3页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E F B 图1 图2 图3 F-2,拓腰提升：BE= 【答案】探究发现：见解析：类比迁移：4E- 【分析】探究发现：根据正方形的性质，利用ASA证明△AOE≌△BOF,即可； 类比迁移：连接DE,连接EF,证明△AOF≌△DOE,得到AF=DE,∠AFO=∠DEO,推出 LAB0+∠DE0=30°，即∠AED=30,在R4DE中，cos30°=AE-5,等量代换得到4E-5,即可， DE 2 拓展提升：过A作AK⊥BC于K,连接MK,AF,设EF交AB于R,三线合一得到 BK30P,BK=CK=6,LAKC=90,得到9了，中位线定理，得到派-状 ,推出 BF 2 AB 4K1BF,得到--》得到AP=2N,在R1a4BR中，cos乙ABK二BK AB,求出AB,推出 BF=2FR,BR=√5FR,设FR=x,则BR=√5x,AR=45-√5x,在Rt△AFR中，FR?+AR2=AF2, 列方程求出FR的长，进而得到BE的长即可 【详解】探究发现： 证明：四边形ABCD是正方形， :.OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，∠AOB=90°， :0F⊥0E, .LE0F=90°=∠A0B, .∠A0E=LB0F=90°-∠A0F, 在△A0E和△BOF中， ∠EAO=∠FBO OA=OB ∠AOE=∠BOF :.△AOE≌△BOF(ASA; 类比迁移： 解：连接DE,连接EF,如图： 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :四边形ABCD是矩形， .OD=OA=0B, :∠ABD=30°， .∠0AB=30°， .∠A0D=∠0AB+LABD=60°， :将OE绕点O逆时针旋转60°得到0F, .OE=OF,∠EOF=60°=∠AOD, .LD0E=∠A0F, :.△AOF≌△DOE(SAS, .AF=DE,∠AFO=∠DEO, :∠EAF=90°， ∠AEF+LAFE=90°， ∠AE0+LAF0=180°-∠AEF+∠AFE）-∠E0F=180°-90°-60°=30°， LAE0+∠DE0=30°，即∠AED=30°， 在Rta4DE中，cos30°=4E=5 DE 2 AE3 AF 2 拓展提升： 解：过A作AK⊥BC于K,连接MK,AF,设EF交AB于R,如图： :AB=AC,∠BAC=120°，AK⊥BC,BC=12, .∠ABK=30°，BK=CK=6,∠AKC=90°， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AK 1 ·AB2 :M为CF中点， .MK是△BFC的中位线， MK 1 AK ·BF2AB MK∥BF, :△BEF是等边三角形， .LFBE=60°， .∠FBA=∠FBE-∠ABK=30,∠MKC=∠FBE=60°， ∴.∠AKM=∠AKC-∠MKC=30°=∠FBA, .∴.△AKM∽△ABF, MA=AK=1 AF AB :AM=√万， AF=2万， 在RIAABK中，coS∠ABK=B AB :56 2 AB :AB=43, :∠ABK=30°，∠BEF=60°， ∠BRE=90°=∠BRF=LARF, ∠FBR=30°， :BF =2FR,BR=3FR, 设FR=x,则BR=√5x,AR=4√5-V5x, 在Rt△AFR中，FR2+AR2=AF2, x2+43-3x=(2万， 解得x=1或x=5(此时AR为负数，舍去)， FR=1, .BE BF =2FR=2 【点晴】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直角三角形，勾股定理。综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是构造特殊三角形，全等和相似三 角形 5.(2026湖北孝感.一模)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点F 落在ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. G 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△CEQ∽△FEP; (2)如图2，当CE=BE时，点P在BC延长线上，若CG=3,QG=5,求QD的长： ③如图3，当CEE28E时，点P在BC边上，若%，直接写出 CC的值。 D 【答案】(1)见解析 (2)4 6号 【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠B=∠D,AD∥BC,由平行线的性质可得∠D+∠BCD=180°，由 折叠的性质可得∠AFE=∠B,从而得出∠AFE=∠D,再证明∠ECQ=∠EFP,结合∠FEP=∠CEQ,即可 得证； (2)先证明aCEQ≌△FEP(ASA),得出EQ=EP,∠COE=∠P,再证明△FQG≌△CPG(AAS),得出 FG=CG=3,GQ=GP=5,证明△CGP∽△BAP,由相似三角形的性质求出CD=AB=I2,即可得出结果； (3)延长AD,EQ交于点H,设CQ=2a,则DQ=3a,则CD=5a,由平行四边形的性质可得 ∠B=∠ADC,AD∥BC,AB=CD=5a,AB∥CD,证明△CEQ∽△FEP,求出FP=CQ=a, EQ=2EP,再证明△CEQDHQ,EFPAHFA,求出CP=4BE,AD=BC=3BE,最后再证明 △GCP∽△GDA,即可得出结果， 【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， ∠B=∠D,AD∥BC, .∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AFE=∠D, :∠AFE+∠EFP=180°， .∠BCD=LEFP,即∠ECQ=∠EFP, :∠FEP=∠CEQ, ·.△CEQ∽△FEP; (2)解：：四边形ABCD为平行四边形， .∠B=∠D,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, ∴.∠D+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB, ∠AFE=∠D, :LAFE+∠EFP=180°， .LBCD=∠EFP,即∠ECQ=∠EFP, CE =BE, :CE =EF, 在CEQ和△FEP中， ∠ECQ=∠EFP CE=FE ∠FEP=∠CEQ .△CEQ≌△FEP(ASA), ∴EQ=EP,∠CQE=∠P, :EO-EF =EP-EC, ..FO=CP, 在△FOG和△CPG中， ∠FGQ=∠CGP ∠GQF=∠P FO=CP :.△FQG≌aCPG(AAS), FG=CG=3,GO=GP=5, :AB∥CD, △CGP∽aBAP, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CG PG AB AP' 3 5 ABAB+3+5' AB=12, .CD=AB=12, .OD=CD-CG-GO=4; (3)解：如图，延长AD,EQ交于点H, ---z-H 图3 G C9_2 DO 3' .设C0=2a,则DQ=3a, .CD=CO+DO=5a, :四边形ABCD为平行四边形， ∠B=∠ADC,AD∥BC,AB=CD=5a,AB∥CD, .∠ADC+∠BCD=180°， 由折叠的性质可得：∠AFE=∠B,BE=FE,AF=AB=5a, .∠AFE=∠ADC, :LAFE+∠EFP=180°， .LBCD=∠EFP,即∠ECQ=∠EFP, :∠FEP=∠CEQ, :.△CEQn△FEP; FP EF EP ·COECE0 BE =EF, FP BE EP CO EC EO' .CE=2BE, FP-CQ-d.EQ-2EP. :AD∥BC, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△CEQ∽△DHQ,△EFP∽△HFA, Eg_C≌_2EF_PF-a_-I OH DO 3'FH AF 5a5 :QOH=3 EQ=3EP,FH SEF -SBE, FO=EO-EF =2EP-EF,OH+FO=FH :3EP+2EP-EF =5BE, :.5EP EF =5BE ∴.5EP-BE=5BE, .5EP =6BE EP-6BE. 5 :CP=CE-EP=2BE-6 BE=4 BE, 5 5 BC BE +CE=BE +2BE =3BE, .AD BC =3BE, :AD∥BC, △GCPAGDA, .CG CP 5 4BE4 DG AD 3BE 15 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键。 6.(2026辽宁葫芦岛模拟预测)ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，△DAE≌△ABC,O为CE中点，连 接BE,OD. 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在BA的延长线上时，求证：BE=2OD,BE⊥OD; (2)如图2，△DAE绕点A旋转到图中位置，求证：BE=2OD,BE⊥OD; (3)若AB=8,△DAE(A、D、E顺时针排列)绕点A旋转，当LCBE=90°时，直接写出aODE的面积. 【答案】(1)见解析 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)见解析 (3)16-8√3或16+8√5 【分析】(1)设AC、BE交于点F,BE,OD交于点G,可证明四边形ABCE是平行四边形，得到 BE=2EP,CE=AB,AF=CF=AC,再证明四边形ACED是正方形，得到∠4CE=LCED=90°，证明 △CEF≌△EDO(SAS),可得OD=EF,∠CEF=∠ED0,则BE=2OD;可证明∠OGE=90°，则可证明 OD⊥BE; (2)延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT,则CT=2OD,OD∥CT;证明△BAE≌aCAT(SAS), 得到BE=CT,∠AEB=∠ATC,则BE=2CT;延长EB,TC交于点Q,证明∠EQT=90°，可得BE⊥CT, 则BE⊥OD; (3)分点E在BC下方和点E在BC上方这两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)证明：如图所示，设AC、BE交于点F,BE,OD交于点G, E G B C :△DAE≌△ABC, ∠DAE=∠ABC,AE=BC,∠ADE=∠BAC=90,AD=AB,DE=AC, AE∥BC, :四边形ABCE是平行四边形， .BE=2EF CE-AB,AF=CF-AC, 2 又：AB=AC, .AB=AC=AD=DE=CE, 四边形ACED是菱形， 又：∠ADE=90°， :菱形ACED是正方形， ∠ACE=∠CED=90°， :O为CE中点， 1 ∴OE=-CE=5AC, 2 2 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .OE=CF, :.△CEF≌△EDO(SAS, .OD=EF,∠CEF=∠ED0, .BE=20D; :∠ED0+∠E0D=90°， .∠CEF+∠E0D=90°， ∠0GE=180°-（∠CEF+∠E0D=90°， OD⊥BE; (2)证明：如图所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, :O为CE中点，DT=DE, .OD是△ECT的中位线， .CT=20D,0D∥CT; :△DAE≌△ABC, .AB=AD,AC=DE,∠ADE=∠BAC=90°， ∠ADT=180°-∠ADE=90°； AB=AC, .AB=AD=DE AC=DT, :.△ADE,△ADT都是等腰直角三角形， .∠DAE=∠DEA=45°=∠DAT, .∠EAT=∠DAE+∠DAT=90°=∠BAC, ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAT-∠EAC,EAT是等腰直角三角形 ∠BAE=∠CAT,AE=AT, .△BAE≌△CAT(SAS, BE=CT,∠AEB=LATC, :BE=2CT 如图所示，延长EB,TC交于点Q, 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0. B 0 :∠AET+∠ATE=90°， .∠AET+∠ATC+∠CTE=90°， .∠AET+∠AEB+∠CTE=90°， .∠BET+∠CTE=90°， LEQT=I80°-(LBET+∠CTE)=90°， .BE⊥CT, .BE⊥OD: (3)解：如图3-1所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, 由(2)可得CT⊥BE,OD∥CT,CT=2OD,AT=AE :∠CBE=90°， BE⊥BC, .BC∥CT,即B、C、T三点共线； 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8, BC=VAB2+AC2=82, :△DAE≌AABC, AT=AE=BC=8√2； 如图3所不，过点A作w1C于点M则M=CM=8C=45, Ma T D 图3-1 :TM =AT?-AM2=46, :BE =CT=TM-CM=46-42, 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SecT-BE=6-42x46-4同)=64-25： :0D∥CT, .△ODE∽△CTE, 8-9-4 SAODE=SACTE=16-8V3: 4 如图3-2所示，延长ED到点T,使得DT=DE,连接AT,CT, :O为CE中点，DT=DE, :.OD是△ECT的中位线， CT=20D,OD∥CT; :△DAE≌△ABC, .AB=AD,AC=DE,∠ADE=∠BAC=90°， .∠ADT=180°-∠ADE=90°： :AB=AC, .AB=AD DE=AC=DT, .△ADE,△ADT都是等腰直角三角形， ∠DAE=∠DEA=45°=∠DAT, .∠EAT=∠DAE+∠DAT=90°=∠BAC, :.∠BAC+∠TAB=∠EAT+∠TAB,EAT是等腰直角三角形， .∠BAE=∠CAT,AE=AT, :△BAE≌ACAT(SAS, ∴∠AEB=∠ATC,CT=BE, 设直线CT,BE交于点Q, :∠AET+∠ATE=90°， .∠AEB+∠BET+∠ATE=90°， ∴∠ATC+∠BET+∠ATE=90°， ∴∠BET+∠CTE=90°， :.∠EQT=180°-（∠BET+LCTE)=90°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BE⊥CT, :∠CBE=90°， BC⊥BE, :BC∥CT,即B、C、T三点共线， ·点B与点Q重合； 如图3-2所示，过点A作AM1BC于点M,则AM=CM=号BC=4V2, D ! B(O) 图3-2 同理可得AT=AE=8√2， TM=√AT2-AM2=4√6， .BE=CT=TM+CM=4V6+4√2， .5.cn-CT-BE-6+42列x(46+4)同-64+325： 1 2 :0D∥CT, :.△ODEn△CTE, S.CTE 0-9- Sa0e=45cm=l6+85; 综上所述，△ODE的面积为16-83或16+8√3. 7.（2026辽宁鞍山一模)根据所学知识，解答以下问题 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (I)如图1，在ABC中，延长BC至点E,使CE=AC,点D为AB边上一点，连接CD,使 LADC=∠ACE,延长DC至点F,连接EF,使LE=LACB,求证：△CFE≌△ABC. (2)如图2，在ABC中，AB=BC,D,E,F分别为BC,AB,AC边上三点，且DE=DF, ∠EDF=∠B=∠AFD,求证：AF=DF+CF. (3)如图3，在ABC中，AB=BC,点F为AC边上一点，连接BF,∠AFB=∠ABC,延长FB至点D,使 得CF=BD,连接CD,以DF为底边在其上方作△DEF,使DE∥AB,若DE=EF,BC=I3, tan ZEDC=12 5’求CD的长 【答案】(I)见解析 (2)见解析 9 【分析】(1)根据已知证明∠A=∠ECF结合已知条件即可证明△CFE≌△ABC(ASA): (2)延长AB,FD交于点N,先证明△END≌△DCF得出DN=CF,则FN=DF+DN=DF+CF证明 AF=FN,即可得证： (3)连接EC,过C作CM⊥ED交于M,证明△EDF≌aBCA,△CEF≌△DCB,得出CD=CE,解 R1aCMD,得出CM-3,设CM=12,DM=5r,勾股定理求得X-3 即可求解 【详解】(1)证明：：∠ADC+LACD+∠A=180°，∠ACE+∠ACD+∠ECF=180°， 又：∠ADC=∠ACE, :ZA ZECF :∠E=∠ACB,AC=CE, △CFE≌△ABC(ASA). (2)证明：延长AB,FD交于点N, 试卷第1页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBD+∠EDB+∠BED=I80°，∠EDF+∠EDB+∠FDC=180°， B D N 又：∠EDF=∠EBD, :ZBED ZFDC, :∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A+∠AFN+∠N=180°， 又：∠AFN=∠ABC, LC=∠N, .DE=DF, ∴△END≌△DCF(AAS, :DN=CF, :FN=DF+DN DF +CF, AB=BC, .∠A=LC, .∠A=∠N, :AF =FN, :AF DF+CF (3)连接EC, E G M :∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC+∠AFB+LABF=180°， B D 又：∠AFB=LABC, .∠ACB=∠ABF, :AB=BC=13, .∠BAC=∠ACB, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABF=∠BAF, AF=BF, CF BD,AC=AF +CF,DF=BF +BD, :AC=DF, :DE∥AB, ∠ABF=∠EDF, ·∠ACB=LABF, ∠EDF=∠ACB, DE EF, ∠EDF=∠EFD, ∠BAC=LACB, ∠EFD=∠BAC, ∴.△EDF≌△BCA(SAS), :EF =BA=BC=DE=13 ED II AB, ∠EDF=∠ABF, ∠EDF=∠EFD, ∠EFD=∠ABF, :∠AFB=∠AFE+∠EFD,LABC=∠FBC+∠ABF, ∠AFE=∠FBC, :∠EFC=180°-∠AFE,LDBC=180°-∠FBC, :ZEFC ZDBC, CF BD △CEF≌△DCB(SAS, :CD=CE 过C作CM⊥ED交于M, :CE=CD,CM⊥ED, EM DM -IDE=13 2 =2,4CMD=90 试卷第1页，共3页 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtACMD中，tan∠CDM= CM DM' .CM12 135, 2 CM=78 设CM=12x,DM=5x, :CD:=CM2+DM2,CD=13x, :CM=12x=78 13 10 169 .CD=13x= 10 8.(2026辽宁抚顺一模)【发现问题】 在数学小组活动中，同学们遇到了这样一个问题： D A D B B E B E D 图1 图2 图3 (1)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段 EF,连接CF,求∠DCF的度数. 【延伸类比】 小组内的某位同学提出，若四边形ABCD是矩形，那么会存在什么样的规律呢？于是他们提出了如下问题： (②)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边BC上一点，连接AE,过点E作EF⊥AE,点F在 C的上方并满足E=;,连接CF，求am∠DCF的值。 【学以致用】 小组同学想进一步对图中∠AEF进行变换，于是提出下面的问题： (3)如图3，在边长为6√5的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E为边BC上一点，连接AE,将AE绕点E顺时 针旋转120°得到EF,连接AF,BF,CF,AF交CD于点G,若G为边CD的三等分点(CG>GD),求 △EBF的面积. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)45 o 3)108V5 25 【分析】(1)过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G,先证△ABE≌△EGF(AAS),则AB=EG=BC, BE=GF,即CG=BE.则CG=GF,可得∠FCG=45°，可求∠DCF的度数； 2过点F作上8C交C的延长线于信先证△958P,则棕号需子可得 -A;由EH\DC,则ZDcF=∠CFH,可得an/DCF=tanLCFH=CH FHA: (3)延长FC,AB交于点N,在AB上取一点M,使AM=CE,作BQ⊥EM于Q,过点F作FP⊥BC交 BC的延长线于点P,先证△AEM≌aEFC(SAS),则LAME=∠ECF,EM=FC.可得LBME=∠NCB=30 证明∠N=90°，可得CG=4B,DG2B:再证FCG.FN4.,可得CC,可求FC=6二W 5 :再得指服-，由P可求△BF的面积 【详解】(1)解：如图1，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G, D .∠G=90°， B E CG :四边形ABCD为正方形， ∠B=∠G=90°，AB=BC, ∠BAE+∠AEB=90°： :AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF, .AE=EF,LAEF=90°， ·LAEB+∠GEF=180°-∠AEF=90°， .∠BAE=LGEF, 在△ABE和△EGF中 I∠BAE=∠GEF ∠B=∠G AE=EF 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AABE≌△EGF(AAS, :AB=EG=BC,BE=GF, :EG-EC BC-EC,CG=BE, :CG=GF, .∠FCG=45°， :∠DCG=90°， :∠DCF=LDCG-∠FCG=45°. (2)解：如图2，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H, 0 F∠H=90°， B E CH :四边形ABCD为矩形， ∠B=∠H=∠BCD=90°， :∠BAE+∠AEB=90°， EF⊥AE, .∠AEF=90°， :∠AEB+∠HEF=180°-∠AEF=90°， ∠BAE=∠HEF, △ABE∽△EHF, .AE-AB BE 3 EF EH FH4' AB=6,BC=8, :EH=8=BC, BC-EC=EH -EC,BE=CH CH 3 FH 4' .∠BCD=∠H=90°， EH∥DC, ∠DCF=LCFH, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tan∠DCF=tan∠CFH= CH 3 FH 4 (3) 解：如图3，延长FC,AB交于点N,在AB上取一点M,使AM=CE,作BQ⊥EM于Q.过点F作 FP⊥BC交BC的延长线于点P, M :四边形ABCD为菱形， D .AB=BC,CD∥AN, AB-AM=BC-CE,即BM=BE, :∠ABC=120°， ZBEM=∠BME80°-ZABC)=30 .∠CBN=∠BEM+∠BME=60°， :∠CBN=∠BAE+∠BEA=60°， :∠AEF=120°， .∠PEF+∠BEA=180°-∠AEF=60°， :∠BAE=LPEF, 在△AEM和△EFC中 AM=CE ∠BAE=∠PEF, EA=EF △AEM≌△EFC(SAS), ∴，LAME=LECF,EM=FC, 180°-∠AME=180°-∠ECF,即∠BME=∠NCB=30°， :∠CBN=60°， .LN=180°-∠CBN-∠NCB=90°； :菱形的边长为6√5， .AB=BC=CD=63. 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Bv=8c=35, :CN=BC2-BN2=9, :AN =AB+BN=93, G为CD的三等分点，CG>GD, CG=45,DG=25, :CD∥AN, :∠FCG=∠N,∠FGC=∠FAN, △FCGAFNA, C-,即C=3 FC+993 FC=36 EM, BQ⊥EM,BE=BM,∠BEM=30°， 0-Ew-g 2 ·BE= EQ125 Cos∠BEM5, :∠PCF=∠NCB=30°，FP⊥BP, FP-FC- 5 Sm-E8xFP=x125x18-1086 2×5x5=25 9.(2026上海浦东新二模)在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF, DE=DC. D B 图1 图2 图3 (I)如图1，连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECF∽△ADE; (2)已知tanC=√5，连结AF. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①如图2，如果点D,E关于直线AF对称，求S△ADF:S4BcD的值； ②如图3，如果AF=5DF,∠AFE=∠EDC,求C二 的值。 FD 【答案】(1)见解析 e0ge时 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、平行四边形的性质等： (1)先证明△BCD≌△ADE,结合△ECF∽△BCD,即可证明结论； (2)①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,容易证得 AD DE DEEC. 设HC三a,可得到AD=AE=3a,进而可证得AE=EG=3a,结合=2=3，FC=F0》 FC CG PF 3 可得到P0:2②过点F作FP1AD,交AD的延长线于点P,设DP=m,可求得，进而可求很 ∠DFP=∠PAF,得到∠40D=90,∠0D=90,证明△DEF△F0D,可求得DE=6m,进而可求得 CF6m. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， :.BC=AD,AD∥BC, .∠ADE=LDEC. DE DC, .ZC ZDEC :ZC ZADE BC=AD,C=ZADE CD=DE, .△BCD≌△ADE. :EF∥BD, △ECF∽△BCD. ∴△ECFO△ADE. (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H,作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,延长AF交 BC延长线于点G. 设HC=a,则HD=HC.tan C=√5a,DE=DC=√HD2+HC2=√6a· 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E H OC G :点D,E关于直线AF对称， ∴.AD=AE. ∠ADE=∠AED. :DE =DC, .∠DEC=∠DCE. .∠ADE=∠DEC, :ZADE ZAED=ZDEC ZDCE. ∴△ADE∽△DEC. AD DE DE EC :DE=DC,DH⊥BC, .EC=2HC=2a. AD 6a J6a 2a .AD 3a. .AD AE =3a. :D,E关于直线AF对称， ∴.∠DAF=∠EAF. :AD∥BC. .ZDAF ZG .LG=∠EAF. ∴.AE=EG=3a. .CG=a. :AD∥BC, .△ADF∽△GCF,△DPF∽△COF. DF_AD=3.FC-FO' DF PF ·FCCG 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PF=3 :F0 、PF3 :P04 :S△ADF= AD:PE:S.4C0 AD:PO. S4D=2 3 S.ABCD PO 8 ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P, D D B 设DP=m· :AD∥BC, ·LPDF=∠C. ·PF=DP,tan∠PDF=V5m,sin∠DFP= 6 .DF=√DP2+PF2=√6m. AF=5DF, ∴AF=V30m. .AP=√AF2-DF2=5m. .AD 4m PF AP ·DPPF .△DPF∽△FPA. ∠DFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=a· ∠PDF=90°-a. ∴∠C=LDEC=∠ADE=90°-a. ∴∠FAP+∠ADE=90°. .A0D=90°. ∠F0D=90°. 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.OD=AD-sin∠PAF=4msin∠DFP= 2v6 3 :∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=90°， .ZEFD ZAFE ZDFO=90. .ZEFD ZFOD 又∠ODE=∠FDE, .△DEFn△FOD. DF DE DODF· 6-6 0c-26m CFm 3. DF6m-2 10.(2026山西晋中.一模)综合与探究 问题情境：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接DC,将线段DC平移得到线段 BE,点D,C的对应点分别是点B,E,连接CE, D ch E 图1 图2 备用图 (I)猜想验证：判断四边形CDBE的形状，并说明理由； (2)深入探究：将线段BA绕点B按顺时针方向旋转a(0°<α<360)，得到线段BF,点A的对应点为点F, 连接AF,DF,AE,且LBAF=∠BAC. ①如图2，若0°<a<180°，判断线段DF与AE的数量关系，并说明理由； ②若AC=BC=4,在旋转的过程中，直线DF与直线AE相交于点M,请直接写出线段AM的长. 【答案】(1)菱形，见解析 (2)0DF=AE,见解析；②AM=40或4i@ 3 5 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)利用平移的性质可得四边形CDBE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 半可得CD=AD=BD,即可得到结论： (2)①根据旋转的性质以及菱形的性质证明△ABE≌△FBD(SAS)即可解答.②分BA顺时针旋转90°和BA逆 时针旋转90°两种情况，分别画出图形，根据菱形的性质、相似三角形的判定与性质求解即可. 【详解】(1)解：四边形CDBE为菱形.理由如下： :线段DC平移至线段BE, .DC∥BE,DC=BE, 四边形CDBE是平行四边形， :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点， ·CD=AD=BD, oCDBE为菱形. (2)①DF=AE,理由如下： 由旋转得∠ABF=a,BA=BF, ∠BAF=∠BFA=180°-Q 2 '∠BAF=∠BAC, ∠BAC=180°-a 2 AD=CD, ·∠ACD=∠BAC=180°-a 2 ∠CDB=∠ACD+∠BAC=180°-a, :四边形CDBE为菱形， BE=BD,CD∥BE, .∠CDB+∠ABE=180°， ∠ABE==LABF, 又，BA=BF,BE=BD, △ABE≌△FBD(SAS, ∴.DF=AE. ②a.,AC=BC,∠ACB=90°， .∠ABC=∠BAC=45°， 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CDBE为菱形， .∠ABC=LCBE=45°， ∠DBE=∠CBD+LCBE=90°，即AB⊥BE, 由上述证明得到，∠ABE=LFBD=90°， 由旋转得到，△ABF为等腰直角三角形， :.当BA绕B顺时针旋转90°时，如图：过点E作EH⊥AC交AC的延长线于点H, D 、 E :点D是AB的中点，AC=BC=4, B∠CDB=90°，∠ACD=LDCB-ZACB=45,CDAB 2 由(1)可得：CDBE为菱形， ∴∠DCE=90°，则四边形CDBE为正方形， :∠HCE=180°-∠DCE-∠ACD=45°， :EH⊥AC, ∴.△CEH是等腰直角三角形， :D是AB的中点，∠ACB=90°， CD=AB=CE=BD,BF=AB. AC=BC=4, :AB=AC2+BC2=42, ·CD= AB=CE=BD=22,BF=AB=42, 2 .CH-EHCE-2.AH-AC+CH-6.AFABF-8 2 :∠DBF=90°，∠ADM=∠FDB」 :.∠AMD=∠DBF=90°，即DF⊥AE, :LAFB=∠CAB=45°， ∴∠AFB-LBFD=∠CAB-LBAE,即LAFM=∠CAE, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠AFM=∠EAH,∠AMF=∠AHE=90°， .△FAM∽△AEH, FM AM 即FM、AM AH HE 62 .:FM =3AM, 在R1aAFM中，由勾股定理得AM2+FM2=AF2, :AM2+3HM=8,解得：AM=40(负值舍去)， 5 b.由①可得∠ABE=∠ABF=90°，如图：当BA绕B顺时针旋转270°时，相当于绕B逆时针旋转90°，点 F在AC的延长线上，连接DE, :AC=BC=4且∠BAF=∠BAC=45°，CDBE为菱形， :.四边形CDBE为正方形， :.BCF是等腰直角三角形， AF =8,AB=BF=42, 由(2)①可知△ABE≌△FBD, .BD=BE, AD BD, :EF=BE=BF=22, 2 .DE为△ABF的中位线， 1 .DE∥AB,DE=。AF=4, .∴.△DEM∽△FAM, AM AF ME DE =2,即AM=2ME, :AM=名4B, 3 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtABE中，AE=VBE2+AB2=2V10, 8仙-号6：4 3 综上，线段AM的长度为4i0或4Wi0 5 3 试卷第1页，共3页