第15章 概率（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第二册

第15章 概率全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 事件的分类  1．（24-25高二上·安徽·阶段检测）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【解题思路】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【解答过程】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C. 3．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 4．（24-25高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数. 【解答过程】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件； ④任取，则，属于必然事件； 所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是. 故选：B. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)随机事件 (5)不可能事件 【解题思路】（1）根据随机事件的定义可得； （2）根据必然事件定义可得； （3）根据不可能事件定义可得； （4）根据随机事件的定义可得； （5）根据不可能事件定义可得. 【解答过程】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件. （2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件. （3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件. （4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件. （5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件. 题型2 写出基本事件、样本空间 6．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解题思路】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【解答过程】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则 ，共含19个样本点． 故选：C. 7．（24-25高二上·湖北武汉·月考）一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解题思路】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果. 【解答过程】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种. 故选：B. 8．（2025高一下·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】借助树状图即可得. 【解答过程】画出树状图： 故甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）， （丙，甲，乙），（丙，乙，甲，即样本点总个数为6. 故选：D. 9．（2025高三下·全国·专题练习）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有_________个样本点． 【答案】8 【解题思路】根据给定条件，写出试验的样本空间即可得解. 【解答过程】试验的样本空间为，共8个样本点． 故答案为：8. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）逐个列举即可； （2）逐个列举即可求解； 【解答过程】（1）试验的样本空间为 共16个样本点． （2）用A表示满足条件“为整数”的事件， 则A包含的样本点有，，，，，，，， 共8个样本点． 题型3 辨析概率与频率的关系 11．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】D 【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可逐一判断. 【解答过程】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误； 对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误； 对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误； 对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选:D. 12．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 【答案】B 【解题思路】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案. 【解答过程】由题意可知投篮命中的频率为， 而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的， 其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误， 故选：B. 13．（24-25高二上·广东佛山·月考）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解题思路】由概率的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于①：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值，正确； 对于②：某人打靶，射击次，击中次， 那么此人中靶的频率为，但概率不一定为，故错误； 对于③：是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误； 对于④：是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误； 故选：B. 14．（24-25高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【解答过程】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 15．（2025高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是___________. 【答案】①②③ 【解题思路】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【解答过程】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③. 题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释 16．（24-25高二上·四川成都·期中）以下一些说法，其中正确的有（    ） A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 【答案】C 【解题思路】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生. 【解答过程】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误； 对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误； 对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确； 对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误. 故选：C. 17．（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【解题思路】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A. 18．（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【解题思路】根据概率的实际意义即可判断. 【解答过程】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 19．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为__________． 【答案】④ 【解题思路】根据概率的定义即可得解. 【解答过程】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 20．（24-25高一·全国·课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？ 【答案】答案见解析 【解题思路】结合概率的定义解释即可. 【解答过程】天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为的事件也可能不出现， 因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为”的天气预报是错误的. 题型5 随机模拟问题 21．（25-26高一下·全国·课后作业）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【解题思路】利用古典概型的概率求解. 【解答过程】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：． 故选：B. 22．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【解答过程】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 23．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【解题思路】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【解答过程】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 24．（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为__________. 【答案】 【解题思路】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【解答过程】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为：. 25．（25-26高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【答案】(1) (2)答案见解析. 【解题思路】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，由等可能事件的概率可得事件A的概率，由对立事件的概率性质可得答案; （2）根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行，设计随机模拟即可. 【解答过程】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”. 则事件A的概率为：， 由于事件A与事件B是对立事件， 所以事件B的概率为； （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生和两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球， 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n， 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. 题型6 互斥事件与对立事件 26．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【解答过程】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 27．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 28．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【解题思路】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【解答过程】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C. 29．（24-25高二·上海·课堂例题）从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品全是正品，C：三件产品不全是正品．①A与C对立；②B与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不互斥.则以上结论中正确的序号是__________． 【答案】② 【解题思路】利用互斥、对立事件的定义判断即可. 【解答过程】事件A与C能同时发生， A与C不互斥，不对立，①③错误； 事件B与C不能同时发生， B与C互斥，②正确，④错误. 所以给定结论中正确的序号是②. 故答案为：②. 30．（2025高三下·全国·专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C； (2)B与C； (3)B与D； (4)B与E； (5)A与E． 【答案】(1)A与C不是互斥事件 (2)B与C不是互斥事件 (3)B与D不是互斥事件 (4)B与E是互斥事件，B与E是对立事件 (5)A与E是互斥事件，A与E不是对立事件 【解题思路】根据是否可能同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立，即可逐一求解. 【解答过程】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”， 即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． （2）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”． 事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”． 也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． （3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”， 也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． （4）由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的， 故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． （5）事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生， 故A与E是互斥事件，但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件． 题型7 互斥事件的概率加法公式 31．（25-26高一下·全国·月考）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据互斥事件的概率公式求出、. 【解答过程】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B. 32．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【解答过程】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 33．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解答过程】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 34．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则___________． 【答案】 【解题思路】由互斥事件概率加法公式可得答案. 【解答过程】由题意可得． 故答案为：. 35．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 【答案】(1)0.64 (2)0.36 【解题思路】（1）（2）列出符合要求的事件，利用互斥事件的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）对任意一人，其血型为的事件分别记为，，，，由已知得，，，， 因为型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． （2）由于型血不能输给型血的人， 则“任找一人，其血不能输给张三”为事件， 依据互斥事件概率的加法公式得到． 题型8 利用对立事件的概率公式求概率 36．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【解答过程】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B. 37．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【解题思路】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【解答过程】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 38．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 39．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则__________． 【答案】0.6 【解题思路】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【解答过程】随机事件和互斥，则． 又和对立，. 故答案为：0.6． 40．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. 【解答过程】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件， ． 题型9 相互独立事件与互斥事件的判断 41．（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 【答案】C 【解题思路】对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可. 【解答过程】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 42．（24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【答案】D 【解题思路】由互斥事件定义判断A，由对立事件定义判断B，由独立事件定义判断CD. 【解答过程】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 43．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的概念和独立事件的定义进行判断即可. 【解答过程】根据题意可知，. 第一次抛掷骰子的点数为2，且第一次抛掷骰子的点数为奇数的概率为0， 即，所以不相互独立，所以A错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 所以，所以相互独立，所以C正确； 第一次抛掷骰子的点数为2，且两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有， 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 第一次抛掷骰子的点数为奇数，两次抛掷骰子的点数之和为7的情况数有. 这说明能同时发生，所以不是互斥事件，D错误； 故选：C. 44．（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【解题思路】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【解答过程】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 45．（24-25高二下·上海静安·期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 【答案】(1) (2)事件A和B不独立，事件A和C独立 【解题思路】（1）因抛掷骰子得到的点数奇偶各占一半，易得题中概率； （2）依题分别求出事件的概率，以及与的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即可判断. 【解答过程】（1）抛掷一次骰子，奇偶点数各占一半，故点数是偶数的概率是； （2）依题易得，因“两次点数和为6”包括“”5种情况，故； 又“两次点数和为7”包括“”6种情况，故， 当第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，所以， 而，故事件和B不独立． 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，所以， 而，故事件和C独立． 题型10 独立事件的乘法公式 46．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【解答过程】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率 ， 于是甲胜利的概率. 故选：D. 47．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【解答过程】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 48．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【解答过程】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C. 49．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知事件和事件相互独立，，则___________． 【答案】 【解题思路】利用相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 50．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【解答过程】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3局，乙获胜2局， 则所求事件的概率为： ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 概率全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 事件的分类  1．（24-25高二上·安徽·阶段检测）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 2．（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 4．（24-25高一下·天津河东·期末）下列事件中，随机事件的个数是（    ） ①未来某年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签； ④任取，则. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·全国·课后作业）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的两边之和大于第三边； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现． 题型2 写出基本事件、样本空间 6．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 7．（24-25高二上·湖北武汉·月考）一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（2025高一下·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点总个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025高三下·全国·专题练习）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1，若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有_________个样本点． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点． (1)请写出试验的样本空间； (2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 题型3 辨析概率与频率的关系 11．（24-25高一下·甘肃·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性 C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 12．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（    ） A．投篮10次至少有8次命中 B．投篮命中的频率为0.86 C．投篮命中的概率为0.86 D．投篮100次有86次命中 13．（24-25高二上·广东佛山·月考）下列说法正确的有（   ） ①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值 ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率0.7 ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上 ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（24-25高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 15．（2025高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是___________. 题型4 天气预报、抽奖、彩票的概率解释 16．（24-25高二上·四川成都·期中）以下一些说法，其中正确的有（    ） A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的 17．（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 18．（24-25高一·全国·课后作业）气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（    ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 19．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为__________． 20．（24-25高一·全国·课后作业）生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了.”学了概率后，你能给出解释吗？ 题型5 随机模拟问题 21．（25-26高一下·全国·课后作业）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 22．（24-25高一下·河南漯河·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 24．（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为__________. 25．（25-26高二·上海·课堂例题）甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 题型6 互斥事件与对立事件 26．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 27．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 28．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 29．（24-25高二·上海·课堂例题）从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品全是正品，C：三件产品不全是正品．①A与C对立；②B与C互斥；③任何两个均互斥；④任何两个均不互斥.则以上结论中正确的序号是__________． 30．（2025高三下·全国·专题练习）某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C； (2)B与C； (3)B与D； (4)B与E； (5)A与E． 题型7 互斥事件的概率加法公式 31．（25-26高一下·全国·月考）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 33．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则___________． 35．（24-25高一下·全国·单元测试）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 该血型的人所占比例（%） 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是型血，若张三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？ 题型8 利用对立事件的概率公式求概率 36．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 38．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则__________． 40．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 题型9 相互独立事件与互斥事件的判断 41．（24-25高一下·吉林长春·期末）有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（   ） A． B．与为互斥事件 C．与为相互独立事件 D．与为对立事件 42．（24-25高一下·福建福州·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 43．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，B表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，C表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（    ） A．A与B为相互独立事件 B．A与C为互斥事件 C．B与C为相互独立事件 D．B与C为互斥事件 44．（25-26高二上·广东汕头·月考）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 45．（24-25高二下·上海静安·期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 题型10 独立事件的乘法公式 46．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）已知事件和事件相互独立，，则___________． 50．（24-25高一下·甘肃定西·期末）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $