山东东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷

**基本信息** 山东省九年级期中数学卷，以七巧板、赵爽弦图等文化素材和水龙头、销售利润等生活情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计凸显数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、整式运算、几何性质（七巧板平行）、概率（文创抽取）|七衡六间图考中心对称，文化情境中渗透空间观念| |填空题|8/28|因式分解、圆拱门面积、反比例函数（菱形）、规律探究|赵爽弦图求tan值，融合几何直观与推理能力| |解答题|7/62|统计调查、圆切线证明、二次函数综合、旋转探究|动点面积与二次函数存在性问题，考查模型意识与创新思维|

山东省东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）无理数的绝对值是（　　） A． B． C．﹣2 D．2 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（﹣2a3）2＝4a6 B． C．x6÷x2＝x3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 3．（3分）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（3分）七衡六间图是《周髀算经》中描述太阳运行规律和对应二十四节气的示意图，它有7个间隔等分的同心圆，每一圆为一衡，衡与衡之间称为间，每一衡表示一年内太阳在不同时期的运行轨道．最外圈为外衡，代表冬至；最内圈为内衡，代表夏至．七衡六间图不仅是一种天文观测工具，也是古人理解自然规律、制定历法的重要依据．以下是与七衡六间图相关的示意图（不考虑图形中的文字），其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2029＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 7．（3分）如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．16π 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C． D． 9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为2；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝4．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（第11题-14题每小题3分，第15-18题每小题3分，共28分） 11．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003用科学记数法表示为 　 　 ． 12．（3分）把多项式8xy2﹣2x分解因式的结果是 　 　 ． 13．（3分）写出满足不等式组的所有整数解的和　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，，则△ABC的面积为　 　 ． 15．（4分）圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽AD为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是 　 　 ． 16．（4分）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P．若BP＝BC，则tan∠CBG的值是　 　 ． 17．（4分）如图，若菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为　 　 ． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为，以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；…按照这样的规律进行下去，点A2026的横坐标是 　 　 ． 三、解答题（共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：•（1），其中x＝2． 20．（8分）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求m的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率． 21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，连接AD，点E是的中点，连接AE，BE，DE，弦BE与弦AD交于点F，点C在BE的延长线上，连接AC，∠ADE＝∠CAE． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝3，，求线段EF的长． 22．（8分）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角（∠ACE）为60°，AM＝10cm，ME＝28cm． （1）水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； （2）求EC的长． （结果精确到0.1cm．参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07， 23．（8分）某商店购进一批单价为15元的鲁班锁，销售一段时间后发现：若按每个20元的价格销售，每月能卖300个；若按每个25元的价格销售，每月能卖250个．假定每月销售个数y是销售价格x（单位：元/个）的一次函数． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）在不考虑其他因素的条件下，销售价格应定为每个多少元，能尽快减少库存，且使每月可获利润3000元？ 24．（10分）·【难】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的一个动点，连接CD． 【问题发现】 （1）如图1，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接DE，AE，若AC＝BC，则AE与BD的数量关系是　 　 ，∠BAE＝　 　 度； 【类比迁移】 （2）如图2，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CD′，点E在CD′上，且，若AC＝2，，则AE与BD的数量关系是　 　 ，∠BAE＝　 　 度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当点D在直线AB上移动时，其他条件不变，取线段DE的中点F，连接AF，CF，当△ACF是直角三角形时，求线段AE的长． 25．（12分）·【难】如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB＝∠OBC，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 山东省东营市东营区胜利第一初级中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A A A C C A D 二、填空题（第11题-14题每小题3分，第15-18题每小题3分，共28分） 11．（3×10﹣7． 12．2x（2y+1）（2y﹣1）． 13．2． 14．． 15．m2． 16．． 17．． 18．（）2026． 三、解答题（共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．解：（1）原式 ． （2）原式 ， 当时， 原式． 20．解：（1）本次随机调查学生的人数为10÷25%＝40（名）， 答：此次调查了40名学生； （2）m%20%， ∴m＝20． 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为40﹣（10+12+8）＝10（人）， 补全条形图如下： （3）把“甲、乙、丙、丁”分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有2种，即AB、BA， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为． 21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵， ∴∠ADE＝∠ABE， ∵∠ADE＝∠CAE， ∴∠ABE＝∠CAE， ∴∠EAB+∠CAE＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AC⊥OA， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． （2）解：∵∠ADE＝∠ABE， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴∠ADE＝∠EAD， ∴， 设EF＝x， 在Rt△AEF中， ∵， ∴， ∴在Rt△AEB中，∵， ∴， ∴BF＝BE﹣EF＝4x﹣x＝3x， ∵BF＝3， ∴3x＝3， 解得x＝1， ∴EF＝1． 22．解：（1）过点A作AG⊥EH 于G，作MN⊥AG于N， 在Rt△AMN 中，∠ANM＝90°， ，由题意得∠AMN＝47°， AN＝AM•sin∠AMN＝10×sin47°＝10×0.73＝7.3（cm）， 答：A点上升的高度7.3m； （2）∵AG⊥GC，MN⊥AG， ∴∠EGN＝∠MNG＝90°， ∵∠DEG＝90°， ∴∠EGN＝∠MNG＝∠DEG＝90°， ∴四边形EGNM为矩形， ∴EG＝MN，EM＝NG 在Rt△AMN 中，∠ANM＝90° ， ∴MN＝AM•cos∠AMN＝10•cos47°≈10×0.68＝6.8（cm）， ∴EG＝MN＝6.8（cm）， ∴AG＝AN+NG＝AN+ME＝7.3+28＝35.3（cm）， 在 Rt△AGC 中，∠AGC＝90°， ， ∴CG20.40（cm）， ∴EC＝EG+CG＝6.8+20.40＝27.20≈27.2（cm）， 答：EC的长为27.2cm． 23．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+500； （2）由题意得：（x﹣15）（﹣10x+500）＝3000， 解得：x1＝30，x2＝35， 由（1）可知，y＝﹣10x+500， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵尽快减少库存， ∴当x＝30时，y取最大值， 答：销售价格应定为每个30元，能尽快减少库存，且使每月可获利润3000元． 24．解：（1）由旋转的性质可知：CD＝CE，∠DCE＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中： ， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴AE＝BD，∠CAE＝∠B， 在Rt△ABC中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠B＝∠BAC＝45°， ∴∠CAE＝45° ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝45°+45°＝90°； 综上，AE与BD的数量关系是AE＝BD，∠BAE＝90°； 故答案为：AE＝BD，90； （2）∵AC＝2，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE∽△BCD， ∴，∠CAE＝∠CBA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠EAC+∠BAC＝90°，即：∠BAE＝90°， ∴，∠BAE＝90°， 故答案为：，90； （3）由（2）知∠BAE＝90°，点F是DE的中点， ∴， ∵∠DCE＝90°， ∴， ∴AF＝CF， ∵△ACF是直角三角形， ∴∠AFC＝90°，∠FAC＝∠FCA＝45°， ∴， ∴， 设AE＝x，则， ∵AC＝2，，∠ACB＝90°， ∴， ①如图，当点D在线段AB上时， ， ∵∠BAE＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2， ∴， ∴，（舍去）， ②如图，当点D在BA的延长线上时， ， ∵∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝180°﹣90°＝90°， ∴AE2+AD2＝DE2， ∴， ∴，舍去）， 综上所述，AE的长为或． 25．解：（1）把点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G， 设Q（t，t2+2t﹣3）， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴﹣3＜t＜0， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， ∴x＝﹣3或1， ∴B（1，0）， ∴OB＝1， ∵C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵∠QAB＝∠OBC， ∴tan∠QAB＝tan∠OBC， ∴3， ∴GQ＝3AG， ∴﹣t2﹣2t+3＝3（t+3）， 解得：t＝﹣2或﹣3（舍）， ∴Q（﹣2，﹣3）； （3）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴是：直线x＝﹣1， 如图2，四边形ACFE是平行四边形， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），点E的横坐标为﹣1， ∴点F的横坐标为2， ∴F（2，5）； 如图3，四边形ACEF是平行四边形， 同理可得点F的横坐标为﹣4， ∴F（﹣4，5）； 如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上， ∴F（﹣2，﹣3）， 综上，点F的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $