精品解析：四川成都市天府新区师大一中高级中学2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试题

天府师大一中高级中学2025-2026学年度下期 高2024级期中考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则，即， 故选：A 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：D 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等比数列，所以，解得或， 因为等比数列，所以， 则，所以，设公比为，则， 所以． 4. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 5. 已知数列的前项和公式为，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】． 6. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，用导数构造函数判断单调性，比较大小. 【详解】观察已知条件，构造，定义域为， ， 由题知，即，因此在上单调递增， 由单调性得，则， 化简得. 7. 已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A. 58 B. 52 C. 62 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义和性质逐项判定即可求解. 【详解】对于A，当时，，所以，当时，， 又，所以，所以是等差数列，故A正确； 对于B，若是等比数列，且，所以，故B错误； 对于C，若是等差数列，所以，故C正确； 对于D，若，所以，所以是等比数列，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（    ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为， 则，解得，故A正确； 因为与外切，则， 整理可得，且，可得，即， 可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确； 则，即， 则，C正确； 因为， 所以， 所以，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，其前n项和为，则＝______ 【答案】 【解析】 【详解】由可得数列为等比数列，公比为，首项为,所以 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得在上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，则， 由题知在上恒成立，所以， 解得，所以的取值范围是. 14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____. 【答案】3377 【解析】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，，，所以，解得， 同理由，，， 所以 所以数列是以3为周期的数列， 所以 ， 故答案为：3377. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）在上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求； （2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值. 【小问1详解】 ，因为在及处取得极值， 故有两个解及，故，故， 此时， 当或时，；当时，， 故在及处取得极值，符合题设，故. 【小问2详解】 由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，而，， ，. 故在上的最大值为，最小值为. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质及前项和公式列式求出公差及即可. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的公差为，则，解得， 由，得，解得， 所以， . 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） 因为，故， 所以，即， 所以数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式进行变形，利用等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 令，则， 则， 所以 . 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增，， 所以， 综上可得成立. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义计算求解； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天府师大一中高级中学2025-2026学年度下期 高2024级期中考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 2. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和公式为，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A. 58 B. 52 C. 62 D. 60 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等比数列，且，则 C. 若是等差数列，则 D. 若，则是等比数列 11. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则（    ） A. B. 是等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，其前n项和为，则＝______ 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是______． 14. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列的前n项和． 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $