2026年九年级数学中考二轮复习利用二次函数求特殊三角形问题最值问题专题提升训练

2026年九年级数学中考二轮复习利用二次函数求特殊三角形问题最值问题专题提升训练 1．（2024·广东佛山·二模）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3）两点． (1)求函数的解析式； (2)设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接BC，BD．CD，判断△BCD的形状并说明理由： (3)对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c， ①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值； ②设函数y在0≤x≤t内的最大值为p．最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值． 2．（24-25九年级上·湖北孝感·月考）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标． 3．（2024全国·单元测试）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·广西南宁·三模）如图1，抛物线交x轴于A，两点，与y轴交于点，点D为线段上的一个动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，设E点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当m为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)如图2，在（2）的条件下，直线上有一动点Q，连接，将线段绕点Q逆时针旋转，使点O的对应点P恰好落在该抛物线上，请直接写出的函数表达式．（直接写出结果） 5．（25-26福建龙岩·月考）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出最大值及此时点M的坐标； ②在满足①线段取得最大值的条件下，在直线上存在点P使为等腰直角三角形，且？请直接写出点P的坐标． 6．（24-25九年级下·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 7．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 9．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 10．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行于y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 12．（2024广东汕头·期末）抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，．M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在（2）的条件下，直线上有一动点R，连接，将线段绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标． 13．（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，已知抛物线（a，b为常数，）经过，，与y轴交于点C． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，．当最小时，求点D的坐标． (3)点E是抛物线上的动点，设点E的横坐标为m． ①当点E在抛物线对称轴右侧时，过点E作轴，与抛物线交于点F，G为x轴上一点，当为以为斜边的等腰直角三角形时，求m的值； ②以点E为中心构造正方形，，且轴，当抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为时，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）把A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c 得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）△BCD为直角三角形． 理由如下： 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则C（3，0）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； ∵BD2＝（1﹣0）2+（4﹣3）2＝2， CD2＝（1﹣3）2+（4﹣0）2＝20， BC2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°； （3）①，对称轴为：直线， 当0≤x≤3时，x＝0时，y＝3；当x＝1时，y最大值＝4，x＝3时，y＝0， ∴当0≤x≤3时，函数y的最大值为4，最小值为0； ②∵函数y在0≤x≤t内的最大值为p．最小值为q，p﹣q＝3， ∴t＞1， ∴p＝4， ∴q＝1， 即﹣x2+2x+3＝1，解得t1＝1+，t2＝1﹣（舍去）， 即t的值为1+． 2．(1)； (2)当时，有最大值，且最大值为4． (3)点P的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据等腰三角形的性质，分类讨论：当、和时，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点E的横坐标为m，直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F， ∴点D、F的横坐标为m， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为4； （3）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且， 在，，，， 设，分三种情况： 当时，即， ∴， 解得， ∴或； 当时，即， ∴， 解得(舍去)，， ∴， 当时，即， ∴， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，等腰三角形性质等知识是解题的关键． 3．(1) (2)当时，的值有最大值，此时点的坐标为 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）作轴交于，如图，    设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 （3）∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 4．(1) (2)当时，最大，最大值为． (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，进而得到，，求出，则当时，最大，最大值为． （3）如图2-1所示，当点Q在x轴上方时，过点作轴交y轴于点，过点作于点，由旋转的性质可得，证明，得到，，设，推出，再由点在抛物线上，得到，求出点P的坐标为，再求出的函数表达式即可；如图2-2所示当点Q在x轴下方时，过点Q作轴于S，过点P作交延长线于T，设，同理可证，推出，再仿照图2-1进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点的坐标为，轴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：如图2-1所示，当点Q在x轴上方时，过点作轴交y轴于点，过点作于点， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为， ∴此时直线的解析式为； 如图2-2所示，当点Q在x轴下方时，过点Q作轴于S，过点P作交延长线于T，设， 同理可证， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为， ∴此时直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，待定系数法求函数解析式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(1)，点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①，的最大值是4，此时点的坐标为；②存在， 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标； ②当线段取得最大值的条件时，直线为，设点P，结合两点距离公式列方程求出满足的点坐标，再由勾股定理的逆定理判定是否是直角三角形，从而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②当最大值取最大值时，点的坐标为，点的坐标为， ∴直线为， 设点P为， ∵点 ，，， ∴， ∴， 解得：， 当时，点， 此时，， 不是直角三角形， 当时，点， 此时， ∴， 是等腰直角三角形且， 综上所述：存在，使是等腰直角三角形且. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）要分类求解，避免遗漏． 6．(1) (2)①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：，，且点、在抛物线上， ∴， 解得， 该抛物线所对应的函数关系式为； （2）解：①存在，理由如下： 令，得， 解得：， ， 如图2中， 已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 点在抛物线上，且轴，点N在直线的上， 设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在第一象限， ∴ ， ∵ 当时， 线段的长度的最大值为； ②解：如图3中， 由题意知，点在线段的垂直平分线上， 又由①知，， 的中垂线同时也是的平分线， ∴点P到坐标轴的距离相等， 设点的坐标为， 又点在抛物线上，于是有， ， 解得，， 点的坐标为：或， 若点的坐标为，此时点在第一象限， 在和中，， ， 若点的坐标为，此时点在第三象限， 则． 综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 7．(1)， (2) (3)的最大值为：． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，过点作于点，由题意可得，轴，从而可得的纵坐标为2，进而得出，求解即可； （3）证明，如图，过作轴交于，而直线轴，可得轴，则，证明，可得，求解，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为，即． 当，， ∴， 一次函数过点和， 代入，得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：依题意，可设，则， 过点作于点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴，轴， ∴的纵坐标为2， ∴， 即有， 解得：（舍去）或， ∴． （3）解：∵面积为，面积为， ∴， 如图，过作轴交于，而直线轴， ∴轴，则， ∴， ∴， ∵，直线为， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点， ∴， 而，则有最大值， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．(1) (2)是直角三角形 (3)当时，有最大值，最大值为 【分析】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，割补法求面积，勾股定理逆定理等，用含的函数关系式表示的面积是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）令，求出点的坐标，分别计算，，的值，得到，利用勾股定理逆定理可知是直角三角形； （3）先求直线的解析式，然后过点作轴交于点，得到点，的纵坐标，表示长，然后根据即可得到最值． 【详解】（1）点是该函数与轴的交点，且， 点的坐标为， 抛物线的图像过点和， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得，， 点的坐标为， ，，， ， 是直角三角形； （3）设直线的解析式为， ，， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 9．(1)； (2)存在，线段长的最大值为； (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）已知在直线上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大，最大值为； （3）解：∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作轴于点N，则，． 过点A作，交x轴于点M， 则由题意知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则：， 解得， 所以直线的解析式为：， 又抛物线的解析式为：， 联立得， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，即点C、M点重合． 当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C， 则点C在抛物线上，且， 当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或． 10．(1)抛物线的表达式为， (2)的最大值为， (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法． （1）先求得，将代入抛物线表达式，列方程组求得表达式即可； （2）设，则，用含m的代数式表示线段的长，再根据二次函数的性质求出线段的最大值及点M的坐标； （3）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（2）得，由勾股定理求出，由等腰的腰长为或求出的长即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，； 当时，， 解得：， ， ∵抛物线经过两点， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， ， ∵， ∴设直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴直线表达式为， 设，则， ， ∴当时，的最大值为， ∵M在直线上， 当时，， ； （3）解：存在．如图， 由（2）得，当最大时，则， ； ， ． ∵点P在x轴上， 当点与原点O重合时，则； 当时，则， ； 当点与点D重合时， 则， ∴； 当时，则， ． 综上所述，存在以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或或或． 11．(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，，，根据等腰三角形的定义可得，即，则，解方程即可得到答案； （3）求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，则由平行四边形的性质可得，故当最大时，最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，则，故当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是以底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴点M的坐标为或； （3）解；设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，最大值， ∴的最大值为； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 12．(1) (2)时，PQ有最大值，最大值为 (3)或 (4)或 【分析】（1）将，代入即可    求解； （2）先求直线的解析式为，根据M点的坐标为，表示出，，再表示出线段，即可求解； （3）分情况讨论，，时，点Q的坐标； （4）过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，证明，设，可求出，将T点代入抛物线即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得： 解得： ∴抛物线的表达式： （2）解：令，则， ∴ 设直线的解析式为： 解得 ∴， ∵M点的坐标为， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为 （3）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，理由： 设， ∴，， 当时， 解得(舍)或， ∴； 当时， 解得或（舍）， 当时， 解得（舍）； 综上所述：Q点坐标为或 （4）解：如图1，过点R作轴交于点G，过点T作交于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵T点在抛物线上， ∴， 解得或， ∴或. 【点睛】本题是二次函数的综合题目，主要考查待定系数法求二次函数的关系式，线段最值问题，等腰三角形的存在性问题，旋转问题，全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是根据二次函数的性质进行求解相应的坐标． 13．(1) (2) (3)①或；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，求出抛物线的对称轴为直线，点C的坐标为，根据线段垂直平分线的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，然后求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可； （3）①分两种情况讨论：当点E在轴上方时，当点E在轴上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可； ②分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，）经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：连接，交抛物线的对称轴于点D，连接，如图所示： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点D的坐标为． （3）解：①∵点E在抛物线对称轴右侧时，轴，与抛物线交于点F， ∴点E与点F关于直线对称，且， ∵点E在抛物线上， ∴， 当点E在轴上方时，设交直线于点H，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵点G在x轴上， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）； 当点E在轴下方时，设交直线于点H，如图所示： 同理可得：，，， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或； ②当时，如图所示： ∵轴，四边形为正方形， ∴轴，， ∵， ∴， ∵以点E为中心构造正方形，， ∴所在直线的横坐标为，所在直线的横坐标为，所在直线的纵坐标为，所在直线的纵坐标为， ∵抛物线在正方形内部（包含边界）的图象的最大值与最小值的差为， ∴抛物线与、有交点， ∴， 整理得：， 解不等式组得：或， ∵此时， ∴此时； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：， ∵此时， ∴此时， 当时，P、Q、M、N重合，不存在正方形； 当时，如图所示： 同理可得：， 整理得：， 解得：或， ∵此时， ∴此时； 综上：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $