山东泰山中学2026届高考三轮复习成果验收卷数学试题

山东省泰山中学2026年高考三轮复习成果验收卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（本题5分）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 3．（本题5分）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 4．（本题5分）已知单位向量满足，若向量，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若，，则（   ） A． B． C． D．或 7．（本题5分）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 10．（本题6分）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 11．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C． D．当时，有2个极值点 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）复数，则__________. 13．（本题5分）在的展开式中，项的系数为_______. 14．（本题5分）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求. (2)若，，求的面积. 16．（本题15分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本题15分）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 18．（本题17分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】因为，， 所以，集合中的元素个数为3． 2．C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 3．C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 4．B 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算得到，再由向量夹角公式计算． 【详解】因为单位向量满足． 所以，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为． 5．A 【详解】由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将个单位按分成三组，共有种方法； 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法， 故共有种选派方法. 6．B 【分析】对进行“辅助角变换”可得，再结合同角三角函数基本关系式和两角差的余弦展开公式求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，则， 故 . 7．D 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 8．A 【分析】利用三角恒等变换解得，进而得，在中，由正弦定理得，过点作轴于点，进而得点的坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意得：， 又， 所以，， 所以， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理有：， 所以， 过点作轴于点， 所以， 所以， ， 所以， 所以，所以， 化简整理得：，即， 解得，又，所以. 9．ACD 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 10．AC 【分析】选项A，用分层抽样先确定抽出的“有效”和“无效”人数，再做组合概率；选项B，用独立事件定义检验是否等于；选项C，计算列联表的值，与临界值比较；选项D分别计算修改前后的值大小. 【详解】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 11．ACD 【分析】对于A，根据对数的运算性质判断即可；对于B，设，利用导数判断其单调性，再根据复合函数的单调性判断即可；对于C，结合的单调性求解判断即可；对于D，对函数求导，令，得，令，则，利用导数分析单调性，可得，即，令，，利用导数分析其单调性，进而结合图象求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由，，， 则， 令，得， 即， 令，则，则在上单调递增， 且，则，即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，且，， 作出函数的图象，如图， 由图可知，当时，函数与有2个交点， 则方程在上有2个不相等的实数根， 即有2个变号零点，则函数有2个极值点，故D正确. 12． 【分析】先根据共轭复数的定义求出，再计算，最后根据复数模的计算公式求出模即可. 【详解】因为，所以共轭复数为：， 所以 所以. 13． 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以项的系数为. 14． 【分析】通过换元构造同构函数，利用函数单调性脱去函数符号，将原不等式转化为恒成立问题，分离参数后求函数最小值得到的取值范围. 【详解】原不等式整理得，等价于， 令，则恒成立，所以在上单调递增. 故原不等式等价于， 由的单调性，不等式等价于，即， 故原不等式恒成立等价于对所有恒成立，变形得，即： ， 令，求导得，当时， 故在上单调递增，最小值为，所以. 又，得的取值范围是. 15．(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，再代入已知等式后约去非零的，得到的值，结合，最终求得即可； （2）先根据三角函数关系求出和，再利用正弦定理求出，然后求出，最后根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理：（为外接圆半径）， 可得 ，， 因为，所以. 即. 又，所以，即. 又因为，得. （2）因为，即，所以， 又因为，将代入可得： ，即，，， 因为，所以是锐角，则，那么， 又因为，，所以，则， 因为， 因为，，，所以， 根据三角形面积公式，将，，代入可得： . 16．(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17．(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 18．(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，结合即可求出； （2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得， 又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为， 又，， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， ，解得， 且， 而直线的斜率为，直线的斜率为， ， 又， ， . 19．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $