江苏苏州大学附属中学2025-2026学年第二学期高二期中检测数学试卷

苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试题范围：导数、空间向量、计数原理的6.1和6.2（排列组合） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数 A. 10种 B. 18种 C. 20种 D. 40种 4. 已知曲线在点处的切线方程为，则 A. B. C. D. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 6. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为 C. 当时， D. 当时， 11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ） A. 直三棱柱外接球的表面积为 B. 当时，平面平面 C. 直线与所成角的余弦的最大值为 D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 13. 从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 14. 已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且. （1）求的值及曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在正方体中，，，分别是，的中点． （1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. （1）解关于的不等式：； （2）已知，求的值（用数字作答）； （3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答） 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点. （1）证明：平面； （2）证明：直线平面； （3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）当时，求证：对于任意，恒成立； （3）若存在，，使得，求证：. 苏大附中2025-2026学年第二学期期中检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试题范围：导数、空间向量、计数原理的6.1和6.2（排列组合） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】96 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），切线方程为 （2）最大值为，最小值为 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】(1)；（2）；（3）50 【18题答案】 【答案】（1） 侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面， 取的中点为，连接， 为等边三角形， ，平面， 所以底面， 底面， ，又因为，所以， 平面，所以平面； （2） 取的中点，连接，，如图． AI 是的中点， ，． 由得，又， ，，四边形是平行四边形， ，又平面，不在平面内，  平面． （3） 【19题答案】 【答案】（1） 由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 由 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 则，则在上单调递增， 所以，满足题意. 综上所述，当时，对于任意，恒成立 （3） 由（2）知，，由，得， 因此，则在上单调递增. 则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 设，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $