精品解析：河南省商丘市柘城县实验中学2025—2026 学年初中生学情分析与测评(五) 九年级 数学

2025−2026学年初中生第五次学情分析与测评 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《九章算术》中注有“今算得失相反，要令正负以名之”，若盈余100元记作元，则元表示（ ） A. 亏损元 B. 盈余50元 C. 亏损50元 D. 不盈余不亏损 2. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 3. 国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准，从2003年1月1日起正式实施．该标准规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应在以下，用科学记数法表示应写成（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲乙两位同学均随机选取这3位数学家的成就进行分享，则选到不同数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 满足的整数a可以是_________________．（写出一个符合题意的数即可） 12. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为______． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 14. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 17. 第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“”）于2025年6月12日－14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 72.5% 八年级 8.375 9 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． （3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 18. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）不用计算，请直接写出不等式的解集． 19. 如图，在中，，，，以点O为圆心，为半径画圆交于点C． （1）请用无刻度直尺和圆规过点C作出的切线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求的长度． 20. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： （1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上，设． ①求W与的函数关系式； ②当时，W的最小值为3，求m的值． 23. 几何探究：在中，，点D，E在直线上，连接． （1）如图1，若，将绕点A逆时针旋转至，连接，则 （选填“＞”“＜”或“=”）； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，若，求的长； （4）如图3，若点H为平面内一点且满足=，是的中点，则的值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年初中生第五次学情分析与测评 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 《九章算术》中注有“今算得失相反，要令正负以名之”，若盈余100元记作元，则元表示（ ） A. 亏损元 B. 盈余50元 C. 亏损50元 D. 不盈余不亏损 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，根据“盈余”相反意义的词是“亏损”，再结合数，即可得出答案． 【详解】解：盈余100元记作元，则元表示亏损50元， 故选：C． 2. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 3. 国家质检总局出台了国内销售的纤维制品甲醛含量标准，从2003年1月1日起正式实施．该标准规定：针织内衣、床上用品等直接接触皮肤的制品，甲醛含量应在以下，用科学记数法表示应写成（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10 时，是正整数；当原数的绝对值小于 1 时，是负整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示应为； 故选：D． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】计算方程根的判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵， ∴原方程没有实数根． 6. 如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线分线段成比例， 先根据平移的性质得，再根据平行线分线段成比例求出，此题可解． 【详解】解：∵将沿着边向右平移得到， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：原式． 8. 为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲乙两位同学均随机选取这3位数学家的成就进行分享，则选到不同数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，用分别表示这3位数学家的成就，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用分别表示这3位数学家的成就，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中，选到不同数学家的结果有6种， ∴； 故选B． 9. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘）．若通过测量得到，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，    由题意，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 满足的整数a可以是_________________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】正确估算出和的取值范围，再找出符合条件的整数． 【详解】解：对和进行大小估算， 因为，所以， 因为，所以， ∵，且为整数， ∴为或． 12. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为______． 【答案】94 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．根据加权平均数进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，她的最后得分为分， 故答案为：94． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 14. 【跨学科整合】如图1，一个底面积为的正方体金属块对木凳的压强p为1500Pa，如图2，根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积的反比例函数，则当金属块底面积S为时，该金属块对该木凳的压强p为______Pa． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数，根据题意设压强和受力面积的关系式为，求出解析式，再将代入计算求出p即可． 【详解】解：设压强和受力面积的关系式为，根据题意，得 ， ∴反比例函数的关系式为， 当时，（）. 故答案为：2000． 15. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“”）于2025年6月12日－14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀． 【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图： 【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 8.075 8 72.5% 八年级 8.375 9 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________． （2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由． （3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 【答案】（1），8， （2）小科同学可能是七年级的学生．理由见解析 （3）估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 【解析】 【分析】本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键． （1）根据中位数、众数的定义直接求解即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解： 因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8， 即， 因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数， ， 故答案为：，8，； 【小问2详解】 解：推测小科同学可能是七年级的学生． 因为小科的分数在年级属于中游略偏上，故小科的分数大于或等于所在年级的中位数， 因为七年级的中位数为8，八年级的中位数为8.5， 故小科同学可能是七年级的学生； 故答案为：七； 【小问3详解】 解：由统计图可得七年级高于的同学有（人）， （人）， 估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人． 18. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）不用计算，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）8 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出反比例函数表达式，再求出点坐标，然后用待定系数法求一次函数表达式即可； （2）将沿分割，以为底，分别求与的面积即可； （3）找出直线在双曲线上方的部分即可． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， ∴双曲线解析式为， 把代入得， ∴， 将和分别代入中， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：将代入中，得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由图象可得： 当或时，直线在双曲线上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的结合，相关知识点有：求函数表达式、求三角形的面积、根据图象写出不等式的取值范围等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题关键． 19. 如图，在中，，，，以点O为圆心，为半径画圆交于点C． （1）请用无刻度直尺和圆规过点C作出的切线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）1.5 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，点N，再分别以点M，点N为圆心，大于一半的长度为半径画弧，两弧相交于点P， 连接直线交于点E，． （2）根据相似三角形的证明可得，再根据边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：如图：为的切线， 【小问2详解】 解：∵为的切线， ∴，即， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，可得， ∴． 20. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 （2）当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 21. 小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： （1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼的高度为米． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上，设． ①求W与的函数关系式； ②当时，W的最小值为3，求m的值． 【答案】（1） （2）① ②或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①分别表示出，，再根据即可求解； ②求出的对称轴为，再分，，三种情况即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴． ②∵， ∴抛物线对称轴为， 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得或（大于1，舍去）； 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得或（舍去）； 时， 当时，则时，取最小值3， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，m的值为或． 23. 几何探究：在中，，点D，E在直线上，连接． （1）如图1，若，将绕点A逆时针旋转至，连接，则 （选填“＞”“＜”或“=”）； （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，若，求的长； （4）如图3，若点H为平面内一点且满足=，是的中点，则的值为 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，再通过角的转换可得，进而即可证明，进而即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，再利用的性质，在中由勾股定理得到，再证，得到，由此即可证明； （3）添加合适的辅助线，通过角的转换可得，则可证明，则，再通过角的转换可得，进而证明，可得，，，，再运用勾股定理求得，即可求解； （4）设，则，当在的上方时，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，进而勾股定理求得，当在的下方时，同理可得即可求解. 【小问1详解】 解：绕点逆时针旋转至，如图， 则有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴，即， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：在点左侧，过点作，且，连接，如图， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 【小问4详解】 解：在中，，， ∴， ∵， 设，则， ∵点是的中点， ∴， 当在的上方时，如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接， 则， 由旋转的性质得：， ∴，，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， 又∵， ∴在四边形中，， ∴， ∴三点共线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 当在的下方时，如图， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $