精品解析：2026年安徽合肥寿春中学初中学业水平考试模拟（二）数学（试题卷）

安徽省初中学业水平考试模拟（二）数学（试题卷） 2026年4月 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于两个负数比较，绝对值大的数反而小，比较得出结果． 【详解】解： 选项A：是正数， ，故A选项不符合要求； 选项B：大于负数，，故B选项不符合要求； 选项C：和都是负数，其中，，，，故C选项符合要求； 选项D：和都是负数，，，其中，，故D选项不符合要求． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．熟练掌握同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；熟练掌握运算法则是解题关键． 根据同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方及合并同类项法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、 ，故该选项计算正确，不符合题意； B、，故该选项计算不正确，符合题意； C、 ，故该选项计算正确，不符合题意； D、 ，故该选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 5. 海南自贸港全岛封关运作是我国坚定不移扩大高水平对外开放、推动建设开放型世界经济的标志性举措，某港口在1月份承接了200万吨的进关货物运输，随着国家政策红利的释放，进关货物逐月递增，已知该港口在第一季度共运输了662万吨的货物．若设运输货物的月平均增长率为，则有方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，一元二次方程的应用，解题思路是先分别求出第一季度每个月的货物运输量，再根据第一季度总运输量列出方程． 【详解】∵设运输货物的月平均增长率为，1月份运输量为万吨， ∴2月份运输量为万吨，3月份运输量为万吨， ∵第一季度总运输量为万吨，第一季度总运输量是1、2、3月运输量的和， ∴可列方程为： ． 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知是某函数图像上的两个不同点，若这两点恒有成立，则下列函数表达式中，符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得随的增大而减小，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴与异号， 当时，，随的增大而减小， A．是反比例函数，，在每个象限内，随增大而增大，不符合题意； B．是正比例函数，，随增大而增大，不符合题意； C．是二次函数，开口向上，对称轴为，时，随增大而增大，不符合题意； D．是一次函数，，随的增大而减小，符合题意． 8. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理得到且，再证明，得到，从而求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是边上的中线， ∴为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. D. 当时，的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件推导出关于的表达式，再将整理为关于的二次函数，结合实数平方的非负性确定的取值范围，最后根据二次函数的性质求的最小值，判断各选项． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 整理得 ，解得 ，因此选项A、 C错误； 将代入，得， ∵为实数， ∴， 即， 代入，，得， 整理得 ，即， ∴满足该不等式，在的取值范围内， ∵二次函数开口向上，在顶点处取最小值， ∴当时，取得最小值，因此选项B正确，D错误； 故选B． 10. 如图，在中，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段连接，交于点，分别连接则下列结论中：的最小值为； 的最小值为；面积的最大值为；面积的最大值为． 正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由锐角三角函数可得，由直角三角形的性质得，当时，最小，过作于，可得，即得的最小值，可判断；作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小，以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ，可得 ，利用勾股定理求出，可判断；过点作的延长线于点，，当时，取最大值，可判断；过点作 的延长线于点，利用三角形的面积可得，由，可得的最大值，可判断． 【详解】解：在中，，，  ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴ ，  ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则， ∴， ∴正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值， ∴面积最大值为， ∴正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴错误． ∴正确的结论有个． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、时间等，由十个天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）依次组合而成．小李从全部的十个天干和十二个地支中各随机选取一个，组成一组天干地支纪年，求该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：从个天干中随机选取个，从个地支中随机选取个，所有等可能的结果共有种，其中，恰好为丙午年的结果只有种， 则该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 14. 如图，正方形中，为边上一点，为对角线上一点，且满足，连接，若的面积为， （1）则_______． （2）延长交于点，若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形对应边成比例得到 ，结合正方形性质及三角形面积公式求解； （2）证明，利用相似比及（1）中结论推导线段数量关系，计算的值． 【详解】（1）解： 四边形  是正方形， ∴，， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． （2）解： 四边形  是正方形， ，， ， 又 ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 在正方形  中，， ， ， ， ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 3 【解析】 【详解】解： ． 16. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点坐标； （2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 点的坐标为： （2）如图所示，中线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标线中图形的变换，图形与坐标，矩形的性质等知识，掌握平面直角坐标系的特点，矩形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质作图，图形与坐标的关系写出点坐标即可； （2）运用格点，矩形的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据格点，取矩形，连接对角线交于点， ∴中线即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 人工智能（简称AI）作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响．某校进行了“人工智能与人类未来”的演讲比赛，10位评委分别对甲、乙两名参赛队员进行打分（满分10分），赛后对数据进行收集、整理、描述和分析，信息如下： Ⅰ．甲的分数：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10； Ⅱ．乙的分数折线统计图： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 参赛人员 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 8.5 0.84 乙 9 1.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______． （2）学校准备从甲、乙两名同学中选取一名参加区演讲比赛，你认为应该选择哪名同学参赛？请判断并说明理由． 【答案】（1）9，8.2，8.5 （2）选择甲参赛， 理由：甲、乙平均数相差不大，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、众数、算术平均数、中位数、方差等知识． （1）分别根据众数、算术平均数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差和平均数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：甲的分数中9出现次数最多，所以； 乙的分数从小到大排列为6，7，7，8，8，9，9，9，9，10，中位数， 乙的分数平均数； 【小问2详解】 略 18. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键； （1）将点代入，得出点坐标为．进而待定系数法求反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，解方程结合函数图象取舍的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ． 点坐标为． 点在的图象上， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ，且轴， ． 整理得， 解得，（舍去） 的值为1． 20. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明：为的切线， ． ． 为的直径， ． ． ， ． ． 又， ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于得出，由等边对等角得出，等量代换得出，由同弧所对的圆周角相等得出， 进而可得出 ，由等角对等边得出． （2）连接，先证明，设，则，解直角三角形得出，再证明，得出，进一步得出，即，解出x即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 为的切线， ． ，． ， ． ． ． 设，则． 在中， ，， ． 为直径， ． ，， ． ． 在中， ， ． ， ． 解得． ． 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【课题背景】 某连锁超市响应商务部 2026 “乐购新春” 春节特别活动号召，为迎接年货消费高峰，提前采购了一批统一规格的手推车，保障顾客购物体验．为节省仓储空间，管理员将手推车依次叠放，叠放后总长度与叠放数量之间存在一定规律．同时，为高效调配运力，超市需通过内部电梯将部分手推车从仓库运至卖场，应对客流高峰． 【课题素材】 手推车叠放示意图如下： 如图1所示，一辆手推车的长度为；如图2所示，每叠放一辆手推车，总长度增加． 【任务一：规律探究】 （1）若管理员把6辆车叠放在一起，其总长度为_______ m； （2）设叠放的车辆总数为n，其总长度为L，则L 与n之间的表达式为_________； （3）若叠放后的总长度不能超过，则最多可叠放_______辆手推车． 【任务二：运输应用】 超市有两部电梯可用于运输手推车： 直梯：纵深长度为，每次可运输两列叠放的手推车． 扶梯：每次只能运输一列叠放的手推车，长度不限． （4）若管理员使用直梯运输，其中一列的长度被管理员占用，则这位管理员一次最多可运输_______辆手推车． 【任务三：方案设计】 超市现需从仓库运输 80 辆手推车到卖场，运输次数不超过 5 次． 电梯使用规则如下： 直梯：在（4）的基础上，每次可运两列，两列车辆数可不同，但需同时满足：①每列叠放长度不超过（安全限制）； ②两列车辆数之和不低于10（满载率要求）． 扶梯：每次只能运一列，最多运 25 辆．运输时直梯与扶梯可混合使用． （5）若使用直梯的次数比扶梯多 1 次，在满足所有条件的情况下，直梯至少要运输______次． 【答案】（1） （2） （3）22 （4）19 （5）3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式求解； （2）根据题意列出表达式； （3）根据题意列出不等式求解； （4）根据题意列出不等式求解； （5）根据题意列出不等式求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， 解得， ∴， ∴最多可叠放22辆手推车； 【小问4详解】 解：， 解得， ∴； ， 解得， ∴， ∴（辆）， ∴一次最多可运输19辆手推车； 【小问5详解】 解：直梯一次最多运输的车辆为： 第一列管理员不占用： ， 解得， ∴； 另一列管理员占用： ， 解得， ∴， ∴（辆）； 设扶梯用了次，则直梯用了次，根据题意得， ， 解得， ∴， 则（次），符合要求； ∴直梯至少要运输3次． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵将线段平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为垂直平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平移可得四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，即可证得结论； （3）由平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标不变，纵坐标变为与的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为 【基础应用】 （1）一次函数的图象经过点，求的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【推理论证】 （2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【综合探究】 （3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为，点为，设外接圆的直径为，若，求的取值范围． 【答案】（1） 二次积点函数的解析式为，顶点坐标为 （2） 猜想成立，理由如下： ∵一次函数的二次积点函数为， ∴， 整理得， ∵， ∴是一元二次方程， ∴根的判别式， ∴该方程总有实数根， ∴一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，猜想成立． （3） 或． 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出原一次函数的解析式，再根据二次积点函数的定义得到二次积点函数解析式，即可得到顶点坐标； （2）联立一次函数和二次积点函数的方程，根据一元二次方程的根的判别式即可求解； （3）联立方程求出两个交点A,B的坐标，结合点的坐标可得是直角三角形，斜边即为外接圆直径，推导得到与的关系式，再根据的取值范围解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入得， 解得， ∴原一次函数解析式为， ∴二次积点函数为 ， ∴， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：一次函数的二次积点函数为， 联立得方程， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∴两个交点坐标为，， ∵， ∴轴，在轴上, ∴，是直角三角形, ∴外接圆的直径等于斜边的长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省初中学业水平考试模拟（二）数学（试题卷） 2026年4月 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 海南自贸港全岛封关运作是我国坚定不移扩大高水平对外开放、推动建设开放型世界经济的标志性举措，某港口在1月份承接了200万吨的进关货物运输，随着国家政策红利的释放，进关货物逐月递增，已知该港口在第一季度共运输了662万吨的货物．若设运输货物的月平均增长率为，则有方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是某函数图像上的两个不同点，若这两点恒有成立，则下列函数表达式中，符合条件的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. D. 当时，的最小值为 10. 如图，在中，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段连接，交于点，分别连接则下列结论中：的最小值为； 的最小值为；面积的最大值为；面积的最大值为． 正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式： ______________． 12. 天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、时间等，由十个天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）依次组合而成．小李从全部的十个天干和十二个地支中各随机选取一个，组成一组天干地支纪年，求该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为_______． 13. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为_______． 14. 如图，正方形中，为边上一点，为对角线上一点，且满足，连接，若的面积为， （1）则_______． （2）延长交于点，若，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点坐标； （2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 人工智能（简称AI）作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响．某校进行了“人工智能与人类未来”的演讲比赛，10位评委分别对甲、乙两名参赛队员进行打分（满分10分），赛后对数据进行收集、整理、描述和分析，信息如下： Ⅰ．甲的分数：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10； Ⅱ．乙的分数折线统计图： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 参赛人员 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 8.5 0.84 乙 9 1.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______． （2）学校准备从甲、乙两名同学中选取一名参加区演讲比赛，你认为应该选择哪名同学参赛？请判断并说明理由． 18. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，交直线于点．若，求的值． 20. 如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【课题背景】 某连锁超市响应商务部 2026 “乐购新春” 春节特别活动号召，为迎接年货消费高峰，提前采购了一批统一规格的手推车，保障顾客购物体验．为节省仓储空间，管理员将手推车依次叠放，叠放后总长度与叠放数量之间存在一定规律．同时，为高效调配运力，超市需通过内部电梯将部分手推车从仓库运至卖场，应对客流高峰． 【课题素材】 手推车叠放示意图如下： 如图1所示，一辆手推车的长度为；如图2所示，每叠放一辆手推车，总长度增加． 【任务一：规律探究】 （1）若管理员把6辆车叠放在一起，其总长度为_______ m； （2）设叠放的车辆总数为n，其总长度为L，则L 与n之间的表达式为_________； （3）若叠放后的总长度不能超过，则最多可叠放_______辆手推车． 【任务二：运输应用】 超市有两部电梯可用于运输手推车： 直梯：纵深长度为，每次可运输两列叠放的手推车． 扶梯：每次只能运输一列叠放的手推车，长度不限． （4）若管理员使用直梯运输，其中一列的长度被管理员占用，则这位管理员一次最多可运输_______辆手推车． 【任务三：方案设计】 超市现需从仓库运输 80 辆手推车到卖场，运输次数不超过 5 次． 电梯使用规则如下： 直梯：在（4）的基础上，每次可运两列，两列车辆数可不同，但需同时满足：①每列叠放长度不超过（安全限制）； ②两列车辆数之和不低于10（满载率要求）． 扶梯：每次只能运一列，最多运 25 辆．运输时直梯与扶梯可混合使用． （5）若使用直梯的次数比扶梯多 1 次，在满足所有条件的情况下，直梯至少要运输______次． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 八、（本题满分14分） 23. 【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标不变，纵坐标变为与的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为 【基础应用】 （1）一次函数的图象经过点，求的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【推理论证】 （2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【综合探究】 （3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为，点为，设外接圆的直径为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $